PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦNI.. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Giả sử u=u x ; v = vx có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có: •d uv =udv+vdu⇔∫d uv =∫udv+∫vdu⇔uv=∫udv+∫vdu b a N
Trang 1BÀI 8 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Giả sử u=u x( ); v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có:
•d uv( )=udv+vdu⇔∫d uv( )=∫udv+∫vdu⇔uv=∫udv+∫vdu
b a
Nhận dạng: Hàm số dưới dấu tích phân thường là tích 2 loại hàm số khác nhau
Ý nghĩa: Đưa 1 tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn (trong nhiều
trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu tích phân và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân)
Chú ý: Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời
tích phân ∫v d u đơn giản hơn tích phân udv∫
II CÁC DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN CƠ BẢN VÀ CÁCH CHỌN u, dv
1 Dạng 1:
( )
( )
ax b
ax b
ax b
ax b
u P x sin ax b dx
sin ax b dx cos ax b dx
cos ax b dx
P x
dv
+
+ +
+
=
+
+
2 Dạng 2:
( )
( )
m
m
dv P x dx arcsin ax b dx
arcsin ax b arccos ax b dx
arccos ax b arctg ax b dx
arctg ax b
P x
u arc cotg ax b dx
arc cotg ax b
ln ax b dx
ln ax b log ax b dx
log ax b
+
+
+
+
+
3 Dạng 3:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
k
a
a
ax b k
a
u cos ln x
u
dv
dv x dx
+ +
α + β
=
=
Trang 2Bài 8 Phương pháp tích phân từng phần
III CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:
1 Dạng 1: ∫P x sin ax + b ;cos ax + b ;e( ){ ( ) ( ) ax+b ; m ax+b}dx
1
A = x cos x dx
Cách làm chậm: Đặt
dv cos x dx v sin x
Khi đó ta có:
1
A =x sin x−3 x sin x dx∫ Đặt
v cosx
dv sin x dx
= −
=
Khi đó ta có:
1
A =x sin x−3−x cos x+2 x cos x dx
dv cos x dx v sin x
⇒
1
A =x sin x 3x cos x 6 xsin x+ − −∫sin x dx =x sin x 3x cos x 6 xsin x cos x+ − + +c
Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng ∫P x L x dx = P x du ( ) ( ) ∫ ( )
1
A =∫x cos x dx=∫x d sin x =x sin x−∫sin x d x =x sin x−3 x sin x dx∫
x sin x 3 x d cos x x sin x 3 x cos x cos x d x
x sin x 3x cos x 6 x cos x dx x sin x 3x cos x 6 x d sin x
x sin x 3x cos x 6 xsin x sin x dx x sin x 3x cos x 6 xsin x cos x c
2
( ) ( )
( )
6
125
∫
Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì phải n lần sử dụng tích phân từng phần
Trang 3x 0 π2/4
•
2
/ 4
∫
3
0
A = x sin x dx
π
Đặt t= x⇒t2 = ⇒ x
dx 2tdt
2
0 3
2
0
A 2 t sin t dt 2 t d cos t 2t cos t 2 cos td t 6 t cos t dt
6 t d sin t 6t sin t 6 sin td t 12 t sin t dt 12 td cos t
π
π
2
0
π
6
0
π 6
2 4
0
A = x sin x cos xdx
π
6
2
0 0
π
∫
•
∫1 2 x
0
x e dx
A =
x + 2 Đặt
2
⇒
+
+
( )
2 x
5
1
0
+
∫
2 Dạng 2: ∫P x( ){arcsin u; arccos u; arctg u; arc cotg u ; ln u ; log u um =ax+b dx}
1
1
1
B = x ln x dx
( )
e
1
1
Trang 4Bài 8 Phương pháp tích phân từng phần
1 2
0
1 2
2
0
1+ x
1 x
2
2
2
1 2
0
+
0 0
3
0
B = ln x + 1 + x dx
2 0 2
0
1 d 1 x
+
+
∫
x ln x + 1 + x
1 + x
1 1
0 0
1
2
0
1
0
dx x
∫
∫
∫
0
x ln x + 1 + x
x + 1 + x Đặt
2
2 2
x dx
Trang 51 ( 2)1 2 ( 2) 2 1 ( 2)3 2 3
( )3 2 ( ) 1 1 ( )3 2
5
2
2 2
+
∫
0
−
1
0
0
1
6
0
B = x ln x + 1 + x dx
1 1
2
x d ln x 1 x
∫
Xét
2
x dx
I
x
=
+
∫ Đặt x tg t ; t 0, )
2 π
dt cos t
2
tg t
du
π
Trang 6Bài 8 Phương pháp tích phân từng phần
2 2
0
⇒ B6 1ln 1( 2) 1I 1ln 1( 2) 1 2 ln 1( 2) 2 ln 1( 2)
8
0
7
8
B = x ln 1 xdx
2
0 2 8
−
−
−
•
−
−
∫0
8
3
ln 1 x
1 x 1 x Đặt t= 1−x ⇒
dx −2tdt
t
−
2
•
( )
( ) ( )
2
ln
x d x x
+
+
2
1
x ln x dx
B =
x + 1
( ) ( ) ( )
2
1
2 2
3 2
1
d ln x
+
+
+
Trang 73 Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi
1
1
x sin ln x x cos ln x x sin ln x x cos ln x dx
x sin ln x cos ln x d x x sin ln x x cos ln x x d cos ln x
x sin ln x x cos ln x x sin ln x dx x sin ln x x cos ln x C
∫
0
x
π
2
0
C = e sin x dx
π
2
0
2
x
π
0
e d sin 2x e sin 2x sin 2x d e
π
0
2x
0
π
π
∫
⇒ C2 e2 1 1J e2 1 e2 1 e2 1
1
e
π
e
3
1
C = cos ln x dx
π
π
e 1
e
1
1
2
π π
−
∫
1
e
e
π
e
2
4
1
C = cos ln x dx
π
π
Trang 8Bài 8 Phương pháp tích phân từng phần
1
2
e
π
e 1
2sin 2lnx
x
π
π
e 1
e 1 2 sin 2 ln x dx e 1 2x sin 2 ln x 2 xd sin 2 ln x
2 cos 2 ln x
x
π
1 cos
x
+
5
1 + sin x
1 + cos x
( )
x
2
+
1
Xét
1
x
e sin x dx
J
cos x
=
+
x x
du e dx
sin x dx
1 cos x
⇒
+ +
1 cos x 1 cos x 1 cos x
⇒
5
• 6 ∫π x 2
0
sin x
0
2
x
π
−
0
π
0
x
π
Trang 92
x
π
−
−π
• ∫a 2 − 2 ;(a>0)
7
0
0 7
2
7
a
a
a
π
−
• ∫a 2 2 ;(a>0)
8
0
C = a + x dx
2
0 8
2
a
x
+
8 0
0
2
a a
ln
∫
• ∫a 2 2 2 ;(a>0)
9
0
( 2 2)3
du dx
1
3
=
=
9
∫
Trang 10Bài 8 Phương pháp tích phân từng phần
2 4
• ∫a 2 2 − 2 ;(a>0)
10
0
( 2 2)3
du dx
1
3
=
=
⇒
−
10
−
2 2
a a a a
2a
11
a 2
2a 2a
a 2
a 2
11
dx
−
+
+
∫
2
cotg
sin
x
x
π 2
π 4
dx
C =
sin x
π
12
sin x
−
2
4
π
π
−
Trang 114 Dạng 4: Các bài toán tổng hợp
0
x + 2x
x + 1
2
x dx
+
Xét
3
0
1
I = ∫ x x x + dx Đặt
( )
2
3 2 2 2
du 2x dx
1
=
=
⇒
3
5 2 2
0
Xét
3
2
2
x dx
x
=
+
2
2 2
x dx
=
0
0
3
1
1
x d
1
1 + x
x
( )
( ) ( )
2 2
3
2
+
−
−
Trang 12Bài 8 Phương pháp tích phân từng phần
2
0
1
4
x
π
=
π 2
3
0
D = e sin x cos x dx
0
0
−
2
3
ln 1 cosx d sinx
π
π
π 2
4
π 3
D = cos x ln 1 cos x dx
2 3
2 3
sin x ln 1 cos x sin xd ln 1 cos x ln 2 sin x
π π
π π
−
−
−
π
3 4
ln tgx d cosx cos ln tgx x cosx d ln tgx
π π
π 3
5
π 4
D = sin x ln tg x dx
3 3
2
4 4
π π
π π
+
−
−
∫
( )
2
tg 2
2
+
π 4
6
0
x + sin x
1 + cos x
xd x
+
∫
Trang 13• ( ) ( ) ( ) ( )
7
2 sin cos cos sin dx 2 sin cos sin d sin
π 2
4 0
1
0
2 t cos t dt t 1 cos 2t dt t 1 2 cos 2t cos 2t dt
2t dt t 4 cos 2t cos 4t dt t d 2 sin 2t sin 4t
+
1
0
t 2 sin 2t sin 4t 2 sin 2t sin 4t dt
2 sin 2 sin 4 cos 2t cos 4t
sin 2 cos 2 sin 4 cos 4
∫
2
−
π 4
2 0
tg x
cos x
1 2
2
1
2
1 1
u
12 2
π
−
∫
•
3
0
cos
dx
π
+
2 0
x dx
D =
x sin x + cos x
0
3
3 0 2
0
x sin x cos x x sin x cos x x sin x cos x
x sin x cos x
π
π
∫