XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC p

Việc xây dựng luận văn này là sự nghiên cứu và xây dựng đầy đủ, chi tiết các tính chất của trường số phức p-adic  , đặc biệt tìm tòi, nghiên cứu sự giống nhau và khác nhau của trường c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành nhờ quá trình tích lũy kiến thức, tích lũy kinh nghiệm lâu dài ở khoa Toán trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh và đặc biệt là ở lớp cao học toán khóa 19, chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số của trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

Lời đầu tiên trong luận văn này tôi xin gửi đến TS Nguyễn Đình Lân, PGS TS Mỵ

Vinh Quang – người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

và làm luận văn với lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất

Xin chân thành cảm ơn các thầy: TS Trần Huyên, PGS TS Bùi Tường Trí, PGS TS

Bùi Xuân Hải, TS Lê Hoàn Hóa, TS Đậu Thế Cấp, TS Trần Tuấn Nam cùng với tất cả các

thầy cô khác đã trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè và đặc biệt là Ban giám hiệu trường THPT Bình Phú đã động viên

và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này

Một lần nữa xin chân thành cảm ơn!

TP.Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2011

Võ Thanh Tú

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 3

Mục lục 4

MỞ ĐẦU 5

1.Lý do chọn đề tài: 5

2.Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu: 5

3.Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài: 5

4.Cấu trúc của luận văn: 5

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 7

1.1 Chuẩn trên một trường 7

1.2 Xây dựng trường số p-adic p 16

Chương 2 : XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P–ADIC p 25

2.1 Xây dựng trường các số phức p-adic p 25

2.2 Một số tính chất của trường p, sự giống nhau và khác nhau giữa trường các số phức p-adic p và trường các số phức  40

2.3 Cấu trúc của nhóm nhân * p  45

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Từ năm 1897, các số p-adic đã được Kurt Hensel (1861 – 1941) mô tả, hơn một trăm năm qua các số p-adic dần phát triển rất mạnh, xâm nhập vào các lĩnh vực khác nhau của

toán học như lý thuyết số, tôpô đại số, giải tích…và cả trong vật lý đặc biệt là vật lý lượng

tử Giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ vào khoảng những năm 40 của thế kỷ XX và trở thành một chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát hiện những mối liên hệ giữa giải tích p-

adic với các vấn đề lớn của hình học đại số và số học

Giải tích p-adic được xây dựng trên cơ sở trường các số phức p-adic  Bởi vậy, sự p

nghiên cứu đầy đủ và chính xác các số phức p-adic là việc làm cần thiết và thú vị Việc xây

dựng luận văn này là sự nghiên cứu và xây dựng đầy đủ, chi tiết các tính chất của trường số

phức p-adic  , đặc biệt tìm tòi, nghiên cứu sự giống nhau và khác nhau của trường các số p

phức p-adic  và trường các số phức  Bởi vậy, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Xây p

dựng trường các số phức p-adic  ” p

2 Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

o Xây dựng một cách đầy đủ, hệ thống, hoàn chỉnh trường các số phức p-adic  p

o Nghiên cứu, tìm tòi các tính chất tôpô đại số …của trường các số phức p-adic  p

Đặc biệt là so sánh, tìm tòi, nghiên cứu sự giống nhau và khác nhau giữa trường các

số phức p-adic  và trường các số phức  p

o Xây dựng nhóm nhân *

p

 và nghiên cứu một số tính chất của nó

3.Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Luận văn sẽ làm sáng tỏ hơn thuộc tính, tính chất tôpô và đại số cơ bản của trường số phức  ; cũng như sự giống nhau và khác nhau giữa trường số phức  và trường các số

phức p-adic  Qua đó, giúp cho việc nghiên cứu các bài toán giải tích p-adic dễ dàng p

hơn

4 Cấu trúc của luận văn:

Nội dung luận văn gồm:

 Phần mở đầu

 Nội dung chính: gồm hai chương

Chương 1: Các kiến thức cơ bản

Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về: chuẩn trên một trường, xây

dựng trường số p-adic  , vành các số nguyên p-adic p  , các tính chất tôpô và đại số của p p

 và  ,…và các vấn đề liên quan cần cho chương 2 p

Chương 2: Xây dựng trường các số phức p-adic  p

Chương này sẽ xây dựng một cách đầy đủ, hệ thống, hoàn chỉnh trường các số

phức p-adic  Nghiên cứu, tìm tòi các tính chất tôpô đại số …của trường các số phức p- p

adic  Đặc biệt là so sánh, tìm tòi, nghiên cứu sự giống nhau và khác nhau giữa trường p

các số phức p-adic  và trường các số phức  Đồng thời xây dựng nhóm nhân p *

p

 và nghiên cứu một số tính chất của nó

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về: chuẩn trên một trường, xây dựng

trường số p-adic  , vành các số nguyên p-adic p  , các tính chất tôpô và đại số trên p  p

và  ,…và các vấn đề liên quan cần cho chương 2 Hầu hết các chứng minh trong chương pnày được bỏ qua, có thể tìm các chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo

1.1 C huẩn trên một trường

1.1.1 Định nghĩa Cho F là một trường Ánh xạ : F →  được gọi là một chuẩn trên F

nếu thỏa các điều kiện sau:

1) F = ∨ = F  , giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F

2) F =  , môđun của một số phức là chuẩn trên F

Dễ thấy là một chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường

1.1.3 Tính chất Cho là một chuẩn trên trường F có đơn vị 1 Với mọi x thuộc F ta có:

1 1

) 1 1 1

n n

Do là một chuẩn trên F nên ta dễ dàng kiểm tra được d là một mêtríc trên F và do

đó (F, d) là một không gian mêtríc

1.1.6 Định nghĩa Cho 1, 2 là hai chuẩn trên trường F ta nói rằng hai chuẩn này tương

đương nếu: { }x n là dãy Cauchy theo chuẩn 1 khi và chỉ khi { }x n là dãy Cauchy theo

1.1.7 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F là một trường và 1, 2 là hai

chuẩn trên trường F Khi đó, các điều sau là tương đương:

2 là trùng nhau

5)

1 tương đương với 2 ( 1  2)

1.1.8 Hệ quả Cho 1, 2 là hai chuẩn trên trường F Nếu tồn tại hai số dương c c sao 1, 2

cho 1≤c1 2và 2 ≤c2 1 thì khi đó 1= 2

Sau đây ta định nghĩa chuẩn phi Asimet

1.1.9 Định nghĩa Cho là một chuẩn trên trường F Chuẩn được gọi là chuẩn phi

Acsimet trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện:

) max{ , }, ,

iii x′ + ≤y x y ∀x y∈ F

Chuẩn thỏa iii) nhưng không thỏa iii’) được gọi là chuẩn Acsimet

Ví dụ: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Acsimet

Thật vậy, nếu x+ = thì y 0 x+ = ≤y 0 max{x y, }

Nếu x+ ≠ thì y 0 x≠ 0 hoặc y≠0, do đó x+ = ≤y 1 max{x y, }

Cho p là một số nguyên tố cố định Với mỗi x∈\ {0}, ta luôn có

α gọi là p-số mũ của x, ký hiệu ord p( )x =α

Quy ước: ord p(0)= ∞ ∞ ± = ∞ , a

i ord xy ord x ord y

ii ord x y ord x ord y

+ ≥

Chứng minh

+) x+ =y 0: Khi đó, ord p(x+y)= ∞ ⇒ord p(x+ y)≥min{ord p( ),x ord p( )}y

+) x= ∨ =0 y 0: Nếu x = 0 thì ord p(x+y) =ord p( )y và ord p( )x = ∞ Vì ( )

ord y ord x ord x ord y ord y ord x y ord y

ord x y ord x ord y

( ) min{ ( ), ( )}

ord x+ y ≥ =α ord x ord y

Vậy ord p(x+y)≥min{ord p( ),x ord p( )}y 

1.1.11 Mệnh đề Cho ρ là một số thực thỏa 0< <ρ 1 và p là một số nguyên tố Ánh xạ

là một chuẩn phi Acsimet trên  với quy ước ρ∞ =0

Chứng minh Ta chứng minh bằng định nghĩa

i) Rõ ràng xρ ≥ ∀ ∈0, x Mặt khác, ( )

0 ord p x 0 ( ) 0

p

xρ = ⇔ρ = ⇔ord x = ∞ ⇔ =x ii) ∀x y, ∈,xyρ =ρord xy p( )=ρord x ord y p( )+ p( ) =ρord x p( ).ρord y p( ) = x y ρ ρ

iii) , , ord p(x y) min{ord p( ),x ord p( )}y

Chứng minh Với mọi x ∈ , ta có:

Chuẩn p được gọi là chuẩn p-adic hay chuẩn p Rõ ràng chuẩn p là chuẩn phi Acsimet

3) Cho n o là số tự nhiên lớn hơn 1 Với mỗi x ∈  , ta luôn có

1.1.12 Định lý (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet) Cho F là một trường,

là một chuẩn trên F Các điều sau là tương đương

i) là chuẩn phi Acsimet

 , tức  bị chặn Vậy mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Acsimet 

1.1.14 Các tính chất cơ bản của chuẩn phi Acsimet

Cho F là một trường với chuẩn phi Acsimet Ta có các khẳng định sau:

i ∀x y, ∈F x, ≠ y ⇒ + =x y max{ ,x y} Nghĩa là, mọi tam giác đều cân trong không gian mêtríc sinh bởi chuẩn

ii Các tập

( ) { : }( ) { : }( ) { : }

vi Ký hiệu A={x∈F: x ≤1},M ={x∈F: x < 1} Khi đĩ,

+) A là vành con chứa đơn vị của F +) M là iđêan tối đại của A Do đĩ, A M là một trường, gọi là trường

thặng dư của F đối với chuẩn

Mặt khác, x x y x max{x y x, }

Mà x > y ⇒max{x y x+ , }= +x y Nên suy ra x ≤ +x y (2)

Từ (1) và (2) suy ra x+ =y x =max{ ,x y}

ii) Rõ ràng B r a( ) là tập mở Ta chỉ cịn phải chứng minh ( )B r a là tập đĩng, tức ∀ ∉x B r a( ),

ta chứng minh ∃ >ε 0,B r a( )∩B x( )ε = ∅ Giả sử ngược lại:

1 a I I A

a

⇒ = ∈ ⇒ = Vậy I là iđêan tối đại của A 

1.1.15 Định lý Ostrowski: Mọi chuẩn không tầm thường trên trường số hữu tỷ  hoặc

tương đương với chuẩn p ( p nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên 

n n

n n

α α

Gọi n0là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa n0 < 1

Giả sử n 0 không là số nguyên tố Khi đó: n0 =n n1 ( ,2 n n1 2<n0)

Do cách chọn n nên 0 n1 = n2 =1 Suy ra n0 = (vô lý) 1

Vậy q = với mỗi số nguyên tố q khác p 1

Với x là số hữu tỷ bất kỳ, x được phân tích duy nhất dưới dạng

1.2 Xây dựng trường số p-adic p

1.2.1 Mở đầu

Từ Định lý Ostrowski, ta thấy giá trị tuyệt đối không tầm thường trên  là giá trị

tuyệt đối thông thường , hoặc là giá trị thuyệt đối phi Acsimet p Mặt khác ta biết rằng làm đầy đủ  theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường số thực  Vậy làm đầy đủ  theo p ta sẽ được trường mới mà ta sẽ gọi là trường các số p-adic  Cụ thể p

cách xây dựng như sau:

Phép cộng: ∀ =x { },x y={ }y ∈ ,x+ =y {x + y }

n N y

Ta dễ dàng chứng minh được p định nghĩa như trên là một chuẩn trên  Hơn p

nữa, mọi dãy Cauchy trong ( , )

+) {{ }:{ } Cauchy trong theo }

Mặt khác, a n ≡a n+1(modp n)⇔ a n −a n+1 nên suy ra p n

Như vậy m

p

I = p  , với m=min{m∈:∃ ∈a I a, p = p−m} Hay  là vành chính p

và tập các iđêan của  lập thành một dây chuyền Cụ thể: p

 là tập compăc nên x+  là compăc p

Vậy  compăc địa phương p 

1.2.15 Mệnh đề:

a) Mọi hình cầu, mặt cầu trong  đều là những tập vừa mở vừa đóng p

b) Hai hình cầu bất kỳ trong  hoặc lồng nhau hoặc rời nhau p

c) Mọi hình cầu, mặt cầu trong  đều có vô số tâm Mọi hình cầu đều có vô số bán p

kính

d)  chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu p

Tiếp theo ta phát biểu Bổ đề Hensel

1.2.17 Bổ đề Hensel Cho đa thức f x( )= +c o c x1 +c x n n∈p[ ],x c n ≠0 Nếu tồn tại phần

tử a o ∈ thỏa điều kiện p

( ) 0(mod )( ) 0(mod )

o o

1.2.18 Định nghĩa

Ta chứng minh được rằng  luôn chứa p nghiệm p a a0, , ,1 a p−1 của phương trình

p

x = trong đó, x a i ≡i (mod )p Các nghiệm đó gọi là “đại diện Teichmüller” của

{0,1, 2, ,p− 1} và đôi khi sử dụng trong khai triển p-adic thay cho {0,1,2, , p−1} Thật vậy,

Đặt ( ) p

f x = x − , ta có x 1

( ) p 1

f x′ = px − − Với mỗi i∈{0,1, ,p− thì ( , ) 11} i p = , theo định lý Fermat nhỏ,

=



⇒∃ ∈  ≡

Tức a i là nghiệm của phương trình p

x = Mà x i∈{0,1, ,p− 1} nên phương trình p

x = x

có p nghiệm a a o, , ,1 a p−1 thỏa a i ≡i (mod )p

Ví dụ: Khi p > 2, ta tìm “đại diện Teichmüller” hữu tỉ của  p

Xét phương trình

0

p

x x x

1

p x

Chương 2 : XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P–ADIC p

2.1 Xây dựng trường các số phức p-adic p

Ta biết rằng trường các số phức  là mở rộng của trường các số thực  có hai tính chất khá tốt là: đóng đại số và compăc địa phương Vậy trong trường hợp chuẩn phi Acsimet liệu có tồn tại trường nào là mở rộng của trường  và có hai tính chất trên không p

? Câu trả lời là phủ định Trước tiên ta cần Bổ đề sau:

2.1.2 Định lý: Không tồn tại một trường F với chuẩn phi Acsimet mở rộng của trường  p

với chuẩn có hai tính chất: đóng đại số và compăc địa phương

Chứng minh

Giả sử tồn tại trường F với chuẩn phi Acsimet p là mở rộng của trường  với p

chuẩn pthỏa hai tính chất: đóng đại số và compăc địa phương

z −z = ∀i j= n nên nó không có dãy con hội tụ Suy ra U không compăc Suy ra hình

cầu bán kính bằng 1 không compăc

Vậy F không compăc địa phương 

Như vậy, ta không thể xây dựng trường có đủ hai tính chất: đóng đại số và compăc địa phương Tuy nhiên, ta có thể xây dựng một trường với chuẩn phi Acsimet là trường mở rộng của  có hai tính chất khá tốt là: đóng đại số và đầy đủ Với hai tính chất đó, ta có p

thể xây dựng lý thuyết giải tích trên trường đó Quá trình xây dựng đó có thể tóm tắt như sau:

Làm đầy đủ  theo chuẩn p ta được trường  đầy đủ nhưng không đóng đại số p

Ký hiệu bao đóng đại số của  là p  Chuẩn trên p  được xây dựng như sau: p

+ Với α∈p thì α là phần tử đại số trên  Do đó, tồn tại một đa thức p Irr(α,p,x) bất khả quy có các hệ số thuộc  , hệ số đầu tiên là 1 và nhận p α làm nghiệm:

+ Trường  đóng đại số nhưng nó lại không đầy đủ theo vừa xây dựng Nếu tiếp tục p

làm đầy đủ  theo ta sẽ được trường các số phức p-adic, ký hiệu là p  p, p =p = Sau đây là phần trình bày xây dựng  một cách chi tiết p

2.1.3 Định nghĩa Cho F là một trường với chuẩn ; V là một không gian véctơ trên trường

F Ánh xạ :V →  được gọi là một chuẩn trên không gian véctơ V nếu thỏa các điều +

kiện:

i) x ≥ ∀ ∈0, x V x; = ⇔ = 0 x 0

ii) ∀ ∈ ∀ ∈a F, x V ax, = a x

iii) x+ y ≤ x + y ,∀x y, ∈ V

Để chứng minh các định lý tiếp theo, trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau:

2.1.4 Bổ đề Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường (F, ) Giả sử v v1, 2, ,v n

là một cơ sở của V Ta định nghĩa max :V →  +

max là chuẩn trên không gian vectơ V là hiển nhiên

Ta chứng minh V compăc địa phương

Ta lấy x m =a v1m 1+a v2m 2+ + a v nm n∈V Ta chứng minh dãy { }x m có dãy con hội tụ theo

max

Thật vậy, ta có { }a 1m ⊂ , F_compăc địa phương với , nên có F { }a1m k → theo a1

Xét dãy { }x m k mà { }a1m k thỏa { }a1m k → theo a1

Và { }a2m có dãy con a2m → theo a2

Lập luận tương tự như trên, ta có dãy

Tiếp theo ta chứng minh định lý sau:

2.1.5 Định lý Cho (F, ) là compăc địa phương, V là không gian hữu hạn chiều trên trường (F, ) Khi đó, mọi chuẩn trên không gian véctơ trên V đều tương đương

max compăc địa phương nên theo Bổ đề 2.1.4 suy ra U compăc theo max

+ Ta chứng minh: ∀ ∈x U x, ≥ε với ε >0 nào đó

Thật vậy, giả sử ngược lạ, ta sẽ có dãy { }x i ∈U x, i → theo 0 Vì U compăc theo maxnên tồn tại dãy con { }x i j hội tụ về x U∈ theo

 khi j → ∞ nên x ≤ 0 ⇒ x = (Vô lý vì x U0 ∈ )

Vậy, ∀ ∈x U x, ≥ε với ε >0 nào đó

+ Ta chứng minh ∀ ∈x V x, max ≤ 1 x

ε

đó, mọi chuẩn trên không gian véctơ trên V đều tương đương. 

2.1.6 Hệ quả Cho (F, ) là một trường compăc địa phương, K là trường mở rộng hữu hạn của F (dim F K < +∞) Khi đó, có nhiều nhất một chuẩn trường trên K là mở rộng của

Chứng minh

Giả sử 1, 2 là hai chuẩn trường của K và là mở rộng của trên F Khi đó, vì K là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F nên 1, 2 cũng là chuẩn không gian véctơ K trên F Theo chứng minh Định lý 2.1.5 thì ∃c c1, 2 sao cho: 1 2

Điều ngược lại không đúng, sau đây là ví dụ:

Ví dụ: Cho V = p( )p với cơ sở v1=1,v2 = p ∀ =x a v1 1+a v2 2∈V , ta xét chuẩn