Các tiếp tuyến tại K và H của đờng tròn A, AP vuông góc với BC cắt các đờng tròn B, BM và C, CN theo thứ tự tại D, E.. Chứng minh rằng: a MD = ME b Mỗi điểm F thuộc đờng tròn M, ME không
Trang 1sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn đội tuyển chính thức
dự thi học sinh giỏi quốc gia
đề chính thức Môn : Toán - vòng 1
Câu 1 ( 2,5 điểm ) : Giải phơng trình:
= +
2
x x log 3)
(x xlog x
2
Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn:
+
− +
=
=
9 10 1) P(x P(x)
2005 P(1996)
2
Câu 3 ( 2,5 điểm ) : Cho hàm số đơn điệu f :N∗ →N∗ thoả mãn:
( ) [mf n ]=n f(m) ; ∀m,n∈N∗
Chứng minh rằng, với mọi số nguyên tố a thì f(a) là số nguyên tố hoặc là
bình phơng của một số nguyên tố
Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Tính tổng k số hạng đầu tiên của dãy (xn) cho bởi công thức truy hồi sau:
1 1)x 2(2n
x x
; 3
2 x
n
n 1
n
+ +
=
Họ và tên:
Số BD:
Trang 2sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn đội tuyển chính thức
dự thi học sinh giỏi quốc gia
đề chính thức Môn : Toán - vòng 2
Câu 1 ( 2,5 điểm ) : Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn đồng thời các
điều kiện:
i) f(x) ≥ ex ; ∀ x ∈ R
ii) f(x + y) ≥ f(x)f(y) ; ∀ x, y ∈ R
Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Giải hệ phơng trình:
= +
+ +
=
− + + +
36
97 y
x
x
1 x 6
13 y
x 6
13 x
1 y
2 2
Câu 3 ( 2,5 điểm ) : Với
∈
2
π
; 0
α , xét dãy số (un) có số hạng tổng quát:
n cos α cosα sin α sinα
Tìm nlim un
∞ +
Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Cho tam giác ABC có đờng tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh
BC, CA, AB theo thứ tự tại M, N, P sao cho AP≤BM≤CN Các tiếp tuyến tại K
và H của đờng tròn (A, AP) vuông góc với BC cắt các đờng tròn (B, BM) và (C, CN) theo thứ tự tại D, E
Chứng minh rằng:
a) MD = ME
b) Mỗi điểm F thuộc đờng tròn (M, ME) không thẳng hàng với M, N đều có tính chất: Đờng tròn đi qua N, H, F tiếp xúc với MF tại F
Lu ý: Ký hiệu đờng tròn (A, AP) nghĩa là đờng tròn tâm A, bán kính AP
Họ và tên:
Số BD: