Bài giảng giải tích 12

Hàm số không có cực trị... Hàm số không có cực trị hoặc có 2 cực trị... Giải pt f’x = k tìm các nghiệm là toạ độ tiếp điểm... Đồ thị lõm U lồi... 2 Giải toán dùng đồ thị để biện luận số

TIẾT 32 – 33 - 34

1) Tập xác định : D = R

2) Tính đạo hàm y’ = 3ax 2 + 2bx + c

y’ = 0 ⇔ 3ax 2 + 2bx + c = 0 ⇒ tìm x 1 ; x 2 (nếu có)

3) Tính đạo hàm y’’ = 6ax + 2b

y’’ = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔ x = -b/3a

Xét dấu y’’ x - ∞ -b/3a + ∞

y’’ trái a 0 cùng a

Đồ thị ‘’ U ‘’

5) Lập bảng biến thiên : (Xảy ra 1 trong 4 trường hợp)

Trường hợp y’ = 0 có 2 nghiệm :

6) Đồ thị : ( Một trong 4 dạng ) :

Tập xác định : D = R

y’ = 3x 2 + 6x

y’ = 0 ⇔ 3x(x + 2) = 0 ⇔ x 1 = 0 ; x 2 = - 2

y’’ = 6x + 6 ; y’’ = 0 ⇔ x = - 1

Xét dấu y’’

x - ∞ -1 + ∞

y’’ - 0 +

Đồ thị lồi U lõm Bảng biến thiên : x - ∞ - 2 - 1 0 + ∞

y’ + 0 - - 0 +

y 0 + ∞

- ∞ -4

Giải :

∞ +

=

−∞

=

+∞

→

−∞

lim

.

x x

Ví dụ 1 :

Ví dụ 1 : Khảo sát hàm số : y = x 3 + 3x 2 – 4

y

-4

- 2

Tập xác định : D = R

y’ = - 3x 2 + 6x – 4

y’ < 0 vì ∆’ = - 3 < 0

y’’ = - 6x + 6 ; y’’ = 0 ⇔ x = 1

Xét dấu y’’

x - ∞ 1 + ∞

y’’ + 0

Đồ thị lõm U lồi Bảng biến thiên : x - ∞ 1 + ∞

y’ - -

y + ∞

- ∞

Giải :

∞

−

= +∞

=

+∞

→

−∞

lim

.

x x

Ví dụ 2 :

Ví dụ 2 : Khảo sát hàm số : y = - x 3 + 3x 2 – 4x + 2

1

Sơ đồ khảo sát hàm số : y = ax4 + bx2 + c

1) Tập xác định : D = R

2) Tính đạo hàm y’ = 4ax 3 + 2bx

y’ = 0 ⇔ 4ax 3 + 2bx = 0 ⇒ tìm x 1 = 0 ; x 2;3 =

Xét dấu y’’ x - ∞ + ∞

y’’ cùng a 0 trái a 0 cùng a

5) Lập bảng biến thiên : (Xảy ra 1 trong 4 trường hợp)

Trường hợp y’ = 0 có 3 nghiệm :

6) Đồ thị : ( Một trong 4 dạng ) :

∞+

Ví dụ 3 :

Ví dụ 3 : Khảo sát hàm số : y = x 4 – 2x 2 + 2

3 /

1 13/9

Ví dụ 4 :

Ví dụ 4 : Khảo sát hàm số :

Xét dấu y’’

4 x

Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập 1 còn lại s.g.k.trang 103

y +∞ -3/2 +∞ -37/18 -37/18

-5/2 -5/2

Tập thể lớp 12

Kính chào !

Và thầy Khánh !

BÀI 11 : BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM

ĐA THỨC

1) KIỂM LẠI : Các bước khảo sát các hàm số :

36 35

Đồ thị : lõm U lồi

Bảng biến thiên :

x - ∞ 1/3 + ∞

y’ - -

y + ∞

- ∞

∞ − = +∞ = +∞ → −∞ → y ; lim y lim x x * Đồ thị : Tìm điểm cắt trục toạ độ : x 0

y -1 0

0 x y 1/3 -34/27 - 1

Tập xác định : D = R

y’ = 6x 2 - 6x

y’ = 0 ⇔ 6x(x – 1) = 0 ⇔ x 1 = 0 ; x 2 = 1

y’’ = 12x – 6 ; y’’ = 0 ⇔ x = 1/2

Bảng biến thiên :

x - ∞ 0 ½ 1 + ∞

y’ + 0 - - 0 +

y 1 + ∞

- ∞ 0

Giải : ∞ + = ∞ − = +∞ → −∞ → y ; lim y lim x x b) : b) : Khảo sát hàm số : y = 2x 3 – 3x 2 + 1 Xét dấu y’’ x - ∞ ½ + ∞

y’’ - 0 +

Đồ thị lồi U lõm

1/2 1/2

b) :

b) : Khảo sát hàm số : y = 2x 2 – x 4

Xét dấu y’’

x - ∞ - √ 1/3 √ 1/3 + ∞

y’’ 0 + 0

Đồ thị lồi U lõm U lồi

5/9

2

3 / 1

−

Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập 1 còn lại s.g.k.trang 103

x

Dẫn đến lập bảng biến thiên :

x −∞ - √ 2 - √ 2/3 0 √ 2/3 √ 2 + ∞ y’ + 0 - 0 + 0 -

y + ∞ 0 + ∞

2/9 2/9

-1 -1

Tập thể lớp 12

Kính chào !

Và thầy Khánh !

d cx

b

ax y

b a

c

d x

3) Tính giới hạn :

đứng cận

tiệm

là c

+ ∞

- ∞

a/c

6) Đồ thị : ( Một trong 2 dạng ) :

* Chú ý :

Đồ thị cắt trục tung A(0 ; b/d) ; trục hoành B(-b/a;0) Giao I (-d/c ; a/c) : là tâm đối xứng của đồ thị.

Hàm số không có cực trị

Hàm số luôn đồng biến (y’ > 0) hoặc luôn nghịch biến (y’ < 0)

Công thức đổi hệ trục toạ độ : Oxy → IXY

y

X x

d I

y

; x

I I I

(Thay vào hàm số y(x) để có Y(X) chứng minh là hàm lẻ dẫn đến I(x I ;y I ) là tâm đối xứng của đồ thị)

Ví dụ 1 : Khảo sát hàm số :

1 2x

2

x y

x 2

1 2

2 1

−

=

TXĐ : D = R / { -1/2}

0 '

y <

⇒ ⇒ y ↓ / D

∞ +

= +

; 1

x 2

2

x lim

.

2

1 x

2

1 x

Vậy tiệm cận đứng là : x = - ½

2

1 1

x 2

2

x lim

Bảng biến thiên :

Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng :

1 y

X 2

1 x

Tâm I ( - ½ ; - ½ )

1

X 2

1 2

2

X 2

1 Y

−

có 1

x 2

2

x y

: vô

Cm Y = 5/4X là hàm lẻ :

Dùng công thức đổi trục :

X 4

5 X

4

5 X

b' x

a'

c bx

Sơ đồ khảo sát hàm số :

1) Tập xác định : D = R/{-b’/a’}

2) Tính đạo hàm y’ :

(a.a’ ≠ 0)

2

b' x

a'

b' a'

c

b 2x

b' 0

c

a x

a' 0

b a

'a

'b x

3) Tính giới hạn :

đứng cận

tiệm

là '

mx y

.

+

+ +

tiệm là

n mx

⇒

4) Bảng biến thiên : ( 1 trong 4 dạng sau  )

y’ = 0 có 2 nghiệm

y +∞

5) Đồ thị : ( Một trong 4 dạng ) :

a.a’< 0 a.a’> 0

* Chú ý :

Đồ thị cắt trục tung A(0 ; c/b’) ; trục hoành (Chưa biết)

Giao 2 tiệm cận I : là tâm đối xứng của đồ thị.

Hàm số không có cực trị hoặc có 2 cực trị

Công thức đổi hệ trục toạ độ : Oxy → IXY

y

X x

x

I

I ( I I ) = − − 2+ 

' a

' na m

'

b

; ' a

'

b I

y

; x I

(Thay vào hàm số y(x) để có Y(X) chứng minh là hàm lẻ dẫn đến I(x I ;y I ) là tâm đối xứng của đồ thị)

Ví dụ 2 : Khảo sát hàm số :

1 x

6 3x

1 1

6

3 x

2

1 0

6

1 x

1 0

3 1

− +

4 2

x 1

x

6 x

3

x y

3 x

; 1 x

0 3

x 2 x

0 '

y

01

x

4lim

3

3

-1

-5

Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng :

y

X 1

1 3 X

1 Y

− +

+ +

−

+

= +

−

có 1

x

6 x

3

x y

: vô

Cm Y = X + (4/X) là hàm lẻ :

Dùng công thức đổi trục :

X

4 X

X

4 X

X Y

Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập 2 s.g.k.trang 103

Tập thể lớp 12

Kính chào !

Và thầy Khánh !

BÀI 11 : BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC

1) KIỂM LẠI : Các bước khảo sát các hàm số :

41 40

x 2

3 2

1 4

' y

+

= +

=

−

=+

+

∞+

=+

4lim

;3

x2

1x

4lim

2

3 x

2

3 x

Vậy tiệm cận đứng là : x = - 3/2

2 3

x 2

1 x

4 lim

x O

-3/2

2 1/3

b) : Khảo sát hàm số :

16

0 x

2

0 0

16

1 x

1 0

0 1

x

16

x y

; 4 x

0 16

x 0

' y

0x

16lim

⇒

∞

→

c) : Khảo sát hàm số :

1 - x

8 2x

1 1

8

2 x

2

1 0

8

1 x

1 0

2 1

−

− +

9 1

x 1

x

8 x

2

x y

10 x

'

y

>

01

x

9lim

y ↑

⇒

Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập 2 còn lại s.g.k.trang 103

Kính chào tạm biệt!

Làm bài tại lớp :

Khảo sát hàm số :

x 2

19 8

Tập thể lớp 12

Kính chào !

Và thầy Khánh !

: dụ Ví

3 x

y

Vẽ đồ thị của y = (x 2 – 6x + 3)/(x + 2) và y = x – m trên cùng hệ trục toạ độ

-10-2 √ 19

y = x

a)Nhìn vào đồ thị thì m = 8 đường y = x – 8 là tiệm

cận xiên ( nên không cắt đồ thị (C))

m

x2

x

3x

6

x2

−

=+

3m

2x

m8

Biện luận :

* m = 8 ⇒ hệ vô nghiệm (0.x = 2.8 + 3 = 19) :

* m ≠ 8 ⇒ hệ có nghiệm :

m8

3m

2x

8

3m

Ví dụ 2 : a) Vẽ đồ thị y = x 3 + 3x 2 – 2

b) Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình :

y = x 3 + 3x 2 – 2

Biện luận : y

x

O 2

-2 -2

y = m > 2

Biện luận : y

x

O 2

-2 -2

*) m > 2 ⇒ pt có 1 nghiệm đơn

y = m < - 2

*) m < - 2 ⇒ pt có 1 nghiệm đơn

Biện luận : y

x

O 2

Biện luận : y

x

O 2

-2 -2

* Củng cố cách vẽ đồ thị :

y = x 3 + 3x 2 – 2 và y = m trên cùng 1 hệ trục toạ độ

y

xO

y = 2

y = - 2 -2 < m < 2

m < - 2

m > 2

Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến :

a) Viết pttt tại M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈ (C) : y = f(x)

y – y 0 = y’ x0 (x – x 0 )

b) Viết pttt với (C) đi qua M 1 (x 1 ; y 1 ) ∉ (C) :

Lập pt đt đi qua M 1 có hệ số góc k :

0

0

x'fk

yx

xkx

'f

xgx

gy

Cx

fy

Ví dụ :

Viết pttt với (C) : y = (2 – x 2 ) 2 đi qua điểm A(0 ; 4)

* Pt đt đi qua A có hệ số góc k : (d) : y – 4 = k ( x – 0 )

hệ có nghiệm :

−

0

3 0

0

2 0

4

0

x8x

4k

4kx

4x

4x

3

3

2 x

9

3

16 k

3

3

2 x

0 k

0 x

0 0

3

16 y

4

x 9

3

16 y

4 y

c) Viết pttt với (C) có hệ số góc k :

Giải pt f’(x) = k tìm các nghiệm là toạ độ tiếp điểm Viết pttt : (d) : y – y 1 = k (x – x 1 )

(d) vuông góc với 4y = x + 1 ⇒ hệ số góc (d) : k = - 4

Ví dụ : Viết pttt với (C) y = – x 3 + 3x 2 – 4x + 2

và vuông góc với đt : 4y = x + 12

Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập : 3,4,5 trang 104 s.g.k.

Kính chào

hẹn ngày

tái ngộ !

Kính chào ! Thầy !

Thầy

BÀI TẬP LIÊN QUAN KHẢO SÁT

1) KIỂM LẠI : Lý thuyết : Biện luận ; viết pttt

43 Tiết

2) Bài tập số 3 trang 104

a) Khảo sát hàm số : y = − x 3 + 3x + 1 (1)

b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) , biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m : x 3 − 3x + m = 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song đường thẳng : y = − 9x + 1.

Đồ thị lõm U lồi

Bảng biến thiên :

a)

a) Khảo sát hàm số : y = - x 3 + 3x + 1

1

Cố định (C) và di động (d) : y = m + 1

⇒ Biện luận tìm số nghiệm

x o

•* -2 < m+1 < 3 ⇔ -3 < m < 2

• ⇒ (d) ∩ (C) tại 3 điểm

x o

•* -2 < m+1 < 3 ⇔ -3 < m < 2

• ⇒ (d) ∩ (C) tại 3 điểm

9 3

x 3 9

2 x

3 y

2 x

0 0

0 0

( 0 )

x

0 y ' x x y

−

−

=

⇔ +

−

=

−

17 x

9 y

2 x

9 1

y

15 x

9 y

2 x

9 3

Giải :

Bài 5 trang 104

2 mx

4 x

m 6

2x 2

+

+

− +

a) Với giá trị nào của m đồ thị hàm số đ qua điểm (−1 ; 1) b) Khảo sát hàm số khi m = 1.

a) Tìm m ?

A(−1 ; 1) ∈ (Cm) ⇒

2 m

4 1

m 6

) 1 (

−

( ) C1

2 x

4 x

5

2x2

+

+ +

6x

8x

++

2 x

: TCĐ y

b) Khảo sát khi m = 1 ⇒ y =

D = R\{−2} ; y’ =

1 x

2 y

: TCX

0 2

x

2 lim

+ +

= +

+

+

2 x

2 1

x

2 2

x

4 x

5 x

2

-2

-3

1 -1

-7 -3

2

Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập ôn tập chương II trang 104 – 108 s.g.k.

Kính chào !

Tập thể lớp 12

Kính chào !

Và thầy Khánh !

TIẾT 44 – 45 – 46

Ôn tập lý thuyết khảo sát hàm số :

1) Các bước khảo sát hàm đa thức và hàm phân thức 2) Giải toán dùng đồ thị để biện luận số nghiệm ptr 3) Giải toán tìm phương trình tiếp tuyến

Chú ý khảo sát và vẽ đồ thị

Biện luận tìm nghiệm bằng đồ thị vừa vẽ

Viết pttt với đồ thị

Vận dụng giải bài tập :

a) Khảo sát hàm số : y = x 2 − x + 2 (C) b) Chứng minh rằng từ điểm A(7/2 ; 0) có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số đã cho và chúng vuông góc

c) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm B (1 ; −1) và có hệ số góc k Biện luận theo k vị trí tương đối của

x 2

1

0

2 0 0

( ) ( )

2 y

: 2

' y

; 5 y

6

7 x

2

1 y

: 2

1 '

y

; 4

5 y

1 x

2 x

0 0

1 x

0 0

0

0

(∆1 ) ⊥ (∆2 ) vì y’(x 1 ).y’(x 2 ) = (−1/2).2 = −1

c) Biện luận :

Đt (d) qua B(1 ; −1) có hệ số góc k là : y + 1 = k (x − 1)

Xét tương giao của (d) và (C) :

x 4

1 y

1 k

* k < −2 ; k > 1 ⇒ (*) có 2 nghiệm ⇒ (d) ∩ (C) tại 2 điểm

* k = −2 ; k = 1 ⇒ (*) có nghiệm kép ⇒ (d) tiếp xúc (C)

* −2 < k < 1 ⇒ (*) vô nghiệm ⇒ (d) không cắt (C)

Bài 3 trang 105 :

a) Khảo sát hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1 (1)

b) Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (1) Viết phương trình tiếp tuyến đó.

c) Dựa vào đồ thị (1) , biện luận số nghiệm của

phương trình sau đây theo m : x 3 + 3x 2 + m = 0

Xét dấu y’’

x − ∞ −1 + ∞

y’’ − 0 +

Đthị y lồi U lõm y’ + 0 − 0 +

y 5 + ∞

1

BBT : x − ∞ −2 −1 0 + ∞

x 1

5

-2 -1

b) Viết pttt đi qua gốc toạ độ :

Đường thẳng qua O(0 ; 0) có (∆) : y = kx ;

tiếp xúc với (1) tại (x 0 ; y 0 ) là :

0 1

x 3 x

2 x

6 x

3 '

y k

kx 1

x 3

0

3 0 0

2 0 x

0

2 0

3 0

0

=

− +

+

⇔ (x0 + 1) (2x02 + x0 − 1) = (x0 + 1)2(2x0 − 1) = 0 ⇔ x0 = − 1 ; ½ ⇒ k = −3 ; 15/4 ⇒ có 2 pttt là :

(∆1 ) : y = − 3x ; (∆2 ) : y = 15x/4

c) Biện luận y = 3 : x 3 + 3x 2+ m = 0

⇔ x 3 + 3x 2 + 1 = 1 − m Số nghiệm là tương giao của y = x 3 + 3x 2 + 1

Bài 5 trang 105 :

Cho hàm số y = x 4 + mx 2 − m − 1 (Cm)

a) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị

b) Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua 2 điểm A(1 ; 0)

b) Chứng minh :

x 4 + mx 2 − m − 1 − y = 0 ⇔ x 4 − y − 1 + m (x 2 − 1) = 0 để ∀m∈R ⇔

; 1 x

0 y

; 1

x 0

1 y

x

0 1

x

4 2

⇒ luôn có A(1;0) ; B(−1;0)

c) Định m ? :

Tiếp tuyến tại A(1 ; 0) luôn song song y = 10x + 7 ⇒

y’(1) = 10 ⇔ 4 + 2m = 10 ⇔ m = 3

d) Khảo sát :

+∞

= +∞

m = 3 ⇒ y = x 4 + 3x 2 − 4

D = R ; y’ = 4x 3 + 6x = 0 ⇔ x = 0 y’’ = 12x 2 + 6 > 0 không có điểm uốn ;

Bài 8 trang 105 :

( ) C 2

x

2

3x

+ +

2 x

2

3x y

2 x

2

3x y

+

+

= +

+

a) Khảo sát hàm số : y =

b) Tìm các điểm trên (C) của hàm số có toạ độ là số nguyên.

c) Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm 2 đường tiệm cận

d) Dựa vào đồ thị (C) vẽ các đường sau :

: TCN 3

y lim

; 2 x

: TCÑ y

lim

x 2

b) Tìm các điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên :

2 x

4 3

2 x

2 x

+

2 x

x

4 k

'

y

2 x

k 3

y

2 0

d) Dựa vào đồ thị (C) vẽ :

2

3x y

2 x

2

3x y

+

+

= +

) C (

0 2 x

3 2

x

2 x 3

nguyên giữ

) C (

0 2 x

3 2

x

2 x 3

2 x

2 3x

y

Dựa vào đồ thị (C) vẽ :

2

3x y

) C (

0

y 2

x

2 x 3

nguyên giữ

) C (

0

y 2

x

2 x 3

2 x

3

2 x y

Bài 9 trang 105 :

a) Khảo sát hàm số y = f(x) = x − ( ) C

1 x

d) Xác định m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2

điểm Avà B sao cho OA ⊥ OB.

2

x 1

x

1 1

+

x y

: TCX

0 1

x

1 lim

; 1 x

: TCĐ y

lim

x 1

+

−

=

⇒

∞ +

=

∞

→

−

→

±∞

=

±∞

lim

x

BBT:

x −∞ − 1 +∞

y’ + +

y +∞ +∞

−∞ −∞

Đồ thị :

y

x

-1

-1 ( − 1 −√ 5)/2 (−1+√5)/2

b) Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng :

y

X 1

1 X

1 Y

+ +

−

− +

− +

+

−

= +

−

có 1

x

1 x

x y

: vô

Cm Y = X - (1/X) là hàm lẻ :

Dùng công thức đổi trục :

X

1 X

X

1 X

X Y

c) Cm có những cặp điểm mà tt tại đó song song :

Gọi M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C) ⇒ điểm đối xứng của M qua

I(−1 ; −1) là : N(−2−x 0 ; −2 − y 0 ) ∈ (C)

0

2 0

2

1 1

1 x

2

1 1

N

'y 1

−

−

+

= +

⇒ y’ (M) = y’ (N) Vậy tt tại M và N song song với nhau

d) Tìm m ? :

1x

1x

x2

=+

−+

có 2 nghiệm ≠ −1 ⇔ x 2 + (1 − m) x − 1 − m = 0 (*) có 2 nghiệm khác − 1

Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập ôn tập còn lại chương II trang

104 – 108 s.g.k.

Kính chào tạm biệt !