VỀ CÁC RADICAL TRONG PI. ĐẠI SỐ

Các kiến thức cơ bản Trong chương này, tác giả luận văn đã đưa ra hệ thống những kiến thức về: Vành, ideal trên vành, mô đun trên vành, đại số trên vành và đồng nhất thức trên đại số..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thành Nam

VỀ CÁC RADICAL TRONG PI ĐẠI SỐ

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thành kính đến Thầy PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ đã tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện luận văn này Tôi cũng xin vô cùng biết ơn các Thầy: PGS TS BÙI XUÂN HẢI, PGS.TS MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG và các Thầy cô trong khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã trực tiếp hướng dẫn tôi học tập, những người đã đưa tôi đến ngưỡng cửa của khoa học và giúp tôi hoàn thành luận văn này

Cho phép tôi được kính chúc PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS TS BÙI XUÂN HẢI, PGS.TS MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG và tất cả quý thầy cô trong Khoa Toán, Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh lời chúc sức khỏe, cùng với lòng tri ân sâu sắc nhất của tôi Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn học viên cao học khóa 16 đã tiếp sức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng thành kính biết ơn đến toàn thể mọi người trong gia đình tôi

TP Hồ Chí Minh, ngày tháng 9 năm 2008 Tác giả luận văn

NGUYỄN THÀNH NAM

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong thời gian theo học ở trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, chúng tôi được nghe giảng một số chuyên đề về lý thuyết vành của Thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Chủ đề được trình bày dựa trên nền tảng của cuốn sách: Introducton to Commutative Algebra của M.F ATIYAH và I.G.MACDONALD, cuốn sách NONCOMMUTATIVE RINGS của I.N.HERSTEIN, cuốn sách STRUCTURE OF RINGS của NATHAN JACOBSON, và cuốn sách LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.441-

PI ALGEBERAS AN INTRODUCTION của NATHAN JACOBSON

Qua tìm hiểu, tôi nhận ra được sự quan trọng của PI Đại số trong nhiều lĩnh vực của đại số nói chung và trong việc xây dựng câu trúc vành nói riêng Từ đây, tôi đã đi sâu tìm hiểu về một chủ đề nhỏ của lý thuyết vành là: Về các Radical trong PI Đại số Luận văn tập trong nghiên cứu cấu trúc của các Radical trên các trên các vành và mối liên hệ giữa chúng trên các cấu trúc đại số khác nhau

2 Mục đích

Hệ thống lại toàn bộ các khái niệm về Radical và từ những khái niệm đó chúng tôi đi nghiên cứu về mối quan hệ giữa chúng trên các đại số giao hoán và không giao hoán

3 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

Cấu trúc của các đại số giao hoán và không giao hoán Mối quan hệ giữa các Radical trên các cấu trúc đại số khác nhau

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Hình thành hệ thống lôgíc các cấu trúc về Radical và vận dụng chúng trong việc xây dựng các cấu trúc đại số

5 Nội dung của luận văn

Chương 1 Các kiến thức cơ bản

Trong chương này, tác giả luận văn đã đưa ra hệ thống những kiến thức về: Vành, ideal trên vành, mô đun trên vành, đại số trên vành và đồng nhất thức trên đại số Tất cả những kiến thức trên được đưa ra vừa đủ để làm kiến thức nền cho chương 2, 3

Chương 2 Xây dựng các loại Radical

Trong chương này, tác giả luận văn đã tiến hành xây dựng các loại radical theo các chủ đề chính sau:

- Xây dựng Radical trên vành giao hoán có đơn vị

- Xây dựng Radical Jacobson trên vành không giao hoán

- Nghiên cứu Radical Jacobson trên các vành đặc biệt khác

- Nghiên cứu về Radical trên đại số A, Có 4 loại radical: Levitzki nil

radical, Upper nil radical, lower nil radical, Jacobson radical

Chương 3 Các Radical Trong các PI- đại số

Trong chương này, tác giả luận văn đã tiến hành xây dựng mối quan hệ bao hàm giữa các loại radical trên các cấu trúc như sau: Trên đại số A, trên PI-đại số, PI- đại số phổ dụng Từ đây, tác giả đã đưa ra một số kết quả khá tổng quát về mối quan hệ bao hàm giữa các radical

Luận văn được hoàn thành trong sự cố gắng của tác giả luận văn cùng với sự giúp đỡ hết sức tận tình của thầy giáo hướng dẫn PGS.TS

BÙI TƯỜNG TRÍ Vì thời gian nghiên cứu luận văn không được nhiều nên luận văn còn có nhiều vấn đề chưa khai thác được một cách triệt để và cũng không thể tránh khỏi những sai sót Vì vậy, tôi rất chân thành ghi nhận những ý kiến đóng góp của quý thầy trong khoa toán của trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, các đồng nghiệp và tất cả mọi người

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Vành, Mođun Và Ideal

1.1.1 Định nghĩa Vành

Vành R là tập hợp  được trang bị hai phép toán hai ngôi, phép cộng và phép nhân sao cho:

i/ R cùng với phép toán cộng là nhóm Abel

 Phần tử trung hòa ký hiệu là o

 x A, tồn tại phần tử đối, ký hiệu –x

ii/ phép nhân có tính kết hợp: x(yz) = ( xy)z,x, y, z R

iii/ phép nhân phân phối đối với phép cộng:

( x +y)z = xz +yz, x(y+z) = xy + xz,x, y, z R

* Nếu R thỏa mãn thêm hai tính chất:

iv/ phép nhân có tính giao hoán:

xy = yx, x, y R

v/ Tồn tại phần tử đơn vị, ký hiệu 1: x1=1x =x,x R

Thì R được gọi làvành giao hoán có đơn vị

Trong luận văn này, nếu không nói gì thêm, các vành được xét thuộc lớp vành đơn giản nhất: Vành không giao hoán và không nhất thiết phải chứa đơn vị

1.1.2 Định nghĩa Môđun

Một R – môđun là một nhóm cộng Abel M cùng với tác động ngoài từ R vào M, tức là một ánh xạ từ MxR vào M sao cho: cặp (m,r) biến thành

mr R sao cho:

i/ m( a+b) = ma +mb

ii/ (m+n)a =ma + na

iii/ (ma)b = m(ab), với mọi m, n  M và mọi a, b R

Nếu R là vành có chứa đơn vị 1 và m1 = m thì M gọi là môđun Unitary 1.1.3 Định nghĩa môđun trung thành

Một R- môđun M được gọi là trung thành nếu: Mr = <0> kéo theo r = 0 1.1.4 Định nghĩa cái linh hóa

Cái linh hóa của R-môđun M, ký hiệu là: annR(M) = rR / Mr  0 

 Nếu M là R-môđun trung thành thì annR(M) =<0>

1.1.10 Định nghĩa môđun hoàn toàn khả quy

A là R – môđun hòan toàn khả quy nếu nó thỏa mãn một trong các mệnh đề sau:

 , với Ai là R-môđun con bất khả quy của A

c/ với Ai là R-môđun con của A là hạng tử trực tiếp của A

1.1.11 Định nghĩa đồng cấu môđun

Gọi M, N là các R- Môđun Một đồng cấu môđun trên R (hay R-đồng cấu) là ánh xạ f: M ->N thỏa mãn: i/ f(x +y) = f(x) + f(y)

ii/ f(ax) = af(x)  x, y  M, a  R

khi đó: * Aûnh của đồng cấu f là tập hợp Imf = f(M)

* Hạt nhân của đồng cấu f là tập hợp:

Kerf = f-1(  0 ) =  x  M / f ( x )  0 

1.1.12.Định nghĩa Ideal nguyên tố

Một ideal P của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu: P  R và

2/ Ideal phải của R là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó đều tựa chính quy phải

1.1.16 Định nghĩa ideal chính quy

Một ideal phải  của R được gọi là chính quy nếu tồn tại a R:

x –ax  , x R

* Phần tử chính quy của A là phần tử không có ước của không bên phải hay bên trái

1.1.17 Định nghĩa (nil radical của vành R)

Một ideal m của vành R là nil radical nếu và chỉ nếu:

* m là một nil ideal

* R/m không chứa ideal lũy linh khác không nào

1.1.18 Định nghĩa(Vành nil radical )

Vành R là vành nil (hay lũy linh) chứa ideal B sao cho B và R/B là nil( hay lũy linh) thì R là nil(hay lũy linh) và khi đó R cũng được gọi là nil radical 1.1.19 Định nghĩa tâm của R

Cho vành R, tập hợp:C = {c  R / cr = rc, r  R được gọi là tâm của vành R

1.2 Đại Số Trên Vành

Để tiện cho việc trình bày được ngắn gọn, ta quy ước:

- Vành A được hiểu là vành không giao hoán, có đơn vị

- Vành K là vành giao hoán, có đơn vị và được dùng làm vành cơ sở

- I deal không được ký hiệu là <0>

- Ideal được hiểu là ideal hai phía

1.2.1 Định nghĩa đại số A

A được gọi là đại số trên vành K giao hoán có đơn vị nếu:

- A là K – mođun

- A là vành

- với mọi k K; với mọi a, b  A : k(ab) =(ka) =a(kb)

Từ đây nếu không nói gì thêm, đại số A được hiểu là đại số có đơn vị trên vành K

1.2.2 Định nghĩa đại số đối A0

Đại số đối của đại số A là đai số:

 cũng là đại số

1.2.4 Định nghĩa đại số con

Cho đại số A và BA với 1A B B được gọi là đại số con của A nếu

B là K- đại số với phép toán cảmsinh trên A

1.2.5 Định nghĩa đồng cấu đại số

Cho A, B là k- đại số Ánh xạ f: A -> B gọi là đồng cấu đại số khi f vừa là đồng cấu vành, vừa là đồng cấu môđun

A là đại số Lúc đó các mệnh đề sau là tuơng đương:

a/ A là đại số nguyên tố

b/ với mọi a, b A ; aAb = <0> a =0 hoặc b = 0

c/ linh hóa phải của ideal phải là ideal < 0 >

d/ linh hóa trái của ideal trái là ideal < 0 >

e / với B,C là hai ideal của A và nếu B.C =< 0> thì B =< 0> hay C =<0>

1.2.8.3 Định lý

Tâm của đại số nguyên tố là miền nguyên

1.2.9 Đại số nửa nguyên tố

1.2.9.1 Định nghĩa

Một đại số gọi là nửa nguyên tố khi nó không chứa ideal lũy linh nào khác ideal < 0>

1.2.9.2 Định lý

Cho A là đại số Các mệnh đề sau là tương đương:

a/ A là đại số nửa nguyên tố

b / < 0> là ideal lũy linh duy nhất của A

c / với B, C là hai ideal khác <0> của A và BC=<0> thì BC = <0>

d / A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố

1 2.9.3 Định lý

a/ Mọi đại số nguyên tố đều là đại số nửa nguyên tố

b/ Mọi đại số không chứa nil ideal khác <0> là đại số nửa nguyên tố

Đại số nguyên thủy là đại số nguyên tố

1.2.11 Đại số nửa nguyên thủy

Tâm của đại số đơn là một trường

1.2.13 Đại số Artin

Đại số A gọi là đại số Artin nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện: a/ mỗi tập con không rỗng các ideal của A đều có phần tử tối tiểu b/ mỗi dãy giảm các ideal của A đều dừng sau một số hữu hạn bước 1.2.14 Đại số địa phương

Đại số dịa phương là đại số có một ideal tối đại duy nhất

1.2.15 Định nghĩa

Cho đại số A khi đó:

i/ A được gọi là đại số lũy linh nếu tồn tại m: Am = <0>

ii/ A được gọi là đại số lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh

iii/ Một ideal của A được gọi là lũy linh ( lũy linh địa phương, nil ideal ) nếu xem là đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh địa phương, nil đại số)

1.3 Đồng Nhất Thức Trên Đại Số

Để định nghĩa khái niệm đồng nhất thức đa thức của một đại số và một PI – đại số trước tiên ta xét đại số tự do trong một tập sinh đếm được trên vành giao hóan có đơn vị K Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi tập đếm được các phần tử x1, x2, …… Thì K X là tập sinh bởi 1,xi xi xi r

2

1 của các đơn thức phân biệt Hai đơn thức bằng nhau: xi1xi2 xi r

ji

sr

1 1

Phép nhân được định nghĩa sao cho 1 là phần tử đơn vị và

(xi1xi2 xi r )( xj1xj2 xj s ) = xi1xi2 xi r xj1xj2 xj s

Xét K X là đại số vị nhóm của X trên K K X vừa có cấu trúc môđun vừa có cấu trúc vành suy ra K X là đại số tự do với tập đếm được các phần tử sinh xi Tính chất cơ bản của K X là nếu A là đại số bất kỳ trên K và  là ánh xạ từ X đến A thì tồn tại duy nhất đồng cấu : K X -> A sao cho biểu đồ sau giao hoán:

Và nếu f  K X , f  Kx1, ,xm đạisố con sinh bởi tập hữu hạn

x1, xm với m nào đó Ta viết f = f( x1, … xm ) ảnh của đa thức này dưới đồng cấu : K X -> A biến xi thành ai ( 1 i) được ký hiệu: f(a1,

….,am), ai A

1.3.1 Định nghĩa đồng nhất thức

f = f( x1, … xm) là đồng nhất của A nếu f(a1, …, am) = 0, ai A

1.3.2 Định nghĩa đồng nhất thức sự

Đa thức f được gọi là đồng nhất thức thực sự của A nếu f là đồng nhất thức của A và tồn tại một hệ số của f không linh hóa A

* Nhận xét

Nếu f là đồng nhất thức mà trong đó có hệ số là 1 hoặc -1 thì f là đồng nhất thức thực sự

1.3.3 Định nghĩa đồng nhất thức chính quy mạnh:

Đồng nhất thức f của A đươcï gọi là đồng nhất thức chính quy mạnh nếu f 0 và các hệ số khác 0 của nó đều là các phần tử khả nghịch của K 1.3.4 Định nghĩa PI-đại số

Một đại số A trên vành giao hoán có đơn vị K được gọi là PI –đại số hay đại số với đồng nhất thức đa thức nếu tồn tại một đa thức f (a1, …, am )

 K X là đồng nhất thức thực sự đối với mọi ảnh đồng cấu khác <0> của

A

1.3.5 Định nghĩa đồng nhất thức chuẩn

Trong Kx1, ,x n đồng nhất thức chuẩn n biến là: f( x1, ……,xn)= Sn( x1,

Sg x x)

1(

* Chú ý: Tổng này có n! đơn thức Sym(n) là nhóm đối xứng bậc n

( Sym(n) = n!);  chạy khắp trong Sym(n); (-1)Sg bằng 1 hoặc -1 tùy thuộc vào là phép thế chẵn hay lẻ

1.3.6 Định nghĩa toán tử sai phân

Cho f = f( x1, … ,xm )  K X Khi đó toán tử sai phân

1.3.7 Định nghĩa đa thức tâm

Một đa thức f( x1, … ,xm) được gọi là đa thức tâm của đại số A nếu f(

x1, … ,xm ) không là đồng nhất thức của A

Và [ f( x1, … xm), xm+1] là đồng nhất thức của A

1.3.8 Định lý Kaplansy –Amitsur

Nếu A là đại số nguyên thủy thỏa mãn đồng nhất thức thực sự bậc d thì tâm C của A là trường, A đơn và [ A:C]

Đa thức chuẩn S2n là đồng nhất thức của Mn(K)

1.3.10 Định lý Kaplansky- Amitsur – Levitzky

A là đại số nguyên thủy Khi đó A thỏa mãn đồng nhất thức thực sự khi và chỉ khi A là đại số đơn và hữu hạn chiều trên tâm C của nó Nếu d là bậc nhỏ nhất của đồng nhất thức thự sự của A thì d = 2n là số chẵn và [A:C ]= n2 đồng thời A thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn Sd

Chương 2 XÂY DỰNG CÁC LOẠI RADICAL

Trong chương này, chúng tôi sẽ đi vào trình bày về việc xây dựng các loại Radical trên: Vành giao hoán có đơn vị, vành không giao hoán (không nhất thiết có đơn vị) và đồng thời cũng là trên đại số A Ở đây, khi nói đến đại số A trên vành K giao hoán có đơn vị ta có thể gọi tắt là đại số

A để tiện cho việc trình bày Mặt khác, khi nói đến Radical trên vành không giao hoán hay một đại số nào đó thì ta cũng có thể hiểu là Radical của đại số trên vành cơ sở của nó

2.1 Radical Jacobson & Nil Radical (Trên vành Giao Hoán Có Đơn Vị)

2.1.1 Định nghĩa nil radical

Nil radical của vành R (R là vành giao hoán có đơn vị) là tập hợp tất cả các phần tử lũy linh trong R, ký hiệu: Nil(R)

* Trước tiên ta chứng minh: L  N Lấy f  L f lũy linh  nN*: fn =0

p (p là ideal nguyên tố tùy ý của R) f.fn-1  p fp hay fn-1 p

+ TH 1: nếu f p thì L N

+ TH2: nếu fn-1 p thì f.fn-2 p, , cứ tiếp tục như thế sau n-1 bước ta luôn có:

fp,  p là ideal nguyên tố tùy ý của R hay f N Vậy L  N (1)

* Tiếp theo ta chứng minh: N L Lấy f N, ta cần chứng minh f lũy linh Bằng phản chứng giả sử fn 0, n N* Gọi  là tập hợp các ideal  có tính chất: n > 0, fn   Thế thì    Vì <0>  , với quan hệ bao hàm thỏa mãn Bổ đề Zorn vì 1 2   Ta đặt  = i I i



 thì 

là ideal của R Ta có fn  , nN* ( do fn j, j ) Vậy  và 

là cận trên của 1 2  Khi đó, theo Bổ đề Zorn trong  có phần tử lớn nhất q Ta cần chứng minh q là ideal nguyên tố Thật vậy, nếu x,y

q thì các ideal q+ <x>, q+ <y> thực sự chứa q, do đó q+ <x>, q+ <y>

 suy ra: h, k sao cho: fh q+ < x >,

fk q+ < y > fh+k  q+< xy >  q+< xy >    xy  q Vậy tồn tại ideal nguyên tố q mà f q f N (!) mâu thuẫn f L N L (2) Từ (1) và (2) suy ra L = N hay N là Nil radical của R

2.1.3 Bổ đề

Giả sử R làvành giao hoán có đơn vịù f = a0 +a1t + ………+antn là đa thức khả nghịch trong R[t] thì a0, khả nghịch trong R và a1, a2, …,an lũy linh trong R

Chứng minh

*Vì f khả nghịch trong R[t]  g = b0 + b1t + … bmtm R[t] sao cho f.g = 1

0 0

bac

,0c

1b

a

a0 khả nghịch trong R

* Ta cần chứng minh: a1, a2, …, an lũy linh trong R lấy p là ideal nguyên tố bất kỳ của R, gọi p[t] là tập hợp các đa thức hệ số trong p khi đó p[t] là ideal của vành R[t] và R[t]/ p[t]   R / p t[ ] vì  : R[t]  R/p t[]

Sao cho: f = a0 +a1t + ………+antn  n

n 1

0 a t a ta

f    

Khi đó:  là tòan cấu và ker=p[t] nên theo định lý Nơ te ta có:

R[t]/ p[t]  R/p t[] Nhưng R/p là miền nguyên (vì p là nguyên tố ) nên các phần tử khả nghịch duy nhất của vành đa thức là đa thức bậc 0 và khả nghịch trong R/p Do vậy, nếu f = a0 +a1t + ………+antn khả nghịch trong R[t]ảnh của nó qua đồng cấu  là những phần tử khả nghịch

ai 0 ;i1,n

ai p, p là ideal của vành R ai p (p ideal của vành R) mà N =

p (p ideal của vành R) = Nil(R) Suy ra ai lũy linh

2.1.4 Định nghĩa Radical Jacobson(trên vành giao hoán có đơn vị)

Radical Jacobson của vành A (A là vành giao hóan có đơn vị) là giao của tất cả các ideal tối đại của A ký hiệu là J(A)

 Nhận xét: i/ Từ định nghĩa về Radical Jacobson và Nil radical của vành giao hoán có đơn vị A thì ta luôn có: Nil(A)  J(A)

ii/ Trên vành giao hoán có đơn vị A, trong khi mọi ideal lũy linh đều là nil ideal thì có những nil ideal không nhất thiết lũy linh.Thật vậy:

- Lấy B = { x=(x1,… ,xj,…)A/ xj là lũy thừa của 2, j =1,2,…}

- Khi đó: dễ thấy B là nil radical của A

- Giả sử B lũy linh, khi đó tồn tại m sao cho: Bm =<0> hay (x1.x2… xm)m

=(0,….,0, ), với mọi x1,…, xm thuộc B Khi đó:

tồn tại k > m sao cho: xi = ( xi1,… ,xik,0,…0,…) và ta lần lượt lấy:

/ Giả sử x  m, với một số ideal tối đại m nào đó Khi đó m và x sinh ra ideal (1), vì vậy ta có u + xy = 1, với một số nào đó u m, và y A 1-xy

m suy ra: 1 – xy không khả nghịch trong A( mâu thuẫn với giả thiết) Vậy x m, m là ideal tối đại của A hay x J(A) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: điều phải chứng minh

i/ Cho x là phần tử lũy linh của K Khi đó 1 +x khả nghịch trong K

ii / Tổng của một phần tử khả nghich và một phần tử lũy linh là khả nghịch

 Bồ đề 2.1.6.2

Cho f =a0 + a1x +….+ anxn K[x] Khi đó: f khả nghịch trong K[x]

a0 khả nghịch trong K và a1, a2,….an là lũy linh trong K

 Bổ đề 2.1.6.3

Nil(K[x]) = {f = a0 +a1x +…+anxn K[x] / a0, …, an lũy linh trong K}

Chứng minh: (Mệnh đề 2.1.6)

*Chứng minh: J(K[x]) Nil(K[x]) Thật vậy:

Ta có:+J(K[x]) là giao của các ideal tối đại của K[x]

+Nil(K[x]) là giao của tất cả các ideal nguyên tố của K[x]

+ Mà ideal tối đại là ideal nguyên tố

Vậy: J(K[x]) Nil(K[x]) (1)

* Chứng minh: J(K[x]) Nil(K[x])

Lấy f  J(K[x]), f = a0 +a1x +…+anxn 1-fk khả nghịch trong K[x], k

K[x] Khi đó chọn k = x thì:

1-fk = 1 – (a0x +a1x2 + …+anxn+1) khả nghịch trong K[x]

 a0,…, an lũy linh trong K fNil(K[x])

Để chứng minh mệnh đề này trước tiên ta cần chứng minh bổ đề sau:

* Bổ đề II.1.7.1

i/ f khả nghịch trong K[x1, x2] hệ tử tự do khả nghịch trong K và các hệ tử còn lại lũy linh trong K

ii/ f lũy linh trong K[x1, x2]f0 khả nghịch trong K[x1] và f1,…,fn lũy linh

trong K[x1].Trong đó:f= f0 +f1x2+ …+ fnx2n, với fi K[x1], i 0 ,n và fi = 



i

m 0

j ij

b

Chứng minh:

i/ f là khả nghịch trong K[x1, x2] f0 khả nghịch trong K[x1] và f1,

…., fn lũy linh trong K[x1] b00 khả nghịch trong K, b0j lũy linh trong K,

Chứng minh: (Mệnh đề 2.1.8)

 Chứng minh: J(K[x1,x2]) Nil(K[x1,x2]) Thật vậy:

+ Nil(K[x1, x2]) giao của tất cả các ideal nguyên tố của K[x1, x2]

+ J(K[x1, x2]) là giao của tất cả các ideal tối đại của K[x1, x2]

+ Mà ideal tối đại là ideal nguyên tố

f Nil(K[x1, x2])  J(K[x1,x2]) Nil(K[x1,x2])

Vậy: J(K[x1,x2]) = Nil(K[x1,x2])

Bằng phương pháp quy nạp ta suy ra được kết quả của mệnh đề sau:

2.1.8 Mệnh đề

Trong vành các đa thức K[x1,…,xn], K là vành giao hoán có đơn vị

Ta luôn có: Nil(K[x1,…,xn]) = J(K[x1,…,xn])

2.1.9 Mệnh đề

Trong vành Artin A, với A là vành giao hoán có đơn vị

Ta luôn có: Nil(A) = J(A)

Chứng minh

Xét  là ideal nguyên tố của A thì B = A/ là miền nguyên Artinian Gọi x B, x 0 và do sự tồn tại phần tử tối tiểu trong tập hợp các ideal của

A nên ta có: < xn > = < xn+1>, với n là số nguyên duơng nào đó Do đó xn =

xn+1y, với y B Vì B là miền nguyên và x 0 nên ta có thể đơn giản xn để có được:

xy = 1 Do vậy x có phần tử nghịch đảo trong B và lúc đó B là trường Vì vậy  là ideal tối đại của A

Mà: + Nil(A) là giao của tất cả các ideal nguyên tố của A

+ J(A) là giao của tất cả các ideal tối đại của A

+ Trong trường hợp này ideal nguyên tố cũng là ideal tối đại

Vậy: J(A) = Nil(A)

Ví dụ 2: Về sự khác biệt giữa nil radical và Radical Jacobson

<x> là ideal tối đại vì x là đa thức bất khả quy trên K[[x]] ta sẽ chứng

minh <x> là ideal tối đại duy nhất Gọi g(x) ỴK[[x]], lúc đó g(x) = i i

có hệ tử tự do a0 ¹ 0, vì nếu a0 = 0 thì g(x) Ỵ<x> Mặt khác, vì a0 Ỵ K nên

$a0-1ỴK;a a0 0 -1=1 Bây giờ ta xây dựng đa thức h(x) như sau: Đặt h(x) =

Lúc đó: h(x).g(x)=1 Suy ra g(x) khả nghịch trong K[[x]] Khi đó:





 m x với m là ideal nào đó của K[[x]] g(x)m: g(x)<x> g(x) khả nghịch m  K[[x]] Vậy <x> là ideal tối đại duy nhất của K[[x]] Suy ra: K[[x]] là đại số địa phương có J(K[[x]])=<x> ¹

<0>=nil(K[[x]]) (vì K[[x]] là đại số nửa nguyên tố ) Điều này dẫn đến sự bao hàm nghiêm ngặt giữa nil radical và Radical Jacobson của một đại số nguyên tố địa phương

2.2 Radical Jacobson Của Vành Và Đại Số Không Giao Hoán:

Nhận xét: Bất kỳ vành R không giao hoán đều có thể xem là đại số trên vành số nguyên Z Tuy nhiên, khi ta gọi đại số A trên vành giao hoán có đơn vị K thì ta đã cố định vành K ( gọi là vành cơ sở) và thường được gọi tắt là đại số A Chính vì vậy, khi ta nói Radical trên một vành không giao hoán nào đó cũng có nghĩa là Radical của đại số trên vành cơ sở của nó

2.2.1 Xây dựng Radical Jacobson của vành và đại số không giao hoán: 2.2.1.1 Định nghĩa

Radical jacobson của vành R, ký hiệu J(R) hoặc Rad( R ), là tập hợp tất cả các phần tử của R linh hóa được tất cả các môđun bất khả quy trên R J( R) =  a  R / Ma  0   với M là R – mođun bất khả quy

+Nếu R không có mođun bất khả quy, đặt J(R) =R, lúc đó R được gọi là vành Radical

+Ta có annR(M) =rR / Mr  0 với mọi M là R–mođun bất khả quy Suy ra: * J(R)= ann R (M), với mọi M là R – mođun bất khả quy

* J(R) là ideal hai phía của R (vì annR(M) là ideal hai phía của R )

* Vì M được hiểu như R – mođun phải nên J(R) được gọi là Radical Jacobson phải

* Tương tự ta cũng định nghĩa cho Radical jacobson trái

* Gọi A là đại số có đơn vị trên vành giao hoán K có đơn vị Phần giao của tất cả các ideal tối đại phải (hoặc trái ) của đại số A gọi là Radical Jacobson của đại số A, ký hiệu: J(A) hay Rad(A) Hay: J(A) =

 =   ' ( , ' lần lượt là các ideal phải tối đại, ideal trái tối đại của đại số A )

Ta cũng có định nghĩa khác là: cho M là A – mođun bất khả quy, Radical Jacobson của A được định nghĩa là: J(A) = annA(M), M là A- mođun bất khả quy của A Trong đó: annA(M)=aA / aM 0gọi là cái linh hóa của A và là tập hợp các phần tử của A linh hóa toàn bộ M ( với M là A -mođun bất khả quy )

Tiếp theo chúng ta đi mô tả cấu trúc Radical jacobson của vành không

giao hoán R bằng các bổ đề và định lý:

2.2.1.2.Bổ đề

M là R- mođun bất khả quy khi và chỉ khi M đẳng cấu với R/ (vành thương) trong đó là ideal phải, tối đại, chính quy

Chứng minh:

=> / Giả sử M là R – mođun bất khả quy => MR <0>

Đặt S =uM / uR  0 , ta dễ dàng kiểm tra được S là một mođun con của

M Nếu S {0} suy ra S = M (vì M là R- mođun bất khả quy) dẫn đến

MR =<0> (!) mâu thuẫn,Vậy S =  0 Do dó: uM,u 0 thì uR <0>

mà uR là mođun con của M và M là R- mođun bất khả quy cho nên uR =

M Như vậy, với u  M cho trước và mỗi r R ta có duy nhất một phần tử

ur  M Điều này cho phép ta thiết lập một ánh xạ :R->M, định bởi công thức (r) = ur Ta dễ dàng kiểm tra được  là đồng cấu Mặt khác uR = M nên  là toàn cấu Đặt  = ker thì là ideal phải của R Ta chứng minh

là ideal phải tối đại của R Thật vậy, giả sử có  là ideal phải của R chứa thực sự  Theo địnhlý Noether tacó: Im=MR/ ( do  là toàn cấu ) suy ra / là một mođun con của R/ khác <0> Do M bất khả quy nên R/ cũng bất khả quy  / = R/  =R(!) Vậy  là ideal phải tối đại của R Từ đẳng thức uR = M  aR: ua = u  xR, uax = ux

u(x-ax) = 0 x-axker=   là ideal phải, tối đại, chính quy

<= / Ngược lại, nếu  là ideal phải, tối đại, chính quy của R khi đó, ta có: (R/)R <0> Thật vậy, giả sử (R/  )R = <0> xR, yR, (y+)x =

0 yx  Mặt khác, xR, aR: x – ax  nên cho ta ax  x Vậy:  R  = R (!) mâu thuẫn.Vậy (R/)R<0> Do  tối đại nên R/ là R – mođun bất khả quy (đpcm )

và (:R) là ideal hai phía lớn nhất của R chứa trong 

Chứng minh

 Dễ dàng kiểm tra được (: R) là ideal hai phía của R

x(:R) Rx   ax , lại do chính quy nên x-ax  Do đó: x  Vậy (: R) 

 (: R) là ideal hai phía lớn nhất nằm trong  Thật vậy, giả sử

a1 là ideal hai phía nào đó của R nằm trong Ta có: xa1

Như vậy: J(R ) = annR(M) =( :R) trong đó:`

M là R – mođun bất khả quy trên R

  chạy khắp mọi  ideal phải, tối đại, chính quy

2.2.1.4 Định lý:

J(R)=  , với là ideal phải, tối đại, chính quy

Chứng minh: Theo 2.1.3 Ta có

J(R ) = annR(M) =(:R)    ( vì: (:R) là ideal hai phía lớn nhất của R chứa trong ) J(R )    (1)

Ta cần chứng minh bao hàm ngược lại, đặt T =   xT, xét tập S =

xyy/yRvà dễ dàng kiểm tra đượcS là ideal phải chính quy củaR

Tính chính quy được suy ra từ việc lấy phần tử a = -x R

 yR, y-ay = y+xy S

Do đó sẽ tồn tại ideal phải tối đại chính quy 0 của R sao cho: S 0

Ta sẽ chứng minh S R bằng phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sử

S R lấy x T =  0 xy0và y+xy0 y0 R= 0 (!) mâu thuẫn với 0 là ideal tối đại Vậy S R

Do đó xT =  S = xyy/yRR Như vậy, xT luôn tồn tại

w R thỏa mãn: xw+ w = -x hay x+w +xw = 0 (và đây có thể xem là thuộc

tính quan trọng của T)

* Bây giờ ta chứng minh:   J ( R) bằng phương pháp phản chứng Giả sử ngược lại T =    J ( R) tồn tại R –mođun M không bị T linh hóa, tức là: MT  <0>  mM: mT <0> Ta dễ dàng thấy mT là mođun con của M, cho nên mT = M (do M bất khả quy )  t T: mt = -m lại do t T

 sR: t +s+ ts = 0 m(t +s+ ts) = 0 mt +ms +mts =0 -m +ms – ms

= 0 m = 0 (!) mâu thuẫn với mT <0> Vậy: T =    J(R ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: J (R) =   ( đpcm )

Nhận xét

Khi R là vành giao hoán có đơn vị thì J(R) là giao của tất cả các ideal tối đại của R

2.2.1.5 Định nghĩa

Phần tử aR được gọi là tựa chính quy phải nếu a’ R: a + a ’ + aa’

= 0 Phần tử a’gọi là tựa nghịch đảo phải của a

*Tương tự ta cũng định nghĩa cho phần tử tựa chính quy trái

*Lưu ý: Nếu vành R có đơn vị 1 thì phần tử a R là tựa chính quy phải 1 +a có nghịch đảo trong R Thật vậy: Nếu a tựa chính quy phải

1+a+a’+aa’ = 1(1+a)(1+a’)=11+a có nghịch đảo phải trong R

Ngược lại, nếu 1+a có nghịch đảo phải x R, tức là: (1+a)x=1

x-1+ax=0 Đặt a’ = x – 1 a’ + a(a’+1) = 0 a+a’ + aa’ = 0  a là tựa chính quy phải

2.2.1.6 Định lýù

J(R) là ideal phải, tựa chính quy phải của R

J(R ) chứa mọi ideal phải tựa chính quy phải của R

0abba

ab

0cabcb

abca

a” a+a’+a’a = 0 (2).Từ (1) và (2) suy ra a  J(R ) vừa tựa chính quy phải, vừa tựa chính quy trái

* Cuối cùng ta cần chứng minh rằng:   J(R ),   là ideal phải, tựa chính quy phải của R Thật vậy:

Giả sử  J(R) M là R – mođun bất khả quy sao cho M <0> 

m M: m  <0> Vì m là mođun con của mođun bất khả quy M nên

m=M  t  : mt = - m và t là tựa chính quy phải nên t’ R: t + t’ + tt’

 Theo định lý 2.1.6 J(R ) chứa mọi ideal phải tựa chính quy

 heo nhận xét 2.1.7 mọi nil ideal phải đều là ideal phải tựa chính quy.Vậy: Bổ đề được chứng minh

2.2.1.9 Định lý

J(R/J(R)) = <0>

Chứng minh

Vì J(R ) là ideal phải, tối đại, chính quy phải của R R/(J(R)M là R-mođun bất khả quy mọi ideal phải,tối đại, chính quy của R/(J(R) đều bằng (0)(theo cách lý luận của của bổ đề 2.1.2).Vậy: J(R/J( R)) = <0>

A với tư cách là một vành cũng chính là ideal phải, tối đại, chính quy của

A với tư cách là đại số Vậy: Jvành(A)  Jđại số (A)

2.2.1.11 Tóm Tắt Quá Trình Xây Dựng Radical Jacobson:

Tacó: J(R) = aR / Ma  0 với mọi M là R – mođun bất khả quy

* J(R)= ann R (M), với mọi M là R – mođun bất khả quy

* J(R) = :R trong đó  là ideal phải, tối đại, chính quy của R

* J(R) =  , chạy khắp các ideal phải, tối đại, chính quy của R

* J(R) là ideal phải, tối đại, chính quy phải duy nhất của R

Nhận xét

Cho A là đại số trên vành giao hoán có đơn vị K

i/ Ta thấy rằng J(A) là ideal hai phía vì là giao của tất cả các ideal hai phía (:A) ,  là ideal phải, tối đại, chính quy của R

ii/ a  J(A), vì J(A) là tựa chính quy phải nên a ’A : a + a’+aa ’ = 0(1)

Vì a, aa ’ J(A) nên a ’ J(A) Lại do a ’ J(A) nên a ’’ : a ’ +a ’’ +a ’ a ’’ = 0(2) Từ (1) và (2) suy ra: a a ’’ + a ’ a ’’ +aa ’ a ’’ = 0 và aa ’ +aa ’’ + aa ’ a ’’ = 0 aa ’ =

a ’ a ’’  a = a ’’ thay vào (2) suy ra được a là tựa chính quy trái Như vậy J(A) là tựa chính quy trái

iii/ J(A) là ideal hai phía, tựa chính quy hai phía, chứa mọi ideal phải tựa chính quy phải và chứa mọi ideal trái tựa chính quy trái của A

Hay J t (A)=J p (A) với J t (A), J p (A) lần lượt là giao của tất cả các ideal trái, tối đại, chính quy của A và ideal phải, tối đại, chính quy của R

2.2.2 Các Tính Chất Của Radical Jacobson Trên Vành Và Đại Số : 2.2.2.1 Định nghĩa vành nửa nguyên thủy:

Vành R được gọi là nửa nguyên thủy nếu J(R) = <0>

các ideal phải, tối đại, chính quy của R, khi đó:   0 , với  chạy khắp các ideal phải, tối đại, chính quy của R

Nhưng J(R) = (tất cả các ideal phải, tối đại, chính quy của R )

Bây giờ ta giả sử  la ø ideal phải, tối đại, chính quy của R đặt A=

A

AA

AA

Vì R/ là bất khả quy nên ta có A là ideal phải tối đại của A Mặt khác:

do  chính quy nên x-bx, xR, với bR và b = a +r với a A, r

Do đó: x-bx = x-(a+r)x = x-ax-rx x-ax

Trong trường hợp đặc biệt thì: xA, aA x-axAA là chính quy trong A Ta có: J(A) A,  la ø ideal phải, tối đại, chính quy của R không chứa A

Hay nói cách khác: J(A)  A=()A=J(R) A (   la ø ideal phải, tối đại, chính quy của R không chứa A.) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: J(A) = J(R) A

là ideal phải của R Lấy x = 

00

00

( vì J(A) chứa mọi nil ideal một phía của A )

Vì vậy: J(A) J(R) A

2.2.2.5 Định lý

Nếu ký hiệu Rm là vành tất cả các matrận vuông cấp mm

với các hệ tử thuộc R thì ta luôn có: J(Rm) = (J(R))m

Chứng minh

Lấy M là R – mođun bất khả quy,

Đặt M(n) = m1,m2, mn/mi M ta cần chứng minh M(n) là Rn –mođun bất khả quy Thật vậy: vì M là R- mođun bất khả quy MR<0>

 mM, rR: mr0