Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng Câu hỏi 1: Trong mặt phẳng, hai đ ờng thẳng có bao nhiêu vị trí t ơng đối?. Nêu các vị trí t ơng đối đó?. Trả lời Trong mặt phẳng, hai đ ờng thẳng c
Trang 1chùm đ ờng thẳng (Tiết ppct 9)
1 Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng
Câu hỏi 1: Trong mặt phẳng, hai đ ờng thẳng có bao nhiêu vị trí t ơng đối? Nêu các
vị trí t ơng đối đó?
Trả lời
Trong mặt phẳng, hai đ ờng thẳng có 3 vị trí t ơng đối, đó là:
1) Hai đ ờng thẳng cắt nhau
2) Hai đ ờng thẳng song song
3) Hai đ ờng thẳng trùng nhau
Câu hỏi 2: Với mỗi vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng, nêu số điểm chung
của chúng?
Hai đ ờng thẳng không có điểm chung
Hai đ ờng thẳng có một điểm chung
Hai đ ờng thẳng có vô số điểm chung
1
∆
2
∆
1
∆
1
∆ I
1
∆ và cắt nhau∆2
{ } I
=
∆
∩
1
∆ // ∆2
=
∆
∩
2
1 ≡ ∆
∆ 2
∆
Trang 2: 0 ( 2 0) (1)
1
2 1 1
1 1
∆ A x B y C A B
I 0
y
y
x
1
∆
2
∆
1 2 2 1 2 2
1
1 A B A B B
A
B A
; 1 2 2 1 2 2
1
1 B C B C C
B
C B
0
≠
D
) 2 ( ) 0 (
0
2
2 2 2
2 2
∆ A x B y C A B
Trả lời:
Nghiệm của hệ ph ơng trình
nếu có, là toạ độ giao điểm của và
= +
+
= +
+
) 2 ( 0
) 1 ( 0
2 2
2
1 1
1
C y B x A
C y B x A
; 1 2 2 1 2
2
1
1 C A C A A
C
A C
Suy ra:
D
D y
D
D
x = x = y
Khi đó toạ độ giao điểm là
⇔
∆
∆1 // 2
)
2 D = 0, D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0
Toạ độ giao điểm của hai đ ờng thẳng
đ ợc xác định nh thế nào?
2
1, ∆
∆
)
; ( x0 y0
?
Cách giải:
Nhận xét: Số nghiệm của hệ hai ph ơng trình (1) và (2) là số giao
điểm của hai đ ờng thẳng ∆1, ∆2.
Trang 3Chú ý:
1) Trong tr ờng hợp , ta cóA2 ≠ 0 , B2 ≠ 0 , C2 ≠ 0
; //
2
1 2
1 2
1 2
1
C
C B
B A
A
≠
=
⇔
∆
∆
.
2
1 2
1 2
1 2
1
C
C B
B A
A
=
=
⇔
∆
≡
∆
2
1 , ∆
2
1 2
1
B
B A
A
≠
⇔
cắt nhau
2) Nguyên tắc chung để xác định vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng là:
- Thiết lập hệ ph ơng trình tạo bởi các ph ơng trình của hai đ ờng thẳng
- Khi đó:
* Hệ có nghiệm duy nhất thì hai đ ờng thẳng cắt nhau
* Hệ vô nghiệm thì hai đ ờng thẳng song song
* Hệ có vô số nghiệm thì hai đ ờng thẳng trùng nhau
3) Có thể dựa vào các vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ ph ơng của hai
đ ờng thẳng để xét vị trí t ơng đối giữa chúng
Trang 42 Chùm đ ờng thẳng
a) Định nghĩa:
Tập hợp các đ ờng thẳng của mặt phẳng cùng đi
qua một điểm I gọi là một chùm đ ờng thẳng
Điểm I gọi là tâm của chùm.
b) Một chùm đ ờng thẳng xác định khi nào?
1) Biết tâm của chùm
2) Hoặc biết hai đ ờng thẳng phân biệt của chùm
b) Một chùm đ ờng thẳng xác định khi
I
.
a) Xác định toạ độ tâm I của chùm đ ờng thẳng
Ví dụ : Cho chùm đ ờng thẳng xác định bởi hai đ ờng thẳng và lần
l ợt có ph ơng trình là x + y − 1 = 0 , 2 x − y − 5 = 0 ∆1 ∆2
b) Tìm m để đ ờng thẳng d: thuộc chùm đ ờng thẳng trên mx + 2y + m2 −1= 0
Giải
a) Toạ độ tâm I là nghiệm của hệ ph ơng trình
=
−
−
=
−
+
0 5 2
0 1
y x
y x
−
=
=
⇔
1
2
y
x
Vậy I( 2; -1)
b) d thuộc chùm đ ờng thẳng trên ⇔ I(2;−1) ∈ d ⇔ m 2 + 2 ( − 1 ) + m2 − 1 = 0
0 3 2
2 + − =
⇔ m m ⇔ m m == 1−3
1
∆
2
∆
Trang 5Xét chùm đ ờng thẳng xác định bởi hai đ ờng thẳng x = 0 và y = 0
Câu hỏi:
a) Xác định tâm của chùm đ ờng thẳng?
b) Mỗi đ ờng thẳng thuộc chùm khi và chỉ khi ph ơng trình
(tổng quát) của nó có dạng nh thế nào?
O(0 ; 0)
Ax + By = 0 (với A, B không đồng thời bằng 0)
Vậy: Mỗi đ ờng thẳng thuộc chùm đ ờng thẳng xác định bởi hai đ ờng
thẳng x = 0 và y = 0 khi và chỉ khi ph ơng trình của nó có dạng
Ax + By = 0
( với A, B không đồng thời bằng 0)
x
y
O
Vậy mỗi đ ờng thẳng thuộc chùm khi và chỉ khi ph ơng trình của nó có
dạng nh thế nào?
Tổng quát: Giả sử hai đ ờng thẳng phân biệt của chùm có ph ơng trình:
0
1 1
1x+ B y +C =
A và A2x + B2y +C2 = 0
Trang 6) 0 (
0 ) (
)
2 2
2 1
1
1 + + + à + + = λ + à ≠
Ph ơng trình (*) gọi là ph ơng trình của chùm đ ờng thẳng đó
x
y
O
2
∆
1
∆
d
Lúc đó mỗi đ ờng thẳng thuộc chùm khi và chỉ khi ph ơng
trình của nó có dạng
Giả sử hai đ ờng thẳng phân biệt của một chùm có ph ơng trình:
0
1 1
1x +B y +C =
A và A2x + B2y +C2 = 0
3 áp dụng
Bài toán 2:
Viết ph ơng trình đ ờng thẳng đi qua giao điểm của hai đ ờng thẳng đã cho và
thoả mãn điều kiện cho tr ớc…, mà không cần tìm toạ độ giao điểm đó
Các b ớc giải:
B ớc 1: Thiết lập ph ơng đ ờng thẳng d ới dạng (*)
B ớc 2: Sử dụng điều kiện cho tr ớc thiết lập ph ơng
trình giữa và λ à
B ớc 3: Tìm và , suy ra kết quả bài toán.λ à
I
0
x
0
y
Trang 7Ph ơng trình của chùm đ ờng thẳng:
(*).
) 0 (
0 ) (
)
2 2
2 1
1
λ A x B y C A x B y C
Các b ớc áp dụng:
B ớc 1: Thiết lập ph ơng đ ờng thẳng d ới dạng (*)
B ớc 2: Sử dụng điều kiện cho tr ớc thiết lập ph ơng
trình giữa và λ à
B ớc 3: Tìm và , suy ra kết quả bài toán.λ à
Ví dụ :
Viết ph ơng trình đ ờng thẳng đi qua giao điểm của hai đ ờng thẳng
2x – 3y + 15 =0 , x - 12y + 3 = 0 và đồng thời đi qua điểm ( 2; 0)
Giải:
Ph ơng trình đ ờng thẳng có dạng λ ( 2x− 3y+ 15 ) + à (x− 12y+ 3 ) = 0 ( λ 2 + à 2 ≠ 0 )
0 3
15 0 ).
12 3
( 2 ).
2 ( λ + à − λ + à + λ + à =
0 3
15 )
12 3
( ) 2
( λ + à x − λ + à y + λ + à =
hay
Vì đ ờng thẳng đi qua điểm (2; 0) nên
0 5
Suy ra ph ơng trình đ ờng thẳng là -9x + 213y + 18 = 0
19
5 ⇒ = −
λ
Chọn
3x – 71y - 6 = 0 hay
Trang 8Qua bài học các em cần nắm đ ợc những vấn đề gì?
1) Biết xét vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng, tìm toạ độ giao điểm của hai đ ờng thẳng; 2) Nắm đ ợc khái niệm chùm đ ờng thẳng và ph ơng trình chùm đ ờng thẳng;
3) Biết áp dụng ph ơng trình chùm đ ờng thẳng vào giải một số bài toán
H ớng dẫn về nhà
1) Học bài cũ, làm bài tập SGK (trang 16);
3) Nghiên cứu chứng minh định lí về ph ơng trình chùm đ ờng thẳng;
2) Tham khảo ví dụ trong SGK (trang 15);
4) Tìm thêm ph ơng pháp xét vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng; các bài toán về áp dụng ph
ơng trình chùm đ ờng thẳng
Trang 9
“Trong ph ơng trình của chùm đ ờng thẳng
vì và không đồng thời bằng không nên không mất tính tổng quát, ta giả sử
Khi đó ph ơng trình (*) đ ợc viết d ới dạng:
đặt , ta đ ợc:
Vì vậy khi viết ph ơng trình của một đ ờng thẳng thuộc chùm ta nên sử dụng
ph ơng trình (**) thay vì sử dụng ph ơng trình (*).”
(*).
) 0 (
0 ) (
)
2 2
2 1
1
λ A x B y C A x B y C
0 )
1 1
1x+ B y +C + A x+ B y +C =
A
λ à
λ
à
=
m
( ) ( )* * 0
)
1 1
à
Có một cuốn sách viết nh sau:
Theo em nội dung cuốn sách viết nh thế đúng hay sai ? giải thích? lấy ví dụ minh hoạ?