Phương pháp tọa độ hóa trong mặt phẳng (KL06155)

Ở cấp THCS các em đã được làm quen với những bài toán hình học truyền thống, lên lớp 10 các em được học về phương pháp tọa độ không chỉ để các em giải những bài toán cho trong mặt phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

=======***=======

NGUYỄN THU PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA

TRONG MẶT PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên cho em gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong khoa toán trường ĐH sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong những năm học qua, đã tạo điều kiện thuận lợi cho em học tập, nghiên cứu, tìm tòi tài liệu Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu Khóa luận mà còn

là hành trang quý báu để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy giáo - Thạc sĩ Nguyễn Văn Vạn trong suốt thời gian qua đã nhiệt tình giúp đỡ, chỉ dạy

để em thực hiện bài Khóa luận tốt nghiệp này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến toàn thể bạn bè và gia đình đã luôn bên cạnh ủng hộ em trong suốt thời gian qua

Em xin chân thành cảm ơn

Sinh viên

Nguyễn Thu Phương

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan bài Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình nghiên cứu, tìm tòi của em dưới sự hướng dẫn từ giáo viên - Thạc sĩ Nguyễn Văn Vạn Với sự cố gắng của bản thân, em đã tổng hợp, trình bày nên bản Khóa luận tốt nghiệp này

Em hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lời cam đoan trên

Sinh viên

Nguyễn Thu Phương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1

I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ - CÁC TRONG PHẲNG 1

1, Định nghĩa 1

2, Hệ tọa độ thuận 1

II TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM 1

1 Tọa độ véctơ 1

1.1 Định nghĩa 1

1.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ 2

2 Tọa độ của điểm 2

2.1 Định nghĩa 2

2.2 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng - tọa độ trọng tâm tam giác 2

3 Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của véctơ 3

III PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG 3

1 Phương trình đường thẳng 3

1.1 Phương trình tổng quát - phương trình tham số của đường thẳng 3

1.2 Một vài chú ý 4

1.3 Khoảng cách và góc 4

2 Phương trình đường tròn 5

2.1 Dạng phương trình chính tắc 5

2.2 Dạng phương trình khai triển 5

3 Phương trình Elip 5

3.1 Định nghĩa 5

3.2 Phương trình chính tắc 5

4 Phương trinh Hypebol 6

4.1 Định nghĩa 6

4.2 Phương trình chính tắc 6

5 Phương trình Parabol 6

5.1 Định nghĩa 6

5.2 Phương trình chính tắc 6

IV.CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRUYỀN THỐNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 7

1 Chọn hệ trục tọa độ 7

2 Khai thác các tính chất và các phép toán liên quan đến véctơ và tọa độ 7

3 Hình thành hệ tọa độ trong mặt phẳng như thế nào? 7

Chương 2: LỚP CÁC BÀI TOÁN 11

I BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM 11

II BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP CỐ ĐỊNH 17

III ĐẲNG THỨC VÀ ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ 24

IV BÀI TOÁN CHỨNG MINH 32

V GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ 44

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học phẳng là một bộ phận không thể thiếu của toán học Ở cấp THCS các em đã được làm quen với những bài toán hình học truyền thống, lên lớp 10 các em được học về phương pháp tọa độ không chỉ để các em giải những bài toán cho trong mặt phẳng tọa độ mà còn có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải những bài toán hình học truyền thống

Với những bài toán cho trong mặt phẳng Oxy định hướng giải quyết bài toán khá rõ ràng: Học sinh sẽ sử dụng các kiến thức về tọa độ

để giải quyết Tuy nhiên nếu bài toán được cho dưới dạng truyền thống

mà học sinh đã quen thuộc ở THCS thì ngoài việc giải bằng cách thông thường ta có thể định hướng cho học sinh giải bằng phương pháp tọa độ Cách tiếp cận và giải bài toán bằng phương pháp tọa độ sẽ giúp giải quyết một số bài toán hình học phẳng khá hóc búa trở nên dễ dàng hơn, mặt khác làm cho hoc sinh có khả năng tìm tòi, sáng tạo và khả năng tư duy toán tốt hơn

Làm thế nào để chuyển một bài toán hình học được phát biểu dưới dạng truyền thống không có các đại lượng liên quan đến tọa độ về bài toán phát biểu trong mặt phẳng tọa độ có những đại lượng tọa độ, phương trình đường, để giải? Sau đây tôi xin đưa ra một vài phương pháp và ví dụ điển hình áp dụng phương pháp tọa độ hóa vào giải quyết những bài toán hình học phẳng

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải một số lớp bài toán hình học

Xây dựng các bài tập minh họa cho các lớp bài toán có sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: phương pháp tọa độ hóa trong mặt phẳng

- Phạm vi nghiên cứu: một số lớp bài toán hình học áp dụng phương pháp tọa độ hóa để giải

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan trong sách tham khảo và trên mạng internet

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ - CÁC VUÔNG GÓC TRONG PHẲNG

1 Định nghĩa

Hệ trục tọa độ hay còn gọi là hệ trục tọa độ Đề - các là hệ trục Oxy gồm 2 trục Ox và Oy vuông góc với nhau

Ox là trục hoành có véctơ đơn vị là i,

Oy là trục tung có véctơ đơn vị là j

II TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

1 Tọa độ của véctơ

1.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy cho u = AB ta luôn có cặp số duy nhất (x ,1 x ) sao cho u = 2 x i + 1 x2 j Ta gọi cặp số (x , 1 x ) là tọa độ của 2véctơ u với hệ tọa độ đã cho và viết u = (x , 1 x ) hay u (2 x , 1 x ) 2NX: Nếu u = (x , 1 x ), u' = (2 x1, x2) thì:

1.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ

2.2 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng - tọa độ trọng tâm tam giác

a, Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Cho 2 điểm phân biệt A(x ,y )A A , B(x ,y )B B Gọi M(x ,y ) là M Mtrung điểm của đoạn thẳng AB Ta có công thức:

M A B

M A B

1

x (x x )2

1

y (y y )2

b, Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC, A(x ,y )A A , B(x ,y )B B , C(x ,y ) Gọi C C

- Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 (

a2 + b2 # 0), trong đó n(a,b) là một véctơ pháp tuyến

- Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0( x0, y0 ) và có véctơ pháp tuyến ( VTPT ) n(a,b) là: a( x - x0) + b( y - y0) = 0 ( a2 + b2 # 0)

- Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0( x0, y0 ) và có véctơ chỉ phương ( VTCP ) u(a,b) là: x x0 y y0

- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(x1, y1), B(x2, y2):

- Có vô số VTCP (VTPT) và chúng cùng phương với nhau nên ta

có thể chọn tọa độ tỉ lệ và thỏa mãn điều kiện véctơ khác véctơ 0

1.3 Khoảng cách và góc

- Khoảng cách từ điểm M0( x0, y0 ) đến đường thẳng :

ax + by + c = 0 ( a2 + b2 # 0) cho bởi công thức:

* M, N cùng phía với  (a.xM + b.yM + c)(a.xN + b.yN + c) > 0

* M, N khác phía với  (a.xM + b.yM + c)(a.xN + b.yN + c) < 0

- Phương trình 2 đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đương thẳng 1: a x b y c 01  1  1 và 2 : a x b y c2  2  2 0 là:

2.2 Dạng phương trình khai triển

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mọi phương trình có dạng:

x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với a2

+ b2 - c > 0 là phương trình đường tròn tâm I(-a, -b), bán kính

IV.CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC THUẦN TÚY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

1 Chọn hệ trục tọa độ

Gốc tọa độ, trục tọa độ thường gắn liền với điểm và đường đặc biệt của bài toán như: tâm đường tròn, đỉnh góc vuông, trung điểm đoạn thẳng, chân đương cao,

- Chuẩn hóa độ dài các đoạn thẳng và đơn vị trục

- Xác định tọa độ các điểm và phương trình các đường theo hướng hạn chế đến mức thấp nhất việc sử dụng các tham số, điều chỉnh giá trị các tham số để nhận được những tọa độ "đẹp" giúp các phép toán trở nên đơn giản

2 Khai thác các tính chất và các phép toán liên quan đến véctơ và tọa

độ

- Điều kiện theo tọa độ để các véctơ vuông góc

- Điều kiện theo tọa độ để các véctơ cùng phương

- Tính khoảng cách dựa theo tọa độ

- Tính số đo của góc dựa theo tọa độ,

* Việc sử dụng công cụ tọa độ thực chất là sử dụng đại số để nghiên cứu hình học muốn vậy phải chọn hệ tọa độ thích hợp trên cơ sở hệ tọa

độ đúng

3 Hình thành hệ tọa độ trong mặt phẳng như thế nào?

Bài toán có đơn giản hay không phần lớn phụ thuộc vào việc hình thành hệ trục tọa độ Sau đây là cách chọn hệ trục tọa độ tương ứng với những bài toán thường gặp:

a, Tam giác cân:

Giả sử tam giác ABC cân tại A, hạ đường cao từ đỉnh của tam giác cân đến cạnh đối diện AO  BC



khi đó ta nhận đƣợc C(c, 0), B(-c, 0), A(0, a), trọng tâm G(0, a

- Chuẩn hóa độ dài cạnh hình

vuông bằng 2 ta có: A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), tâm hình vuông I(1,1), trung điểm cạnh AB có tọa độ (1,0)

Cách 2:

- Chọn hệ trục tọa độ Đề - các vuông

góc Ixy

(I là tâm hình vuông ABCD) nhƣ hình vẽ

- Chuẩn hóa độ dài cạnh hình vuông

bằng 2 ta có: I(0, 0), A(-1, -1), B(1, -1),

C(1, 1), D(-1, 1)

Trung điểm cạnh AB có tọa độ (0, -1)

Trung điểm cạnh BC có tọa độ (1, 0)

Trung điểm cạnh CD có tọa độ (0, 1)

Trung điểm cạnh AD có tọa độ (-1, 0)

- Chuẩn hóa độ dài:

Không mất tính tổng quát, ta đặt chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: 2a, 2b (a > b > 0)

Khi đó: Tâm của hình chữ nhật I(a, b)

Phương trình đương tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là:

(x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2Cách 2:

- Chọn hệ trục tọa độ Đề - các vuông góc Ixy (I là tâm hình chữ nhật ABCD) như hình vẽ

- Chuẩn hóa độ dài: Đặt chiều dài,

chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là

2a, 2b (a > b > 0) ta có: I(0,0), A(-b, -a),

B(a, -b), C(a, b), D(-a, b)

d, Hình tròn:

- Chọn tâm đường tròn làm gốc tọa độ

- Chọn 2 đương kính vuông góc với

nhau làm 2 truc tọa độ Ox, Oy

- Chuẩn hóa độ dài bán kính R = 1

Chương 2 LỚP CÁC BÀI TOÁN

I BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM

Bài 1: ( Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007)

Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi Gọi

H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC

Giải :

Chọn hệ trục Oxy với O trung điểm BC và trục Ox là đường thẳng BC

Giả sử B( 1,0),C(1,0) và A(m,n) Khi đó G m n,

>x

I H A

Bài 2 : ( Đề thi Olympic Lê Hồng Phong 2008-2009) Cho tam giác

ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI của tam giác ABC tại K.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A,

biết rằng IH song song với KC

Giải:

Chọn hệ trục Oxy với O trùng I và trục Ox là đường thẳng BC, tọa

độ điểm I(0, 0)

Đặt BC = 2a > 0 Khi đó tọa độ B(-a, 0), C(a, 0) Giả sử tọa độ điểm A(x0, y0) với y0  0

Đường cao đi qua B vuông góc với AC có VTPT là AC(a - x0, -y0)

và đi qua điểm B(-a, 0) có phương trình:

(x + a)(a - x0) - y0y = 0 Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình

0 0

0 0

Bài 3 : (Đường tròn Appolonius) Cho hai điểm A, B và một số thực

dương k Tìm quỹ tích những điểm M trong mặt phẳng sao cho MA = kMB

thẳng này Vậy quỹ tích những điểm cách đều một điểm đã cho và một đường thẳng đã cho là gì?

Phân tích một số vị trí đặc biệt, có thể thấy quỹ tích không phải là đường thẳng mà cũng không phải là đường tròn Vậy quỹ tích có thể là gì? Ta hãy đưa hệ trục toạ độ vào bài toán để tìm hiểu vấn đề này.Một cách tự nhiên, ta chọn HP là trục tung và d là trục hoành ( H là chân đường vuông góc hạ từ điểm P xuống đường thẳng d)

Bài 5: Cho đường d trên đó lấy một điểm A Cho trước hai số

dương a, b sao cho a>b Xét tất cả các điểm P, Q sao cho AP = a, AQ = b

và đường thẳng d là phân giác của PAQ Ứng với mỗi cặp điểm P,Q xét điểm M sao cho:AM AP AQ  Tìm quỹ tích điểm M

II BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP CỐ ĐỊNH

Bài 1: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O,R) và một điểm A cố

định I là điểm di động trên (O) Đường tròn tâm I luôn đi qua A Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Rn

m   và IA2 2 2

)nb(

m  

Vậy phương trình (I) : 2 2 2 2

)bn(m)ny()mx

Ta có d(A,d) =

R2

Rbn

m2

Rbnb2nb

2 2

Bài 2: Cho một điểm M nằm tùy ý trên đoạn thẳng AB, M khác A

và B Dựng các hình vuông AMCD và MBEF về cùng một phía với AB Các đường tròn tâm P và Q lần lượt ngoại tiếp 2 hình vuông AMCD và MBEF cắt nhau tại M và N

1, Chứng minh AF và BC cắt nhau tại N

2, Chứng minh đường thẳng MN đi qua một điểm cố định

, 1 m2

)

1, Ta có: AF (m, 1 - m)

BC(m- 1, m) Suy ra: AF BC = m.(m - 1) + m.(1 - m) = 0 AF  BC

Gọi N' là giao điểm của AF và BC

Ta có AN'C = AMC = 90 0  4 điểm N', C, A , M cùng nằm trên một đường tròn Do đó, N' nằm trên đường tròn tâm P

Tương tự BN'F = BEF = 900  4 điểm B, N', E, F cùng nằm trên một đường tròn Do đó, N' nằm trên đường tròn tâm Q

Như vậy, N' là điểm chung của 2 đường tròn tâm P và Q, mà EF và

BC không đi qua điểm M nên N'  N

Vậy AF và BC cắt nhau tại N

2, Do 2 đường tròn tâm P và Q cắt nhau tại M, N nên MN  PQ

Suy ra PQ (1

2 ,

1 2m2

) là VTPT của đường thẳng MN

Do đó, phương trình đường thẳng MN là:

1

2(x - m) +

1 2m2

(y - 0) = 0

 x + (1 - 2m)y - m = 0 Giả sử S( x0, y0) là điểm cố định mà đường thẳng MN luôn đi qua khi M di động trên đoạn AB Ta có:

x0 + (1 - 2m)y0 - m = 0 , m  (0, 1)

 (x0 + y0) - (1 + 2y0)m = 0 , m  (0, 1) Tọa độ điểm S là nghiệm của hệ phương trình:

0 0 0

 )

Bài 3: Họ các tam giác cân có các tính chất sau: Chúng có đáy nằm

trên một đường thẳng d cố định, có đỉnh A thuộc đáy là một điểm cố định và có bán kính đường tròn nội tiếp bằng r không đổi Chứng minh rằng cạnh bên không đi qua A của các tam giác này luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Giải:

Xét hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là O  A, trục Ox là d và trục Oy là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d

Đường tròn nội tiếp tam giác sẽ có phương trình

(x - m)2 + (y - r)2 = r2trong đó m là tham số I(m, r) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Khi đó, do tam giác ABC cân tại C nên điểm B đối xứng với A qua trung điểm J của AB, có toạ độ B(2m, 0) Xét phương trình đường thẳng

t qua B với hệ số góc k: y = k(x - 2m) Đường thẳng này tiếp xúc với (I) khi và chỉ khi: d(I, t) = r

có đường thẳng Dm nào đi qua, tức là các điểm (x0, y0) sao cho phương trình y0 22rm2 (x0 2m)

Có thể kiểm tra lại điều này bằng cách tính khoảng cách từ I(0, 2r) đến (Dm) ,

Bài 4: (Đề thi HSG quốc gia 2007-2008)

Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đường thẳng dvuông góc với đường thẳng AD Xét điểm M nằm trên d Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MB, MC Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P, đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng

AC ở Q CMR đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua 1 điểm cố định, khi điểm M di động trên đường thẳng d

Xét hệ trục toạ độ Đề - các vuông góc Dxy có Dx trùng với đường thẳng qua D và song song với d và Dy trùng với AD

Đặt A(0, a), D(0, 0), B(-b, -c), C(b, c) ( a, b, c là các hằng số) Giả sử M(m, d) là điểm di chuyển trên d, trong đó d là hằng số, còn

- Đường thẳng AB có phương trình b(y - a) = (c + a)x

suy ra toạ độ điểm P m b (c a)m a c,

 )(y – d + b2

a ) = 0 Suy ra đường thẳng qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua điểm

Bài 5: Cho đường tròn (C) tâm O và tiếp tuyến d tiếp xúc với (C)

tại một điểm A cố định trên (C) M là một điểm trên mặt phẳng, kẻ tiếp tuyến MT với (C) và hạ MH vuông góc với d