Một số vấn đề về hàm tử hom và hàm tử tenxơ

Chương III trình bày về tích tenxơ của hai môđun, hàm tử Tenxơ U s R ⊗ − và R , xem xét tổng trực tiếp biến đổi như thế nào qua hàm tử Tenxơ, tính khớp của hàm tử Tenxơ.. Cũng trong ch

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM TỬ HOM VÀ HÀM TỬ TENXƠ

Chủ nhiệm đề tài: TRẦN MẠNH TUẤN

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I MÔĐUN – PHẠM TRÙ – HÀM TỬ §1 MÔĐUN 2

§2 PHẠM TRÙ 4

§3 HÀM TỬ 6

CHƯƠNG II: HÀM TỬ HOM §1 ĐỊNH NGHĨA HÀM TỬ HOM 9

§2 TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP QUA HÀM TỬ HOM 11

§3 HÀM TỬ HOM VÀ TÍNH KHỚP 14

CHƯƠNG III HÀM TỬ TENXƠ §1 TÍCH TENXƠ CỦA NHỮNG MÔĐUN 21

§2 ĐỊNH NGHĨA HÀM TỬ TENXƠ 24

§ 3 TỔNG TRỰC TIẾP QUA HÀM TỬ TENXƠ 25

§ 4 HÀM TỬ TENXƠ VÀ TÍNH KHỚP 26

§5 MỘT VÀI MỐI QUAN HỆ GIỮA HÀM TỬ HOM VÀ HÀM TỬ TENXƠ 29

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

Chương III trình bày về tích tenxơ của hai môđun, hàm tử Tenxơ ( U s R ⊗ − và R ) , xem xét tổng trực tiếp biến đổi như thế nào qua hàm tử Tenxơ, tính khớp của hàm

tử Tenxơ Cũng trong chương này, tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa hai hàm tử Hom và Tenxơ, xét xem khi nào thì có những đẳng cấu hàm tử

DANH MỤC KÍ HIỆU

f * Hom R (U,f)

f * Hom R (f,U)

Imh Ảnh của đồng cấu h

Kerϕ Nhân của đồng cấu ϕ

MỞ ĐẦU

1 Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu hai lớp hàm tử cộng tính quan trong giữa hai phạm trù môđun, đó là hàm tử Hom và hàm tử Tenxơ, nghiên cứu mối quan hệ giữa hàm tử Hom

−

Chương III trình bày về tích tenxơ của hai môđun, hàm tử Tenx ơ ( U s R ⊗ − R )

R ) , xem xét tổng trực tiếp biến đổi như thế nào qua hàm tử Tenxơ, tính khớp của hàm tử Tenxơ Cũng trong chương này, tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa hai hàm tử Hom và Tenxơ, xét xem khi nào thì có những đẳng cấu hàm

(− ⊗R Hom T T( U N R, ))→Hom Hom T( R( ,−T U R ), ) N

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hàm tử Hom, hàm tử Ext, hàm tử Tenxơ, hàm tử Torxơ là bốn lớp hàm tử quan trọng nhất trong lý thuyết phạm trù môđun Chúng có những tính chất thú vị và đôi một

bổ trợ cho nhau

Đề tài này nghiên cứu những tính chất của hai trong số bốn lớp hàm tử cộng tính quan trọng này, đó là hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ và xem xét mối quan hệ giữa chúng

4 Cơ sở lý luận và phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở lý thuyết cơ bản về vành, môđun và phạm trù, tôi xây dựng hàm tử Hom R ( R U S ,−), Hom R ( ,− R U S ), hàm tử Tenxơ ( U S R ⊗ − , R ) (− ⊗S S U ) R trên phạm trù các môđun, tổng hợp những tính chất cơ bản của chúng, phân tích xem những hàm tử này

có tính chất gì khi ta xét chúng trong những phạm trù con đầy của phạm trù các môđun như phạm trù các môđun xạ ảnh, môđun sinh, môđun nội xạ, môđun đối sinh, môđun dẹt

1.2.Định nghĩa

Cho R là một vành (trong đề tài vành được nói đến được hiểu là vành bất kì có đơn vị 1 khác 0 nếu không nói gì thêm) Khi đó cặp (M, λ) là một R-môđun trái nếu M

là một nhóm aben và : R λ → End l (M) là một đồng cấu vành Nghĩa là:

Với mỗi a∈R tồn tại đồng cấu nhóm λ(a): M → M sao cho:

i) (a)(x + y) = (a)(x) + λ λ λ(a)(y)

Khi đó ta nói R M là một R-môđun trái

Tương tự ta định nghĩa N S là một S-môđun phải nếu N là một nhóm aben và có một phép nhân vô hướng N x S → N cho bởi (x,a) a xa thỏa mãn:

1.3 Định nghĩa

Môđun R P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f: R P → R N và mỗi toàn cấu g: R M → R N đều tồn tại một đồng cấu h: R P → R M sao cho g.h = f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

Môđun R E được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f: R K → R E và mỗi đơn cấu g:

R K → R M đều tồn tại một đồng cấu h: R M → R E sao cho h.g = f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

Một số định nghĩa và kết quả về vành, môđun con, môđun thương, đồng cấu môđun, dãy khớp được xem như kiến thức cơ sở, tôi không trình bày trong đề tài, bạn đọc có thể tham khảo trong nhiều tài liệu về môđun

§2 PHẠM TRÙ

2.1 Định nghĩa

Ta nói rằng cho một phạm trù C nếu đã cho:

(I) Một tập hợp không rỗng, kí hiệu 0b(C), mà các phần tử được gọi là các vật của phạm trù C

(II) Với mỗi cặp vật (A B, ) của C, một tập hợp có thể rỗng, kí hiệu

Hom C(A B, ), mà các phần tử được gọi là đồng cấu từ A đến B; A được gọi là nguồn của f và B gọi là đích của f

(III) Với mỗi bộ ba vật (A B C, , )của C, một ánh xạ:

Hom C(B C, ) × Hom C(A B, )→ Hom C(A C, )

(g f, )ag f o

được gọi là tích (hay hợp thành) các đồng cấu

Các điều đã cho phải thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Đối với các cặp vật khác nhau (A B, ) (≠ C D, ) thì:

(iii) Với mọi vật A của phạm trù C tồn tại một phần tử của Hom C gọi là đồng cấu đồng nhất và kí hiệu

(A A, )

A

Id sao cho α α= Id Bα với mọi α∈ Hom C(A B, )

Ta kí hiệu đơn giản Hom(A B, ) thay cho Hom C(A B, ) và A ∈C thay cho

A ∈ Ob (C)

2.2 Ví dụ

1) Phạm trù các tập hợp Sets Phạm trù này lấy các tập hợp làm vật và lấy các ánh xạ làm đồng cấu Tích của các đồng cấu được xác định bởi phép hợp thành các ánh xạ

2) Phạm trù các nhóm Gr Phạm trù này có tập hợp các vật là tất cả các nhóm còn đồng cấu là các đồng cấu nhóm Tích của hai đồng cấu là phép hợp thành các đồng cấu nhóm

3) Phạm trù các nhóm aben Ab Tập hợp các vật của phạm trù Ab là tất cả các nhóm aben, còn đồng cấu giữa hai vật là đồng cấu nhóm

Phạm trù các R-môđun trái R M (S-môđun phải M S ) Tập hợp các vật của phạm trù R M (M S ) là tất cả các R-môđun trái (S-môđun phải) Tích của các đồng cấu được xác định bởi phép hợp thành các R-đồng cấu (S-đồng cấu)

(i) Ob(D) Ob(C) ⊂

(ii) Hom D(A B, )⊂Hom A B C( , ),

(iii) Hợp thành các đồng cấu trong D là hợp thành trong C và mọi đồng cấu đồng nhất trong D chính là đồng cấu đồng nhất trong C

Phạm trù con D của một phạm trù C được gọi là phạm trù con đầy nếu:

§3 HÀM TỬ

3.1 Định nghĩa

Giả sử C và D là hai phạm trù Một hàm tử hiệp biến F : C D là một

hàm cho ứng với mỗi vật

→

∈

X C một vật FX D và với mỗi đồng cấu ∈ α của C một

đồng cấu F( )α của D thoả mãn các điều kiện sau :

Giả sử F và G là hai hàm tử hiệp biến từ phạm trù C vào phạm trù D Ta nói

rằng đã cho một phép biến đổi tự nhiên f từ F đến G (ký hiệu f: ) nếu đối với mỗi vật

F(u) G(u)

FB ⎯⎯⎯f B( )→ GB với mọi u: A→B

Nếu F và G là những hàm tử phản biến thì trong định nghĩa của phép biến đổi

tự nhiên, biểu đồ (*) được thay thế bởi biểu đồ giao hoán sau:

FA ⎯⎯⎯f A( )→ GA

F(u) G(u)

FB ⎯⎯⎯f B( )→ GB với mọi u: A→B

Nếu f( )A là đẳng cấu với mọi ∈ A C thì f được gọi là một đẳng cấu hàm tử

3.4 Định nghĩa

Giả sử F, H, G: C → D là những hàm tử, ϕ:F → và : G G ψ →H là những phép biến đổi tự nhiên Các đồng cấu: ψ ( ) ( )X oϕ X :FX →HX X, ∈Ob(C) cho ta

phép biến đổi tự nhiên từ F đến H, kí hiệu ψ ϕ , và gọi là tích của các phép biến đổi

là dãy khớp trong D thì F gọi là khớp bên phải

F được gọi là hàm tử khớp nếu F là khớp cả hai phía

Đối với hàm tử phản biến G

0→G N( )→G M( )→G K(

Nếu

là khớp thì G gọi là khớp bên trái

Nếu

G N →G M →G K →

là khớp thì G gọi là khớp bên phải

là khớp nếu nó khớp cả hai phía

G

3.7 Mệnh đề

Cho C và D là hai phạm trù con đầy của phạm trù các môđun trái (phải) trên vành R và S Cho F : C D (G : C → D) hàm tử cộng tính hiệp biến (phản biến) Khi đó nếu

Cho C, D là những phạm trù con đầy của R M và M S Cho F, G là những hàm

tử cộng tính từ C vào D và η: F → G là một phép biến đổi tự nhiên Khi đó, nếu

0→M '→M →M ''→0

là dãy khớp chẻ ra trong C thì ηM là đơn cấu (toàn cấu) nếu và chỉ nếu ηM ' và ηM ''

đều là đơn cấu (toàn cấu)

CHƯƠNG II HÀM TỬ HOM

§1 ĐỊNH NGHĨA HÀM TỬ HOM

1.1 Mệnh đề

Cho R và S là những vành, U = R U S là một song môđun Khi đó ta có:

(i) Hom R (U,–): R M → S M

là một S-đồng cấu trong SM Thật vậy:

1, 2 Hom (U, M); s ,sR 1 2 S;u

+ Với f: RM → RN và g: RM → RN và γ ∈ HomR(U,M) ta có

(f + g)*( ) = (f + g)γ o( ) = (f)γ o( ) + (g)γ o( ) = (f)γ *( ) + (g)γ *( ) γVậy HomR(U,–) là hàm tử cộng tính hiệp biến

(ii) Tương tự ta chứng minh được HomR(–,U) là hàm tử cộng tính phản biến

1.2 Mệnh đề

Cho R là một vành Khi đó tồn tại đẳng cấu tự nhiên

η : → Hom R ( R R

xác định bởi

ηM (m): r a r.m và η γM −1( ) = γ(1) trong đó m ∈ M, γ: R R →R M

§2 TÍCH TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP

QUA HÀM TỬ HOM

2.1 Mệnh đề

Cho R U S là một song môđun, (Mα) α ∈ A là họ những R-môđun trái Khi đó:

(i) Hàm tử Hom R (U,–) bảo toàn tích trực tiếp Nghĩa là nếu (M, (qα) α ∈ A ) là tích trực tiếp của (Mα) α ∈ A thì

(Hom R (U S ,M),Hom R (U S ,qα) α ∈ A ) là tích trực tiếp của (Hom R (U S ,Mα)) α ∈ A ;

(ii) Hàm tử Hom R (–,U) biến tổng trực tiếp của những môđun thành tích trực tiếp của những môđun Nghĩa là nếu (M, (jα) α ∈ A ) là tổng trực tiếp của (Mα) α ∈ A thì

(Hom R (M,U S ),Hom R (jα,U S ) α ∈ A ) là tích trực tiếp của (Hom R (Mα,U S ,)) α ∈ A

Chứng minh

(i) Giả sử (M, (qα)α ∈ A) là tích trực tiếp của (M α)α ∈ A và (π α)α ∈ A là các phép chiếu tự nhiên của tích trực tiếp

A α∈Π HomR(US,Mα), do tính phổ dụng của tích trực tiếp nên tồn tại một S-đồng cấu ν làm cho biểu đồ sau giao hoán với mọi α ∈ A:

ν HomR(US,M)

Ta chứng minh ν là đẳng cấu, thật vậy:

Giả sử γ ∈ kerν, với mọi α ∈ A ta có πα.ν(γ) = HomR(US,qα)(γ) = qα.γ = 0

⇒ Imγ ⊆ Kerqα = 0 ⇒ γ = 0 ⇒ ν là một đơn cấu

Giả sử (γα)α ∈ A ∈ HomR(US,Mα) Do tính phổ dụng của tích trực tiếp ta có biểu đồ sau giao hoán với mọi α ∈ A:

A α∈Π

Khi đó với γα ∈ HomR(US,M) ta có

A α∈Π

A α∈Π Mα

Mα

A α∈Π γα

A α∈Π HomR(US,Mα)

HomR(US,Mα)

πα.ν( γα) = HomR(US,qα)(

A

α∈Π

A α∈Π γα) = qα

A α∈Π γα = γα với mọi α ∈ A

Ta chứng minh η là đẳng cấu, thật vậy:

Giả sử γ ∈ kerη, với mọi α ∈ A ta có πα.η(γ) = HomR(jα,U)(γ) = γ.jα = 0

Khi đó với ∈ HomR(M,US) ta có

A α α∈⊕ γ

πα.η(

A α

α∈⊕ γ ) = HomR(jα,US)(

A α α∈⊕ γ ) =

A α α∈⊕ γ jα = γα với mọi α ∈ A

⇒ η(

A α α∈⊕ γ ) = (γα)α ∈ A ⇒ η là toàn cấu

Vậy η là đẳng cấu và (HomR(M,US),HomR(jα,US)α ∈ A) là tích trực tiếp của (HomR(Mα,US))α ∈ A

HomR(M,US)

A α∈Π HomR(Mα,U

HomR(Mα,US)

S)

η

R A

A α∈Π HomR(Uα,M) và

A α∈Π HomR(Uα,N) Khi đó ta có những đẳng cấu:

ηM : HomR(

AUα

α∈⊕ ,M) →

A α∈Π HomR(Uα,M)

ηN : HomR(

AUα

α∈⊕ ,N) →

A α∈Π HomR(Uα,N) Sao cho: πα.ηM = HomR(jα,M), α ∈ A;

= HomR(Uα,f)(HomR(jα,M)(γ)) = f.γ.jα = HomR(jα,N)(HomR( ,f)(γ))

Từ đó suy ra HomR(Uα,f).ηM = ηN.HomR(

A α∈Π

AUα

α∈⊕ ,f) hay (i) giao hoán

(ii) Giả sử (qα)α ∈ A là các phép chiếu của

AUα

α∈Π , (πα)α ∈ A , (πα’)α ∈ A lần lượt là các phép chiếu chính tắc của

A α∈Π HomR(N,Uα) và

A α∈Π HomR(M,Uα) Khi đó ta có những đẳng cấu:

νM : HomR(M,

AUα

α∈Π ) →

A α∈Π HomR(M,Uα)

νN : HomR(N,

AUα

α∈Π ) →

A α∈Π HomR(N,Uα) Sao cho: πα νN = HomR(N,qα), α ∈ A;

=HomR(f,Uα)(HomR(N,qα)(γ)) = qα.γ.f = HomR(M,qα)(HomR(f,

AUα

α∈Π )(γ)) = πα’(νM (HomR(f,

AUα

α∈Π )(γ)))

Từ đó suy ra HomR(f,Uα).νN = νM .(HomR(f,

A α∈Π

là một dãy khớp trong R M thì những dãy sau là khớp:

(i) 0 ⎯⎯ → Hom R (U,K) ⎯⎯→f *

Chứng minh

(i) Ta có Ker f* = {γ: U → K | f.γ = 0}

Do f là một đơn cấu nên từ f.γ = 0 suy ra γ = 0 từ đó Ker f* = 0

Lấy α ∈ Ker g*, khi đó α: U → M và g.α = 0 theo tính phổ dụng của Kerg ta có đồng cấu δ: U → Kerg sao cho α = i.δ, với i: Kerg → M là phép nhúng chính tắc Do Kerg = Imf

h

≅ K nên ta có δ’: U → K, ở đó δ’ = h.δ và f.h = i

Từ đó f* (δ’) = f δ’ = f.h.δ = i.δ = α ⇒ α ∈ Imf* hay Ker g* ⊆ Imf*, mặt khác ta

có g*.f* = (g.f)* = 0 hay Imf* ⊆ Ker g* ⇒ ra Imf* = Ker g*

Vậy dãy (i) là khớp

(ii) Ta có Ker g* = {γ: N → U | γ.g = 0}

Do g là một toàn cấu nên từ γ.g = 0 suy ra γ = 0 từ đó Ker g* = 0

Lấy α ∈ Ker f *, khi đó α: M → U và α.f = 0 theo tính phổ dụng của Cokerf ta có đồng cấu δ: Cokerf → U sao cho α = δ.p, với p: M → Cokerf là phép chiếu chính tắc

Do N M/Kerg = M/Imf = Cokerf nên có δ’: N → U, ở đó δ’ = δ.h và h.g = p ≅h

Từ đó g*(δ’) = δ’.g = δ.h.g = δ.p = α ⇒ α ∈ Imf * hay Ker g* ⊆ Imf*, mặt khác

ta có f *.g*= (g.f)*= 0 hay Imf * ⊆ Ker g* ⇒ Imf * = Ker g*

Vậy dãy (ii) là khớp

là một dãy khớp chẻ ra thì những dãy sau cũng là khớp chẻ ra:

(i) 0 ⎯⎯ → Hom R (U,K) ⎯⎯→f *

Hom R (U,M) ⎯⎯→g *

Hom R (U,N) ⎯⎯ → 0 (ii) 0 ⎯⎯ → Hom R (N,U) ⎯⎯→g *

(b) Với mỗi toàn cấu f: R M → R N thì f * = Hom R (P,f) là một toàn cấu

(c) Với mỗi cấu trúc song môđun R P S , hàm tử Hom R (P S ,–): R M → S M là khớp

(d) Với mỗi dãy khớp M’ ⎯⎯f→

Chứng minh

(a) ⇒ (b): Giả sử P là xạ ảnh và f: RM → RN là một toàn cấu

Với α ∈ HomR(P,N), α: RP → RN, do P là xạ ảnh nên tồn tại γ: RP → RM,

γ ∈ HomR(P,M) sao cho α = f.γ = f * (γ)

Vậy f * là một toàn cấu

(b) ⇒ (c): Giả sử 0 ⎯⎯ → K ⎯⎯f→ M ⎯⎯g→ N ⎯⎯ → 0 là một dãy khớp trong

RM Do hàm tử Hom là khớp trái nên dãy sau là khớp:

(c) ⇒ (d): Giả sử M’ ⎯⎯f→ M ⎯⎯g→ M’’ là một dãy khớp trong RM

Khi đó: g.f = 0 ⇒ g * f * = (g.f) * = 0 ⇒ Imf * ⊆ Kerg *

Lấy u ∈ Kerg*, u: P → M và g.u = g*(u) = 0, do tính phổ dụng của Kerg nên tồn tại đồng cấu γ: P → Kerg sao cho u = i.γ với i: Kerg → M là phép nhúng chính tắc Mặt khác, xét f’: M’ → Imf là một toàn cấu, do (c) hàm tử HomR(PS,–) là khớp nên là một toàn cấu, khi đó tồn tại δ: P → M’ sao cho γ = (δ) = f’.δ

'

*

f'

*f

Do Imf = Kerg nên u = i.γ = i.f’.δ = f.δ = f *(δ) ⇒ u ∈ Imf * hay Kerg * ⊆ Imf *

Vậy Imf * = Kerg * và

HomR(P,M’) ⎯⎯f *→ HomR(P,M) g *

⎯⎯→ HomR(P,M’’)

là dãy khớp

(d) ⇒ (a): Giả sử f: P → N, f ∈ HomR(P,N) là một đồng cấu, g: M → N là một

toàn cấu hay M → N → 0 là một dãy khớp, do (d) ta có dãy sau khớp

HomR(P,M) g *

⎯⎯→ HomR(P,N) ⎯⎯ → 0 hay g* là một toàn cấu suy ra tồn tại h ∈ HomR(P,M) sao cho f = g *(h) = g.h

3.4 Hệ quả

Hom R ( R P S ,–): R M → S M là khớp khi và chỉ khi R P là xạ ảnh

3.5 Mệnh đề

Cho R G là một môđun Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(a) G là môđun sinh

(b) Với mỗi đồng cấu f trong R M nếu Hom R (G,f) = 0 thì f = 0

(c) Với mỗi đồng cấu f: R M → R N, nếu f * : Hom R (G,M) → Hom R (G,N) là toàn cấu thì f là toàn cấu

Giả sử f: RM → RN là một đồng cấu và HomR(G,f) = 0

⇒ f *(h) = f.h = 0, ∀ h ∈ HomR(G,M) ⇒ Imh ⊆ Kerf, ∀ h ∈ HomR(G,M)

(b) ⇒ (d): Giả sử M’ ⎯⎯f→ M ⎯⎯g→ M’’ là một dãy những R-đồng cấu sao cho

HomR(G,M’) ⎯⎯f *→ HomR(G,M) ⎯⎯→g * HomR(G,M’’)

là dãy khớp suy ra g*f* = (g.f)* = HomR(G,g.f) = 0, theo (b) thì g.f = 0 hay Imf ⊆ Kerg Xét f: M → M/Im(G,M) là toàn cấu tự nhiên, với mọi h ∈ HomR(G,M) ta có f.h = 0 từ đó HomR(G,f) = 0, theo (b) thì f = 0 suy ra M = Im(G,M) ⇒ G là môđun sinh Lấy x ∈ Kerg, do G là môđun sinh nên tồn tại những đồng cấu βi : G → Kerg và

yi ∈ G sao cho x = ∑ βi (yi) Với mỗi i ta có g.βi = 0 ⇒ βi ∈ Kerg * = Imf * nên tồn tại

αi ∈ HomR(G,M’) với βi = f *(αi ) = f αi

Khi đó x = ∑ βi (yi) = ∑ f.αi (yi) ∈ Imf ⇒ Kerg ⊆ Imf

Vậy Imf = Kerg và M’ ⎯⎯f→ M ⎯⎯g→ M’’ là dãy khớp

(d) ⇒ (c): Giả sử f: RM → RN là một đồng cấu và

f *: HomR(G,M) → HomR(G,N)

là một toàn cấu, khi đó ta có dãy khớp

HomR(G,M) ⎯⎯f *→ HomR(G,N) ⎯⎯ → 0 theo (d) thì M ⎯⎯f→ N ⎯⎯ → 0 là một dãy khớp

Vậy f là một toàn cấu

(c) ⇒ (a): Với mỗi h ∈ Hom(G,M) ta đặt Gh = G Xét biểu đồ giao hoán

Trong đó uh là phép chiếu chính tắc, f là đồng cấu xác định bởi họ {h| h ∈ Hom(G,M)} Rõ ràng f*: Hom(G, h

(b) Với mỗi đơn cấu f: R K → R M thì f * = Hom R (f,E) là một toàn cấu

(c) Với mỗi cấu trúc song môđun R E S , hàm tử Hom R (−,E S ): R M → M S là khớp

(d) Với mỗi dãy khớp M’ ⎯⎯f→

(a) ⇒ (b): Giả sử E là nội xạ và f: RK → RM là một đơn cấu

Với α ∈ HomR(K,E), α: RK → RE, do E nội xạ nên tồn tại γ: RM → RE,

γ ∈ HomR(M,E) sao cho α = γ f = f * (γ) Vậy f * là một toàn cấu

(b) ⇒ (c): Giả sử 0 ⎯⎯ → K ⎯⎯f→ M ⎯⎯g→ N ⎯⎯ → 0 là một dãy khớp trong

RM Do hàm tử Hom là khớp trái nên dãy sau là khớp:

0 ⎯⎯ → HomR(M’’,E) ⎯⎯→g* HomR(M,E) ⎯⎯→f* HomR(M’,E)

Do f là đơn cấu nên theo (b) f * là toàn cấu suy ra

0 ⎯⎯ → HomR(M’’,E) ⎯⎯→g* HomR(M,E) ⎯⎯→f* HomR(M’,E) ⎯⎯ → 0

là dãy khớp

Vậy hàm tử HomR(–,ES): RM → MS là khớp

(c) ⇒ (d): Giả sử M’ ⎯⎯f→ M ⎯⎯g→ M’’ là một dãy khớp trong RM

Khi đó: g.f = 0 ⇒ f*.g * = (g.f)*= 0 ⇒ Img* ⊆ Kerf *

Lấy u ∈ Kerf *, u: M → E và f* (u) = u.f = 0, do tính phổ dụng của Cokerf

(Cokerf = M/ Imf = M/Kerg) nên tồn tại đồng cấu γ: Cokerf → E sao cho u = γ.p với

p: M → Cokerf là phép chiếu chính tắc

Mặt khác, xét g’: M/Kerg → M’’ là một đơn cấu, theo giả thiết hàm tử HomR(–,ES ) là khớp nên g’* là một toàn cấu, khi đó với γ: M/Kerg → E tồn tại δ: M’’ → E sao cho γ = g’* (δ) = δ.g’

Ta có: u = γ.p = δ.g’.p= δ.g = g*(δ), suy ra u ∈Img * hay Kerf* ⊆ Img*

Vậy Img* = Kerf* và (M’’,E) ⎯⎯→g* HomR(M,E) ⎯⎯→f* HomR(M’,E) là dãy

khớp