Tích phân một số hàm đặc biệt
1.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và lẻ trên đoạn [ − a a ; ] Khi đó :
Ví dụ 1: Chứng minh
2
2
2
0
4 sin
xdx I
x
π
π
−
Ví dụ 2:Tính tích phân:
1 2
1 2
1 cos ln
1
x
x
−
−
+
∫
2.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn [ − a a ; ] Khi đó :
Ví dụ 3: Tính tích phân:
2
2
2
cos
4 sin
x
π
π
+
=
−
∫
3.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn[−α :α] Khi đó:
Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx
( ) 0
a
a
I f x dx
−
0
( ) 2 ( )
a
I f x dx f x dx
−
∫
∫
−
−
= +
α
α
α
dx x f dx
a
x f
2
1 1
) (
Trang 2Ví dụ 4 : Tính tích phân:
1 4
12x 1
x
−
=
+
Ví dụ 5 : Tính tích phân sau :
2
2
cos3
3x 1
x
π
π
−
=
+
∫
4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0;
2
π
Khi đó
Chứng minh:
Đặt
2
t = − ⇒ π x dx = − dt Khi x = 0 thì
2
t = π , khi
2
x = π thì t = 0
Ví dụ 6:Chứng minh: I=
2
0
sin
n
x
dx
π
π
= +
5.Nếu f(x) liên tục và f(a+b-x) = f(x) thì:
Chứng minh: Đặt t = a + b – x
Ví dụ 7: Tính tích phân: 2
0
sin
4 cos
dx x
π
−
∫
Nhận xét : Bằng cách làm tơng tự ta có các công thức
=
2
a b
xf x dx = + f x dx
Trang 3*NÕu f(x) liªn tơc trªn [ ] 0;1 th×
*NÕu f(x) liªn tơc trªn [ ] 0;1 th×
VÝ dơ 8: TÝnh tÝch ph©n: 2
0
sin
1 cos
dx x
π +
VÝ dơ 9: TÝnh tÝch ph©n:
2
3 0
.cos
I x x dx
π
= ∫
6.NÕu f(x) liªn tơc vµ f(a+b-x) = - f(x) th×:
VÝ dơ 10: TÝnh tÝch ph©n: 2
0
1 sin
1 cos
x
x
π
+
=
+
∫
VÝ dơ 11:TÝnh tÝch ph©n: 4 ( )
0
ln 1 tan
π
TÝch ph©n truy håi:
VD12: Cho tích phân: 2
0
cosn n
∏
= ∫ ,với n là số nguyên dương
Thiết lập hệ thức giữa I n và I n+1 với n>2.Từ đó tính I11 và I12
2
π
=
=
π
( ) 0
b
a
xf x dx =
∫
Trang 4VD13:Cho
0
n
I =∫x e dx a.CMR: In > In+1
b.ThiÕt lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a In vµ In-1 vµ tÝnh In