Vì vậy, để xác định các quan niệm và chướng ngại gắn với các đại lượng hình học, bài báo này trình bày những kết quả điều tra khoa học luận về các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích b
Trang 1Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn
Tr ần Đức Thuận 1* , Nguy ễn Chí Thành 2
1 Khoa Giáo d ục Tiểu học - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh
2 Khoa Sư phạm - Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội Ngày nhận bài: 22-02-2018; ngày nhận bài sửa: 09-4-2018; ngày duyệt đăng: 23-4-2018
TÓM TẮT
Th ực tiễn dạy học và nghiên cứu đã chỉ ra nhiều vấn đề liên quan đến các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích Một điều tra khoa học luận về các đại lượng hình học đã được thực hiện bằng cách t ổng hợp các công trình nghiên cứu khoa học luận đã có, nghiên cứu thêm về lịch sử toán học
và m ột số giáo trình hình học Bài báo đã chỉ ra phạm vi tác động, những bài toán gắn liền, những đối tượng liên quan, những cách tiếp cận các đại lượng hình học Năm chướng ngại gắn với các đại lượng hình học cũng được xác định, liên quan đến khái niệm vô hạn, đặc trưng kép hình - số, miền trong của hình, khái niệm bằng nhau, định nghĩa đại lượng.
Từ khóa: khoa học luận, đại lượng hình học, độ dài, diện tích, thể tích
ABSTRACT
An epistemological investigation of concepts of length, area, volume
Practical teaching and research have shown many issues related to the concepts of length, area, volume An epistemological investigation of geometric quantities was made by synthesizing existing epistemological studies, studying books of mathematical history and geometry The paper presents the scope of impact, problems involved, related objects and approaches to geometric quantities We also defined five obstacles associated with geometric quantities which are related to the infinite, interior domain, concept of equality, definition of geometric quantities
Keywords: epistemological, geometric quantities, length, area, volume.
1 Đặt vấn đề
Thực tiễn dạy học các đại lượng hình học đã cho thấy một số sai lầm mà học sinh tiểu học thường gặp, trong đó có thể kể đến sự nhầm lẫn giữa các đơn vị đo đại lượng hình học; vận dụng không chính xác các công thức để tính chu vi, diện tích, thể tích Việc vận dụng công thức tính thể tích vào giải quyết bài toán thực tế liên quan đến thể tích một số khối hình cụ thể cũng gây ra những khó khăn nhất định với giáo viên tiểu học tương lai (Trần Đức Thuận, 2017a), với nhiều học sinh và giáo viên tiểu học (Trần Đức Thuận, 2017b) Những vấn đề được liệt kê ở trên có thể bắt nguồn từ quan niệm của người dạy, người học đối với các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích Theo Annie Bessot, Comiti, Lê
* Email: thuantd@hcmup.edu.vn
Trang 2Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009, tr 91), “phân tích khoa học luận lịch sử” nhắm đến việc làm rõ “những quan niệm có thể gắn liền với tri thức” Vì vậy, để xác định các quan niệm và chướng ngại gắn với các đại lượng hình học, bài báo này trình bày những kết quả điều tra khoa học luận về các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích bằng cách “nghiên cứu những điều kiện cho phép nảy sinh tri thức khoa học và sự tiến triển của tri thức” thông qua một số tài liệu lịch sử Toán học và công trình nghiên cứu didactique có liên quan
2 Sơ nét về sự hình thành và tiến triển của các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích trong l ịch sử
Lịch sử phát triển của loài người có thể chia thành 4 giai đoạn: cổ đại, trung đại, cận đại và hiện đại Theo Baltar (1996, tr 17), bối cảnh lịch sử thời trung đại không tạo được
sự tiến bộ đáng kể nào cho khoa học nói chung, toán học nói riêng Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích nảy sinh và tiến triển chủ yếu ở các giai đoạn: cổ đại, cận đại và hiện đại
2.1 Độ dài, diện tích, thể tích ở thời cổ đại
Luận án của Anwandter-Cuellar (2012, tr 45 - 46) có đề cập đến việc phân biệt đại lượng và số, hình học và số học ở thời cổ đại:
Nếu số lượng là rời rạc - và vì thế có thể đếm được - đó là một số; ngược lại, nếu số lượng là liên tục - và do đó đo được - đó là một đại lượng Các số và các đại lượng tạo thành các lớp tách rời và độc lập, kết quả là các nghiên cứu tương ứng khác nhau và không thể giản lược […] Hình học nghiên cứu các đại lượng, số học nghiên cứu các số
Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích nảy sinh từ nhu cầu đo đạc, tính toán trong nông nghiệp và xây dựng Khái niệm diện tích gắn liền với 3 bài toán: tính diện tích, so sánh diện tích, cầu phương một hình (Baltar, 1996, tr 14) Khái niệm thể tích gắn liền với
3 bài toán: tính thể tích, so sánh thể tích, gấp đôi khối lập phương Các nền văn minh cổ đại ở Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, Hi Lạp… đều đạt được nhiều thành tựu đáng kể có liên quan các bài toán trên
Phân tích thành tựu toán học thời kì cổ đại, Baltar (1996, tr.16) khẳng định “ở Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, đã có một bước chuyển từ hình sang số đối với khái niệm diện tích”, nhưng người Hi Lạp có cách “tiếp cận hình học đối với khái niệm diện tích”, “bài toán diện tích được đặt trong phạm vi hình và không có bước chuyển sang số” Nhận xét này của Baltar có thể mở rộng cho các khái niệm độ dài, thể tích vì người Ai Cập, Babylon, Trung Hoa cổ đại đã tìm ra các công thức, quy tắc tính chu vi, diện tích, thể tích của nhiều hình thường gặp, được đề cập trong công trình của Katz (2009)
Người Hi Lạp cổ đại đã đạt được bước tiến xa, rực rỡ khi xây dựng hình học thành một khoa học suy diễn theo tư tưởng của phương pháp tiên đề mà bộ “Cơ bản” của Euclide
là tác phẩm kinh điển Những tiên đề Euclide đã đưa ra cho phép giải quyết nhiều bài toán
về độ dài, diện tích, thể tích, trong đó có bài toán so sánh diện tích, thể tích một số hình, cầu phương hình đa giác theo quan điểm hình học và không có số đo nào xuất hiện trong toàn bộ tác phẩm Phương pháp vét cạn của Eudoxus đã được Euclide sử dụng để chứng
Trang 3minh nhiều kết quả về diện tích, thể tích, mặc dù phương pháp vét cạn này không cung cấp cách khám phá các công thức để bắt đầu Bằng cách chứng minh A > B và B > A đưa đến các mâu thuẫn, Euclide kết luận A = B Với cách chứng minh này, Euclide đã sử dụng các hình nội tiếp (ngoại tiếp), nghĩa là các hình hình học được chứng minh về tỉ lệ diện tích (thể tích) không hoàn toàn tách biệt, mà có thể là hình này được chứa trong hình kia (Katz,
2009, tr 84-85)
Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích đã đóng góp vào sự tiến triển của toán học thời cổ đại Vấn đề đo đạc độ dài góp phần phát triển hình học, lượng giác Chẳng hạn, kiến thức về hai tam giác đồng dạng có thể sử dụng để đo bề rộng của con sông (Katz,
2009, tr 158) Độ dài, diện tích còn được sử dụng như một công cụ để giải nhiều phương trình bậc hai Trong xu hướng này, một số dương được gắn với một độ dài, một bình phương được gắn với một diện tích (Katz, 2009, tr 8) Như một số nhà toán học của giai đoạn trước, Euclide cũng dùng hình học, đặc biệt là độ dài, diện tích, thể tích và các tính chất, để tìm một số kết quả thuộc phạm vi số học và đại số dưới dạng hình học (các hằng đẳng thức đại số, các tỉ lệ thức ) Tuy nhiên, các khái niệm độ dài, diện tích đã không được định nghĩa
2.2 Độ dài, diện tích, thể tích ở thời cận đại
Những nhà toán học của thế kỉ XVII được thừa hưởng nhiều quy tắc tính diện tích, thể tích từ thời cổ đại Tuy nhiên, cách chứng minh bằng phương pháp vét cạn ít thể hiện cách thức xác định diện tích của hình được giới hạn bởi các đường cong hay thể tích của khối tròn xoay Ý tưởng rõ ràng duy nhất được truyền lại từ thời Hi Lạp là một số miền cần phải được chia thành những miền rất nhỏ mà diện tích, thể tích của chúng đã biết (Katz,
2009, tr 514)
Từ thế kỉ XVII, cơ học và thiên văn học phát triển mạnh Độ dài của các đường conic (parabol, elip, hyperbol), diện tích của các hình giới hạn bởi các đường conic, thể tích của các khối tròn xoay được đặc biệt quan tâm Nhiều thành tựu liên quan các đại lượng hình học gắn với tên tuổi của những nhà khoa học có tiếng trong lĩnh vực cơ học, thiên văn học, những lĩnh vực hiện nay thuộc chuyên ngành Vật lí học
Phương pháp tính diện tích, thể tích đáng chú ý ở thời cận đại là phương pháp vi
phân infinitesimals của Kepler (Katz, 2009, tr 514-515), phương pháp vô ước indivisible
của Galileo mà Cavalieri, Torricelli đã góp phần hoàn thiện và phát triển
Galileo sử dụng phương pháp vô ước indivisible để chứng minh thể tích của “tô súp” (giới hạn bởi mặt bán cầu và mặt trụ có cùng đáy) bằng với thể tích của hình nón có cùng đáy và chiều cao (Katz, 2009, tr 515) Trong hình minh họa, “tô súp” được Galileo tính thể tích chính là khối tròn xoay nhận được khi phần được tô màu (phần thừa của hình vuông so với một phần tư hình tròn) quay tròn quanh trục CF Điều đáng lưu ý ở đây, “tô súp” có hình dạng vật chứa và thể tích của nó được Galileo quan niệm khác biệt với thể
Trang 4tích của hình trụ có chiều cao CF và đáy là hình tròn đường kính AB, không tính khối bán cầu đường kính AB
Hình 1. Mặt cắt đứng của “tô súp” được Galileo tính thể tích
Nổi bật ở thời cận đại là việc Cavalieri, học trò của Galileo, là người đầu tiên hoàn thiện lí thuyết về phương pháp vô ước indivisible để giải quyết bài toán so sánh, tìm tỉ số diện tích, thể tích hai hình Cavalieri xem một hình phẳng được tạo thành từ nhiều đoạn thẳng song song (các indivisible của hình phẳng), một hình khối được tạo thành từ nhiều thiết diện phẳng (hình phẳng) song song (các indivisible của hình khối) Tỉ số diện tích hai hình phẳng tìm được thông qua tỉ số độ dài các indivisible Tỉ số thể tích hai khối tìm được thông qua tỉ số diện tích các indivisible Torricelli, một học trò khác của Galileo, đã trình bày nghịch lí có thể xuất hiện do lựa chọn các indivisible Giải pháp của Torricelli về cơ bản trở về phương pháp vi phân infinitesimals, cụ thể là xem xét các đoạn thẳng indivisible trên thực tế có độ dày (Katz, 2009, tr 516-517)
Phương pháp vô ước indivisible là một công cụ có giá trị để tính diện tích, thể tích,
nhưng đã gây ra nhiều cuộc tranh luận do những chướng ngại về bản chất vô hạn, phần tử
đẩy sự ra đời và phát triển của phép tính vi - tích phân Tuy nhiên, các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích vẫn chưa được định nghĩa
2.3 Độ dài, diện tích, thể tích ở thời hiện đại
Giai đoạn hiện đại, toán học đã đạt được nhiều thành tựu to lớn Phép tính tích phân trở thành công cụ hữu hiệu để giải các bài toán tính độ dài, diện tích, thể tích Bài toán gấp đôi khối lập phương, cầu phương hình tròn lần lượt được Wantzel (1837) và Lindemann (1882) chứng minh không thể thực hiện chỉ bằng thước kẻ và com-pa trong phạm vi hình học Cuối thế kỉ XIX, hàng loạt hệ tiên đề xuất hiện cho các cấu trúc toán học khác nhau Các khái niệm nhóm, trường, không gian vectơ, tập hợp các số nguyên dương, số thực đều được tiên đề hóa Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích được nhiều nhà toán học quan tâm xây dựng Trong phạm vi giới hạn của bài báo, các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích chỉ được xem xét trong phạm vi hình học Euclide Những công trình nghiên cứu đã
có chỉ ra hai cách tiếp cận sau đây:
2.3.1 Cách tiếp cận trong hình học
Cách tiếp cận trong hình học đối với các đại lượng có thể được tìm thấy trong các tác phẩm “Cơ sở hình học” của Hilbert (1899), “Geometry: Euclid and beyond” của Hartshorne (2000)
Trang 5Không gắn với các công thức đại số, chúng tôi không tìm thấy trong công trình của Hilbert (1899), Hartshorne (2000) định nghĩa độ dài đoạn thẳng, ngoại trừ nhóm các tiên
đề về tương đẳng (bằng nhau) đối với các đoạn thẳng, các góc, các hình tam giác và chứng minh quan hệ tương đẳng giữa hai đoạn thẳng được Hilbert (1899) xác lập Hartshorne (2000, tr 196) lưu ý thuật ngữ “bằng nhau” mà Euclide sử dụng tương ứng với “tương đẳng giữa các đoạn thẳng, các góc”, “cùng diện tích”, “cùng thể tích”
Các hình được sử dụng khi xây dựng khái niệm diện tích có sự khác biệt trong tác phẩm của Hilbert (1899) và Hartshorne (2000) Dù Hilbert (1899) có định nghĩa về miền trong, miền ngoài của đa giác, trong phần xây dựng khái niệm diện tích, hình đa giác được xét chỉ có các cạnh Khái niệm diện tích được Hartshorne (2000, tr 196-197) xây dựng trên những hình có cả các cạnh và miền trong của hình Cách Hartshorne giải thích các thuật ngữ “hình chóp”, “hình lăng trụ”, “hình hộp” cho thấy các đa diện này không là khối đặc, không bao gồm miền trong Hai nửa của một hình hộp tương đẳng với nhau nhưng không thể chồng lên nhau trong không gian 3 chiều (Hartshorne, 2000, tr 226-227)
Diện tích đa giác được Hilbert (1899) và Hartshorne (2000, tr 197) xây dựng từ các khái niệm đa giác đồng phân (équydécomposables), đa giác đẳng diện (đồng phân qua
Hai hình không ch ồng lấn nếu chúng không có điểm trong chung
Hai hình P và P’ là đồng phân nếu mỗi hình có thể viết dưới dạng hợp không chồng lấn của
các tam giác: P T 1 T2 T n và ' ' '
P T T T , trong đó: với mỗi i, hai tam giác T i
và '
i
T tương đẳng
Hai hình P và P’ là đẳng diện nếu tồn tại các hình Q và Q’ sao cho: P và P’ không chồng
lấn; Q và Q’ không chồng lấn; Q và Q’ là đồng phân; PQ và P' Q' là đồng phân
Quan hệ đồng phân, đẳng diện được chứng minh là những quan hệ tương đương (thỏa đồng thời các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu) trên tập hợp các đa giác Những mệnh đề về sự đồng phân, đẳng diện (đồng phân qua phần bù) của các hình bình hành, hình tam giác mà Hilbert (1899), Hartshorne (2000) đã trình bày, chứng minh cho phép thực hiện kĩ thuật tách-ghép (dissection) trong phạm vi hình học để tạo hình mới đồng phân với hình đã cho, chứng minh định lí Pythagore, so sánh diện tích hai đa giác, thiết lập công thức tính diện tích một số hình đa giác:
(1) (2) (2') (1') (2) (2')
(1) (1')
(1)
(1') (2) (2')
Hình 2 Các hình đồng phân có thể dùng để thiết lập các công thức tính diện tích
Theo Hartshorne (2000, tr 199), sự tương đương giữa khái niệm đồng phân và đẳng diện (đồng phân qua phần bù) trong mặt phẳng Hilbert bất kì thỏa mãn tiên đề song song (P) và tiên đề Archimède (A) có thể được chứng minh bằng cách sử dùng hàm độ đo diện tích với giá trị trong trường số học đoạn thẳng Tuy nhiên, để có cơ sở so sánh các nửa của
Trang 6những hình bằng nhau, so sánh toàn thể với bộ phận, so sánh các cạnh của hai hình vuông bằng nhau, Hartshorne (2000, tr 201) đã phải bổ sung tiên đề Zolt (Z):
Tiên đề Z Nếu Q là một hình nằm trong một hình P, và nếu P – Q có phần trong
khác rỗng, thì P và Q không đẳng diện
Khi xem xét lại các kết quả về thể tích trong bộ “Cơ bản” của Euclide, Hartshorne (2000, tr.227-228) nhận thấy lí thuyết về thể tích hình hộp, hình lăng trụ hoàn toàn tương
tự với lí thuyết về diện tích, chỉ là chuyển đổi ý tưởng từ mặt phẳng vào không gian 3 chiều Tuy nhiên, tình huống hoàn toàn khác đối với thể tích của hình chóp Hartshorne (2000, tr.230) cho rằng để thiết lập lí thuyết về thể tích thuần túy hình học, cần cho phép quy trình giới hạn như phương pháp vét cạn trong định nghĩa, cùng khái niệm tách-ghép (dissection), phần bù Sự cần thiết của phương pháp vét cạn là nội dung của bài toán thứ ba trong 23 bài toán của thế kỉ XX được Hilbert trình bày tại Đại hội Toán học ở Paris năm
1900 Theo Pressiat (2001, tr.292):
Bài toán thứ ba của Hilbert bao hàm chứng minh phương pháp đồng phân và đồng phân qua
phần bù không đủ để chứng minh công thức tính thể tích hình chóp trong trường hợp tổng
quát, và như vậy biện minh cho sự cần thiết sử dụng các phương pháp không cơ bản (như phương pháp vét cạn) sử dụng vô hạn, để thiết lập lí thuyết thể tích đa diện
Năm 1900, Dehn đã giải được bài toán trên Kết quả này liên quan đến một bất biến, gọi là bất biến Dehn của đa diện: “Nếu hai đa diện đồng phân, chúng có bất biến Dehn bằng nhau.” Định lí Dehn chứng tỏ chúng ta không thể xây dựng lí thuyết về thể tích dựa trên khái niệm đồng phân Việc sử dụng khái niệm đồng phân qua phần bù cũng không hiệu quả Đồng phân và đồng phân qua phần bù trên các đa diện là các tính chất tương đương đã được Sydler (1940) chứng minh cho không gian Euclide số chiều 3, Hadwiger chứng minh cho số chiều n và Zylev (1965) trình bày một cách chứng minh mới (Pressiat,
2001, tr.292-293)
Những phân tích ở trên cho thấy các đại lượng hình học có thể được tiếp cận trong phạm vi hình học Tuy nhiên, chỉ sử dụng hình học là không đủ để xây dựng những lí thuyết về các đại lượng hình học, đặc biệt là khái niệm diện tích, khái niệm thể tích của hình bất kì Hình được xem xét có bao gồm phần trong hay không bao gồm phần trong cũng không có sự thống nhất trong các tác phẩm
2.3.2 Cách tiếp cận gắn với số
Ngay trong các tác phẩm của Hilbert (1899), Hartshorne (2000), cách tiếp cận gắn với số cũng xuất hiện Với mô hình hình học giải tích, tác giả trình bày công thức xác định
độ dài đoạn thẳng AB, khoảng cách giữa hai điểm A và B, xây dựng đại số các đoạn thẳng Sau khi chứng minh tích của cạnh đáy và đường cao không phụ thuộc việc chọn cạnh đáy, Hilbert (1899) đưa ra định nghĩa:
giác , kí hiệu bởi F( )”
Trang 7Hilbert cũng chứng minh với cùng một đa giác, tổng các độ đo diện tích không phụ thuộc vào cách phân hoạch Từ đó, độ đo diện tích F(P) của một đa giác được định nghĩa bằng tổng các độ đo diện tích của các tam giác thu được từ phép phân hoạch đa giác đã cho thành hữu hạn tam giác (Hilbert, 1899, tr 42)
Tổng quát hơn, Hartshorne (2000, tr 205) định nghĩa diện tích thông qua độ đo của
hàm diện tích như sau:
Định nghĩa: Một độ đo của hàm diện tích trên mặt phẳng Hilbert là một ánh xạ từ tập hợp
P gồm tất cả các hình (đa giác) vào tập hợp G là một nhóm giao hoán, sắp thứ tự sao cho: (1) Với mọi hình tam giác T, ta có (T) > 0 trong G
(2) Nếu T và T’ là các hình tam giác tương đẳng (bằng nhau) thì (T) = (T’)
(3) Nếu hai hình P và Q không chồng lấn, thì: (PQ) = (P) + (Q)
Ta gọi (P) là diện tích của hình P, tương ứng với độ đo của hàm diện tích đã cho
Sau định nghĩa diện tích thông qua độ đo của hàm diện tích, Hartshorne (2000) chứng minh nhiều mệnh đề đáng chú ý về sự đồng phân, đẳng diện, hàm diện tích, tiên đề Zolt (Z); định lí Bolyai-Gerwein; định nghĩa diện tích hình tam giác, diện tích hình đa giác Theo đó, đối với mặt phẳng Hilbert thỏa các tiên đề song song (P) và tiên đề Archimède (A), có hàm độ đo diện tích , các phát biểu sau là tương đương:
(1) Hình P và Q đồng phân;
(2) Hình P và Q đẳng diện (đồng phân qua phần bù);
(3) Hình P và Q có cùng số đo diện tích: (P) = (Q)
Hartshorne (2000, tr 221) nhắc đến bài toán cầu phương hình tròn, định nghĩa diện tích hình tròn, đặt ra vấn đề xây dựng độ đo của hàm diện tích xác định trên tất cả các miền phẳng giới hạn bởi các đoạn thẳng hoặc các cung của đường tròn Một cách tiếp cận hiện đại là sử dụng tích phân xác định để định nghĩa diện tích
Tương tự với cách tiếp cận khái niệm diện tích từ độ đo, Hartshorne (2000, tr 226) cũng có cách tiếp cận khái niệm từ hàm thể tích v:
Giả sử chúng ta đang làm việc trên một trường F và một hàm thể tích v cho trước sao cho: mỗi khối đa diện P tương ứng với một phần tử không âm v(P) F; các hình tương đẳng có cùng thể tích; có tính chất cộng tính đối với các hợp không chồng lấn các miền trong
Như vậy, vấn đề định nghĩa độ dài, diện tích, thể tích trở thành bài toán xác định hàm
độ đo tương ứng từ tập hợp các đối tượng hình học đo được sang tập hợp số thực với các tính chất cơ bản: không âm, cộng tính, bất biến qua phép dời hình Pressiat (2001, tr 286)
có đề cập đến cách thiết lập hàm độ đo diện tích bằng cách chỉ ra quy tắc xác định giá trị
2
( ) lim
10
n
n
n
a
s F
tương ứng với hình phẳng F bị giới hạn, cầu phương được, trong đó an là
số hình vuông của lưới ô vuông Rn nằm hoàn toàn trong F Bằng cách sử dụng giới hạn, xây dựng các độ đo tương ứng, các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích sẽ được định nghĩa một cách chặt chẽ
Trang 83 K ết luận về đặc trưng khoa học luận gắn với các đại lượng hình học
Nghiên cứu về lịch sử tiến triển của các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích cho phép rút ra một số đặc trưng đáng lưu ý như sau:
3.1 Phạm vi tác động của các đại lượng hình học
Các đại lượng hình học có phạm vi tác động khá rộng, xuất hiện từ đời sống thực tiễn đến nhiều ngành khoa học như toán học, vật lí học… Ngay trong toán học, các khái niệm
độ dài, chu vi, diện tích, thể tích có thể xuất hiện trong nhiều chuyên ngành hẹp như: số học, đại số, lượng giác, giải tích, hình học tuyệt đối, hình học Euclide, hình học phi Euclide, hình học phi Archimède
3.2 Nh ững bài toán gắn liền với các đại lượng hình học
Sự ra đời và tiến triển của các đại lượng hình học gắn liền với các bài toán xác định
số đo; so sánh; dựng hình Với độ dài, đó là xác định độ dài đoạn thẳng, độ dài đường cong như đường tròn, parabol; so sánh độ dài hai đường; dựng đường có độ dài cho trước hoặc cùng độ dài với một đường khác Với diện tích, đó là xác định số đo diện tích của một hình; so sánh diện tích hai hình; dựng một hình mới, đặc biệt là hình vuông (bài toán cầu phương) cùng diện tích với hình đã cho Với thể tích, đó là xác định số đo thể tích của một hình; so sánh thể tích hai hình; dựng một hình mới với thể tích đã cho (ví dụ như bài toán gấp đôi khối lập phương)
3.3 Nh ững đối tượng có liên quan các đại lượng hình học
Các khái niệm độ dài, chu vi, diện tích, thể tích có liên quan đến nhiều tri thức toán học khác như: đoạn thẳng, đường gấp khúc, đường tròn, đường conic, đường cong, đa giác, hình đa giác, đa diện, khối đa diện, tương đẳng, đồng phân, đồng phân qua phần bù; vô hạn, giới hạn, độ đo, ánh xạ, tích phân xác định, các biểu thức lượng giác, tỉ lệ, tỉ lệ thức, các (hằng) đẳng thức, phương trình, phương pháp vét cạn, phương pháp tiên đề…
Những bài toán về độ dài, thể tích, diện tích đã thúc đẩy sự ra đời và phát triển của phép tính vi - tích phân, lí thuyết độ đo Ngược lại, sự ra đời của lí thuyết độ đo mang lại định nghĩa chặt chẽ các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích và công cụ tích phân cho phép xác định số đo độ dài, diện tích, thể tích của một hình bất kì
Các hình được sử dụng khi xây dựng các đại lượng hình học không hoàn toàn thống nhất ở những tác giả khác nhau Chẳng hạn, khi xây dựng khái niệm diện tích, Hilbert (1899) sử dụng các đa giác (chỉ gồm các cạnh, không có miền trong), nhưng Hartshorne (2000) sử dụng các hình đa giác với cả cạnh và miền trong
3.4 Nh ững cách tiếp cận các đại lượng hình học
Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích có thể được tiếp cận hoàn toàn trong hình học hoặc tiếp cận gắn với số
Các tiên đề, các khái niệm đồng phân, đồng phân qua phần bù cho phép tiếp cận trong phạm vi hình học đối với độ dài đoạn thẳng, diện tích hình đa giác, thể tích hình lăng trụ, hình hộp để giải quyết nhiều bài toán so sánh, dựng hình mà không cần sử dụng số
Trang 9Tuy nhiên, để có thể định nghĩa độ dài, diện tích, thể tích của một hình bất kì thì cách tiếp cận gắn với số thuận lợi hơn, đặc biệt là tiếp cận từ lí thuyết độ đo Việc chuyển sang
số không chỉ cho phép giải quyết các bài toán xác định số đo mà còn có thể giải quyết nhiều bài toán so sánh diện tích, dựng hình với các công cụ hỗ trợ như các quy tắc, công thức tính, phép tính tích phân… Xu hướng chuyển đổi quan niệm từ phạm vi hình học sang phạm vi số là tất yếu, phù hợp với tiến trình lịch sử
3.5 Một số chướng ngại gắn với các đại lượng hình học
3.5.1 Chướng ngại gắn với khái niệm vô hạn
Lịch sử hình thành lí thuyết độ đo nói chung, các lí thuyết về độ dài, diện tích, thể tích nói riêng, đã chỉ ra các nhà toán học đã gặp không ít những khó khăn, trở ngại liên quan đến khái niệm vô hạn Người xưa có thể tính được độ dài đường parabol, chu vi đường tròn, diện tích hình tròn, thể tích nhiều khối tròn xoay bằng phương pháp vét cạn,
phương pháp vô ước indivisible Tuy nhiên, họ chỉ có thể xây dựng được các lí thuyết về
độ dài, diện tích, thể tích trong phạm vi hình học cho những hình đa giác phẳng, những hình lăng trụ, những hình hộp mà không thể giải quyết được bài toán cầu phương hình tròn, gấp đôi khối lập phương để đưa ra lí thuyết về diện tích, thể tích cho tất cả các đối tượng hình học mà không cần chuyển sang phạm vi số, không dùng đến khái niệm vô hạn
Chưa cần đến việc định nghĩa với lí thuyết độ đo cho các đại lượng độ dài, diện tích, thể tích, ngay từ thời cổ đại, người xưa đã gắn các đối tượng hình học với các số Sự ra đời của phép tính vi tích phân, lí thuyết độ đo càng tạo môi trường thuận lợi hơn cho sự thống trị của quan niệm gắn các đại lượng với số Tuy nhiên, ứng với cùng một đại lượng, ta có thể có nhiều đối tượng hình học khác nhau Chẳng hạn như ta có diện tích hình phẳng, diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật, diện tích mặt cầu, diện tích mặt cong Ngược lại, ứng với cùng một đối tượng, ta có thể xem xét nhiều đại lượng khác nhau Chẳng hạn, với cùng một hình phẳng, ta có các đại lượng độ dài cạnh, chu vi và đại lượng diện tích; với cùng một hình khối trong không gian, ta có các đại lượng độ dài cạnh, chiều cao, diện tích và thể tích Nếu chọn khối lập phương đơn vị làm ví dụ, ta có độ dài mỗi cạnh của khối lập phương đơn vị là 1 (đơn vị đo chiều dài), diện tích mỗi mặt bên của khối lập phương đơn vị là 1 (đơn vị đo diện tích), thể tích của khối lập phương đơn vị là 1 (đơn vị đo thể tích) Như thế, đặc trưng kép hình - số bất đối xứng, bất cân bằng này gây nên sự nhầm lẫn giữa các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, nhất là khi các đại lượng hình học được tiếp cận gắn với số
Khi xây dựng các khái niệm diện tích, thể tích, những đối tượng hình học tương ứng
có thể không hoàn toàn đồng nhất theo quan điểm của những nhà toán học khác nhau Chẳng hạn, Hilbert xây dựng khái niệm diện tích gắn với các đa giác (chỉ có các cạnh, không có miền trong), Hartshorne xây dựng khái niệm diện tích gắn với các hình đa giác (có cả các cạnh và miền trong) Với khái niệm thể tích, hình đa diện có thể được quan niệm
Trang 10chỉ có các mặt bên (thậm chí chỉ có các cạnh) mà không có miền trong, hoặc có thể được quan niệm gồm cả các mặt bên và miền trong Những quan niệm khác nhau về hình do tính hoặc không tính miền trong của hình cũng có thể trở thành một chướng ngại gắn với các đại lượng hình học
Trong tác phẩm “Cơ bản” của Euclide, thuật ngữ “bằng nhau” tương ứng với sự bằng nhau về độ dài, diện tích hoặc thể tích (cực số) Hai hình bằng nhau về hình dạng và kính thước, chỉ sai khác nhau một phép dời hình (cực hình) gọi là hai hình “tương đẳng” Tuy nhiên, ngày nay “hai hình bằng nhau” thường được hiểu là “hai hình tương đẳng” hơn là
“hai hình có cùng diện tích” Hai nghĩa của thuật ngữ “bằng nhau” không đồng nhất, bởi vì hai hình tương đẳng thì chắc chắn có cùng diện tích, nhưng hai hình có cùng diện tích thì chỉ đẳng hợp, đẳng hợp qua phần bù mà không chắc tương đẳng với nhau Trong không gian, hai hình có cùng thể tích không chắc tương đẳng với nhau, thậm chí không đồng phân với nhau nếu không cùng đặc số Dehn
Ngoài ra, như Hartshorne đã đề cập, đối với các hình khối trong không gian, chẳng hạn như hai nửa của cùng một hình hộp, cách đặt chồng lên nhau để kiểm tra sự bằng nhau của hai hình khối là không khả thi Trong khi đó, các mô hình đoạn thẳng, đường, hình phẳng có thể thực hiện dời hình, đặt chồng lên nhau để kiểm tra sự bằng nhau của chúng Cách hiểu không đồng nhất đối với thuật ngữ “hai hình bằng nhau”, sự hạn chế về kĩ thuật kiểm tra “hai hình bằng nhau” trong không gian có thể trở thành chướng ngại đối với việc dạy học khái niệm diện tích, thể tích
Khi nghiên cứu khoa học luận đối với các đại lượng, Chambris (2008) và Anwandter-Cuellar (2012), nhận thấy các đại lượng có đặc trưng phức tạp, thiếu chặt chẽ,
mơ hồ, việc định nghĩa đại lượng trong dạy học là một nhiệm vụ khó khăn Thậm chí, vào cuối thế kỉ XIX, các đại lượng biến mất khỏi toán học, tham gia lĩnh vực vật lí học Sự biến mất của các đại lượng hình học trong toán học và sự vắng mặt của các lí thuyết chính thức về đại lượng khiến khái niệm đại lượng và các chức năng của nó trong toán học vẫn còn bị lẫn lộn Theo Chambris (2008, tr 126):
Định nghĩa về đại lượng không cố định Không có định nghĩa toán học chuẩn (hay phổ biến) cho “đại lượng” như một định nghĩa cho “không gian vectơ” Các tiên đề được giữ lại để xác định “đại lượng”, ngay cả các tính chất thu được, có thể thay đổi từ một định nghĩa này sang định nghĩa khác
Kết quả nghiên cứu của Anwandter-Cuellar và Chambris cho thấy định nghĩa đại lượng nói chung, đại lượng hình học nói riêng, là chướng ngại trong dạy học