Hàm tử hom và dãy khớp (KL06156)

Với nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa toán và nhiều người khác quan tâm đến toán học nói chung và đại số nói riêng thì việc nghiên cứu môn đại số cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc về

em làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình

tới cô giáo, TS Nguyễn Thị Kiều Nga - người đã tận tình giúp đỡ em

trong quá trình thực hiện khóa luận

Mặc dù có nhiều cố gắng song do hạn chế về thời gian cũng như kiến thức, tài liệu, nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận đươc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Tào Thị Duyên

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình thực hiện khóa luận ngoài sự nỗ lực của bản thân,

em còn nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo, TS

Nguyễn Thị Kiều Nga Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả

nghiên cứu khoa học của riêng em và nó không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Tào Thị Duyên

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Môđun, môđun con, môđun thương 3

1.1.1 Môđun 3

1.1.2 Môđun con 6

1.1.3 Môđun thương 7

1.2 Môđun sinh bởi một tập, môđun hữu hạn sinh 9

1.2.1 Định nghĩa 9

1.2.2 Điều kiện tương đương với môđun hữu hạn sinh 10

1.3 Đồng cấu môđun 11

1.3.1 Định nghĩa 11

1.3.2 Điều kiện tương đương 12

1.3.3 Ví dụ về đồng cấu môđun 12

1.3.4 Tính chất 12

CHƯƠNG 2 HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP 15

2.1 Dãy khớp 15

2.1.1 Định nghĩa dãy khớp 15

2.1.2.Dãy khớp ngắn 15

2.1.3 Tính chất của dãy khớp 16

2.2 Dãy khớp chẻ ra 22

2.2.1 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun 22

2.2.2 Dãy khớp chẻ ra 23

2.3 Hàm tử Hom và dãy khớp 28

2.3.1 Môđun các đồng cấu 28

2.3.2 Hàm tử Hom 32

2.3.3 Mối liên hệ giữa hàm tử Hom và dãy khớp 39

2.4 Một số bài tập 43

2.4.1 Bài tập về môđun 43

2.4.2 Bài tập về dãy khớp 45

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong toán học Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại Với nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa toán và nhiều người khác quan tâm đến toán học nói chung và đại số nói riêng thì việc nghiên cứu môn đại số cần có sự

hiểu biết một cách sâu sắc về các cấu trúc đại số

Các cấu trúc đại số bao gồm nhóm, vành, trường, môđun,…Trong

đó “môđun” là một trong những khái niệm quan trọng nhất của đại số hiện đại Một trong những ứng dụng quan trọng khi nghiên cứu lý thuyết môđun là xét dãy các R - đồng cấu mà thỏa mãn tính chất ảnh của đồng cấu vào trùng với hạt nhân của đồng cấu ra, khi đó ta có dãy khớp

Qua quá trình học tập và nghiên cứu, em thấy dãy khớp có ứng dụng rất rộng rãi Trong đại số, dãy khớp và các tính chất của nó được sử dụng nhiều khi nghiên cứu về tích Tenxơ, hàm tử Hom,…Trong Tôpô đại số, giải tích hàm thì nghiên cứu dãy khớp tôpô, dãy khớp ngắn của ánh xạ tuyến tính giữa các không gian như không gian Frechet,…Ngoài

ra, dãy khớp còn có ứng dụng trong nhiều ngành khác Vì vậy em chọn

đề tài “Hàm tử Hom và dãy khớp” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học đồng thời

muốn đi sâu, tìm tòi, nghiên cứu về dãy khớp, hàm tử Hom và dãy khớp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Sử dụng kiến thức môđun và dãy khớp để nghiên cứu hàm tử Hom

và dãy khớp

4 Phương pháp ngiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo,nội dung của khóa luận được chia làm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Nội dung chủ yếu của chương này là trang bị những kiến thức cơ

bản về môđun

Chương 2: Hàm tử Hom và dãy khớp

Ở chương này đưa ra một số định lý, hệ quả có tính chất quan trọng, một số nhận xét khái quát về dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp chẻ ra, hàm tử Hom, hàm tử Hom và dãy khớp và một số bài tập ứng

dụng

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun, môđun con, môđun thương

Với mọi , R và mọi x y, M

Tương tự, một môđun phải trên R hay R - môđun phải là một nhóm Abel

Nhận xét: Nếu R là vành giao hoán thì khái niệm R - môđun trái trùng

với khái niệm R - môđun phải

Sau đây ta chỉ xét R - môđun trái và gọi chúng là R - môđun

n n n

Nhận xét: Ví dụ trên chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết nhóm

Abel

Ví dụ 3

Giả sử X là vành bất kỳ với đơn vị 1 và R là vành giao hoán của X

chứa 1 Khi đó, với mọi R và mọi xX

1( ) o n n

Cho M là R - môđun, NM , N gọi là môđun con của M nếu N là

R - môđun với hai phép toán cảm sinh

1.1.2.2 Điều kiện tương đương

Cho M là R - môđun, N  ,NM Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

i) N là R - môđun con của M

ii) Với mọi R, mọi ,x yNthì x y N,xN

iii) Với mọi , R, mọi ,x yN thì x yN

- Nếu M là R - môđun,  N i i I đều là các môđun con của M thỏa mãn

1.1.2.5 Tổng của một họ môđun con

Cho M là R - môđun,  N i i I là một họ các môđun con của M Khi

đó, môđun sinh bởi i

1.1.3.1 Xây dựng môđun thương

Giả sử M là một R - môđun và N là một môđun con của nó Khi đó,

N xác định phép nhân vô hướng như sau:

Với mọi R, mọi x N M

Nhận xét:

Nếu P là một môđun con của M chứa N thì R - môđun thương P

N là một môđun con của M

Cho R là vành có đơn vị thì R là R - môđun A là idean của R thì A

Là R - môđun con của R Khi đó, tồn tại môđun thương

Ví dụ 3

là - môđun, là nhóm cộng của nên là môđun con của

Khi đó, tồn tại môđun thương x  x , chỉ gồm các phần lẻ của các số hữu tỉ

1.2 Môđun sinh bởi một tập, môđun hữu hạn sinh

S  M ( với Mlà các môđun con của M chứa S)

- Nếu S M thì S là tập sinh của M hay M được sinh bởi S

- Nếu S M và S hữu hạn thì M gọi là môđun hữu hạn sinh

1.2.2 Điều kiện tương đương với môđun hữu hạn sinh

R - môđun M hữu hạn sinh khi và chỉ khi đối với mỗi tập A i i I

các môđun con của M thỏa mãn i

) Xét tập hợp các môđun con dạng aR a M Khi đó, theo giả thiết, tồn tại tập hữu hạn a a1, 2, ,a nsao cho M a R a R1  2   a R n

Điều này chứng tỏ M là hữu hạn sinh

1.3 Đồng cấu môđun

1.3.1 Định nghĩa

Cho M, N là các R - môđun, ánh xạ f M: N gọi là đồng cấu

môđun (hay R - đồng cấu hoặc ánh xạ tuyến tính) nếu thỏa mãn các điều

là một đồng cấu gọi là đồng cấu đồng nhất

- Nếu f M( ) 0 thì f được gọi là đồng cấu không, thường được

 gọi là đối ảnh của f

1.3.2 Điều kiện tương đương

Cho M, N là R - môđun, ánh xạ f M: N là R - đồng cấu môđun

Cho f L: M và :g M N là những đồng cấu môđun, thì hợp thành

g f của chúng cũng là một đồng cấu môđun

f     là môđun con của M

f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf  0

f là một toàn cấu khi và chỉ khi Im f  N

Tính chất 4

Cho M, N là các R - môđun, f M: N là R - đồng cấu môđun Khi

đó, các điều kiện sau tương đương

Cho f M: N là R - đồng cấu Khi đó M Im f

CHƯƠNG 2 HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP

2.1.2.2 Điều kiện tương đương của dãy khớp ngắn

Dãy khớp với 5 môđun 0 X f Y g Z h0(*) là dãy

khớp ngắn khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàn cấu, Im f Kerg

Lại có, i là đơn cấu, p là toàn cấu Do đó ta có dãy khớp ngắn

+) Vì i là phép nhúng nên Imi = Kerh (2)

+) Kerp y Ysao cho ( )p y  y ImhImh , vì thế yKerp

Trong một dãy khớp tùy ý Af B g C hD (*) của các

R - đồng cấu, các phát biểu sau tương đương

a) f là một toàn cấu

b) g là đồng cấu tầm thường

c) h là đơn cấu

Chứng minh

a  b) Theo định nghĩa, f là một toàn cấu khi và chỉ khi Im f B

Mặt khác, g là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi Kerg  Vì (*) là B dãy khớp nên ta có Im f  Kerg Do đó a  b

b  c) g là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi Im g  Ta có h là 0đơn cấu khi và chỉ khi Kerh 0 Vì (*) là dãy khớp nên ta có

Img Kerh. Do đó b  c

Hệ quả 1

Trong một dãy khớp tùy ý Af B g C h D kE

những đồng cấu của các R - môđun, C = 0 nếu và chỉ nếu f là một toàn cấu và k là một đơn cấu

Chứng minh

) Với C = 0 ta có g và h là những đồng cấu tầm thường Do đó theo

tính chất 1 thì f là một toàn cấu và k là một đơn cấu

) Vì f là một toàn cấu, k là một đơn cấu nên theo tính chất 1 ta có g và

h là những đồng cấu tầm thường nên Im g 0, Kerh C Vì dãy là khớp nên ta có ImgKerh C 0

C = 0 (theo hệ quả 1)

a  b) Vì g là một đẳng cấu suy ra g vừa là đơn cấu, g vừa là toàn

cấu Theo tính chất 1, f và h là những đồng cấu tầm thường Do đó,

Thật vậy, ta có Im f  f(0)0 Do dãy trên khớp nên Im f Kerg

, suy ra Kerg0 Do đó, g là đơn cấu Im g KerhD , suy ra, g là toàn cấu Vậy g là đẳng cấu

thỏa mãn điều kiện hai dòng là khớp, ba hình vuông là giao hoán,  là một toàn cấu,  là một đơn cấu thì ta có:

Vì blà một phần tử tùy ý của Im nênIm g1[ Im ] (1)

Đảo lại, giả sử 1

Im ]

bg  Khi đó,cg b ( ) Im  Do đó, tồn tại một phần tử cCvới ( ) c c

Vì dòng dưới là khớp nên ( ) 0h c   Do tính giao hoán của hình vuông thứ ba ta có:

suy ra

b b Kerg f

Do đó, tồn tại một phần tử aA với f a ( ) b ( )b Vì  là toàn

cấu nên tồn tại một phần tử aAvới ( ) a a Bây giờ, ta xét phần tử

cKerh g (do dòng trên khớp)

Theo định nghĩa của Img, tồn tại một phần tử b B với ( )g b c Xét phần tử b( )b B Do tính giao hoán của hình vuông thứ 2 ta đƣợc

với g b( )c Do tính giao hoán của hình vuông thứ 2 ta có:

Cho biểu đồ những đồng cấu của những môđun

thỏa mãn điều kiện hai dòng là khớp và hai hình vuông là giao hoán thì hai phát biểu sau là đúng:

a) Nếu  và  là những đơn cấu thì  là đơn cấu

b) Nếu  và  là những toàn cấu thì  là toàn cấu

Do đó đồng cấu  là một đẳng cấu nếu  và  là đẳng cấu

một R - môđun và môđun này đƣợc gọi là tổng trực tiếp của họ các

- Nếu I là hữu hạn thì khái niệm tổng trực tiếp trùng với tích trực tiếp

Định lý

Cho M, N, L là các R - môđun Các đồng cấu f M: N và g N: L

Nếu hg f là một đẳng cấu, thì ba phát biểu sau là đúng:

ra tại môđun Y nếu và chỉ nếu môđun con AIm f Kerg của môđun Y

là một hạng tử trực tiếp của Y Tức tồn tại BY sao cho

Nếu dãy khớp chẻ ra tại mỗi môđun không nằm ở hai đầu của nó thì

ta nói rằng nó chẻ ra

K p m n  p m n  n  m  m M  Imi = Kerp Suy ra

(1) là dãy khớp ngắn Lại có M  N ImiN Suy ra dãy khớp (1) chẻ

Xét ánh xạ thu hẹp của ánh xạ g vào môđun Blà ánh xạ

Dãy khớp ngắn (*) chẻ ra nếu nó chẻ ra tại B Theo định lý trên ta

có Im f ImgB Vì (*) là dãy khớp ngắn nên f là đơn cấu, suy ra

A f Vì  là đồng cấu tầm thường nên Ker  C Img Suy ra

B A C

Hệ quả 2

Một dãy khớp tùy ý  X f Y g Z  các R - đồng cấu

của những môđun chẻ ra tại môđun Y nếu tồn tại một đồng cấu:

h Y X sao cho h f 1X là R - tự đẳng cấu Khi đó

Y  f  g  X g

Chứng minh

Nếu tồn tại đồng cấu :h Y X sao cho h f 1X là R - tự đẳng cấu

thì f là R - đơn cấu, h là R - toàn cấu Ta chứng minh Y Im f Kerh

h y f x   y f x( )K her , do đó tồn tại một phần tử y1Kerh

sao cho y f x( ) y1 Do đó ta được

1( ) Im

y f x  y f Kerg

Vậy Y Imf Kerh (1) Mặt khác, Im f Y vàKerhY, suy ra

Im f KerhY (2)

Từ (1) và (2) suy ra Y Imf Kerh (**)

Từ (*) và (**) suy ra Y Imf Kerh tức dãy khớp chẻ ra tại Y

Theo định lý trên Y Im f Kerh mà f là đơn cấu nên X Im f

khớp chẻ ra tại môđun Y Theo định lý trên, ta có Y Im f Img Vì g

là toàn cấu nên Img  Z Y Im f Z

Định nghĩa

Cho f M: N là R - đồng cấu với M N là các, R- môđun Ta gọi

nghịch đảo trái của f là một đồng cấu : h N M sao cho h f là tự đẳng cấu đồng nhất của môđun M Ta gọi nghịch đảo phải của f là một

đồng cấu :k N M sao cho f k là tự đẳng cấu đồng nhất của môđun

N Khi đó, ta có hệ quả sau

Hệ quả 4

Với mọi dãy khớp ngắn 0 A f B g C 0 những đồng

cấu của những môđun trên R, ba phát biểu sau là tương đương

i) Dãy khớp ngắn đó chẻ ra

ii) Đồng cấu f có một nghịch đảo trái

iii) Đồng cấu g có một nghịch đảo phải

2.3 Hàm tử Hom và dãy khớp

2.3.1 Môđun các đồng cấu

Giả sử M, N là R - môđun Ta gọi tập hợp tất cả các R - đồng cấu

từ M tới N là Hom M N hoặc R( , ) Hom M N (Khi R đã rõ) ( , )

( , ), R, f g, Hom R M N

Do đó Hom R(M N, ) là R - môđun gọi là môđun các R - đồng cấu từ

M tới N Nếu f M: N vàg N: P là những R - đồng cấu thì với mọi R

Với mọi R - môđun M, ánh xạ:

d) Vành các tự đồng cấu của R - môđun

Cho ba R - môđun L, M, N và các R - đồng cấu: , : f g LM,

Giả sử M là một R - môđun Tập hợp End R(M)Hom R(M M, ) các

tự đồng cấu của M cùng với các phép toán:

( , )f g  f g;( , )f g  f g là một vành, gọi là vành các tự đồng cấu

của M

e) Nhóm các tự đẳng cấu của R - môđun

Giả sử M là R - môđun, các tự đẳng cấu của M là các tự đồng cấu

song ánh Đó là các phần tử khả nghịch của End R(M) Đối với phép hợp

thành, chúng lập thành một nhóm gọi là nhóm các tự đẳng cấu hay nhóm

tuyến tính của R - môđun M Kí hiệu: GL(M)

(ii) Có đồng nhất: Với mỗi vật A Ob K ( ) tùy ý luôn tồn tại một cấu xạ

1AMor ( , )K A A , gọi là phần tử đồng nhất, sao cho

Ngoài ra, ta viết A K thay cho A Ob K ( ),K thay cho

(iii)  đƣợc gọi là song cấu nếu α vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu

(iv)  đƣợc gọi là đẳng cấu nếu tồn tại Mor( , )B A sao cho

1A

(v) Nếu A = B thì α đƣợc gọi là tự đồng cấu Một cấu xạ vừa là tự đồng

cấu vừa là đẳng cấu thì đƣợc gọi là một tự đẳng cấu



Thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) A B Ob P,  ( ),  Mor( , )A B F M( ) Mor(F A F B O( ), O( )),

(tương ứng   Mor( , )A B F M( ) Mor(F B F A O( ), O( )).)

G F PR gọi là hàm tử hợp thành của của F và G Nếu F và G cùng

hiệp biến hoặc nghịch biến thì G F là hiệp biến, ngược lại thì G F là

nghịch biến

b) Ví dụ về hàm tử

Ví dụ 1

Hàm tử quên F từ phạm trù các nhóm Abel 𝔄 vào phạm trù tập hợp 𝔖 được định nghĩa như sau:

Khi đó, or ( , )M K A  là một hàm tử hiệp biến

Tương tự, ta xây dựng được một hàm tử or ( , )M K  A từ K vào 𝔖 như

b.1 Giả sử A, A’, B, B’ là những R - môđun và f A: A g B, : Blà

b.2 Một số tính chất của R - đồng cấu Hom( f, g )

Giả sử A, A’, B, B’, A”, B” là những R - môđun và f A:  A

Hom ff Hom f Hom f

+) Nếu A A B, B f, 1 ,A g 1Bthì Hom(1 ,1 ) 1A B  Hom A B( , )

Kí hiệu: Hom R( , )A  là một hàm tử hiệp biến

Kí hiệu: Hom R( , ) B là hàm tử phản biến

) ( ,0) (0, ) 0

Do đó, Hom f( ,g1g2)Hom f( ,g1)Hom f( ,g2)

ii) Với mọi Hom R( , )A B ta có:

Do đó, Hom(f1 f 2, )g Hom(f1, )g Hom(f2, )g

iii) và iv) Hiển nhiên

2.3.3 Mối liên hệ giữa hàm tử Hom và dãy khớp

Định lý 1

Với các đồng cấu f A:  Avà :g BB của những môđun trên R,

hạt nhân của đồng cấu hHom f g( , ) :Hom A B( , )Hom A B( ', ') là

môđun con K của Hom A B( , ) xác định bởi

Chứng minh

Giả sử K là tùy ý cho trước Gọi x là phần tử bất kì của A Ta

có f x( )Im , f  K (f(x))Kergg( ( ( )) f x 0

Suy ra h( ) ( )  x g f x ( )g( ( ( )) f x 0 , hay h( ) 0 Do đó

er

K K h

Đảo lại, giả sử Kerhlà tùy ý cho trước Khi đó, g f h( ) 0

Theo tính chất 7 của đồng cấu môđun ta có Im(f)Kerg Suy ra

Nếu f A:  A là một toàn cấu,g B: B là một đơn cấu của

những môđun trên R thì: hHom f g( , ) :Hom A B( , )Hom A B( ', ')là một đơn cấu

Định lý 2

Nếu M là một môđun tùy ý trên R và Af B g C 0

(*) là một dãy khớp những môđun trên R thì dãy:

 ( , ) [Im(f)] er( )

K Hom A B  K g