ĐỀ TÀI PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Hình học phẳng được giảng dạy cho học sinh ở chương trình trung học cơ sở. Phương pháp giải các bài toán hình học ở cấp hai chủ yếu là dùng các định lí, hệ quả, tính chất hình học để suy luận. Phương pháp mang bản chất thuần túy hình học này đôi khi gây không ít khó khăn cho học sinh, đặc biệt là những học sinh THPT. Các đề thi Olympic 304 hay đề thi học sinh giỏi THPT những năm gần đây cũng có bài toán hình học phẳng. Việc dùng phương pháp tổng hợp không phải là thế mạnh của các em. Trong khi đó học sinh lớp 10 đã được học các kiến thức về vectơ và tọa độ. Vậy tại sao các em không thử sử dụng các kiến thức vừa học để giải bài toán hình học phẳng thay vì chỉ dùng phương pháp tổng hợp đã biết ở cấp hai. Phương pháp tọa độ hóa hình học phẳng không những cung cấp thêm cho học sinh một công cụ giải toán ( rất đơn giản và dễ hiểu) mà còn giúp củng cố các kiến thức về vectơ và tọa độ vừa học. Điểm mới trong đề tài này là các bài tóan đã được hệ thống lại thành dạng chung, giải theo cùng một phương pháp tương đối dễ nhớ. Học sinh có thể tự rút ra được một số kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giải toán

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG

HÌNH HỌC PHẲNG

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Hình học phẳng được giảng dạy cho học sinh ở chương trình trung học cơ sở.Phương pháp giải các bài toán hình học ở cấp hai chủ yếu là dùng các định lí, hệquả, tính chất hình học để suy luận Phương pháp mang bản chất thuần túy hình họcnày đôi khi g â y kh ô n g ít k h ó kh ă n cho học sinh, đặc biệt là những học sinh THPT

Các đề thi Olympic 30/4 hay đề thi học sinh giỏi THPT những năm gần đâycũng có bài toán hình học phẳng Việc dùng phương pháp tổng hợp không phải làthế mạnh của các em Trong khi đó học sinh lớp 10 đã được học các kiến thức vềvectơ và tọa độ Vậy tại sao các em không thử sử dụng các kiến thức vừa học đểgiải bài toán hình học phẳng thay vì chỉ dùng phương pháp tổng hợp đã biết ở cấphai

Phương pháp tọa độ hóa hình học phẳng không những cung cấp thêm cho họcsinh một công cụ giải toán ( rất đơn giản và dễ hiểu) mà còn giúp củng cố các kiếnthức về vectơ và tọa độ vừa học

Điểm mới trong đề tài này là các bài tóan đã được hệ thống lại thành dạngchung, giải theo cùng một phương pháp tương đối dễ nhớ Học sinh có thể tự rút rađược một số kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giải toán

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1.Cơ sở lý luận:

Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã choxuất bản cuốn “ LaGéométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phươngpháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học Descartes là nhà toánhọc thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ Phương pháp toạ độ ra đời đãgiúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con ngườiđạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng hoá toán học trongnhiều lĩnh vực

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông,đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ

độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức vềtoạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán

2.Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

a Nội dung:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

b a

b a b

= (A; B).là: A(x  x0) + B(y  y0) = 0  Ax + By + C = 0 (A2 + B2  0)

(x a )2 (y b )2R2 hoặc x2 + y2 – 2ax - 2by + c= 0

Ngoài ra, học sinh cần biết thêm một số công thức khác…

C

á c d ạ ng t o á n t h ư ờ ng gặp :

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

 Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc Tính toán

 Tập hợp điểm

 Điểm cố định

C

á c b ư ớc g i ả i t oá n:

 Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ (Oxy ) thích hợp

Ta có:Ox, Oy vuông góc từng đôi một Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh

vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ

 Bước 2: Chuyển các giả thiết, kết luận từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữtọa độ

 Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ

 Bước 4: Chuyển kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang hình học

b Biện pháp:

Kiến thức vectơ và tọa độ là kiến thức mới đối với học sinh Muốn sửdùng phương pháp tọa độ để giải toán hình học đòi hỏi các em phải thành thạotrong việc giải các bài toán tọa độ đồng thời phải nắm được mối liên hệ giữa “ngônngữ hình học” và “ngôn ngữ tọa độ”

III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Khái niệm vectơ và tọa độ đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 10,làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ của các đối tượng trong hình học phẳng.Việc sử dụng vectơ và tọa độ để giải quyết bài toán hình học phẳng tạo cho họcsinh cảm giác thích thú, trực quan và quen thuộc đặc biệt có hiệu quả trong bàitoán quỹ tích

Phương pháp tọa độ là một cuộc cách mạng trong toán học vì nó giúpcho toán học thoát ra khỏi tư duy cụ thể của không gian vật lý thông thường,nhằm đạt tới đỉnh cao khác của sự khái quát và sự trừu tương hóa trong toánhọc

Mặt khác, một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xâydựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12,một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Vấn đề 1: Bài toán chứng minh (hoặc tính toán).

Bài 1 Cho hình vuông ABCD E, F là các điểm xác định bởi

Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm BC, E là hình chiếu của D

trên CA và F là trung điểm DE Chứng minh rằng AF BE

Bài giải:

Chọn hệ trục Oxy sao cho:

Bài 4 (APMO 1998)

Cho tam giác ABC với đường cao AD,  là một đường thẳng đi qua D Lấy E,F , khác D, sao cho AE  BE, AF  CF Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC, EF

Bài 5 (IMO 2000)

Cho hai đường tròn (O1 ); (O2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M, N Tiếp tuyến chung ( gần M hơn) tiếp xúc với ( Oi ) tại Ai Đường thẳng qua M, song song với A1 A2 , cắt lại đường tròn ( Oi ) ở Bi Các đường thẳng Ai Bi cắt nhau tại

C, các đường thẳng Ai N cắt đường thẳng B1B2 ở D, E Chứng minh rằng CD =

Suy ra: K là trung điểm của A1 A2

Từ đó, do A1 A2 // B1 B2 nên M là trung điểm DE (2)

Từ (1), (2) suy ra CM là trung trực của đoạn DE (đpcm)

Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm cạnh BC và N là chân đường phân

giác của góc ·ABC Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường

thẳng AB, AM tại P, Q theo thứ tự đó Gọi O là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại P với AN, chứng minh rằng OQ BC

Do POAB nên PO có phương trình y 1a x b và O(ab;0)

Do BC qua gốc tọa đô N, nên BC có phương trình y = cx( c ≠ 0)

Suy ra đường thẳng OQ, BC vuông góc với nhau.

Bài 7 (Bungari league 1981)

Đường phân giác trong và ngoài của góc C trong tam giác ABC cắt AB ở L

và M Chứng minh nếu CL = CM thì AC 2 + BC 2 = 4R2 ( R là bán kính đường

tròn ngoại tiếp ABC)

Bài 8.(NewYork 1976)

Các đường cao của tam giác nhọn ABC cắt nhau ở H Trên đoạn HB và HC

người ta lấy hai điểm B1 , C1 sao cho ·AB1C = ·AC1 B = 900 Chứng minh

Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) và elip (E) cố định (tâm đường tròn là

tâm đối xứng của elip) Từ điểm M thuộc(C) ta dựng hai tiếp tuyến MT1 , MT2 tới (E) trong đó T1 , T2 là tiếp điểm.Chứng minh rằng các đường thẳng T1T2 luôn tiếp

xúc với đường cong cố định

Bài giải:

a b  với gốc tọa độ tại tâm của (C).

Ta có phương trình tham số của (C):x = p sin ty = p cos tt [0;2 ) 

Gọi N(x;y) là điểm mà họ T1T2 không đi qua

Suy ra psin2 t x pcos2 t y 1

a  b  vô nghiệm theo t.

Nên T1T2 luôn tiếp xúc với (E1) :

Bài 10 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB; C là một điểm thay đổi trên đường

tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C Hạ HE; HF vuông góc AC; BC tương ứng Các đường EF và ABcắt nhau tại K Gọi D là giao điểm của hai đường tròn tâm O và đường tròn đường kính CH; D khác C CMR: K; D; C thẳng hàng

Bài giải:

Dựng hệ trục tọa độ Hxy như hình vẽ với H(0; 0); A(-1+a; 0); B(1+a; 0); O(a; 0); C(0; b)

Xét trong tam giác vuông ABC có:b2a 1 a1  1 a2

Gọi I là trung điểm CH Khi đó phương trình đường tròn (I) là: 2 2 2

và phương trình đường tròn (O) là: ( x - a )2 + y2 = 1

Đường thẳng (CD) là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) nên có

Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình:

Bài 11 (Vô địch Nam Tư 1983)

Trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật ABCD, lấy M khác A và B Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của M trên AD, AB, BC, CD Chứng

minh PQ  RS và giao điểm của chúng nằm trên một trong hai đường chéo của

hình chữ nhật

Bài giải:

Dựng hệ trục toạ độ Oxy có Ox, Oy lần lượt song song với AD, AB

Giả sử bán kính của đường tròn là R

Phương trình của đường tròn là x2 + y2 = R2

Giả sử toạ độ các đỉnh là A(-a;-b); B(-a;b); C(a;b); D(a;-b)

Ta có : AC 2 = 4R2 = 4a2 + 4b2 Suy ra a2 + b2 = R2

Giả sử M ( x0 , y0) bất kì thuộc cung AB nên 2 x0y02R2

Ta có tọa độ các hình chiếu P, Q, R, S là P( x0 - b) , Q( - a y 0 ), R( x0 b) , S (a,

Cộng lại ta được bx + ay = 0 suy ra bxI + ayI = 0

Do điểm B(-a;b), D(a;-b) nên phương trình đường chéo BD:

(b + b)( x + a) - (a + a)( y + b) = 0

Hay: ax + by = 0 Suy ra: I ( xI ; yI ) thuộc BD.

Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đêu ABCDEF, ta lấy hai điểm M

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A nhưng không cân; trên cạnh AB và AC lấy

M và N sao cho BM = CN Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A Xét D trên cạnh AB và điểm E trên cạnh BC

sao cho hình chiếu của DE trên BC có độ dài bằng BC2 Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với DE tại E luôn đi qua một điểm cố định

Bài giải:

Gọi O là trung điểm của BC, chọn hệ tọa độ sao cho A(0;a), B(-b;0), C(b;0)

Khi đó các đường thẳng AB, AC lần lượt có phương trình

Vậy, nếu E(x0;0) , thì H( x0 – b;0) và do đó

Gọi (d) là đường thẳng qua E vuông góc với DE thì phương trình của (d) là:

Trong mặt phẳng cho trước hai điểm A, B Xét điểm C thay đổi trên một nửa mặt phẳng bờ AB Dựng ra ngoài của tam giác ABC các hình vuông ACED và BCFG Chứng minh rằng đường thẳng DG luôn đi qua một điểm cố định khi C thay đổi.

Bài 4 Cho góc vuông xOy, và hai điểm A, C chuyển động theo thứ tự trên Ox, Oy

sao cho OA + OC = b (b là độ dài cho trước) Gọi B là đỉnh của hình chữ nhật

OABC Chứng minh đường thẳng d qua B, vuông góc với AC luôn đi qua một điểm

cố định

Bài giải:

Chọn hệ trục Oxy, gọi A ( a; 0) , C (0; c ) Khi đó: B ( a; c ) và a + c = b ( a, c là hai

Vấn đề 3: Tìm quỹ tích của điểm

Bài 1 Cho tam giác ABC với góc C nhọn Tìm quỹ tích các điểm M sao cho

Bài 2 Cho hai điểm AB cố định.

Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 2MA2 - 3MB2 = 5 AB2

Bài giải:

Gọi O là điểm xác định bởi 2OA 3OB 0 Giả sử AB = a Lập hệ Oxy với Ox trùng với AB.

Ta có các điểm A(-3a; 0), B(-2a; 0), M(x; y)

Vậy M thuộc đường tròn tâm O bán kính R = AB

Bài 3 Cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng Một đường thẳng d di động

qua C M là điểm trên d sao cho đại lượng 2MA2 + 3MB2 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm

quỹ tích của M

Bài giải:

Lấy O là điểm trên AB sao cho2OA  3OB Lấy O làm gốc tọa độ như hình vẽ

Không mất tính tổng quát giả sử A(0; 3)và B(0; -2) và M ( x0 , y0) thuộc d

Từ (1) suy ra 2MA2 + 3MB2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MO nhỏ nhất ( M thuộc d )

Khi đó M là hình chiếu vuông góc của O lên d

Do OC cố định, suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính OC xác định như trên

Bài 4 (30/4/2011)

Cho góc x O y và hai điểm A, B lần lượt nằm trên Ox, Oy sao cho OABcân tại O Gọi d là đường thẳng không đi qua O nhưng luôn đi qua trung điểm I của

AB và cắt Ox, Oy tại C, D Gọi M là trung điểm CD, N là giao điểm của OM và

AB H là hình chiếu vuông góc của N trên CD Khi d di động tìm quỹ tích trực tâmH

Bài giải:

Đặt góc x·Oy = 2 Chọn hệ trục tọa độ (IXY) sao cho I (0; 0), O (0;1),

A (- tan ; 0), B (tan ; 0)

Khi đó: CD : y = kx, OA : y = (cot )x + 1, OB : y = -(cot )x + 1

C = CDOA C k cot1 ;k cotk

Bài 5 Cho 2 đường thẳng a, b ( a//b) và đường thẳng c vuông góc với a, b Ba điểm

A, B, C lần lượt thay đổi trên các đường thẳng a, b, c sao cho tam giác ABC vuông tại C Tìm quỹ tích chân đường cao H hạ từ C

Bài giải:

Chọn hệ trục Oxy sao cho trục hoành Ox cách đều A, B, trục tung Oy là đường thẳng c.

Khi đó không mất tính tổng quát giả sử đ ư ờ n g t h ẳ n g ( a ) : y = 1 ;

Đường thẳng AB có phương trình 2x + ( n – m)y – m – n = 0

Đường cao hạ từ C có phương trình ( n – m)x – 2y + 2p = 0

Vậy toạ độ H là nghiệm của hệ: ( n - m)x - 2y + 2p = 02x + ( n - m)y - m - n = 0



Bình phương hai vế của hai phương trình rồi cộng lại ta được:

[4 + (n - m)2 ]( x2 + y2 ) = (n + m)2 + 4 p2

 [4 + (n - m)2 ]( x2 + y2) = (n + m)2 + 4(1 - mn)

 x2 + y 2 = 1 Vậy H nằm trên đường tròn (O;1).

Trở lại bài toán ban đầu, gọi M,N là giao điểm của c với a, b thì qũy tích H là đườngtròn đường kính MN

sao cho BC = b > 0 cho trước Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài giải:

Gọi O là hình chiếu của A trên d và đặt a = d(A; d ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao

cho A(a;0), O(0;0) (tức là trục hoành chứa d , trục tung chứa OA)

Giả sử trong hệ trục này B( x0 ; 0) , C ( x0 + b; 0) ( vì độ dài BC= b).

Gọi H là trung điểm BC

Khi đó x x 0 2b và IA = IB Suy ra:

Dễ dàng kiểm tra được BC = b

Vậy quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là parapol có phương trình cho ở (*)

Bài 7 Cho ba điểm A, B và C thẳng hàng theo thứ tự đó, gọi  là đường thẳng

vuông góc với đường thẳng AC tại B Với mỗi điểm S  , gọi D là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với SC với đường thẳng SA Tìm quỹ tích điểm D

Từ đó, tọa độ của điểm D là nghiệm của hệ

10

a x

y ac a

Vậy: khi S chạy trên trục tung thì D chạy trên đường hyperpol có phương trình (*)

Bài 8 Cho 3 điểm A, O, B cố định O nằm giữa A và B sao cho OA = a, OB = b;

a, b > 0 Tìm quỹ tích điểm M sao cho góc OMA OMB 

Bài 9 Cho tam giác ABC không cân có hai đỉnh B,C cố định và đỉnh A di động

Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt trung tuyến AI của tam giác ABC tại K Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng : Nếu IH song song với KC thì điểm A di động trên đường cố định

Bài giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O trùng I và trục Ox là đường thẳng BC

Không mất tính tổng quát giả sử BC = 2 Khi đó, tọa độ B(-1; 0) và C(1;0)

Giả sử tọa độ điểm A ( x0 ; y0 ) , với x0 ≠ 0; y0 ≠ 0

Khi đó, trực tâm H(x;y) là nghiệm của hệ phương trình:

;0

y x

Vậy A di động trên (E): 2 2 1

  cố định

Bài 10.Cho hình vuông ABCD Từ A kẻ một đường thẳng bất kì Đường thẳng

này cắt BC, DC tương ứng tại E và F Gọi I là trung điểm của BE Chứng minh rằng FI tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của hình vuông

Giả sử hệ số góc của đường thẳng AF là m

Khi đó AF có phương trình: y = m(x+a) – a

Vì đường thẳng DF có phương trình y = a, nên hoành độ của F là các nghiệm của phương trình m(x+a) – a = a

  Tương tự tọa độ của E là: E (a; 2m - a)

Phương trình đường thẳng FI:

2 2 2 1   2 2 2 02

Bài 11 Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với hai đường thẳng song song a và b lần

lượt tại A và B Một tiếp tuyến thay đổi của đường tròn cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A’ và B’ Tìm quĩ tích giao điểm của AB’và A’B

Bài giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Oy là trung trực của đoạn AB, Ox là đường thẳng

AB (B thuộc tia Ox)

Khi đó phương trình đường tròn (O;R) có phương trình x2 + y 2 = R2

Tiếp tuyến d của đường tròn tại điểm M(xo;yo) có phương trình:

Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B, suy ra IM / / AA '

Do đó tọa độ của điểm I(x;y) là nghiệm của:

Vậy quỹ tích của điểm I là elip (E):

20

Kết luận:

Muốn giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn một hệtrục tọa độ sao cho hình vẽ của chúng ta được quan sát tốt nhất trên hệ trục đó vàviệc tính toán cũng đơn giản nhất Để chọn được một hệ trục tọa độ tốt, chúng tacần phải căn cứ vào các yếu tố cố định bài toán đã cho, chú ý đến tính đối xứngcủa hình

Khi đã chọn được một hệ trục toạ độ tốt rồi, cần kết hợp phương pháp tính

và kỹ năng tính tốt thì việc giải bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ mớitrở nên đẹp đẽ, ngắn gọn

Qua các bài toán ở trên, tất nhiên chưa thấy hết những ưu điểm, nhược điểm củaphương pháp tọa độ Tuy nhiên, cũng là vừa đủ để chúng ta có thể thấy việc chọn hệtọa độ như thế nào là thích hợp Khi đã chọn hệ tọa độ thích hợp thì việc giải bài toán trở nên nhẹ nhàng, không quá phức tạp như cách giải bằng phương pháp dùng hình học thuần túy