Sử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉSử dụng kĩ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ
Trang 1SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Nguyễn Văn Cường Gv THPT Mỹ Đức A-HN:0433741526- 0127.23.34.598
Cuongvan12@gmail.com
Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu giải phương trình vô tỷ,câu này gây nhiều khó khăn cho
học sinh khi làm bài thi.Để giúp học sinh nắm vững cách làm dạng phương trình trên,bài viết này tôi xin
trình bày kỹ năng biến đổi sử dụng biểu thức liên hợp trong giải phương trình vô tỷ Hy vọng rằng sẽ
giúp ích cho các em làm tốt các dạng bài trên
Cơ sở lý thuyết :
Xét phương trình f(x) = 0 ( f(x) là đa thức).Nếu phương trình có một nghiệm
x = x 0 khi đó ta có thể viết phương trình trên dạng : (x-x 0 )g(x) = 0 (Định lý Bơzu)
a b
a b
a b
(a,b>0 ab); 3 3
a b
a b
a ab b
3x 1 6 x 3x 14x 8 0 (1) ( ĐHKB-2010) Phân tích:
Ta tìm một số x ( 1 6
3 x
) sao cho 3x+1 và 6-x là một số chính phương thỏa mãn phương trình trên Rễ thấy x=5 thỏa (*).Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng (x-5)f(x)=0,nhưng định lý Bơzu chỉ đúng
đối với f(x) là đa thức ,vì vậy ta cần làm xuất nhân tử chung x-5 từ vế trái của phương trình bằng phương
pháp liên hợp Muốn vậy tìm hai số a , b > 0 sao cho hệ phương trình sau có nghiệm x=5
Lg: TXĐ 1 6
3 x
3 1 4 1 6
(3 1) 0(*)
3 1 4 1 6
x
Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với 1 6
3 x
Vậy x=5 là nghiệm duy nhất
Ví du 2:Giải phương trình : 2
2x 1 x 3x 1 0 ( ĐHKD-06) (2) Phân tích: Tương tự như trên ,ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình
Lg: Đk 1
2
x Viết lại phương trình như sau :
1
2
2 0(*)
2 1 1
x
x
x x
Đặt t= 2x 1 0, (*) t2 2t 1 0 t 2 1 x 2 2
Vậy nghiệm của phương trình là x=1, x 2 2
Cách 2:Biến đổi 2
2x 1 x (2x 1) x 0,Đặt t = 2x 1 0 ta có x2- t2 = x-t Cách 3: biến đổi tương đương
Ví Dụ 3 Giải phương trình : 3 2 x22x x6 (3) (HVKTQS 2000)
Trang 2Phân tích :
Nhận thấy x=3 là một nghiệm của nghiệm của phương trình Ta sẽ đưa (2) về dạng
(x-3)f(x)=0 như sau
Lg: Viết lại phương trình (2):
x
3
3 0
3
x x
x
Ví Dụ 4 :Giải phưng trình
2
2
1
x x x
(4) Phân tích: Ta thấy phương trình có nghiệm x=1
2,ta phân tích như sau Lg:
1 x 1 x 2x x x x 1 x x 1 x 2x x 0
x
0(*)
1
2
x
Nhận thấy (*) vô nghiệm với 0 x 1.Vậy 1
2
x là nghiệm duy nhất
Ví Dụ 5:Giải phương trình :9 4 x 1 3 x 2 x 3 (5) (HSG k12 Hà Nội -2010)
Lg: Đk 2
3
x ,Nhận thấy x=6 là một nghiệm của phương trình ,ta phân tích như sau
4 1 5 4 3 2
6
1 0(*)
4 1 5 4 3 2
4 1 5 4 3 2
x x
Rễ thấy phương trình (*) vô nghiệm
x
Bình phương hai vế ta cũng thu được x=6
x x x (6)
3
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình
Lg:
Trang 3
(Dễ dàng chứng minh được :
3 0,
3
x
Ví Dụ 7 Giải phương trình : 3 2 3
x x x (7)
Lg : Đk x 32
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
3
3
3
x
x
Ta chứng minh :
3
2 3
x
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
x x x x (8) (THTT) Lg: Đk: 2 x 4
3
2 1(*)
x
x
2 1
4 x 1 2 1 x 2 1 4 x 1
Lại có 2x+15 với mọi x thỏa 2 x 4.Vậy (*) vô nghiệm (7) có nghiệm x=3
Ví Dụ 9 Giải phương trình 3 3 3 2 3 2
x x x x (9)
Phân tích :
VP 1 VT 1 x 1.Nhận thấy nếu 2x2
= x+1 thì hai vế của pt bằng nhau gợi cho ta nghĩ đến việc phân tích ra thừa số chung là 2x2
-x – 1
3
2
3
0(*)
x x
1 1;
2 (*)
vn
(Chú ý có thể dùng phương pháp hàm số)
Ví Dụ 10 Giải phương trình : 3
x x (10) Lg: Đk: x12
(10) 3
2
x
Trang 43
12 ( 24) 3 ( 24) 6 0(*)
x
Thay 3
6 x24 12x vào (*) ta có 3 2 3
(x24) 4 (x24) 0 x 24;x 88
Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn (9)
Vậy nghiệm của (9) :x=2;x=-24;x=-88
Nhận xét: Một số phương trình vô tỷ được giải nhờ vào sự quan sát tinh tế,lựa
chọn hợp lý biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình.Ta xét ví dụ sau
VÍ Du 11 Giải phương trình 1 x 1 1 x 2x 5 x (11)
Lg: Đk x 1 Nhận xét rằng x=0 không là nghiệm của phương trình ,nhân cả hai
vế của phương trình trên với 1 x 1 0 ta có
x 1 x 2x 5 x 1 x 1 1 x 2x 5 1 x 1 x 2
Nhận xét:Qua lời giải trên cho thấy vai trò và tầm quan trọng của việc sử dụng
Nhân biểu thức liên hợp Bạn hãy giải theo hướng khác để thấy được tầm quan
trọng của phương pháp này
Ví Dụ 12 Giải phương trình : 2 2
2x 3x 5 2x 3x 5 3x (12) Lg: Từ vế trái của phương trình dương,suy ra phương trình có nghiệm khi x >0
Nhân cả hai vế của phương trình với 2x23x 5 2x23x 5 0
6x3x 2x 3x 5 2x 3x5 2x 3x 5 2x 3x 5 2(*)
Lấy (*) cộng với (12) theo vế ta có 2
2 2x 3x 5 2 3x x 4 Thử lại ta thấy x=4 là nghiệm của phương trình đã cho
Ví Dụ 13 Giải phương trình 2 x 3 x 2 x 6
2
x ,pt tương đương ( 2 3 )( 2 3 ) 2( 3)
2 3
x
x
1 2
2 x 3 x
>0
Ví Dụ 14: Giải phương trình 2
9 20 2 3 10
3
x x
x
x
( 6)
x
x
=0(*)
Hoặc x=-3.Mặt khác x>-3 và 10 3
3 x
phương trình (*) vô nghiệm
Ví dụ 15 Giải phương trình 2 3
2x 11x21 3 4 x4 Lg: pt tương đương
2 3
3 4 4 2 4 4 2 4 4 4
12( 3)
x
2
12
t t
12
t t <1,cmtt x<3 ptvn
Ví dụ 16: Giải phương trình
2
4
x
x
Trang 5Lg : Đk x 2; 2, Phương trình tương đương
2
x=3 hoặc 2x 4 2 2x = x24 4 2 2 x2x 2 xx40
2 x 4 2(2 x) x 4 2 x 0 x 2
Ví dụ 17 GPT: x-1+ x 1 2 x x2 2 (1)
+) ĐK: x[-1;2]
2
0
x
x
+) Giải (2):
Ví Dụ18:Tìm a để bất phương tình sau có nghiệm 3
x x a x x (13) Lg: Đk x1 ;(13)
3
3 1
1
x x
x x
Xét hàm số g(x) = 3 2
x x >0 , đồng biến trên 1; h(x) = 3
1
x x >0, đồng biến trên 1;
x x x x đồng biến trên 1; nên f(x) f(1)3.Vậy a3 thì phương trình có nghiệm