sáng kiến kinh nghiệm PHƯƠNG PHÁP tọa độ hóa TRONG HÌNH học PHẲNG copy

Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hình học phẳng được giảng dạy cho học sinh ở chương trình trung học cơ sở.. Vậy tại sao các

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG

HÌNH HỌC PHẲNG I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Hình học phẳng được giảng dạy cho học sinh ở chương trình trung học cơ sở Phương pháp giải các bài toán hình học ở cấp hai chủ yếu là dùng các định lí, hệ quả, tính chất hình học để suy luận Phương pháp mang bản chất thuần túy hình học này đôi khi gây không ít khó khăn cho học sinh, đặc biệt là những học sinh THPT

Các đề thi Olympic 30/4 hay đề thi học sinh giỏi THPT những năm gần đây cũng có bài toán hình học phẳng Việc dùng phương pháp tổng hợp không phải là thế mạnh của các em Trong khi đó học sinh lớp 10 đã được học các kiến thức về vectơ và tọa độ Vậy tại sao các em không thử sử dụng các kiến thức vừa học để giải bài toán hình học phẳng thay vì chỉ dùng phương pháp tổng hợp đã biết ở cấp hai

Phương pháp tọa độ hóa hình học phẳng không những cung cấp thêm cho học sinh một công cụ giải toán ( rất đơn giản và dễ hiểu) mà còn giúp củng cố các kiến thức về vectơ và tọa độ vừa học

Điểm mới trong đề tài này là các bài tóan đã được hệ thống lại thành dạng chung, giải theo cùng một phương pháp tương đối dễ nhớ Học sinh có thể tự rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giải toán

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1.Cơ sở lý luận:

Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ LaGéométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng hoá toán học trong nhiều lĩnh vực

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ

độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán

2.Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

a Nội dung:

b a

b a b

 Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm Mx0; y0) và có

vtpt nur= (A; B).là: A(x  x0) + B(y  y0) = 0  Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0)

 Phương trình đường tr n (C) tâm I (a,b), bán kính R là :

(x a )2  (y b)2R2 hoặc x2 + y2 – 2ax - 2by + c= 0

 Phương trình chính tắc của (E):

Các dạng toán thường gặp:

 Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc Tính toán

 Tập hợp điểm

 Điểm cố định

Các bước giải toán:

 Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ (Oxy ) thích hợp

Ta có:Ox, Oy vuông góc từng đôi một Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh

vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ

 Bước 2: Chuyển các giả thiết, kết luận từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ

 Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ

 Bước 4: Chuyển kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang hình học

b Biện pháp:

Kiến thức vectơ và tọa độ là kiến thức mới đối với học sinh Muốn sử dùng phương pháp tọa độ để giải toán hình học đòi hỏi các em phải thành thạo trong việc giải các bài toán tọa độ đồng thời phải nắm được mối liên hệ giữa “ngôn ngữ hình học” và “ngôn ngữ tọa độ”

III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Khái niệm vectơ và tọa độ đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 10, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ của các đối tượng trong hình học phẳng Việc sử dụng vectơ và tọa độ để giải quyết bài toán hình học phẳng tạo cho học sinh cảm giác thích thú, trực quan và quen thuộc đặc biệt có hiệu quả trong bài toán quỹ tích

Phương pháp tọa độ là một cuộc cách mạng trong toán học vì nó giúp cho toán học thoát ra khỏi tư duy cụ thể của không gian vật lý thông thường, nhằm đạt tới đỉnh cao khác của sự khái quát và sự trừu tương hóa trong toán học

Mặt khác, một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Vấn đề 1: Bài toán chứng minh (hoặc tính toán)

Bài 1 Cho hình vuông ABCD E, F là các điểm xác định bởi

Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm BC, E là hình chiếu của D

trên CA và F là trung điểm DE Chứng minh rằng AF BE

Bài giải:

Chọn hệ trục Oxy sao cho:

BE AFuuur.uuuur0 (đpcm)

Bài 3

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC D là trung

điểm AB và E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh : IE  CD

Bài 4 (APMO 1998)

Cho tam giác ABC với đường cao AD,  là một đường thẳng đi qua D

Lấy E,F , khác D, sao cho AE  BE, AF  CF Gọi M, N theo thứ tự là

trung điểm của các đoạn thẳng BC, EF

Chứng minh rằng AN  MN

Bài giải:

Chọn A làm gốc tọa độ, trục hoành chứa đường thẳng qua A song song với 

Giả sử D(d;a), E(e;a), F(f;a)  N ;

Bài 5 (IMO 2000)

Cho hai đường tròn (O1 ); (O2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M, N Tiếp

tuyến chung ( gần M hơn) tiếp xúc với ( Oi ) tại Ai Đường thẳng qua M, song song

với A1 A2 , cắt lại đường tròn ( Oi ) ở Bi Các đường thẳng Ai Bi cắt nhau tại C, các

đường thẳng Ai N cắt đường thẳng B1B2 ở D, E Chứng minh rằng CD = CE

uuuur uuuuur uuuur  uuuuur

Suy ra: K là trung điểm của A1 A2

Từ đó, do A1 A2 // B1 B2 nên M là trung điểm DE (2)

Từ (1), (2) suy ra CM là trung trực của đoạn DE (đpcm)

Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm cạnh BC và N là chân đường phân

giác của góc ·ABC Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng

AB, AM tại P, Q theo thứ tự đó Gọi O là giao điểm của đường thẳng vuông góc

với AB tại P với AN, chứng minh rằng OQ BC

  Vậy đường thẳng OQ có phương trình x + cy – ab = 0

Suy ra đường thẳng OQ, BC vuông góc với nhau

Bài 7 (Bungari league 1981)

Đường phân giác trong và ngoài của góc C trong tam giác ABC cắt AB ở L và

M Chứng minh nếu CL = CM thì AC 2 + BC 2 = 4R2 ( R là bán kính đường tròn

ngoại tiếp ABC)

0

Bài 8.(NewYork 1976)

Các đường cao của tam giác nhọn ABC cắt nhau ở H Trên đoạn HB và HC

người ta lấy hai điểm B1 , C1 sao cho · AB1C = · AC1 B = 900 Chứng minh AB1 =

Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) và elip (E) cố định (tâm đường tròn là

tâm đối xứng của elip) Từ điểm M thuộc(C) ta dựng hai tiếp tuyến MT1 , MT2 tới

(E) trong đó T1 , T2 là tiếp điểm.Chứng minh rằng các đường thẳng T1T2 luôn tiếp

xúc với đường cong cố định

Bài giải:

  với gốc tọa độ tại tâm của (C)

Ta có phương trình tham số của (C): x = p sin t  [0;2 )

y = p cos t t 





Gọi M ( p sin t; p cos t )  (C ) và T1 ( x1; y1 ) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (E) tại T1 ( x1; y1 ) : 1 1 1

Gọi N(x;y) là điểm mà họ T1T2 không đi qua

Suy ra psin2 t x pcos2 t y 1

Bài 10 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB; C là một điểm thay đổi trên đường

tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C Gọi H là chân đường cao của tam

giác ABC hạ từ C Hạ HE; HF vuông góc AC; BC tương ứng Các đường EF và AB

cắt nhau tại K Gọi D là giao điểm của hai đường tròn tâm O và đường tròn đường

Xét trong tam giác vuông ABC có:b2 a1a  1 1 a2

Gọi I là trung điểm CH Khi đó phương trình đường tròn (I) là:

   v à phương trình đường tròn (O) là: ( x - a )2 + y2 = 1

Đường thẳng (CD) là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) nên có phương

Phương trình đường thẳng (HE): (a - 1) x - by = 0

Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình:

Bài 11 (Vô địch Nam Tư 1983)

Trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật ABCD, lấy M

khác A và B Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của M trên AD, AB, BC, CD Chứng

minh PQ  RS và giao điểm của chúng nằm trên một trong hai đường chéo của

hình chữ nhật

Bài giải:

Dựng hệ trục toạ độ Oxy có Ox, Oy lần lượt song song với AD, AB

Giả sử bán kính của đường tròn là R

Phương trình của đường tròn là x2 + y2 = R2

Giả sử toạ độ các đỉnh là A(-a;-b); B(-a;b); C(a;b); D(a;-b)

Ta có : AC 2 = 4R2 = 4a2 + 4b2 Suy ra a2 + b2 = R2

Giả sử M ( x0 , y0) bất kì thuộc cung AB nên x02y02R2

Ta có tọa độ các hình chiếu P, Q, R, S là P( x0 - b) , Q( - a y 0 ), R( x0 b) , S (a, y0)

Suy ra : uuuurPQ = (-a - x0 ; y0 + b) ; RSuuur = (a - x0 ; y0 - b) ;

Nên PQuuuur RSuuur = -a2 + 2 2

x y - b2 = 0 Vậy PQ vuông góc RS Đường thẳng PQ đi qua P( x0 ; -b) và có vectơ pháp tuyến nur = ( y0 + b; a + x0 )

Nên có phương trình PQ là:

(b + yo )( x - xo ) + (a + x0 )( y + b) = 0  (b + y0) x + (a + xo) y - xo yo + ab = 0

Tương tự phương trình RS là

(b - y0 )( x - a) - ( x0- a)( y - y0) = 0  (b - y0) x + (a - x0) y + xy0 - ab = 0

Gọi I ( xI ; yI ) lả giao điểm của PQ và RS thì ta có xI ; yI là nghiệm của hệ sau

Cộng lại ta được bx + ay = 0 suy ra bxI + ayI = 0

Do điểm B(-a;b), D(a;-b) nên phương trình đường chéo BD:

(b + b)( x + a) - (a + a)( y + b) = 0

Bài 12 IMO Shortlist 23rd

Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đêu ABCDEF, ta lấy hai điểm M

Vấn đề 2: Tìm điểm cố định

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A nhưng không cân; trên cạnh AB và AC lấy

M và N sao cho BM = CN Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua

Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A Xét D trên cạnh AB và điểm E trên cạnh BC

sao cho hình chiếu của DE trên BC có độ dài bằng

2

BC Chứng minh rằng đường

thẳng vuông góc với DE tại E luôn đi qua một điểm cố định

Bài giải:

Gọi O là trung điểm của BC, chọn hệ tọa độ sao cho A(0;a), B(-b;0), C(b;0)

Khi đó các đường thẳng AB, AC lần lượt có phương trình

Vậy, nếu E(x0;0) , thì H( x0 – b;0) và do đó

Gọi (d) là đường thẳng qua E vuông góc với DE thì phương trình của (d) là:

Trong mặt phẳng cho trước hai điểm A, B Xét điểm C thay đổi trên một nửa

mặt phẳng bờ AB Dựng ra ngoài của tam giác ABC các hình vuông ACED và

BCFG Chứng minh rằng đường thẳng DG luôn đi qua một điểm cố định khi C thay

đổi

Bài giải:

Chọn hệ trục tọa độ Axy sao cho A( 0;0), B(b;0) và C( x0 ; y0 ) , với y0 > 0

Khi đó D(- y0 ; x0 ), G(b+ y0 ;b- x0 ) Vậy uuuurDG = (b + 2 y0 ; b - 2 x0 )

Bài 4 Cho góc vuông xOy, và hai điểm A, C chuyển động theo thứ tự trên Ox, Oy

sao cho OA + OC = b (b là độ dài cho trước) Gọi B là đỉnh của hình chữ nhật

OABC Chứng minh đường thẳng d qua B, vuông góc với AC luôn đi qua một điểm

Vấn đề 3: Tìm quỹ tích của điểm

Bài 1 Cho tam giác ABC với góc C nhọn Tìm quỹ tích các điểm M sao cho

Bài 2 Cho hai điểm AB cố định

Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 2MA2 - 3MB2 = 5 AB2

Bài giải:

Gọi O là điểm xác định bởi 2OAuuuuuuuuuur3OBuuuuuuuuuuur  0uuur

Giả sử AB = a Lập hệ Oxy với Ox trùng với AB

Ta có các điểm A(-3a; 0), B(-2a; 0), M(x; y)

Vậy M thuộc đường tròn tâm O bán kính R = AB

Bài 3 Cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng Một đường thẳng d di động

qua C M là điểm trên d sao cho đại lượng 2MA2 + 3MB2 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm

quỹ tích của M

Bài giải:

Lấy O là điểm trên AB sao cho2OAuuur  3OBuuur Lấy O làm gốc tọa độ như hình vẽ

Không mất tính tổng quát giả sử A(0; 3)và B(0; -2) và M ( x0 , y0) thuộc d

Từ (1) suy ra 2MA2 + 3MB2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MO nhỏ nhất ( M thuộc d )

Khi đó M là hình chiếu vuông góc của O lên d

Do OC cố định, suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính OC xác định như

trên

Bài 4 (30/4/2011)

Cho góc x O y và hai điểm A, B lần lượt nằm trên Ox, Oy sao cho OAB

cân tại O Gọi d là đường thẳng không đi qua O nhưng luôn đi qua trung điểm I của

AB và cắt Ox, Oy tại C, D Gọi M là trung điểm CD, N là giao điểm của OM và

AB H là hình chiếu vuông góc của N trên CD Khi d di động tìm quỹ tích trực tâm

k N

Suy ra tập hợp điểm H là đường tròn tâm 0; tan2

tại I và nằm ngoài tam giác OAB

Bài 5 Cho 2 đường thẳng a, b ( a//b) và đường thẳng c vuông góc với a, b Ba điểm

A, B, C lần lượt thay đổi trên các đường thẳng a, b, c sao cho tam giác ABC vuông

tại C Tìm quỹ tích chân đường cao H hạ từ C

Đường thẳng AB có phương trình 2x + ( n – m)y – m – n = 0

Đường cao hạ từ C có phương trình ( n – m)x – 2y + 2p = 0

Vậy toạ độ H là nghiệm của hệ: 2x + ( n - m)y - m - n = 0

 x2 + y 2 = 1 Vậy H nằm trên đường tròn (O;1)

Trở lại bài toán ban đầu, gọi M,N là giao điểm của c với a, b thì qũy tích H là đường

Bài 6.Trong mặt phẳng cho trước đường thẳng d và một điểm A d Xét B, Cd

sao cho BC = b > 0 cho trước Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

Bài giải:

Gọi O là hình chiếu của A trên d và đặt a = d(A; d ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao

cho A(a;0), O(0;0) (tức là trục hoành chứa d , trục tung chứa OA)

Giả sử trong hệ trục này B( x0 ; 0) , C ( x0 + b; 0) ( vì độ dài BC= b)

Gọi H là trung điểm BC

Vậy khi đoạn BC trượt trên Ox thì tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

nằm trên parapol ( P ) có phương trình (*)

Ngược lại, với mỗi điểm I( P ) , dễ dàng kiểm tra được d (I ; Ox) < IA , do đó

đường tròn tâm I, bán kính IA cắt Ox tại hai điểm B, C

Dễ dàng kiểm tra được BC = b

Vậy quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là parapol có phương trình

cho ở (*)

Bài 7 Cho ba điểm A, B và C thẳng hàng theo thứ tự đó, gọi  là đường thẳng

vuông góc với đường thẳng AC tại B Với mỗi điểm S , gọi D là giao điểm

của đường thẳng qua B vuông góc với SC với đường thẳng SA Tìm quỹ tích điểm

D

1 *2

22

a x

y ac a

 

 

  

 

Vậy: khi S chạy trên trục tung thì D chạy trên đường hyperpol có phương trình (*)

Bài 8 Cho 3 điểm A, O, B cố định O nằm giữa A và B sao cho OA = a, OB = b;

a, b > 0 Tìm quỹ tích điểm M sao cho góc · ·

OMAOMB

Bài giải:

Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho Ox chứa OA Khi đó A(a; 0), B(-b; 0)

Gọi M(m; n) Ta có MA a muuuur  ; n MB;uuuur  b m; n;

   

00

hoặc là đường thẳng x = 0 ( khi a = b)

Bài 9 Cho tam giác ABC không cân có hai đỉnh B,C cố định và đỉnh A di động

Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt trung tuyến AI của tam giác

ABC tại K Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng : Nếu IH song

song với KC thì điểm A di động trên đường cố định

Bài giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O trùng I và trục Ox là đường thẳng BC

Không mất tính tổng quát giả sử BC = 2 Khi đó, tọa độ B(-1; 0) và C(1;0)

Giả sử tọa độ điểm A ( x0 ; y0 ) , với x0 ≠ 0; y0 ≠ 0

Khi đó, trực tâm H(x;y) là nghiệm của hệ phương trình:

y x

Bài 10.Cho hình vuông ABCD Từ A kẻ một đường thẳng bất kì Đường thẳng này

cắt BC, DC tương ứng tại E và F Gọi I là trung điểm của BE Chứng minh rằng FI

tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của hình vuông

Bài giải:

Giả sử cạnh hình vuông bằng 2a (a>0) Dựng hệ trục tọa độ Oxy, trong đó O là tâm

của hình vuông Ox và Oy tương ứng song song với các cạnh của hình vuông và có

chiều như hình vẽ Khi đó tọa độ các đỉnh A, B, C, D trong hệ trục lần lượt là:

A(-a;-a), B(a;-a), C(a;a), D(-a;a)

Giả sử hệ số góc của đường thẳng AF là m

Khi đó AF có phương trình: y = m(x+a) – a

Vì đường thẳng DF có phương trình y = a, nên hoành độ của F là các nghiệm của