Về các ứng dụng của hàm số số học luận văn tốt nghiệp đại học

Bộ giáo dục và đào tạoTrờng đại học Vinh ---đặng thùy Linh Về các ứng dụng Của hàm số số học Khoá luận Cử nhân khoa học ngành s phạm toán học Vinh 2011... Tính toán với các hàm số học

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học Vinh

-đặng thùy Linh

Về các ứng dụng Của hàm số số học

Khoá luận Cử nhân khoa học

ngành s phạm toán học

Vinh 2011

mục lục

Trang

Chơng 1 Một vài Hàm số số học và ứng dụng

3

1.1 Hàm phần nguyên ………. 3

1.2 Hàm nhân ……… 11

1.3 Một số tính chất của các hàm ớc………. 13

1.4 Hàm số số học Euler và ứng dụng 15

1.5 Tính toán với các hàm số học trên phần mềm MAPLE 20

Chơng 2 Hàm mobius và luật thuận nghịch 26 2.1 Định nghĩa hàm Mobius và Luật thuận nghịch………. 25

2.2 Công thức đảo ngợc về tổng……… 31

Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35

Mở đầu

Ngày nay, trong thời đại công nghệ thông tin, nhiều thành tựu mới nhất của Số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống nh kinh tế, xã hội, thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính Trong Số học, các hàm số số học có vai trò rất quan

trọng Nói khác đi, hàm số số học không chỉ là đối tợng mà còn là công cụ nghiêncứu có hiệu quả của Toán - Tin học.

Với những lý do trên, khóa luận tìm hiểu về các hàm số số học và ứng dụng.Sau khi khảo sát một số hàm số số học, khóa luận sẽ đa ra một vài phép toán trên tậphợp các hàm số số học và xét các cấu trúc đại số trên tập hợp đó Khóa luận cũngthực hiện một số tính toán với các hàm số số học trên phầm mềm Maple, nhằm tìmhiểu thêm các ứng dụng của các hàm số số học trong Số học thuật toán

Cấu trúc của khoá luận này gồm hai chơng:

Chơng 1 Một vài hàm số số học và ứng dụng

Chơng 2 Hàm Mobius và luật thuận nghịch

Nội dung chính của khóa luận gồm:

● Giới thiệu luật thuận nghịch hay công thức đảo ngợc Dedekind – Liouvilleliên hệ với hàm Mobius

● Từ luật thuận nghịch gợi ý đa ra đợc một phép toán * trên tập hợp các hàm

số số học và với cách xác định phép toán nh vậy ta thu đợc kết quả sau:

(a) Tập hợp các hàm số học với phép toán +, phép toán * lập thành một

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán– Trờng Đại học Vinh đã dạy bảo chúng em trong 4 năm học tập vừa qua, dới máitrờng Đại học Vinh thân yêu

Tác giả chân thành cảm ơn tập thể các bạn sinh viên lớp 48A Khoa Toán đã

động viên, giúp đỡ tôi trong học tập và tu dỡng

Mặc dù đã hết sức cố gắng, khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót Tácgiả kính mong nhận đợc sự chỉ bảo của quý thầy cô và những góp ý của các bạn

Vinh, ngày 15 tháng 04 năm 2011

Sinh viên

Đặng Thuỳ Linh

Chơng 1 Một vài Hàm số học và ứng dụng

1.1 Hàm phần nguyên

1.1.1 Định nghĩa Hàm phần nguyên xác định với mọi số thực x, biểu thị số nguyên

lớn nhất không vợt quá x, ký hiệu bởi [x] Nh vậy, phần nguyên của x là số nguyênthoả mãn [x] ≤ x < [x] +1 Hiệu x - [x] = { x} gọi là phần phân của x

1.1.2 Định lý Phần nguyên của số thực x có các tính chất sau:

(2) Theo định nghĩa, ta có: [xi] ≤ xi < [xi] + 1, i = 1, 2, , n Cộng tất cả cácbất đẳng thức , vế theo vế, ta có:

các số d, 2d, , nd với nd≤ x <(n+1)d vậy, n ≤   d x <n+1 Từ định nghĩa phần

 +x2+1 Ta có điều phải chứng minh ■

1.1.3 Hệ quả (1) [x + y] ≥ [x] + [y], ∀x,y ∈ R; dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ

khi 0≤ {x}+{y} < 1.

(2) NÕu n lµ sè tù nhiªn th× n[x] ≤ [nx]

Chøng minh (1) V× [x] ≤ x vµ [y] ≤ y cho nªn [x] + [y] ≤ x+y

2 2006

k k

k k

Giải: Đồ thị hàm số y = x 3 - 3 cắt đồ thị y=[ ]x tại nhiều nhất là một điểm Vậy

ph-ơng trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm Dễ dàng kiểm tra 1 < x < 2, hay [ ]x =1 Vậy x3 – 1 = 3 hay x= 3 4 ■

1.1.4 Định nghĩa Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho miền phẳng D Điểm có toạ độ

(x1,y1) với x1,y1∈Z và thuộc D đợc gọi là điểm nguyên thuộc D.

1.1.5 Định lý Cho hàm số f(x) ≥ 0 xác định, liên tục trên đoạn [ a, b] và miền

Ký hiệu , p q∈Â là số nhỏ nhất và lớn nhất sao cho a ≤ p ≤ q ≤ b Khi đó số các

điểm nguyên nằm trong D là Τ thoả mãn

Chứng minh Các điểm nguyên (x,y) phải có hoành độ x nguyên Vậy, các điểm

khi x = i thì 0 ≤ y ≤f(i) Vì vậy, số các điểm nguyên nằm trong D có hoành độ x = i

là [ f i( )] +1 Tóm lại, số điểm nguyên thuộc D đúng bằng

Từ đó ta thu đợc bất đẳng thức cần chứng minh ■

Bất đẳng thức này cho ta xác định đợc cận trên của số điểm nguyên trong mộtmiền phẳng Chẳng hạn, trong miền phẳng

2 2

, 0,

x r x r D

1.1.6 Một số bài toán ứng dụng hàm phần nguyên

Bài toán 1 Tìm số nghiệm nguyên dơng của phơng trình

x + + =L x m; ,m x i∈Ơ+,i =1, ,n

Bài toán 2 Cho k, m, n là những số nguyên dơng Tính số nghiệm nguyên dơng của

phơng trình x1 + + + =x2 L x n s là Nn(s) Khi đó, số nghiệm nguyên dơng của

1 1

n m

n i i i

n i i i

Bài toán 4 Cho 2006 hình chữ nhật với độ dài các cạnh là những số nguyên a, b

mà 100≥ a ≥ b ≥ 1 Hình chữ nhật với độ dài các cạnh (a,b) đợc gọi là chứa đợc

Bài toán 5 Cho dãy số nguyên tố bất kỳ p 1 = 2, p 2≥ 3, pn+1 p– n ≥ 2, n ≥ 1 Đặt

Ta có dãy bất đẳng thức

1 2

với (1) Nếu x ≥ 5 thì x - 2 ≥ 3 và

S n = 2 +p 2 +…+p n < 1+ 3 +…+(2k-1) = k 2 Điều này mâu thuẫn với (1).

Vậy không có x thỏa mãn dãy bất đẳng thức Ta có điều phải chứng minh ■

1.1.7 Định lý (Về sự phân tích chuẩn tắc của n!) Cho số nguyên dơng n>1 Phân

tích tiêu chuẩn của n! là

ở đó UCLN (p, q1) = 1 Dễ kiểm tra đợc rằng 2

n p

1.2.2 Định nghĩa (a) Hàm số học f đợc gọi là hàm có tính chất nhân (hàm nhân)

f (ab) = f (a)f (b).

tính chất nhân mạnh (hàm nhân mạnh).

(c) Hàm số học k đợc gọi là hàm cộng nếu mọi số nguyên dơng a, b nguyên tố

Ví dụ Các hàm số học xác định nh sau đều là hàm nhân:

n α1 α2 α

2 1

2

1 f p f p k k

p f n

d-ơng a,b thoả mãn UCLN (a,b) = 1 thì (fg)(ab) = f(ab)g(ab) = f(a)f(b)g(a)g(b) = (fg) (a)(fg)(b) Ta có điều phải chứng minh ■

1.2.4 Định lý (Công thức tổng trải) Nếu số nguyên dơng n có sự phân tích chuẩn

j

s

j i j i

s

f p pλ λ pλ

Chøng minh Ta sÏ chØ ra r»ng, nÕu , m n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng nguyªn tè cïng nhau

1.3.1 §Þnh nghÜa: Cho sè nguyªn d¬ng n

a) ( )τ n lµ hµm sè biÓu thÞ sè c¸c íc nguyªn d¬ng cña n Ký hiÖu

d n

n

nhiªn cña n Ký hiÖu: ( )

là 1, p, p2, …, pk Vậy, số các ớc của p k là k + 1 hay τ (p k) = +k 1

1.3.4 Mệnh đề Với mọi n ta có bất đẳng thức sau: ( ) 2τ n < n

Chứng minh Nếu a là ớc của n thì n

làm 2 tập hợp con s1 ={a n a/ , ≤ n} , s2 ={b n b/ , ≤ n} Với mỗi phần tử b∈ S2 tơng

n

b

ràng, số phần tử của S1 bé hơn hay bằng n hay τ ( ) 2n ≤ n ■

1.3.6 Mệnh đề a) n là số nguyên tố khi và chỉ khi σ(n) = n +1.

b) σ(n) là số lẻ nếu và chỉ nếu n là số chính phơng hoặc 2n là số chính phơng.

Chứng minh a) Nếu n là số nguyên tố thì hiển nhiên σ(n) = n + 1 Ngợc lại, nếu σ(n)

= n + 1 thì n là số nguyên tố Thật vậy, giả sử n là hợp số thì n sẽ có ít nhất 3 ớc là 1,

1.3.7 Định lý Số nguyên dơng n là hợp số khi và chỉ khi σ ( )n > +n n.

Chứng minh i) Giả sử σ ( )n > +n n. Vì σ (1) 1 = nên n> 1 Ta cần chứng minh n là

( )n n 1 n n,

σ = + < + ∀n> 1,

Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức trên

ii) Giả sử n là hợp số Ta cần chứng minh σ ( )n > +n n. Vì n là hợp số nên n=ab,với 1 <a,b<n, a, b nguyên dơng Suy ra a≤ n hoặc b≤ n Giả sử a≤ n Khi đó

n

b≥ Vậy: σ( )n =∑d n d ≥ + + > + ≥ +1 b n n b n n.

Định lý đợc chứng minh ■

1.4 Hàm số số học Euler và ứng dụng

Cho n là số tự nhiên khác không Trong các hàm số số học, hàm số Euler (Phi

-hàm Ơle) đợc định nghĩa sau đây, có vai trò rất quan trọng

1.4.1 Định nghĩa Hàm số Euler ϕ(n) là hàm số số học có giá trị tại n bằng số các

số tự nhiên khác 0, không vợt quá n và nguyên tố cùng nhau với n:

1

1 )(

1.4.2 Định nghĩa Hệ thặng d đầy đủ modn là một tập hợp gồm n số nguyên đôi

Hệ thặng d thu gọn modn là một tập hợp gồm ϕ(n) số nguyên đôi một không

1.4.3 Định lý Giả sử a là số nguyên sao cho a và n nguyên tố cùng nhau Khi

đó, nếu r1 ,r2 , ,rϕ(n) là một hệ thặng d thu gọn modn thì ar1 ,ar2 , ,arϕ(n) cũng

là hệ thặng d thu gọn modn.

Chứng minh Với 1 ≤i≠j≤n, giả sử ar i ≡ar j (mod n),thế thì từ giả thiết a và n nguyên

tố cùng nhau ta suy ra r i ≡r j (mod n) Điều này trái với giả thiết r1 ,r2 , ,rϕ(n) là hệthặng d thu gọn Nh vậy, mỗi số nguyên của hệ ar1 ,ar2 , ,arϕ(n)đôi một không

đồng d với nhau theo modn Ngoài ra, cũng từ giả thiết a và n nguyên tố cùng nhau tasuy ra (ar i,n) = (r i,n) = 1 Vì vậy, hệ ar1 ,ar2 , ,arϕ(n) cũng là hệ thặng d thu gọnmodn Định lý đợc chứng minh 

1.4.4 Định lý Euler Nếu a là số nguyên, nguyên tố cùng nhau với n, thì

) (mod 1 )

Chứng minh Giả sử r1 ,r2 , ,rϕ(n) là một hệ thặng d thu gọn modn Theo định lý1.4.3 hệ ar1 ,ar2 , ,arϕ(n) cũng là hệ thặng d thu gọn modn Vì mỗi thặng d của hệnày đồng d với một và chỉ một thặng d của hệ kia theo modn, cho nên ta có:

).

(mod

( ) 1 2 ( )

2 1 )

1.4.6 Bổ đề Cho m,n là hai số nguyên dơng, nguyên tố cùng nhau Khi đó, mỗi

hàng trong bảng số sau đây là một hệ thặng d đầy đủ modn:

.

3 2

2 2 2 2

1 ) 1 (

1 2 1 1

mn m

m m

r m n r m r m r

m n m

m

m n m

m

+

− +

+

+

− +

+

+

− +

+

Chứng minh Ta xét hàng thứ rtổng quát Với 0 ≤x,y≤n− 1, giả sử

)

(mod n r

ym r

Do đó, mỗi hàng của bảng số trên gồm n số nguyên phân biệt đôi một không đồng dvới nhau theo modn, hay mỗi hàng là một hệ thặng d đầy đủ modn 

1.4.7 Định lý Hàm Euler ϕ(n) là hàm có tính chất nhân, nghĩa là với m,n là hai

số nguyên dơng nguyên tố cùng nhau, ta có: ϕ (mn) = ϕ (m) ϕ (n).

Chứng minh Ta sắp xếp tất cả các số nguyên dơng không vợt quá tích mn thành bảng

số nh trên Giả sử rlà số nguyên dơng không vợt quá m và (m,r) =d > 1 Khi đó,

)

(mn

nguyên tố cùng nhau với m Ngoài ra, theo bổ đề 1.4.6, các số trong hàng này lập

mn Có cả thảy ϕ(m) hàng nh vậy Vì vậy, trong bảng số trên có ϕ (m) ϕ (n) số

).

( ) ( ) (mn ϕ m ϕ n

ϕ

Chứng minh Theo định nghĩa hàm Euler ϕ(n), ta có

.1111

)(

1 1),

1 1),

1 1), (

k

k k k k

k p p p



,p≤s≤p k−1

)

n α1 α2  α

2 1

= là dạng phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên n, Khi đó, ta có công thức

)

1 1 ( )

1 1 )(

1 1 ( ) (

2

p n

/

n d

n

trong đó tổng đợc lấy theo mọi ớc của n.

Chứng minh Thật vậy, nếu n = 1, thì công thức đúng Nếu n > 1, thì nó có dạng phân

k

p p p

n α1 α2  α

2 1

1.4.11 ứ ng dụng Các tính chất của hàm Euler đợc sử dụng để tính đồng d của

dơng rất lớn Giả sử có

k

k

p p p

k α1 α2  α

2 1

Khi đó, theo định lý Euler ta có

).

(mod 1

Ta xét một ví dụ bằng số: Tính 21000000 mod 77 Ta có: 77 = 11.7, và có

10 ) 11

230 ≡

Mặt khác, 1000000 = 30 33333 + 10, do đó 21000000 ≡ 210 ≡ 23 (mod 77 ).

1.5 Tính toán với các hàm số số học trên phần mềm Maple

1.5.1 Hàm Euler và các ứng dụng liên quan

Hàm Euler của số tự nhiên n đợc tính bằng lệnh

{> phi(n);

Ví dụ: [ > phi(123456);

41088

[> invphi (a);

Ví dụ: [> invphi (41088) ;

[51365, 54655, 55705, 82184, 82304, 87488, 89128, …,154260,154320,179970]

Tuy nhiên đây là một công việc tính toán vô cùng phức tạp, cho nên ngay cả

thời gian có thể chờ đợi đợc Ngoài ra, lu ý rằng phi - hàm không phải là ánh xạ toàn

ánh cho nên không phải giá trị nào của a thì hàm invphi ( ) cũng cho kết quả

Xét ví dụ đơn giản sau: [invphi(123);

[ ]

Ta biết rằng khi a và n là các số nguyên tố cùng nhau thì định lý Euler cho

nh sau:

ớc chúng lớn nhất của chúng:

[> gcd(a,n) ;

NÕu chóng kh«ng nguyªn tè cïng nhau (kÕt qu¶ lÖnh trªn kh¸c 1) th× ta kÕt luËn

ta thấy nó không phải là số hoàn hảo Để thấy đợc khả năng tính toán của Maple, taxét một ví dụ không tầm thờng, với n = 2305843008139952128 Khi ấy ta có:

[> is (sigma ( 2305843008139952128 ) = 2*2305843008139952121);

và nh vậy n = 2305843008139952128 là một số hoàn hảo

1.5.3 Số Mersenne và số nguyên tố Mersenne

Khi k là số nguyên tố ta dùng hàm M ersenne (k) kiểm tra xem số Mersenne thứ k có

không phải là số nguyên tố Mersenne, ngợc lại hàm trả lại giá trị bằng số Mersenne thứ k, tức là 2 1 k − Ví dụ:

[> k := 7 ;

k:=7[> mersenne(k) ;

127

Nh vậy số Mersenne thứ 7 là số nguyên tố và bằng 127 Tơng tự, ta dễ dàng kiểm tra

đợc rằng trong 50 số Mersenene đầu tiên thì chỉ có các số thứ 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31 là những số nguyên tố (còn lại đều là hợp số) Càng về sau chúng phân bố càng tha thớt,cho nên việc tìm đợc một số nguyên tố Mersenne rất khó khăn Thí dụ:

1.5.4 Bậc của một số và căn nguyên thuỷ

n

[> order (18,30) ;

FAIL

[> order ( 171717, 23232323) ;

2040Thật vậy, kiểm tra lại ta thấy:

[> 171717&^2040 mod 23232323 ;

1

Căn nguyên thuỷ modulo m là những số có bậc đúng bằng φ( )m , cho nên

[> is (order (a,m) =phi(m) ;

Nh vậy 123 là căn nguyên thuỷ modulo 1114111 thì không phải Ta biết rằng

tử không đồng d với nhau Nh vậy số lợng các căn nguyên thuỷ modulo 1114111( không đông d với nhau) đợc tính bằng lệnh

[> phi (phi (1114111) ;

297072Phần tử đầu tiên trong tập các căn nguyên thuỷ modulo m đợc tính bằng lệnh[> primroot (m) ;

Nếu không tồn tại căn nguyên thuỷ modulo m thì kết quả sẽ báo FAIL, còn

ng-ợc lại thì sẽ cho kết quả cần tìm Ví dụ:

[> primroot (a,m) (11111111) ;

FAIL

[> primroot (11111117) ;

2Phần tử đầu tiên lớn hơn số a trong tập các căn nguyên thuỷ modulo m đợc tính bằnglệnh

[> primroot (a,m) ;

Ví dụ:

[> primroot (23,11111117);

27

Chơng 2 Hàm mobius và luật thuận nghịch

Phần này của khóa luận sẽ trình bày định lý của Gauss có tên gọi “Luật thuậnnghịch bậc 2”, một công cụ hiệu quả để giải các phơng trình đồng d bậc 2 Đây làmột định lý mà nhiều nhà toán học lớn nh Euler, Lagrange đã quan tâm sâu sắc Vì

định lý này là một trong những định lý quan trọng của lý thuyết số nên Gauss đãquay lại nghiên cứu nó trong nhiều quảng thời gian của cuộc đời ông và Gauss đã đa

ra ít nhất là 6 phép chứng minh khác nhau (xem [9])

2.1 Định nghĩa hàm Mobius, luật thuận nghịch

d’ Trong vế phải của đẳng thức trên chỉ có một số hạng khác 0, cụ thể là số hạng

2.1.5 Hệ quả Cho n∈N, n>1, có sự phân tích chính tắc 1 2

1 2 s

s

n= p pα α pα khi đó ta có các đẳng thức sau:

1 1 1 1 1 1

2.1.8 Định lý Với mỗi số nguyên dơng n, ta ký hiệu δ (n) cho tổng các bình phơng

nghịch đảo các ớc dơng của n Khi đó, δ là một hàm nhân Nếu n có sự phân tích

p n

Chøng minh: Ta chøng minh b»ng quy n¹p to¸n häc NÕu m = 1 hoÆc n = 1, kÕt qu¶

lµ hiÓn nhiªn Gi¶ sö c¸c sè tù nhiªn m, n > 1 cã sù ph©n tÝch chuÈn t¾c

s i i

Theo định lý 2.2.1, với f (j ) = F j , g (n) = F 2n - 1, ta nhận đợc

2 1

1 1

n

j

n j n

j

n m

j n

1

n j

n

j j

n

a j

+

=

  + +− + =  ữ∑  + −

1 1

n

j

n j n

j

n m

j n

Với cách xác định nh vậy ta thu đợc

2.2.4 Định lý (a) Tập các hàm số học và phép toán +, phép toán ∗ lập thành một vành giao hoán có đơn vị.

(b) Tập các hàm nhân hoặc hàm 0 với phép toán +, phép toán ∗ lập thành một miền nguyên.

Chứng minh (a) Xét T là tập tất cả các hàm số học xác định trên N Hiển nhiên

ra T cùng phép toán + lập thành một nhóm giao hoán và

(f + ∗g) h n( ) = f h n* ( ) + ∗g h n( )

Vậy T cùng hai phép toán (*, +) lập thành một vành giao hoán có đơn vị

1 2 1 2 ' ' ' '

1 2

, ,

d d =m d d =n Điều này chứng tỏ f g∗ là hàm nhân khi ,f g là hàm

nhân Vậy S cùng hai phép toán (*, +) lập thành một vành giao hoán có đơn vị e

ớc của 0 hay S là miền nguyên ■

Kết luận

Nội dung chính của khóa luận này gồm:

● Giới thiệu một số tính chất của các hàm số số học: Hàm phần nguyên; hàmEuler; các hàm ớc

● Sử dụng công cụ các hàm nguyên để giải các bài toán tìm số điểm nguyên;giải một số phơng trình nghiệm nguyên; tìm dạng phân tích chuẩn tắc của n!

● Thực hành một số tính toán với các hàm số số học trên phần mềm Maple:Tính toán với Phi - hàm Euler, hàm sigma, số hoàn chỉnh, số Mersenne, số nguyên tốMersen

● Giới thiệu luật thuận nghịch hay công thức đảo ngợc Dedekind – Liouvilleliên hệ với hàm Mobius

● Xây dựng đợc cấu trúc đại số vành trên tập hợp các hàm số số học và cấutrúc miền nguyên trên tập hợp các hàm nhân (cùng với hàm đồng nhất 0), bằng cách

định nghĩa một phép toán nhân * phù hợp

Luận văn có thể tiếp tục tìm hiểu những ứng dụng sâu sắc hơn của các hàm số

số học trong Toán học và Tin học với việc sử dụng các phần mềm hỗ trợ:MATHEMATICA, MAPLE, MACAULAY