Phương pháp tích phân từng phần trong khai triển tiệm cận của tích phân loại laplace và áp dụng đối với một số tích phân đặc biệt

Nguyen Văn Hào khóa lu¾n tot nghi¾p "Phương pháp tích phân tNng phan trong khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace và áp dnng vái m®t so tích phân đ¾c bi¾t" đưoc hoàn thành không

đõ em hoàn thành khoá lu¾n này.

Xin chân thành cám ơn gia đình và ban bè đã tao moi đieu ki¾nthu¾n loi cho em trong quá trình thnc hi¾n khoá lu¾n

Hà N®i, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyen Th% Hanh

i

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào

khóa lu¾n tot nghi¾p "Phương pháp tích phân tNng phan trong khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace và áp dnng vái m®t so tích phân đ¾c bi¾t" đưoc hoàn thành không trùng vói bat kỳ

khóa lu¾n nào khác

Trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n, tôi đã thùa ke nhungthành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyen Th% Hanh

ii

Mnc lnc

1 M®T SO KIEN THÚC VE GIÁI TÍCH TIfiM C¾N 5

1.1

M®t so khái ni¾m v e b¾c 6

1.2 Khái ni¾m v e khai trien ti¾m c¾n 7

1.3 M®t so ví du ve khai trien ti¾m c¾n 8

1.4 Các tính chat cna khai trien ti¾m c¾n 10

2 TÍCH PHÂN LOAI LAPLACE 19 2.1 Ý tưóng cna phương pháp khai trien ti¾m c¾n đoi vói tích phân loai Laplace 19

2.2 Trưòng hop f (t) đn trơn 20

2.3 Trưòng hop f (t) không đn trơn 24

3 M®T SO TÍCH PHÂN Đ¾C BIfiT 28 3.1 Hàm Gamma không h o àn c hính 28

3.2 Tích phân Fresnel 30

3.3 Bài toán cna Stieltjes 31

Ket lu¾n 33

Tài li¾u tham kháo 34

iii

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Khi giái quyet nhieu bài toán trong thnc te thưòng xáy ra rang,nhung chuoi phân kỳ có the đưoc sú dung cho sn tính toán giá tr% so cnam®t đai lưong mà theo nghĩa nào đó có the đưoc xem như là "tong" cnachuoi Trưòng hop đien hình là đoi vói các chuoi hàm, bang sn xap xíbói m®t so so hang đau tiên cna chuoi thnc sn đem lai hi¾u quá mongmuon Trong hau het các trưòng hop các so hang đau tiên cna chuoigiám nhanh (khi bien so đ®c l¾p tien nhanh tói giá tr% giói han cna nó),nhưng nhung so hang sau bat đau tăng tró lai Các chuoi như v¾y đưocgoi là chuoi bán h®i tu và vi¾c tính toán giá tr% so thưòng đưoc thnchi¾n bói m®t so các so hang đau cna chuoi Đe minh hoa cho đieunày, ta xét m®t bài toán đưoc xét đen lan đau tiên vào năm 1754 bói

toán đ%nh lưong giá tr% so xap xí cna chuoi này

M®t van đe đưoc đ¾t ra là hàm nào cna bien x có giá tr% so bieu dien sn xap xí đó Euler đã xét hàm φ(x) = xS(x) và bang tính

toán đơn gián ta thay rang

Đieu đó cho thay rang hàm φ(x) nh¾n đưoc tù nghi¾m cna m®t

phương trình vi phân M¾t khác, sú dung tích phân Euler loai hai

đây là khi nào chuoi phân kỳ (0.1) bieu dien hàm (0.3) Đe trá lòi

cho van đe này trưóc het ta lưu ý rang

n=0

x và do đó

< ±φ < π thì |1 + xt| −1 < |cosec φ|

và

|R m (x)| ≤ (m + 1)! |x| m+1 |cosec φ| (0.8)Trong cá hai trưòng hop, phan dư có cùng b¾c vói so hang đau tiên cna

phan dư cna S(x) và tien nhanh đen 0 khi x → 0 Giói han h®i tu

đeu trong bat kỳ hình quat nào đó mà |arg x| < π − ε, ε > 0 Neu

Re x > 0 thì phan dư nhó hơn so hang dư đau tiên và neu x > 0 thì

phan dư cùng dau vói so hang đau tiên cna phan dư

Có m®t so phương pháp đe nghiên cúu ti¾m c¾n cna các tíchphân như phương pháp pha dùng, phương pháp đưòng giám nhanh,phương pháp điem yên ngna Tuy nhiên, m®t trong nhung phươngpháp đưoc quan tâm trưóc het trong lý thuyet xap xí ti¾m c¾n đoivói tích phân đó là phương pháp tích phân tùng phan Đe hoàn thànhkhóa lu¾n tot nghi¾p chương trình b¾c đào tao cú nhân khoa hoc

Toán hoc em chon đe tài "Phương pháp tích phân tNng phan trong khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace và áp dnng vái m®t so tích phân đ¾c bi¾t".

Lu¾n văn gom 03 chương Chương 1, đưoc giành đe đưa ra m®t

so kien thúc căn bán ve lý thuyet ti¾m c¾n Chương 2 cna lu¾n văn,chúng tôi trình bày m®t cách h¾ thong m®t so phương pháp ưóc lưongxap xí

2

tích phân loai Laplace Cuoi cùng, chúng tôi sú dung phương pháp tíchphân tùng phan đe thu đưoc khai trien cna m®t so tích phân đ¾c bi¾t.

2 Mnc đích, đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Lu¾n văn trình bày m®t cách h¾ thong ve lý thuyet xap xí ti¾mc¾n, trình bày m®t so phương pháp xap xí ti¾m c¾n đoi vói tích phânloai Laplace Úng dung phương pháp tích phân tùng phan đe xap xí m®t

so tích phân đ¾c bi¾t

3 Phương pháp nghiên cNu

Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u

Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu

4 DN kien đóng góp cúa đe tài

H¾ thong hóa chi tiet, căn bán ve lý thuyet khai trien ti¾m c¾n Trình bày phương pháp tích phân tùng phan xap xí tích phân loaiLaplace

Sú dung phương pháp tích phân tùng phan đe xap xí m®t so tíchphân đ¾c bi¾t

Chương 1 M®T SO KIEN THÚC VE GIÁI

(iii) Neu xap xí cna tích phân I(ε) là 1 − 1!ε + 2!ε2 thì đây là xap

xí có

đ® chính xác tói b¾c cna ε2 Trong vi¾c tính toán các tích phân trên,

tham so ε là so thnc Chúng ta se phát bieu chính xác các khái ni¾m có

tính trnc giác trên cho bien phúc ó múc đ® tong quát

1.1 M®t so khái ni¾m ve b¾c

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho f (z) và g(z) là hai hàm xác đ%nh trên mien

D

trong m¾t phang phúc C và z0 là m®t điem giói han cna mien đó, ta nói

(i) Hàm f (z) có b¾c "O lón" đoi vói g(z) khi z → z0 và ký hi¾u là

f (z) = 0.

z→z0 g(z) (iv) Hàm f (z) xap xí bang I(z) tói b¾c δ(z) khi z → z0, neu

Tró lai phương trình (1.1), ó đây cho z là ε và z0 = 0 Xét xap

ε2

= 0.

Như v¾y f (ε) đưoc goi là xap xí cna I(ε) tói b¾c ε2

1.2 Khái ni¾m ve khai trien ti¾m c¾n

Trong phương trình (1.1) chúa m®t dãy sap thú tn 1, ε, ε2,

ε3, Đ¾c điem cna dãy này là so hang thú (j + 1) cna dãy nhó hơn nhieu so vói so hang thú j cna nó Đ¾c điem này xác đ%nh tính chat

cna m®t dãy ti¾m c¾n Phương trình (1.1) cho ta m®t khai trien

ti¾m c¾n cna tích

phân I(ε) tương úng vói dãy ti¾m c¾n {ε j } ∞ Ta phát bieu chính xác

các khái ni¾m này như sau

Đ%nh nghĩa 1.2 (i) Dãy hàm {δ j (z)} đưoc goi là dãy ti¾m c¾n khi

z → z0 neu vói moi j = 1, 2, thì

δ j+1(z) = o(δ j (z)); z → z0 (ii) Giá sú I(z) là m®t hàm liên tuc và cho {δ j (z)} là dãy ti¾m c¾n

khi

z → z0 Chuoi có dang .N a j δ j (z) đưoc goi là khai trien ti¾m c¾n

cna I(z) khi z → z0 tói b¾c δ N (z) neu vói moi m = 1, 2, N ta có

j= 1

Trong phương trình (1.2) các so hang cna chuoi có the thu đưoc lan

Khi tính toán các so hang này có the lón tùy ý, đoi vói phương trình

(1.2) thưòng là N = ∞, m¾c dù trong thnc te chuoi ti¾m c¾n này

thưòng không h®i tu

1.3 M®t so ví dn ve khai trien ti¾m c¾n

Ví dn 1.1 Quay tró lai phương trình (1.1), ve phái cna phương trình này là khai trien ti¾m c¾n cna tích phân I(z) vói so hang thú (n+1) là rat nhó so vói các so hang trưóc nó Đieu này đúng vói moi

Đieu quan trong chúng ta thay rang khai trien trong phương trình

(1.1) không h®i tu Th¾t v¾y, vói ε co đ%nh thì so hang (−1) N N !ε N tien đen vô cnc khi N → ∞ Nhưng vói N co đ%nh thì so hang này b% tri¾t tiêu khi ε → 0 và đây là lý do cho thay khai trien ti¾m c¾n trên đem lai m®t xap xí tot cho tích phân I(ε) khi ε → 0.

Ví dn 1.2 Tìm khai trien ti¾m c¾n cna tích phân

j= 0

Đ¾t t r = zt, ε

=

1, ta thay rang

z3

− + (−1) N −1

(−1) N N ! ¸

∞

( N − 1)!

chính là m®t dãy ti¾m c¾n Do đó phương trình (1.3) là khai trien

ti¾m

c¾n cna tích phân I(z) vói z đn lón Hơn nua, khai trien trên không h®i tu khi N → ∞ và z co đ%nh The nhưng tù đánh giá trên ta thay khi z → ∞ và N co đ%nh thì R N → 0.

Ví dn 1.3 Tìm khai trien ti¾m c¾n cna tích phân

z3

− + (−1) N −1

¸ ∞

( N −

1) ! .

Vì v¾y phương trình (1.4) là khai trien ti¾m c¾n cna tích phân đã cho Khi N → ∞ vói z co đ%nh, dãy này phân kỳ và |R N | → ∞ Khi z →

∞ vói N co đ%nh thì R N → 0.

Thông thưòng, chuoi ti¾m c¾n se mang lai xap xí tot như mong

muon Chang han trong ví du trên khi z = 10 và N = 2, sai so giua ket quá chính xác vói hai so hang đau tiên cna chuoi là R2(10) thóamãn

Tuy nhiên, ta không the lay quá nhieu các so hang cna chuoi bói vì phan

dư cna chuoi chí giám nhanh trong m®t so các so hang đau cna chuoi và

các so hang tiep theo bat đau tăng tró lai khi N tăng Ve nguyên tac,

ta có the tìm đưoc m®t giá tr% "toi ưu" cna N đe khi z co đ%nh thì phan

dư đó là nhó nhat (xap xí tot nhat) é đây, chúng ta se không tìm hieuthêm ve van đe này Trong hau het các áp dung, ta chí can thu đưocm®t vài so hang đau cna khai trien ti¾m c¾n là đn

1.4 Các tính chat cúa khai trien ti¾m c¾n

Các tính chat sau đây cna khai trien ti¾m c¾n có the đưoc thietl¾p m®t cách de dàng như sau

Tính chat 1.1 (Tính duy nhat cna chuoi ti¾m c¾n)

Cho dãy ti¾m c¾n {δ j (z)} ∞ , khi đó khai trien ti¾m c¾n cna hàm f (z)

là duy nhat Rõ ràng, neu cho

N

f (z) ∼ a j δ j (z) khi z → z0

j=1

j= 1

thì dãy {δ j (z)} là m®t dãy khai trien ti¾m c¾n Khi đó các h¾ so a n làduy nhat.

ChNng minh Th¾t v¾y, giá sú f (z) còn có khai trien ti¾m c¾n khác

Chia cá hai ve cho δ1(z) và lay giói han đoi vói c1 khi z → z0 ta suy

ra c1 = 0 L¾p lai quá trình này đoi vói δ2(z), δ3(z) ta nh¾n đưoc

c j = 0 vói moi j = 1, 2, 3 Do đó a j = b j vói moi j = 1, 2, 3, Xét hàm f (z) là giái tích khap nơi bên ngoài đưòng tròn |z| = R Khi đó hàm f (z) h®i tu nên khai trien chuoi Taylor có dang

cnc thì nó không the có khai trien ti¾m c¾n nào thóa mãn đoi vói moi

arg z khi z → ∞ Các khai trien ti¾m c¾n đien hình tìm đưoc chí

thóa mãn trong pham vi cna m®t so hình quat nào đó cna m¾t phangphúc

Thưòng thì khai trien ti¾m c¾n cna m®t hàm f (z) cho trưóc se có

dang

f (z) ∼ φ(z)

φ(z)

Đ%nh nghĩa 1.3 M®t hàm f đưoc goi là có bieu dien dưói dang m®t chuoi lũy thNa ti¾m c¾n trong m®t hình quat cna m¾t phang z khi

z → ∞ neu

a1 a2

f (z) ∼ a0 + z +z2+

nhìn chung, chuoi này thưòng không h®i tu

Cho hàm g(z) khác hàm f (z), g(z) có bieu dien cna chuoi lũy thùa

ti¾m c¾n trong hình quat nào đó dưói dang

b1 b2

g(z) ∼ b0 + z +z2+

Khi đó, tong cna hai hàm f + g và tích hai hàm fg cũng có bieu dien

cna chuoi lũy thùa ti¾m c¾n, ta nh¾n đưoc bang cách c®ng và nhântương úng các so hang trong chuoi, nghĩa là

Lưu ý rang, nhieu chuoi ti¾m c¾n (ngoai trù chuoi lũy thùa ti¾m c¾n)

có the lay tích phân các so hang tương úng đưoc nhưng nói chung, nókhông cho phép lay vi phân tùng so hang đe thu đưoc khai trien ti¾mc¾n

∼ a + b

∼

z

2

ζ

Tính chat 1.2 (Tính không duy nhat cna khai trien ti¾m c¾n)

M®t khai trien ti¾m c¾n cho trưóc có the đưoc bieu dien bói hai hàmhoàn toàn khác nhau

Khi đó khai trien cũng giong như bieu dien f (z) + e −z trong hình

quat, tù đó suy ra chuoi lũy thùa ti¾m c¾n bieu dien e −z vói Re z > 0

Khi f (z) có bieu dien dưói dang chuoi ti¾m c¾n (không nhat

thiet phái là chuoi lũy thùa ti¾m c¾n) trong m®t hình quat nào đó cnam¾t phang phúc, nó có the có m®t bieu dien ti¾m c¾n khác hoàn toàn

nam ó gan ke hình quat đó Trong thnc te, ngay cá khi f (z) giái tích vói bien z lón tùy ý nhưng huu han, khai trien ti¾m c¾n có the thay đoi

gián đoan khi hình quat là hình quat chéo Trưòng hop này thưòng

đưoc quy ve hi¾n tưang Stokes trong [1] Đe minh hoa cho trưònghop này ta xét ví du sau

∼

∼

Ví dn 1.4 Xét dáng đi¾u ti¾m c¾n cna tích phân

I(z) = sinh(z −1 ); z → 0, z ∈ C.

Ta có z = r.e iθ Do đó, khi z → 0 so hang can tìm

Loai tích phân thú nhat có dang

huu han và khác không Lúc đó, giói han khi z → z0 và tích phân này

có the thay đoi (đây là trưòng hop đ¾c bi¾t cna dãy ti¾m c¾n có the laytích phân các so hang tương úng) vì v¾y

V¾y đe xác đ%nh đưoc dáng đi¾u cna tích phân loai hai này ta sú dungphương pháp tích phân tùng phan.

Ví dn 1.5 Tìm hai so hang khác không đau tiên trong khai trien ti¾m

c¾n cna tích phân

I(z) =

¸ 1 sin

này ta xét hai ví du dưói đây

Ví dn 1.6 Đánh giá tích phân sau

e −t dt. (1.6)

Ta có the ưóc lưong chính xác tích phân thú nhat cna phương trình

z3

2 − z +3

vào đe xóa ¸ ∞ dt

bó sn gián đoan cna tích phân tai t = 0, ta nh¾n đưoc tích phân

1nhưng tích phân này không h®i tu Neu ta thêm bót

phân đã cho thì khó khăn se đưoc giái quyet, ta có t(t +

1)

¸ ∞.+

Tích phân thú nhat trong phương trình (1.7) bang

Lúc này, tích phân thú hai se là m®t hang so, ta goi hang so này là

−γ (γ đưoc goi là hang so Euler, nó xap xí bang 0, 577216) Đe ưóc

tính đưoc tích phân thú ba trong phương trình (1.7), ta lưu ý khai trien

chuoi Taylor này có dang

đe này, ta xét các ví du sau

Ví dn 1.8 Đánh giá tích phân sau

¸ ∞ 2

I(z) =

z e −t dt; z → ∞.

Giá tr% cna e −t 2 là rat lón tai điem biên t = z Bói vì tích phân tùng

phan ưóc tính đưoc giá tr% cna tích phân trên đưòng biên, sú dung phương

pháp tích phân tùng phan đoi vói tích phân trên ta có

I(z) = ¸ . ∞

z

1 .

− 2t

Chương 2 TÍCH PHÂN LOAI LAPLACE

M®t trong nhung phương pháp đơn gián nhat đe tìm ra khai trienti¾m c¾n cna m®t hàm xác đ%nh bói tích phân xác đ%nh là lay tích phântùng phan Các so hang liên tiep cna chuoi ti¾m c¾n thu đưoc bang cáchlay tích phân l¾p tùng phan Đ¾c tính ti¾m c¾n cna chuoi đưoc xác đ

%nh bang cách kiem tra phan dư, nó có dang m®t tích phân xác đ

%nh Tuy nhiên phương pháp này có nhieu han che và vi¾c thiet l¾pcác ket quá có tính tong quát thưòng g¾p phái nhung khó khăn nhat đ

%nh Trong phan này chúng tôi trình bày phương pháp lay tích phântùng phan đoi vói tích phân loai Laplace đưoc xác đ%nh bói

¸ b

I(z) = f (t)e −zφ(t) dt; z → ∞.

a

2.1 Ý tưáng cúa phương pháp khai trien ti¾m c¾n

đoi vái tích phân loai Laplace

Chúng ta nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n khi z → ∞ cna các tích

cũng vì lý do đó mà ngưòi ta goi các tích phân như v¾y là tích phân loaiLaplace

Trưóc het chúng ta phân tích ý tưóng dan đen vi¾c xap xí tích phân này

tù khía canh mang tính trnc giác Đe có đưoc đieu đó, trưóc tiên ta xét tích phân dang

han) Đieu đó cho ta thay rang, giá tr% chính cna tích phân đưoc phân

bo chn yeu trong lân c¾n cna điem t = 0 Như v¾y, tính toàn cuc cna

bài toán đưoc thay the bói m®t van đe mang tính đ%a phương trong lân

c¾n cna điem t = 0 Đieu đó lý giái cho vi¾c thu đưoc đánh giá ti¾mc¾n cna nhung tích phân như v¾y

2.2 Trưàng hap f (t) đú trơn

Trong phan này ta xét trưòng hop hàm φ(t) là đơn đi¾u trên đoan [a, b] Như sn phân tích trên, vi¾c xác đ%nh giá tr% cna tích phân

này dna trên vi¾c xác đ%nh dáng đi¾u cna nó trong lân c¾n cna điembiên trên đoan đó Trưóc khi đưa ra đieu ki¾n đe thnc hi¾n phương phápnày, chúng tôi se trình bày m®t so ví du cu the Tù đó, ta se có đưoc snnhìn nh¾n m®t cách trnc giác ve đieu ki¾n xác đ%nh cho phương phápnày

Ví dn 2.1 Đánh giá tích phân

¸ ∞

(1 + t2)−2 e −zt dt; z → +∞.

0