Khóa luận tốt nghiệp toán Hàm tử Hom và dãy khớp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • KHOA TOÁNTÀO THI DUYÊN rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga... Một trong những ứng dụng quan ttọng khi nghiên cứu lý thuyết môđ

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • KHOA TOÁN

TÀO THI DUYÊN

rKhóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Trang 2

khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô giáo, TS Nguyễn Thị Kiều Nga - người đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận.

Mặc dù có nhiều cố gắng song do hạn chế về thòi gian cũng như kiến thức, tài liệu, nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận đươc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Tào Thị Duyên

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình thực hiện khóa luận ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn nhận được sự chỉ

bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo, TS Nguyễn Thị Kiều Nga Em xin cam đoan khóa luận này

là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Tào

Các cấu trúc đại số bao gồm nhóm, vành, trường, môđun, Trong đó “môđun” là một trong những khái niệm quan trọng nhất của đại số hiện đại Một trong những ứng dụng quan ttọng khi nghiên cứu lý thuyết môđun là xét dãy các R - đồng cấu mà thỏa mãn tính chất ảnh của đồng cấu vào trùng với hạt nhân của đồng cấu ra, khi đó ta có dãy khớp

Qua quá trình học tập và nghiên cứu, em thấy dãy khớp có ứng dụng rất rộng rãi Trong đại

số, dãy khớp và các tính chất của nó được sử dụng nhiều khi nghiên cứu về tích Tenxơ, hàm tử Hom, Trong Tôpô đại số, giải tích hàm thì nghiên cứu dãy khớp tôpô, dãy khớp ngắn của ánh xạ tuyến tính giữa các không gian như không gian Frechet, Ngoài ra, dãy khớp còn có ứng dụng

Trang 3

trong nhiều ngành khác Vì vậy em chọn đề tài “Hàm tử Hom và dãy khớp” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

2 Mục đích nghiền cứu

Bước đàu làm quen vói công tác nghiên cứu khoa học đồng thời muốn đi sâu, tìm tòi, nghiên cứu về dãy khớp, hàm tử Hom và dãy khớp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Sử dụng kiến thức môđun và dãy khớp để nghiên cứu hàm tử Hom và dãy khớp

4 Phương pháp ngỉên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng họp và đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phàn Mở đàu, Kết luận, Tài liệu tham khảo,nội dung của khóa luận được chia làm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Nội dung chủ yếu của chương này là trang bị những kiến thức cơ bản về môđun

Chương 2: Hàm tử Hom và dãy khớp.

Ở chương này đưa ra một số định lý, hệ quả có tính chất quan trọng, một số nhận xét khái quát về dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp chẻ ra, hàm tử Hom, hàm tử Hom và dãy khớp và một

số bài tập ứng dụng

Trang 4

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BI

1.1 Môđun, mô đun con, môđun thương

1.1.1 Môđun

1.1.1.1 Định nghĩa

Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 M là một nhóm cộng Abel M gọi là

một môđun trái trên R hay R - môđun trái nếu tồn tại ánh xạ ( gọi là tích vô hướng

trên R)

f:RxM —>M (a,x) I—>

thỏa mãn các điều kiện sau:

ịa+J3)x = ax+J3x a(x+y) = ax+ay {aP)x = aị K fĩx) l.x = x Với mọi a,p&R và mọi x,yeM.

Tương tự, một môđun phải trên R hay R - môđun phải là một nhóm Abel cộng

cùng với một ánh xạ

f :M xR—>M (x,a) I—>

ứiỏa mãn các điều kiện sau:

xịa + p} = xa + xfi (x + y)a = xa + ya

^ — ( xa) p x

x.l-Với mọi a,P&R và mọi x,y eM

Nhận xét: Nếu R là vành giao hoán thì khái niệm R - môđun trái trùng với khái

niệm R - môđun phải.

Sau đây ta chỉ xét R - môđun trái và gọi chúng là R - môđun.

r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Trang 5

d) a{x — y) = ax — ay

I.I.I.3 Ví du về môđun

■

Vídụl

Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một môđun trên K và ngược lại.

Nhận xét' Khái niệm môđun là khái niệm tổng quát của không gian vectơ Ví

xác định và thỏa mãn 4 điều kiện của môđun

Trang 6

Nhận xét : Ví dụ trên chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết nhóm Abel.

Ví dụ 3

Giả sửX là vành bất kỳ với đơn vị 1 vài? là vành giao hoán củaX chứa 1 Khi đó,

với mọi a € R và mọi X e X

Cho R là vành giao hoán có đơn vị, /?[jc]là vành đa thức ẩn X Với

phép cộng hai đa thức thông thường và phép nhân đa thức với các vô hướng xác định

bởi

/ (x) = a 0 + aiX + .+ a n x n af(x) = aa 0 + ac^x + + aa n x n

với mọi aeR\(ai,.:;a n )>{bi,—;bn)eR n ’ Khi đó, R n là nhóm cộng Abel và thỏa mãn

4 điều kiện của R - môđun Vì thế R n ìầR - môđun.

1.1.2 Môđun con

Trang 7

Cho MỉầR- môđun, N c= M ,N gọi là môđun con của M nếu N là R - môđun

với hai phép toán cảm sinh

1.1.2.2 Điều kiện tương đương

Cho M làR - môđun, N ^ 0 , N Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

i) NỉầR- môđun con của M

ii) Vói mọi a&R, mọi jt,}>eAfthì x+y&N, ax&N.

iii) Với mọi a,p&R, mọi x,ỵ G N thì ax + /3y G N

1.1.2.3 Ví du về môđun con Vídụl

Cho M ỉầR- môđun tìủ M có ít nhất 2 môđun con là M và môđun {0} Ví dụ 2

■

Nếu M là một nhóm Abel cộng, xem như một T' - môđun thì các môđun con của

nó là các nhóm con của nhóm cộng Abel M.

Ví dụ 3

Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 thì mọi idean của R đều là môđun con của

R.

1.1.2.4 Tính chất

Giao của một họ bất kì các môđun con của M là một môđun con của M Nhân xét :

Họp của một họ bất kì các môđun con của M nói chung không

là môđun con của M.

Trang 8

- Nếu MỉầR- môđun, yNi) đều là các môđun con củaM thỏa mãn

Vỉ, j e l , 3 k e l sao cho N i c N k và N j c N k thì u là một môđun con của M.

1.1.2.5 Tồng của một họ môđun con

Cho M là R - môđun, ^ Ni ) là một họ các môđun con của M Khi

đó, môđun sinh bỏi|J được gọi là tổng của một họ các môđun con

I.I.3.I Xây dựng môđun thương

Giả sử M là một R - môđun và N là một môđun con của nó Khi đó,

Mỵ^j = ịx + N\XGM} là một nhóm Abel cộng với phép cộng trong

được định nghĩa như sau:

(x + N) + (y + N) = x + y + N Trên xác định

phép nhân vô hướng như sau:

Trang 9

Với mọi a&R, mọi X + N e thì

a(x + N) = ax + N.

Khi đó, Mỵ/ là R - môđun.

Thật vậy, vói mọi cc,J3gR, mọi X + N,y+N tacó

/ 'ĩ<ĩ\ —ry(x + V) + N = ax + ay + N -~ + N + ay + N

'" + N) {a + 0)(x + N) = {a + Ị3)x + N =ax + Ịĩx + N

Cho N là một môđun con của một R - môđun M Khi đó, R môđun

được xây dựng như trên gọi là môđun thương của M theo N Phần tử X +

N của thường được ký hiệu là X và được gọi là ảnh của X trong

'V

V-Nhận xét:

Nếu p là một môđun con của M chứa N thì R - môđun thương là

một môđun con của ■

I.I.3.3 Ví dụ về môđun thương Ví dụ 1

Cho M là R - môđun, tồn tại các môđun con {0} và M Do đó tồn tại các môđun

thương

M /M ={X + M\X<EM} = {M\X<EM} = {M}

Trang 10

Ví dụ 2

Cho R là vành có đơn vị thì R là R - môđun Ả là idean của R thì A Là R - môđun

con của R Khi đó, tồn tại môđun thương

Cho M là R - môđun, - M, giao của tất cả các môđun con của M

chứa s là một môđun con của M chứa s (đó là môđun con nhỏ

nhất của M chứa tập hợp con s đã cho) Môđun này được gọi

là môđun con sinh bởi tập s và kí hiệu là (5)

Trang 11

(S) = P| ( với Ma là các môđun con của M chứa S)

- Nếu (5) = M thì s là tập sinh của M hay M được sinh bởi s

- Nếu ịS) — M và s hữu hạn thì M gọi là môđun hữu hạn sinh.

1.2.2 Điều kiện tương đương với môđun hữu hạn sinh

R - môđun M hữu hạn sinh khi và chỉ khi đối với mỗi tập 1 ’ €/}

các môđun con của M thỏa mãn M =^Aị đều tồn tại một tập con hữu

<=) Xét tập hợp các môđun con dạng ịaR I a ẽMỊ Khi đó, theo giả thiết, tồn tại tập

hữu hạn {ai,a2>—,fl„} sao cho M = a^R + a 2 R + + a n R Điều này chứng tỏ M

là hữu hạn sinh

Trang 12

1.3 Đồng cấu môđun

1.3.1 Định nghĩa

Cho M, N là các R - môđun, ánh xạ / :M —»iV gọi là đồng cấu

môđun (hay R - đồng cấu hoặc ánh xạ tuyến tính) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

Với mọi aeR, mọi a,b eM

f{a + b) = f(a) + f{b) f(aa) = af(a)

- Nếu một đồng cấu môđun đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương ứng

được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu môđun

- Cho M, N là các R - môđun, M là môđun con của N, khi đó ánh xạ

là một đồng cấu gọi là đồng cấu đồng nhất

- Nếu '^ = {0} thì/được gọi là đồng cấu không, thường được

viết là 0

- Kí hiệu:

Kerf = {XGM \ f(x) = 0} = /_1(0)gọi là hạt nhân của/.

Im/ = {/(x) IX } = f(M )gọi là ảnh của/.

Cơker/ = ^/Jmf ỖPĨ là đối hạt nhân của/.

Coimf — M/g ự gọi là đối ảnh của/.

1.3.2 Điều kiện tương đương

Cho M, N là R - môđun, ánh xạ /: M —» N là R - đồng cấu môđun

khi và chỉ khi f(ax + Ị3y) = af(x) + /3f(y\ya,Ị3&R,\/x,y&M .

1.3.3 Ví dụ về đồng cấu môđun Ví dụ

1

Cho M là R - môđun, ánh xạ đồng nhất

Trang 13

Cho/: L —»Ảf và g:M —» là những đồng cấu môđun, thì hợp

thành g ° của chúng cũng là một đồng cấu môđun

Trang 14

Kerf - {x e M \ f(x) - 0} - /_1(0) là môđun con của M Im/ = {/

(jc) I Jt e M } = /(M) là môđun con của N Tính chất 3

f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {o}

/ là một toàn cấu khi và chỉ khi Im/ = N Tính chất 4

Cho M, N là các R - môđun, là R - đồng cấumôđun

Cho /: M —»AHà R - đồng cấu, Ker/ là môđun con của M và

p:M —» M/g rị là toàn cấu chính tắc Khi đó, tồn tại duy nhất R - đồng cấu /: ^ r

sao cho f.p = f tức biểu đồ sau giao hoán:

Trang 15

môđun con của N sao cho f(A) cổ-P A '-M — » v à P B :N — » l à

các toàn cấu chính tắc Khi đó, tồn tại duy nhất R - đồng cấu

Trang 16

CHƯƠNG 2 HÀM TỬ HOM VÀ DÃY KHỚP 2.1 Dãy khớp

2.1.1 Định nghĩa dãy khớp

Dãy các môđun và các R - đồng cấu

: Mn >Mn-l — >Mn-2 ->••••(*) được gọi là dãy khớp nếu Im/ = Kerf pVỚi mọi n.

2.1.2.Dãy khớp ngắn

Một dãy khớp bất kì dạng 0 ->x —>y—ẵ—>z ->0 được

gọi là một dãy khớp ngắn

2.1.2.2 Điều kiện tương đương của dãy khớp ngắn

Dãy khớp với 5 môđun 0—2—>X — —ẵ— » z — > 0 ( * ) là dãy khớp

ngắn khi và chỉ khi / là đơn cấu, g là toàn cấu, Im/ = Kerg Chứne minh

Vì (*) là dãy khớp nên ta có ” ^ T— f - ^rọ\\mg = Kerh

Trang 17

Lại có, i là đơn cấu, p là toàn cấu Do đó ta có dãy khớp ngắn

0 ->N—^M —^ M / N ->0

Ví dụ 2

Cho h: X —»yià R - đồng cấu Cokexh = là đối hạt nhân.

Xét dãy các R - môđun và các đồng cấu

Trong một dãy khớp tùy ý A —1—>B —- —>c—^—>D (*) của các

R - đồng cấu, các phát biểu sau tương đương

a) / là một toàn cấu

b) g là đồng cấu tầm thường

c) h là đơn cấu Chứng minh

a b) Theo định nghĩa, / là một toàn cấu khi và chỉ khi Im/ = B Mặt khác, g là

đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi Kerg = B Vì (*) là dãy khớp nên ta có Im/ =

Kerg Do đó a <=> b.

b c) g là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi Im g = 0 Ta có /ỉ là đơn cấu khi và chỉ

khi Kerh = 0 Vì (*) là dãy khớp nên ta có Img = Kerh Do đó b c.

Trang 18

Hệ quả 1

Trong một dãy khớp tùy ý A — Í —^B —i—»c—^—>D —t—>E những đồng cấu

của các R - môđun, c = 0 nếu và chỉ nếu/là một toàn cấu và k là một đơn cấu.

Chứng minh

=>) Với c = 0 ta có g và h là những đồng cấu tầm thường Do đó theo tính chất 1 thì f

là một toàn cấu và k là một đơn cấu.

<=) Vì / là một toàn cấu, k là một đơn cấu nên theo tính chất 1 ta có g và h là những

đồng cấu tầm thường nên Im g =0,Kerh =c Vì dãy là khớp nên ta có Img = Kerh

nên / là toàn cấu, h là đồng cấu tầm thường, suy ra k là

đơn cấu Do đó, c = 0 (theo hệ quả 1)

Trang 19

Hệ quả 3

Trong một dãy khớp tùy ý

những môđun ừên R Các phát biểu sau là tương đương:

b <=> c) Ta có / là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi d là toàn cấu, h là đồng

cấu tàm thường, điều này tương đương % là đơn cấu Do đó, b c

Hệ quả 4

Nếu dãy 0—»c—“—ỳD —-—^0 những đồng cấu của R - môđun là khớp thì g là

một đẳng cấu

Thật vậy, ta có Im/ = /(0) = 0 Do dãy trên khớp nên Im/ = Kerg

, suy ra Kerg = 0 Do đó, g là đơn cấu Img = Kerh = D , suyra, g là

toàn cấu Vậy g là đẳng cấu.

Trang 20

à) Im/? = g'_1(Imf) tí) Kerỵ = g{KerỊ3)

Do đó, nếu ỵỉầ toàn cấu thì p cũng là toàn cấu, nếu p là một đơn cấu thì

a) Giả sử b' e Im/? là tùy ý cho trước Khi đó, tồn tại một phần tử b € B với Ị3{tí) — b '

Do tính giao hoán của hình vuông thứ hai ta có

1 r~/I’\l,= Tmr=>£'eg'_1[lni7']

Vì b 'là một phần tử tùy ý của Im/? nênlmyỡ c g'~ l [ìmỵ ] (1)

Đảo lại, giả sử b' &g'~ l Im/] Khi đó,c' - g'{b') Gỉmỵ Do đó, tồn tại một phần tử c €

Theo định nghĩa của Img, tồn tại một phàn tử b e B với g(b)=c Xét phần tử b' - /

3{b) trong môđun B'.

Vì g'[b' -J3(b)] = g’№ - g’[№] = c'-c' = 0

suy ra

b' - p{b) G Kerg' = Im/'.

Do đó, tồn tại một phần tử a' GA' với f\a')=b'-/3{b) Vì «là toàn cấu nên tồn tại một

phàn tử a € A vói a(a) = a ' Bây giờ, ta xét phàn tử f(a) + b của môđun B Do tính

giao hoán của hình vuông một nên ta có: + = J3[f(a )] + m = f'[a(a)] + m =

Trang 21

Vì ổ là đơn cấu suy ra h(c ) = 0 Do đó

c G Kerh = Img (do dòng trên khớp).

Theo định nghĩa của Img, tồn tại một phần tử b eBvởig(b) = c Xét phần tử b' =

Ị3(b) E B ' Do tính giao hoán của hình vuông thứ 2 ta được

g\b') = g'[№] = ỵ[g(b)] = ỵ(c) = 0 =>b'

G Kerg' = Im/'(vì dòng dưới khớp).

Vậy tồn tại một phần tử a' e A với f'(á) - b' Vì a là toàn cấu nên tồn tại một phần tử

a € Avới a(a) - a'.

Tiếp theo, xét phần tử b -/(«)e5 Do tính giao hoán của hình vuông thứ nhất ta có

J3[b - f(a)] = J3(b ) -J3[f(a)] = J3(b ) - f ’[a(a)] = b'-b’ = 0 r cz

g(b) = c Do tính giao hoán của hình vuông thứ 2 ta có: r(c) = r[g(b)] =

Trang 22

g'[m] = g\ 0) = 0 => c <E Kerỵ Vì c là một phần tử tùy ý của g[KerỊ3\ nên

a) Nếu a và ỵlầ những đơn cấu thì Ị3 là đơn cấu

b) Nếu a và ỵlầ những toàn cấu thì /?là toàn cấu

Do đó đồng cấu /?là một đẳng cấu nếu a và ỵỉầ đẳng cấu

Trang 23

vói hai phép toán cộng và nhân vô hướng được xác định ở trên lập thành một R -

môđun và môđun này được gọi là tổng trực tiếp của họ các môđun {iiíi}jef

Nhân xét:

- Tổng trực tiếp của họ các môđun {Mi} J là môđun con của tích trực tiếp YỊMÌ

- Nếu I là hữu hạn thì khái niệm tổng trực tiếp trùng với tích trực

tiếp

Định lý

ChoM, N, L là các R - môđun Các đồng cấu / :M —»iV và g:N —» L Nếu h = g°

là một đẳng cấu, thì ba phát biểu sau là đúng:

i) / là một đơn cấu

ii) g là một toàn cấu

2.2.I.3 Hạng tử trực tiếp

Cho MlầR- môđun, N là môđun con của M Ta nói N là một hạng tử trực tiếp của M

khi và chỉ khi tồn tại môđun con p của M sao cho AT ÉB p Khi đó, ta cũng nói p là

môđun con phụ của N trong M.

Nhận xét:

- Nếu M là không gian vectơ hữu hạn chiều thì mọi không gian vectơ con của M đều có

một không gian con phụ

Trang 24

■' L + j = 0 , j = l , n Đặc biệt M -N@P<^>M -N + P,NniP-0

2.2.2 Dãy khớp chẻ ra

2.2.2.I Định nghĩa

Ta nói rằng một dãy khớp ->x —»y— s -^>z -» là chẻ

ra tại môđun Y nếu và chỉ nếu môđun con A = Im/ = Kerg của môđun Y

là một hạng tử trực tiếp của Y Tức tồn tại BczY sao cho

Y = ĩmf®B = Kerg®B = A®B.

Nếu dãy khớp chẻ ra tại mỗi môđun không nằm ở hai đầu của nó thì

ta nói rằng nó chẻ ra

Xét dãy khớp ngắn 0—^—>A —1—>B —ẩ—»c—>0 (1) Ta sẽ chứng minh (1)

chẻ ra tại A và c nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại môđun B Chứng minh

khớp chẻ ra tại A

chẻ ra tại c Vậy dãy khớp ưên chẻ ra nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại R - môđun B.

ỉ là đơn cấu, p là toàn cấu.

Ta có lmi = j(ra,0)| VmeẢfỊ=M

' - _oỊ = {fWx50)|meM|^ Imỉ' = Kerp Suy ra (1) là dãy khớp ngắn Lại c ó M ©N = Imỉ' © N Suy ra dãy khớp (1) chẻ ra tại M ©

Trang 25

2.2.2.3 Định lý

Nếu một dãy khớp ->x —^>Y —^—»z -» (*)

những đồng cấu của những môđun trên R chẻ ra tại môđun Y thì

Y = ĩmf (&ĩmg.

Chứng minh

Y = A®B = A + B,An\B = { 0} Ta chứng minh B = Im^

Xét ánh xạ thu hẹp của ánh xạ g vào môđun B là ánh xạ

h = g |B:5—>z

g(x)

Do g là đồng cấu môđun nên Mà R - đồng cấu môđun.

Mặt khác, Kerg =ĩmf = A,AnB = {0}=>xeKerh^>xeB (1) Lại có

X GKerh =^>h{x ):= g(x) = 0^ieKerg Mà Kerg = Im/ = A =>XGA (2)

Từ (1) và (2) suy ra X G A n B - {0} => Kerh - {0} Suy ra h là đơn cấu Suy ra B =

Im/ỉ (**)

Ta chứng minh ĩmh = Img Thật yậy ĩmh (= Img (1)

Vói mọi ^vì.Vy e7}, tồn tại một phần tử -7 sao cho

g(y) = z.

Vì ỵGY,Y = A + B^3aGA,ÒGB để ỵ = a + b.

Ta có: g(y) = g(a + b) = g(a) + g(b).VÌ ae A = lmf = Kerg Suy ra g(a) =

0 Vì b&B^> g(b) = h{b) Vậy z = g(y) = h(b) = ĩmh Suy ra Img czĩmh (2)

Từ (1) và (2) ta có ĩmh = Img Vậy B = ĩmh =Im g =>z? = Img túc

Y = Im/ ® Img.

2.2.2A Các hệ quả Hệ quả 1

Nếu dãy khớp ngắn 0—Ĩ —>A —1—>B — § —>C —ỉíí—»0 (*) chẻ ra thì B =

A©C.

Chứng minh

Trang 26

=B Vì (*) là dãy khớp ngắn nên / là đơn cấu, suy ra r Khóa luận tôt nghiệp GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	148,17 KB

Khóa luận tốt nghiệp toán Hàm tử Hom và dãy khớp

Một số bài tập 1 Bài tập về môđun