chuyên đề góc hình học không gian lớp 11 chuyen de goc

Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau Cách 1: a,b=a’,b’ trong đó a’, b’ là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b.. Hình chiếu vuông góc của

Chuyên đề 1: Các dạng toán về góc 1.1 Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng

1.1.1 Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau

Cách 1: (a,b)=(a’,b’) trong đó a’, b’ là hai đường thẳng cắt

nhau và lần lượt song song với a và b Tức là, chọn ra hai

đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b

a

a' b'

b O

Cách 2: (a,b)=(a,b’) trong đó b’ là đường thẳng cắt đường

thẳng a và song song với b Tức là chọn trên a (hoặc b) một

điểm A rồi từ đó chọn một đường thẳng qua A và song song

với b (hoặc a)

a b'

b O

1.1.2.Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA  a 3, SA  BC Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC?

90

BC AD

SAD

SA BC





Do đó, ( SD BC , )  ( SD AD , )  SDA

Xét tam giác vSAD vuông tại A ta có:

0

AD

C B

S

Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600

Đáp án: C

Ví dụ 2: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2 a , đáy ABC là tam

giác vuông tại A, AB  a AC ,  a 3 Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?

a) 1

1 4

c) 0

d) 3 2

Giải: Gọi H là trung điểm của BC

Ta có:

'/ / '

' '/ /

AA BB

AA B C

B C BD

BB BD







Hay,

cos( AA B C ', ' ')  cos( BB BD ', )  cos HBB '

Xét tam giác A’B’H có 0

A  A B  a,

2

2

BC

A H  AA  AH  AA     a

HB  A H  A B  a

Do đó,

HBB

BH BB

cos( ', ' ') cos '

4

Đáp án: B

Ví dụ 3: (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA= a , SB =

a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN

a) 2

5

d) 5 5

I

H

C'

B' C

B A

A'

Giải:

3

SA SB a  a  AB nên

ABC vuông tại S, suy ra

2

AB

SM  a

Do đó SAMđều

Kẻ ME//DN ( E AD ) suy ra

2

a

AE

Ta có ABCD  SAB mà EAAB nên

E M

D A

S

N

 

EA SAB suy ra EASA Suy ra 2 2 5

5

a

SE SA AE  , 2 2 5

5

a

SE MA AE 

Suy ra AME cân tại E nên SMESM ME,   SM DN, , và cos 2 5

5 5 2

a SME

a

Đáp án: D

1.1.3.Bài tập:

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=BC=BD=a và DC= a 2 Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D có AB là đáy lớn,

biết AD=DC= a , BC= a 2 , SA=2 3

3

a . Tính góc giữa SB và DC

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , biết SAABCD, SA= 3

a . Tính góc giữa SD và BC

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và DC

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SADSAB900 , SA=a 2

Tính góc giữa SC và AD

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SABC , SA=a 3 Tính góc giữa

SD và BC

1.2 Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1.2.1.Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

a Định nghĩa: Cho đường thẳng a cắt mặt phẳng

(P) tại O và a không vuông góc với mặt phẳng (P)

Khi đó góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là

góc tạo bởi a và hình chiếu a ’ của a trên (P)

b Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng a

và mặt phẳng (P)

+ Tìm I  a ( )P

+ Tìm A thuộc a kẻ AH vuông góc với (P)

+ ( , ( ))a P  AIH

a' a

P

I H A

1.2.2.Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  a 2, SA  ( ABCD ) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)?

Giải: Ta có SA  ( ABCD ), SC cắt (ABCD) tại C

=> AC là hình chiều của SC trên (ABCD)

=> SC ABCD,  SC AC, SCA

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC  a 2

Xét tam giác SAC vuông tại A

2

2

SA a

SCA

AC a

45

SCA 

C

S

B A

D

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450

Đáp án: A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA  ( ABC ) M là trung điểm của BC Góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính độ dài đoạn SA

a) 3

2

2

a

c) 3 2

a

d) 3 4

a

Giải: Ta có SA  ( ABC ), SM cắt (ABCD) tại M

=> AM là hình chiều của SM trên (ABC)

SM ABCD  SM AM SMA

Ta có ABC là tam giác đều cạnh a nên 3

2

AM  a

Xét tam giác SAM vuông tại A

tan SMA SA

AM

 =>

0

a

M

S

B

Đáp án: C

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a Cạnh bên tạo với đáy góc bằng

600 Tính độ dài đoạn SA

a) 6

3

4

2

2

a

Giải: Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, nên SO

vuông góc với đáy

=> AO là hình chiều của SA trên (ABCD)

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC  a 2

=>

2 2

AO  a

Xét tam giác SAO vuông tại A

cos SAO AO

SA

 =>

0

6

SA=

cos

2

AO

a

O B

C S

Đáp án: A

1.2.3.Bài tập:

Câu 1: (Đại học-2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA

vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450 Tính độ dài SA

d) 2 2

a

Câu 2: (Khối D-2014) Cho hình lăng trụ ABC.AB’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Điểm M

là hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC Biết góc giữa A’C với mặt đáy bằng 60 Tính độ dài đoạn A’M

a) a

b) 3 4

2

4

a

Câu 3: Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , biết

SA ABCD , SA= 2

3

a . Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D AB=AD= a ,

BC=a 2 Cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc giữa SC và đáy là 450 Tính độ dài đoạn SA

c) 10 2

Câu 5: Cho hình hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a SA vuông

góc với mặt đáy Góc giữa SB và đáy là 450 Tính độ dài SD

c) 9

2

Câu 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Đỉnh A’

cách đều các đỉnh A, B, C Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính độ dài đường cao của lăng trụ

a)

2

a

b) 4

d) 3 12

a

Câu 7: Cho hình hình chóp S.ABC có tam giác SAB là tam giác đều cạnh a, tam giác ABC cân

tại C Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt (ABC) là trung điểm của AB Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 300.Tính độ dài SC

a)

2

a

b) 3 2

4

1.3 Dạng 3: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

1.3.1.Phương pháp xác định góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

a Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa

hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt

phẳng đó Nếu hai mặt phẳng đó song song hoặc

trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó bằng

00

b Phương pháp xác định góc giữa mặt phẳng (P)

và mặt phẳng (Q)

+ Tìm d  ( ) P    Q

+ Từ A thuộc d kẻ a vuông góc với d trong (P),

kẻ b vuông góc với d trong (Q)

+ (( ), P   Q )    a b ,

b

a A

Q

P

1.3.2.Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông là

2

a , SA vuông góc với đáy, SA=a Gọi I là trung điểm của BC Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

Giải:

Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

2 2

BC  AC AB  a  a  a => AI a

Ta có tam giác SAB vuông tại A, nên ta có:

SB SA AB  a  a a

Tương tự ta có: SCa 3

=> Tam giác SBC cân tại S => SI BC

=> Tam giác ABC cân tại A => AI BC

I

B S

   

 

   

;

SBC ABC BC

AI ABC AI BC ABC SBC AI SI

SI SBC SI BC









=> AI SI, SIA

Ta có: tanSIA SA a 1

   => SIA450

=>>      0

Đáp án: B

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 5

2

a Gọi O là tâm của ABCD Tính góc giữa mặt bên (ABC) và mặt đáy (ABCD)

Giải: Gọi I là trung điểm của AB

S.ABCD là hình chóp đều nên SO vuông góc với đáy ABCD

Ta có OI AB SOI AB

SO AB



=>  SAB , ABCD SI OI, SIO

Ta có:

2

a

OI  Tam giác SOA vuông tại O có:

;

=>

       

I

D

S

A

B C

O

3 2

2

a SO

SIO

a OI

   => SIO600

Đáp án: C

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a Gọi O là

tâm của ABCD, M là trung điểm của SB Tính góc giữa mặt bên (AMC) và mặt đáy (ABCD)

Giải:

Ta có ABCD là hình vuông nên ACBD

S.ABCD là hình chóp đều nên SOABCDSO AC

 

AC SBD

 MAC , (ABCD) OM OB,  MOB

Xét tam giác SBO có 90 ;0 ; 2

2

2

      

 

SOB

 vuông cân tại O => OM là trung tuyến cũng là phân

giác =>MOB450     0

Đáp án: B

M

D

A

B

C

S

O

1.3.3.Bài tập:

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B BC3a, ACa 10 Cạnh bên

 

a) a 3 b)

3

a

c) 3 2

3

a

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, ABa, ADa 5 Cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc giữa SBD với mặt đáy bằng  0

60 Tính độ dài SA

a) a 5

b) 5 2

2

2

a

Câu 3: Cho tứ diện ABCD Tam giác BCD vuông tại D có BC=2a, BD=a Hình chiếu vuông

góc của A lên mặt (BCD) là trung điểm E của BC Góc giữa mặt (ACD) và (BCD) là 60 Tính 0

độ dài đoạn AB

a) a 7

b) 7 2

2

2 3

a

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SB=SC=BC=a ,

SA=3

4

a

Tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a 3 Góc BAC1200 Cạnh bên SC vuông với đáy Góc giữa mặt phẳng (SAB) và đáy bằng 450 Tính độ dài đường cao SC

2

2

Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, đáy AB2a và góc

0

30

ABC Mặt phẳng (C’AB) tạo với đáy góc 0

60 Tính độ dài cạnh bên của lăng trụ

4

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Góc BAC600, hình chiếu của S trên (ABCD) trùng với trọng tâm ABC Mặt phẳng (SAC) hợp đáy góc 600 Tính độ dài đường cao của hình chóp

a) a 3

b) 3 2

2