Rèn luyện cho học sinh lớp 12 kỹ năng tính một số tích phân đặc biệt

Thông qua đề minh họa của Bộ Giáo Dục chúng ta thấy: Ngoài những câu hỏi yêu cầu tính toán tích phân thông thường giống như lâu nay vẫn gặp trong đề thi tự luận, còn xuất hiện những dạng

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12

KỸ NĂNG TÍNH MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Người thực hiện: Trương Thị Nga

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2017

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU….….……… …… 3

1.1 Lý do chọn đề tài……… 3

1.2 Mục đích nghiên cứu……….…… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….…… 4

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… …….4

1.5 Những điểm mới của sáng kiến ……….……….4

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ……… …4

2.1 Cơ sở lí luận 4

2.2 Thực trạng vấn đề……… ……… … 4

2.3 Các giải pháp thực hiện……… ……… … 5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến………… ……… 16

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….……… ……….……… 16

3.1 Kết luận……… 16

3.2 Kiến nghị………17

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới Một trong các nội dung đổi mới đó là đổi hình thức thi THPTQG Đối với bộ môn Toán, năm 2017 thay hình thức thi tự luận được tiến hành lâu nay bằng hình thức thi trắc nghiệm Hình thức này là mới đối với chúng ta, nhưng đã được các nước phát triển trên thế giới áp dụng lâu nay Cùng với sự thay đổi hình thức thi thì đề thi cũng có sự thay đổi về hình thức và nội dung Trong đề thi không còn nhiều câu hỏi hóc búa, đòi hỏi phải suy luận và tính toán dài dòng, nhưng bên cạnh đó lại xuất hiện các cách hỏi mới không quá khó nhưng yêu cầu học sinh khi học phải hiểu đầy đủ và cặn kẽ các vấn đề

Chủ đề tích phân là một trong những chủ đề quan trọng ở chương trình toán giải tích lớp 12, đồng thời là một nội dung trong kì thi THPTQG Thông qua đề minh họa của Bộ Giáo Dục chúng ta thấy: Ngoài những câu hỏi yêu cầu tính toán tích phân thông thường giống như lâu nay vẫn gặp trong đề thi tự luận, còn xuất hiện những dạng bài tập mới như các bài toán thực tế, hoặc cách hỏi mới đó là các bài tập yêu cầu tính tích phân nhưng không cho biểu thức Thực chất để giải quyết những câu hỏi như trên học sinh vẫn sử dụng các công thức, phương pháp quen thuộc đã học Nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khá bối rối khi gặp các bài tính tích phân không cho biểu thức, các em không biết tính như thế nào, hay dùng phương pháp nào để tính

Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh lớp

12 kỹ năng tính một số tích phân đặc biệt ” Để giúp học sinh không còn bị

lúng túng khi gặp các câu hỏi như vậy, dần hình thành kỹ năng giải toán cũng như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán Đồng thời tạo được sự hứng thú, phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các môn học khác

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng giúp học sinh củng cố kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán, phát triển tư duy sáng tạo Đồng thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12

- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính tích phân

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ thông, mạng internet,

- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học

sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu

về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm

trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12A, 12B trường THPT Hà Trung trong năm học 2016 -2017

1.5 Những điểm mới của sáng kiến.

- Phân loại các dạng bài tập tính tích phân mà không

- Đưa ra một hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan để học sinh tự luyện

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lí luận.

- Các tính chất cua tích phân.[1]

- Các phương pháp tính tích phân.[1]

2.2 Thực trạng vấn đề.

Học sinh vốn quen thuộc với các bài tập tích phân mà biểu thức tính tích phân có công thức rõ ràng, tương ứng với từng dạng bài tập đều đã có phương pháp giải rõ ràng, một số bài các em còn có thể sử dụng sự hỗ trợ của máy tính Casio Nhưng với hình thức thi mới, cách hỏi mới xuất hiện các dạng bài tập yêu cầu tính tích phân nhưng không biết biểu thức tính mà chỉ biết một số tích chất của nó Khi gặp những bài tập này đa số học sinh thường lúng túng trong quá trình tìm lời giải, các em không biết phải biến đổi như thế nào hay phải sử dụng công thức nào, ngay cả những học sinh khá giỏi cũng gặp phải vấn đề như vậy

2.3 Các giải pháp thực hiện

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp sau:

- Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản

- Phân dạng bài tập, đưa ra dấu hiệu và phương pháp giải tương ứng

- Đưa ra một hệ thống ví dụ và bài tập trắc nghiệm khách quan tăng dần từ

dễ đến khó, tăng dần từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng Giúp cho các em làm quen dần với dạng bài tập này Dần hình thành kỹ năng giải toán cũng như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán

- Đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh

2.3.1 Tính các tích phân không cho biểu thức cụ thể.

Dạng 1: Sử dụng các tính chất của tích phân.

Ví dụ 1 Cho

( )d 6, g( )d 8

5

1 [2 ( ) ( )]d

I =∫ f x −g x x.[1]

Lời giải

Ta có

I =∫ f x −g x x= ∫ f x x−∫g x x=

Vậy I =4

Ví dụ 2 Cho

4

3 ( )d

I =∫ f t t.[1]

Lời giải

Ta có

f t t = f x x= f t t = f z z=

Nên

I =∫ f t t =∫ f t t −∫ f t t =

Vậy I =4

Ví dụ 3 Cho ( ), ( )f x g x là các hàm số liên tục trên [ ]a b và ; ( )d 3

b

a

f x x=

[3 ( ) 5g( )]d 4

b

a

b

a

I =∫g x x.[3]

Lời giải

Nên I =1

Ví dụ 4 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên [ ]1;2 và (1) 1, (2) 2f = f = Tính 2

1

'( )d

I =∫ f x x.[2]

Lời giải

Ta có

2

2 1 1

Vậy I =4

Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến.

Dấu hiệu: Trong bài toán ngoài biểu thức ( )f x còn xuất hiện biểu thức

( ( ))

f u x ( biểu thức này có thể nằm ở giả thiết của bài toán hoặc ở tích phân cần

tính), và sự tương ứng về cận nếu ta đổi biến t u x= ( )

Với một số bài tập ngoài phương pháp đổi biến ta còn có thể sử dụng cách chọn hàm Cách thức này có thể chấp nhận được đối với hình thức thi trắc nghiệm Thông thường ta hay nghĩ đến việc chọn hàm bậc nhất, tức giả sử

( ) ( , )

f x =ax b a b+ ∈¡ Từ các giả thiết ta tìm được a, b suy ra hàm số ( ) f x và

tính tích phân Với cách này học sinh yếu và trung bình dễ tiếp nhận hơn vì thao tác tìm hàm ( )f x thường không liên quan đến những phép biến đổi tích phân

phức tạp Tuy nhiên thường chỉ một số bài tập đơn giản mới chọn được một hàm thỏa mãn, còn đối với cách 1 thì giải quyết được từ những bài đơn giản đến phức tạp

Ví dụ 1 Cho

4

0

( )d 16

f x x=

2

0

(2 )d

I =∫ f x x.[2]

Phân tích bài toán: Dựa vào đề bài ta dự đoán đặt t =2x, phép đổi biến này phù hợp với sự tương ứng vể cận

Lời giải.

Cách 1 Đặt t=2x Ta có d 1d

2

x= t Đổi cận x= ⇒ =0 t 0,x= ⇒ =2 t 4

Khi đó

4

0

1

( )d 8 2

I = ∫ f t t =

Cách 2 Chọn ( ) f x =a Khi đó 4 4 4

0

f x x= a x a x= = a=

Ta có (2 ) 4f x = và

Vậy I =8

Ví dụ 2 Cho

1 2

0

I =∫ f x x= Tính

6

4

(cos 2 )sin 2 d

π

π

Phân tích bài toán: Dễ thấy ta sẽ đặt t=cos 2x

Lời giải.

Đặt t =cos 2x⇒ = −dt 2sin 2 dx x Đổi cận 0, 1

x = ⇒ =π t x= ⇒ =π t

Ta có

1 2

0

1

2

I = − ∫ f t t = −

Ví dụ 3 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [ 1;− +∞) và

3

0

2

1

( )d

I =∫xf x x.[3]

Phân tích bài toán: Trong bài toán này ta đặt t= x+1, như vậy trong trường hợp này ta biến đổi tích phân đã cho về tích phân cần tính

Lời giải

Đặt t = x+ ⇒ = + ⇒1 t2 x 1 2 dt t =dx Đổi cận x= ⇒ =0 t 1,x= ⇒ =3 t 2

Ta có

4=∫ f( x+1)dx=2∫tf t t( )d =2∫xf x x( )d =2I ⇒ =I 2

Vậy I =2

Ví dụ 4 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ , biết 4

0

π

=

1 2

2

0

( )

1

x f x

x

+

1

0 ( )d

I =∫ f x x.[3]

Phân tích bài toán: Trong đề bài xuất hiện các đại lượng tan ;x x2 + 1 và để ý các cận của tích phân Ta nghĩ ngay đên việc đặt x= tant, tuy nhiên trong bài này ta

cần thêm một vài biến đổi khéo léo

Lời giải

Ta có

x

cos

t

4

x = ⇒ =t x= ⇒ =t π

Suy ra I =6

Ví dụ 5 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ thỏa mãn ( ) 2 (1f x + f − =x) 3x

với mọi x thuộc ¡ Tính

1

0 ( )d

I =∫ f x x.[3]

Lời giải

Cách 1 Đặt x = − ⇒1 t dx= −dt Đổi cận x= ⇒ =0 t 1, x= ⇒ =1 t 0

Khi đó

I =∫ f x x= −∫ f −t t =∫ f −t t=∫ f −x x

Ta có

3

2

I =∫ f x x+ ∫ f −x x=∫ f x + f −x x=∫ x x=

2

I =

Cách 2 Chọn hàm ( ) f x = +ax b a b( , ∈¡ )

(1 ) (1 )

⇒ − = − + = − + +

⇒ + − = − + +

Do ( ) 2 (1f x + f − =x) 3 ,x ∀ ∈x ¡ Suy ra 3 3

− = = −

 + =  =

Do đó ( )f x = − +3x 2

Vậy

1

2

I =∫ f x x= − +∫ x x=

Ví dụ 6 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [ ]0;3 và ( ) (3f x f − =x) 1 với mọi

x thuộc [ ]0;3 Tính

3

0

1 d

f x

= +

Lời giải

Cách 1 Đặt t= −3 x , khi đó

3

0

1

d

= + −

Từ giả thiết ta có (3 ) 1

( )

f x

1 ( )

f x

f x

f x

+ +

Ta có

f x

2

I =

Cách 2 Ta dễ dàng chọn được một hàm số f thỏa mãn điều kiện của đề bài là

( ) 1, [0;3]

f x = ∀ ∈x Khi đó

3

0

d

I =∫ x=

Nhận xét: Với bài tập này sử dụng cách 2 để làm trắc nghiệm tối ưu hơn vì mất

ít thời gian

Ví dụ 7 Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn

f x + − =f x + x với mọi x thuộc ¡ Tính

3 2

3 2

( )d

π

π

−

= ∫ [2]

Lời giải

Đặt x= −t, khi đó

= ∫ − = ∫ −

Ta có

Vậy I =6

Dạng 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần.

Dấu hiệu: Nếu biểu thức tính tích phân có dạng ( ) '( )d

b

a

u x f x x

phương pháp đổi biến để tính được thì ta thường dùng công thức tích phân từng phần

Ví dụ Cho hàm số ( )f x thỏa mãn

1

0 (x+1) '( )df x x=10

Tính

1

0

( )d

I =∫ f x x.[2]

Lời giải

Ta có

1 0

1

0

∫

Suy ra I = −8

Bài tập tương tự

Bài 1 Giả sử ( )d 2

b

a

f x x=

b

a

g x x= −

b

a

I =∫ f x − g x x

A I = −5 B I = −3 C I =13 D I =5

Bài 2 Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên ¡ và

2018

0

f x x=

1009

0

(2 )d

I = ∫ f x x

A I =32 B I =8 C I =16 D I =4

Bài 3 Cho

2

0

( )d 8

f x x=

2

0

I =∫ f −x x

A I = − 8 B I = 8 C I = 6 D I = − 6

Bài 4 Cho hàm số y = f x( ) là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ Biết

2

1

−

=

∫

và

3

1

f − x x=

6

1

( )d

−

= ∫ Bài 5 Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên ¡ và ( )f x + f(π − =x) 2(1 sin 2 )+ x

với mọi x thuộc ¡ Tính

0 ( )d

π

=∫

A I = 4 B I = 2 C I = − 2 D I = 0

Bài 6 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ và hàm số y g x= ( )=x f x ( )2 có đồ

thị như hình vẽ bên Biết diện tích phần được tô màu là 5

2

S= Tính

4

1

( )d

I =∫ f x x

Bài 7 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ và

2

0

1

0

'(2 )d

I =∫xf x x

A I = 13 B I = 12 C I = 20 D I = 7

Bài 8 Cho hàm số ( )f x là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ và

5

0 [1 2 ( )]d+ f x x=15

Tính

5

5

( )d

−

= ∫

2

I =

Bài 9 Cho

4

1

f x x=

1

0

(3 1)d

A I =9 B I =3 C I =1 D I =27.

Bài 10 Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ và

4

2

−

=

đây sai?

A

2

1

−

=

3

3

−

+ =

C

2

1

−

=

6

0

1

2 f x− x=

Bài 11 Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ¡ , (3) 3F = và

2

1

−

+ =

3

0 ( )d

I =∫x f x x

A I =10 B I =11 C I =9 D I =8

Bài 12 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ và ( )f x + − =f( x) 2(1 cos2 )− x

với mọi x thuộc ¡ Tính

0

( )d

π

=∫

A I = 4 B I = 2 C I = − 4 D I = 0

Bài 13 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn

1

0

(x+1) '(2 )df x x=7

2

2

0

( )d

I =∫ f x x

A I =2 B I = −16 C I =16 D I = −2

Bài 14 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn

1

0

f x x=

∫

và (1) 2 (0) 2f − f = Tính 1

0 (2 ) '( )d

I =∫ −x f x x

A I =8 B I = −12 C I =12 D I = −8

Bài 15 Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ¡ , ( ) 1

3

F π = và

3

0

xF x x

π

=

0 ( )d

π

=∫

3

I = π

3

I =π

2 2 9

I = π − .

2.3.2 Tích phân một số hàm đặc biệt.

Ta sử dụng một số công thức sau:

+ Nếu y= f x( ) là hàm số chẵn, liên tục trên [-a;a] thì

0

a

−

=

+ Nếu y= f x( ) là hàm số lẻ, liên tục trên [-a;a] thì

( )d 0

a

a

−

=

+ Nếu y= f x( ) là hàm số chẵn, liên tục trên [-a;a] thì

0

( )

1

x a

f x

m

−

= +

+ Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau

( )d ( )d

f a b x+ − x= f x x

Ví dụ 1 Tính tích phân

2

2 2

−

= ∫ + + [4]

Phân tích bài toán: Ta thấy cận của tích phân là đối xứng từ -2 đến 2, đồng thời

khéo nhận ra hàm số f x( ) ln(= x+ x2 +1) là hàm số lẻ Vì thế ta có thể áp dụng công thức tích phân của hàm số lẻ

Lời giải.

Dễ dàng chứng minh được hàm số f x( ) ln(= x+ x2 +1) là hàm số lẻ

Do đó

2

2 2

−

Ví dụ 2 Tính tích phân

1

d

1 2017x

x

−

= +

Phân tích bài toán : Ta có cận của tích phân là đối xứng từ -1 đến 1, hàm số

2

( )

f x =x là hàm số chẵn Vì thế đủ điều kiện để ta áp dụng công thức tích phân kết hợp giữa hàm số chẵn và hàm số mũ

Lời giải.

Ta có

2

1

x

−

+

3

I =

Nhận xét: Bằng việc sử dụng các công thức trên việc tính toán một số bài tập

tích phân có biểu thức phức tạp trở nên nhanh chóng và chính xác, học sinh có thể trả lời nhanh các câu hỏi trắc nghiệm

Bài tập tương tự.

Bài 1 Cho ( ), ( )f x g x là hai hàm số liên tục trên đoạn [ 1;1]− , ( )f x là hàm số

chẵn, ( )g x là hàm số lẻ Biết

mệnh đề nào sai?[3]

A

1

1

−

=

1

1

g( )dx x 14

−

=

C

1

1

[ ( ) g( )]df x x x 10

−

1

1

[ ( ) g( )]df x x x 10

−

Bài 2 Biết rằng

2 1.cos

d

1 2

a

x a

x m

−

+

2

0

1.cos d

a

I =∫ x + x x.[3]

2

m

I =

Bài 3 Cho biết

1

0 ( )d 2017

f x x=

1

1

( ) d

1 2016x

f x

−

= +

A I =2016 B I =2017 C I = 2017 D I e= 2017 Bài 4 Tính các tích phân sau

a)

1

2

1

1

2

1 cos ln( )d

1

x

x

−

+

=

−

b)

1

1

1

d (2x 1)( 1)

x

−

=

+ +

c)

1

2 2017 3

1

−

=∫ + +

d)

2

4

2

sin sin 2 cos5

d 1

x

e

π

π

=

+

0

sin

d

1 sin

x

π

=

+

2.4 Hiệu quả của sáng kiến.

Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán ở các lớp : 12A, 12B Đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em rất có hứng thú học và giải toán Tuy nhiên khi gặp bài toán tích phân đặc biệt các em rất lung túng không biết giải thế nào Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến của mình tại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan Hoạt động học tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vận dụng được vào giải toán Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên cứu thêm ở các đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức

Kết quả kiểm tra:

12A 0 0 5 11,9 17 40,5 20 47,6

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.

3.1 Kết luận.

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn và hầu hết các em vận dụng tốt

3.2 Kiến nghị.

Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều hơn nữa cho giáo viên trong việc tiếp

xúc với các loại sách tham khảo có chất lượng trên thị trường, đồng thời cũng cần có tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại, các chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham khảo

Các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh cần phát triển rộng rãi các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên, đặc biệt là các sáng kiến đã được xếp loại để đồng nghiệp tham khảo, học hỏi Qua đó nâng cao hiệu quả của các sáng kiến kinh nghiệm trong ứng dụng vào thực tế nhà trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất, thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của