Bài giảng lý thuyết độ đo và tích phân

Xét các tập sau: Lớp đơn điệu sinh bởi C Là lớp đơn điệu bé nhất chứa C.. b Tính cộng tính hữu hạn của độ đo... Do vậy ta chỉ cần chứng minh η là lớp đơn điệu... Chứng minh F là hàm khôn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

KHOA TOÁN - TIN HỌC

Y Z

NGUYỄN VINH QUANG

LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

(Bài Giảng Tóm Tắt)

Lưu hành nội bộ

Mục lục

1.1 Tập hợp 2

1.1.1 Các khái niệm 2

1.1.2 Các phép toán trên tập hợp 2

1.1.3 Giới hạn 3

1.2 Đại số và σ - đại số 4

1.2.1 Đại số 4

1.2.2 σ - đại số 5

1.2.3 σ - đại số tích 8

1.3 Hàm tập và độ đo 8

1.3.1 Hàm tập 8

1.3.2 Độ đo 9

1.3.3 Tập không đáng kể (à - không đáng kể) - Không gian có độ đo đủ 13

1.3.4 Độ đo ngoài - Độ đo trong 16

1.3.5 Độ đo Lebesgue - Stieltjes và Hàm phân phối 19

1.3.6 Độ đo có dấu (độ đo suy rộng) 22

2 Tích phân Lebesgue 24 2.1 Hàm đo đ−ợc 24

2.2 Tích phân Lebesgue 29

2.3 Định lý Radon - Nikodym 36

2.3.1 Tính tuyệt đối liên tục của độ đo 36

2.3.2 Định lý Radon - Nikodym 37

4.Hiệu đối xứng hai tập hợp

AB := (A\B) ∪ (B\A)

limnAn= supn
1infk
nAk =
∞

Ký hiệu: limnAn = limnAn = limnAn

Bài tập 1: Chứng minh mọi dQy đơn điệu thì hội tụ, hơn nữa

- (Ω, ∅) là đại số trên Ω và được gọi là đaị số tầm thường

- Lớp các tập con trên Ω, ký hiệu 2Ω là đại số trên Ω (đaị số lớn nhất)

- σ(A) = {Ω, ∅,A, A} là đại số bé nhất chứa A

1 Suy trực tiếp từ định nghĩa

2 Ta có A ∩ B = (A ∪ B)

Vì A, B ∈ F0 nên A, B ∈ F0 Suy ra(A ∪ B) ∈ F0 (theo tiên đề (3)).

Do vậy, với mọi A, B ∈ F0 thì (A ∪ B) ∈ F0 hay A ∩ B ∈ F0

3 Dùng quy nạp

Với n = 2 ta có A1∪ A2 ∈ F0 theo tiên đề (3)

Giả sử đúng cho trường hợp n = k, ta có

Cho không gian Ω và F là σ - đại số trên Ω Khi đó:

- (Ω, F) được gọi là không gian đo được

- A ∈ F ta gọi A là đo được

σ - đại số sinh

Định nghĩa 1.2.3 Cho C là lớp các tập trên Ω Ta nói σ - đại số sinh bởi C là σ - đại số bé nhấtchứa C Ký hiệu: σ(C)

σ - đại số Borel trên R

σ - đại số Borel trên R là σ - đại số bé nhất chứa mọi khoảng đóng trên R

Gọi C là lớp tập có dạng C = {[a,b] : −∞ < a
b < +∞} Khi đó σ(C) = B

Bài tập:Cho a
b, a, b ∈ R Xét các tập sau:

Lớp đơn điệu sinh bởi C

Là lớp đơn điệu bé nhất chứa C Ký hiệu: M(C)

Định lý 1.2.2 Cho F0 là đại số trên Ω khi đó ta có σ(F0) = M(F0) (σ - đại số sinh bởi F0 cũng

là lớp đơn điệu sinh bởi F0)

Ta có {A\Bn} ⊂ M(F0) và (A\Bn) ↓n (A\B), suy ra A\B ∈ M(F0)

Vậy B ∈ MA

∀B ∈ F0 ⊂ M(F0), A\B, B\A, A ∪ B ∈ F0 ⊂ M(F0) (vì F0 là đại số)

Vậy B ∈ MA Suy ra F0 ⊂ MA

Do MA là lớp đơn điệu chứa F0 nên nó sẽ chứa M(F0)

Kết quả trên cho ta MA = M(F0), ∀A ∈ F0

Xét B ∈ M(F0) bất kỳ Theo trên ∀A ∈ F0, MA = M(F0) nên B ∈ MA, ∀A ∈ F0

Sử dụng tính chất (2) của MA ta có ∀A ∈ F0, A ∈ MB Vậy nên F0 ⊂ MB

Vậy MB = M(F0), ∀B ∈ M(F0)

Bây giờ ta chỉ ra M(F0) là đại số Điều này là hiển nhiên:

- Ω ∈ M(F0) (vì Ω ∈ F0 ⊂ M(F0))

- ∀A ∈ M(F0), A = Ω\A ∈ M(F0) (vì Ω ∈ MA)

®−îc gäi lµ hµm tËp víi gi¸ trÞ sè.

- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ h÷u h¹n khi ϕ(A) < ∞, ∀A ∈ C

- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ kh«ng ©m nÕu ϕ(A)  0, ∀A ∈ C

- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu:

∀{Ai}i=1,n⊂ C, Ai∩ Aj = ∅ víi i
= j; i, j = 1, n vµ n

i=1Ai ∈ C, ta cãϕ(n

- à đ−ợc gọi là hữu hạn (ký hiệu à < ∞) nếu: à(Ω) < ∞.

- à đ−ợc gọi là cộng tính hữu hạn nếu:

∀{Ai}i=1,n⊂ F,Ai∩ Aj = ∅ với i
= j; i, j = 1, n, ta có:

a) Nếu ∃A ∈ F sao cho à(A) < ∞ (à(A) hữu hạn) thì à(∅) = 0

b) Tính cộng tính hữu hạn của độ đo

c) Nếu A,B ∈ F và A ⊂ B thì à(A)
à(B)

d) Giả sử à < ∞, A, B ∈ F và A ⊂ B thì à(B\A) = à(B) − à(A)

e) Nếu à < ∞ thì ∀A, B ∈ F ta có: à(A ∪ B) = à(A) + à(B) − à(A ∩ B)

Định lý 1.3.1 (Sự liên tục của độ đo).

1 Nếu An↑nA thì à(An) ↑n à(A) (tính liên tục dưới)

2 Nếu An↓nA và à(A1) < ∞ thì à(An) ↓n à(A) (tính liên tục trên)

i=1à(Bi)] = limnà(An)

Vậy à(An) ↑n à(A)

2 Ta có An ↓nA ⇒ (A1\An) ↑n(A1\A)

⇒ à(A1\An) ↑nà(A1\A) (do tính liên tục dưới của độ đo)

⇒ [à(A1)\à(An)] ↑n [à(A1)\à(A)] (vì à(A1) < ∞)

⇒ ưà(An) ↑n ưà(A)

⇒ à(An) ↓n à(A)

Định lý 1.3.2 Cho F là σ - đại số, à là hàm tập, à : F → [0, ∞] à cộng tính hữu hạn Khi đó:a) Nếu à liên tục dưới thì à là σ - cộng tính

b) Nếu à liên tục tại ∅ thì à là σ - cộng tính

(Ta nói à liên tục tại ∅ nếu An↓n ∅ thì à(An) ↓n 0)

Định lý 1.3.3 (BĐT Fatou dưới dạng độ đo)

Cho không gian đo (Ω, F, à) và {An}n∈N đo được Khi đó ta có:

1 à(limnAn)
limnà(An)

Mặt khác Bn⊂ An, ∀ n ⇒ à(Bn)
à(An)∀ n.

⇒ limnà(Bn)
limnà(An)

Hay à(limnAn)
limnà(An)

n=1An⇒ à(B1) = à(
∞

n=1An) < ∞

Từ định lý về sự liên tục ta có: à(Bn) ↓nà(limnA) (1)

Lại có An ⊂ Bn∀n ⇒ à(An)
à(Bn), ∀n

⇒ limnà(An)
limnà(Bn)

Kết hợp với (1) suy ra limnà(An)
à(limnAn)

Hệ quả Cho không gian đo (Ω, F, à), à < ∞

k=1à(Ak) < ∞ (theo giả thiết)

Từ định lý liên tục ⇒ à(Bn) ↓n à(limnAn)

1.3.3 Tập không đáng kể (à - không đáng kể) - Không gian có độ đo đủCho không gian (Ω, F, à) và tập A ⊂ Ω Ta nói A là tập không đáng kể (à - không đáng kể, hay

à - không) nếu ∃B ∈ F sao cho A ⊂ B và à(B) = 0

∀(A ∪ N) ∈ F, à(A ∪ N) = à(A)

∀A ∈ F, à(A) = à(A)

Khi đó à là độ đo nới rộng duy nhất của à lên F (à|F = à)

c) (Ω, F, à) là không gian có độ đo đủ

Chú ý:

Cho không gian (Ω, F, à) ch−a đủ Làm đầy đủ không gian có độ đo (Ω, F, à) nghĩa là đi xâydựng (Ω, F, à) Khi đó F đ−ợc gọi là σ - đại số bổ sung cho σ - đại số F, à gọi là độ đo đủ

Vì F = σ(F ∪ N) nên tất cả các tập à - không đều chứa trong F.

Sẽ chứng minh mọi tập à - không đều là tập à - không

Thật vậy, với M là tập à - không bất kỳ ⇒ M ⊂ B ∈ F và à(B) = 0

Vì B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N

Do N ∈ N nªn ∃N1 ∈ F, N ⊂ N1 vµ µ(N1) = 0.

VËy ∃(A ∪ N1) ∈ F, M ⊂ B ⊂ (A ∪ N1) vµ µ(A ∪ N1) = 0

V× thÕ M lµ µ - kh«ng

1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o trong

§é ®o ngoµi

A ∈ 2Ω: µ∗(A) = inf{µ(B) : B ∈ F, B ⊃ A}

⇒ ∃{Bn}n∈N ⊂ F : µ(Bn) ↓n µ∗(A)

§Æt A = ∞

n=1Bn ⇒ A ⊂ A⊂ Bn, ∀n (do A ⊂ Bn)

⇒ µ∗(A)
µ(A)
µ(Bn), ∀n (BT: Gi¶i thÝch sù tån t¹i cña µ(A))

Cho n → ∞ ⇒ µ∗(A)
µ(A)
µ∗(A) ⇒ µ∗(A) = µ(A)

KÕt hîp víi trªn ta sÏ cã µ∗(A) = µ(A).

ViÖc chøng minh cho µ∗(A) lµ hoµn toµn t−¬ng tù

VËy, F ⊂ {A ⊂ Ω : µ∗(A) = µ∗(A)}

Đặt A =
∞

k=1Ak

Ta có
n

k=1Ak ↑ A ⇒ à(
n

k=1Ak) ↑ à(A) < ∞ (do tính liên tục)

Do vậy ta chỉ cần chứng minh η là lớp đơn điệu

∀{An}n ⊂ η, An↑n A ⇒ à(A) ↑nà(An) = ν(An) ↑nν(A)

2 à0 là σ - cộng tính trên F0.

Khi đó ta có thể nới rộng à0 thành độ đo à duy nhất lên σ(F0)

1.3.5 Độ đo Lebesgue - Stieltjes và Hàm phân phối

Độ đo Lebesgue - Stieltjes

Định nghĩa 1.3.2

Cho (R, B) Khi đó hàm tập à : B → [0, ∞] được gọi là độ đo Lebesgue - Stieltjes nếu:

à(Ik) < ∞, ∀ Ik là khoảng giới nội trong R

Hàm phân phối

F được gọi là hàm phân phối nếu F : R → R thoả:

1 F là hàm không giảm trên R

2 F là hàm liên tục trái ∀x ∈ R

Định lý 1.3.10 (Tương ứng 1-1 giữa độ đo Lebesgue - Stieltjes và hàm phân phối)

a Cho độ đo Lebesgue - Stieltjes à Khi đó hàm F : R → R được xác định bởi:

F(b) ư F(a) = à[a, b), ∀a, b ∈ R, a
b là hàm phân phối

b Ngược lại, cho hàm phân phối F Khi đó à được định nghĩa bởi (1), (2), (3) như sau:

Chứng minh

a Chứng minh F là hàm không giảm, liên tục trái

- Giả sử a < b ta có F(b) ư F(a) = à[a, b)  0

⇒ F(a)
F(b) Vậy F là hàm không giảm

Vậy để kết thúc chứng minh định lý ta chỉ ra à là σ - cộng tính Có 2 trường hợp:

1 F(+∞) ư F(ư∞) < ∞

2 F(+∞) ư F(ư∞) = ∞

1 F(+∞) ư F(ư∞) < ∞

Ta có à(R) = à(ư∞, +∞) = F(+∞) ư F(ư∞) < ∞ nên à < ∞

Vì thế việc chứng minh à là σ - cộng tính tương đương với viêc chứng minh à liên tục tại ∅

Ta cần làm việc trên không gian compac R

∀{An}n ⊂ F0 (hay {An}n⊂ F = σ(F0)) theo định lý xấp xỉ

∃ {Bn}n ⊂ F0, Bn ⊂ An, ∀n thoả mQn à(AnBn) < ε2n Trong đó Bn là bao đóng của Bn trongR

µ(An)
µ(
n

k=1Ak\Bk) + µ(n

k=1

Bk)

Độ đo Lebesgue

Cho độ đo Lebesgue - Stieltjes trên (R, B) và F là hàm phân phối tương ứng với độ đo Lebesgue

- Stieltjes Nếu F(b) ư F(a) = b ư a, a
b, a, b ∈ R

Khi đó à[a, b) = b ư a và à trong trường hợp đặc biệt này được gọi là độ đo Lebesgue trên R

1.3.6 Độ đo có dấu (độ đo suy rộng)

Cho không gian đo được (Ω, F) Ta nói λ là độ đo có dấu trên (Ω, F) nếu:

λ : F → [ư∞, +∞) (hoặc (ư∞, +∞]) thoả mQn 2 tính chất:

- λ(∅) = 0

- λ là σ - cộng tính

Khái niệm

Tập âm và tập không âm Cho độ đo có dấu λ : F → [ư∞, +∞) Ta nói:

- A ∈ F là tập âm đối với λ nếu ∀E ⊂ A, E ∈ F, λ(E) < 0

- A là tập không âm đối với λ nếu ∀E ⊂ A,λ(E)  0

Phân hoạch Hahn

Cho λ là độ đo có dấu trên F Tồn tại (A, A) sao cho A là tập âm đối với λ và A là tập không âm

đối với λ Khi đó (A, A) được gọi là một phân hoạch Hahn của Ω đối với độ đo có dấu λ (phânhoạch Hahn không là duy nhất)

Phân tích Jordan

Cho độ đo có dấu λ : F → [ư∞, +∞), (A, A) một phân hoạch Hahn của Ω đối với độ đo có dấu

λ Ta định nghĩa λ+, λư, |λ| là hàm tập đi từ F → [0, +∞) xác định như sau:

1) Chứng minh mọi dQy {An}n∈N các tập đơn điệu thì hội tụ

HD: Chứng minh limnAn = limnAn cho 2 trường hợp An↑n, An↓n

2) Tìm phản ví dụ chứng tỏ F1, F2 là đại số nhưng F1∪ F2 không là đại số

3) Cho {Fn}n là dQy σ - đại số Chứng minh ∞

n=1Fn là σ - đại số

4) F1, F2 là hai σ - đại số Lớp G được định nghĩa:

G = {A1∩ A2 : A1 ∈ F1, A2 ∈ F2}

a A1 ⊂ A2 ⇒ µ∗(A1)
µ∗(A2)

b µ∗(A ∪ B)
µ∗(A) + µ∗(B) − µ∗(A ∩ B)

Chương 2

Tích phân Lebesgue

2.1 Hàm đo được

Định nghĩa 2.1.1 Cho (Ω, F), (Ω, F) là 2 không gian đo được Ta nói hàm f : (Ω,F) → (Ω, F)

là đo được (còn gọi f là F đo được) nếu:

2.fư1(B) là σ - đại số bé nhất để f đo được

Xét F bất kỳ làm cho f đo được

Lại có ∀A ∈ fư1(B), ∃B ∈ B : A = fư1(B) ∈ F

⇒ fư1(B) ⊂ F

Vậy fư1(B) là σ - đại số bé nhất để f đo được

Chú ý:

1 - Nghịch ảnh của σ - đại số là một σ - đại số

- Nếu f đo được thì fư1 (ảnh ngược của σ - đại số) là σ - đại số bé nhất làm cho f đo được

3 - Nếu f : (Ω, F) → (R, B) là hàm đo được thì khi đó người ta ký hiệu f ∈ L0(Ω, F) (lớp cáchàm đo được trên (Ω, F))

- Nếu f ∈ L0(Ω, F) và (Ω, F, à) là không gian có độ đo đầy đủ Khi đó f gọi là à - đo được

Cho f : (R,B) → (R, B) Nếu f liên tục thì f đo đ−ợc.

⇒ f−1(B) ∈ B (định nghĩa σ - đại số Borel)

Mệnh đề 2.1.6.

Cho {fn}n⊂ L0(Ω, F, à) Khi đó ϕi ∈ L0(Ω, F), ∀i = 1, 6 Trong đó:

Lại có k(f, g) = f + g nên k liên tục ⇒ k là B2 đo được

Theo mệnh đề 2.1.3 thì k ◦ h là F đo được Nhưng k ◦ h = k(f, g) = f + g.Vậy f + g là F đo được

Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự

Hàm bậc thang

Cho f : Ω → R Ta nói f là hàm bậc thang nếu f(Ω) chỉ nhận hữu hạn giá trị thực

Giả sử f(Ω) = {a1, a2, , an} Khi đó ta có thể biểu diễn hàm bậc thang thông qua các hàm sau:

2 Ai∩ Aj = ∅; i
= j, i,j = 1, n và các Ai, i = 1, n tạo nên một phân hoạch trên Ω

Bài tập: Cho f, g là 2 hàm bậc thang Chứng minh f + g cũng là hàm bậc thang

Ωgdµ < +∞ vµ fn ↓nf th× 

Ωfndµ ↓n 

Ωfdµ.Chøng minh

2.3.1 Tính tuyệt đối liên tục của độ đo

Định nghĩa 2.3.1 Cho độ đo có dấu (suy rộng) λ, và độ đo à trên (Ω, F) Ta nói λ tuyệt đối liêntục đối với à (λ  à) nếu:

à(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0, ∀A ∈ F

Trong đó λ+,λ− : F → [0, ∞] là độ đo xác định bởi

với (E, E) là phân hoạch Hahn trên Ω

Từ (b) ta có: ∀A ∈ F, à(A) = 0 ⇒ λ+(A) = 0, λ−(A) = 0

[c ⇒ a]

Từ (c) cho ta: ∀A ∈ F, à(A) = 0 ⇒ |λ|(A) = 0.

Lại có λ
|λ| ⇒ λ(A)
|λ|(A) = 0

λ là độ đo, ∀A ∈ F : à(A) = 0, đặt An= A, ∀n

Ta chøng minh λ1(Ω) = 0 (λ1(A) = 0, ∀A ∈ F).

Gi¶ sö ng−îc l¹i λ1(Ω) > 0, µ(Ω) < ∞ (v× µ h÷u h¹n)

1) Cho 2 không gian đo đ−ợc (Ω, F),(Ω, F) Giả sử F0 là đại số trên Ω và σ(F0) = F.

3) Cho f ∈ L1(Ω, F, à) Chứng minh limnnà[{ω : |f(ω)| > n|}] = 0

Tài liệu tham khảo

[1] Đặng Đình Ang, Lý thuyết tích phân, NXB Giáo dục, 1997

[2] Nguyễn Bích Huy, Phép tính tích phân, NXB Đại học quốc gia Tp.HCM, 2000.[3] Nguyễn Duy Tiến, Giáo trình: Độ đo và tích phân, ĐHTH Hà Nội, 1980.[4] Hoàng Tụy, Giải tích hiện đại, NXB Giáo dục, 1978

Phân tích Jordan

Cho độ đo có dấu λ : F → [ư∞, +∞), (A, A) phân hoạch Hahn Ω độ đo có dấu

λ... Đặng Đình Ang, Lý thuyết tích phân, NXB Giáo dục, 1997

[2] Nguyễn Bích Huy, Phép tính tích phân, NXB Đại học quốc gia Tp.HCM, 2000.[3] Nguyễn Duy Tiến, Giáo trình: Độ đo tích phân, ĐHTH Hà...

Khi à[a, b) = b a trường hợp đặc biệt gọi độ đo Lebesgue R

1.3.6 Độ đo có dấu (độ đo suy rộng)

Cho khơng gian đo (Ω, F) Ta nói λ độ đo có dấu (Ω, F) nếu:

λ : F → [ư∞,