Bất đẳng thức

Do tính đa dạng và phong phú của các bài tập về bất đẳng thức nên tôi chỉ trình bày một số dạng thông qua các phương pháp giải cơ bản.. Đối với học sinh : Giúp học sinh học tập môn toán

Việc giải bài toán này giúp chúng ta tiếp cận và làm quen dần với các bài toán thực tế như :So sánh các biểu thức ,tìm giá trị lớn nhất , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đối với tôi - là một giáo viên THCS , việc tập dượt nghiên cứu khoa học

là rất cần thiết để củng cố và đào sâu kiến thức Từ đó có thể truyền đạt cho học sinh một cách linh hoạt và có hệ thống hơn

Đặc biệt qua thực tế giảng dạy môn toán tôi nhận thấy giải toán bất đẳng thức là tương đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phương trình là mới lạ ,là khó và thực tế cho thấy :

- Học sinh lúng túng trước vấn đề cần chứng minh mà không biết bắt đầu

từ đâu và đi theo hướng nào

-Học sinh có suy luận kém , dùng lập luận thiếu căn cứ , không chính xác , lập luận dài dòng , thậm chí có mâu thuẫn , tư duy suy luận chưa cao

-Học sinh còn mắc lỗi khi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế của bất đẳng thức, bất phương trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phương trình

-Với những bài chỉ sử dụng giả thiết nếu không tìm ra lời giải thì học sinh thường bế tắc , ít sáng tạo dẫn đến các em ngại khó và bỏ qua

Hơn nữa , trong chương trình đại số THCS chưa đi sâu vào phần này Vì vậy , tôi chọn chuyên đề " Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức ở trường thcs " làm đề tài nghiên cứu

http://violet.vn/tbadanh

Nội dung chính của đề tài là tìm tòi , hệ thống các bài toán hay ; phân loại

và tìm phương pháp giải các bài toán đó

Do tính đa dạng và phong phú của các bài tập về bất đẳng thức nên tôi chỉ trình bày một số dạng thông qua các phương pháp giải cơ bản trong mỗi phương pháp giải là một số bài tập tiêu biểu kèm theo lời giải chi tiết

II Mục đích nghiên cứu :

1 Đối với giáo viên :

- Nâng cao trình độ chuyên môn , phục vụ cho quá trình giảng dạy

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học , nâng cao kiến thức

2 Đối với học sinh :

Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh một số kiến thức nhằm nâng cao năng lực môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động , sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức

Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản

và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập

Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa , sách tham khảo , giúp học sinh tự giải được một số bài tập

Thông qua việc giải bài toán về bất đẳng thức, giúp học sinh thấy rõ mục

đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức

III Nhiệm vụ nghiên cứu :

- Tìm hiểu thực tiễn ở trường THCS

http://violet.vn/tbadanh

1 Phạm vi đề tài :

Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức

đối với học sinh Lớp 8 , lớp 9

2 Đối tượng nghiên cứu :

- Học sinh ở lứa tuổi 14 -15 ở trường THCS vì đa số các em thích học toán và bước đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách ổn định

- Đối tượng khảo sát : học sinh lớp 8 ,9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập Luyện thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THCS

3 Phương pháp tiến hành :

- Học sinh có kiến thức cơ bản , đưa ra phương pháp giải, vận dụng các bài tập áp dụng , chỉ ra được các sai lầm hay gặp

- Học sinh về nhà làm bài tập

4 Dự kiến kết quả của đề tài :

- Khi chưa thực hiện đề tài này : Học sinh chỉ giải một số bài tập về bất

đẳng thức đơn giản , hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập

về bất đẳng thức

- Nếu thực hiện đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức , làm bài tập tốt hơn , tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức có dạng tương tự , hạn chế được nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức

IV Phương pháp nghiên cứu :

- Nghiên cứu tài liệu về lí luận

- Tham khảo , thu thập tài liệu, phân tích, tổng hợp

Người thầy đóng vai trò chủ đạo , hướng dẫn học sinh tìm tòi kiến thức Việc phát huy tính chủ động , sáng tạo , tư duy lô gic của học sinh trong học tập

và cuộc sống là điều rất cần thiết , đó là điều mà trong dạy học Toán dễ dàng thực hiện được

Việc trang bị cho học sinh những kiến thức Toán không chỉ gồm khái niệm, tính chất, định lí , qui tắc mà cả những kĩ năng , phương pháp giải bài tập và vận dụng vào thực tế cuộc sống Vì thế trong quá trình giảng dạy ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi tri thức còn phải suy luận , đúc rút kinh nghiệm Khi giải bài toán không chỉ đòi hỏi học sinh linh hoạt trong việc áp dụng lí thuyết mà còn khai thác , phát triển bài toán theo chiều hướng thuận lợi nhất cho việc giải nó

Mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy đều muốn đem tâm huyết và vốn kiến thức của mình truyền thụ cho học sinh mong các em hiểu bài và yêu thích môn Toán hơn Việc giảng bài và tìm ra phương pháp giải sao cho phù hợp với đối tượng học sinh đã kích thích lòng ham mê ở các em, từ đó tìm ra những học sinh

có năng khiếu và bồi dưỡng trở thành học sinh giỏi

Giải bài toán bất đẳng thức, bất phương trình rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp, phát huy được tính tích cực chủ động trong tư duy

II Cơ sở thực tiễn

Bài toán về bất đẳng thức có mặt hầu hết trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn của THCS, THPT

http://violet.vn/tbadanh

Qua thực tế giảng dạy môn toán tôi nhận thấy giải toán bất đẳng thức là tương đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phương trình là mới lạ và khó và thực tế cho thấy :

- Học sinh lúng túng trước vấn đề cần chứng minh mà không biết bắt đầu

từ đâu và đi theo hướng nào

-Học sinh có suy luận kém , dùng lập luận thiếu căn cứ , không chính xác , lập luận dài dòng , thậm chí có mâu thuẫn , tư duy suy luận chưa cao

-Học sinh còn mắc lỗi khi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế của bất đẳng thức, bất phương trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phương trình

-Với những bài chỉ sử dụng giả thiết nếu không tìm ra lời giải thì học sinh thường bế tắc , ít sáng tạo dẫn đến các em ngại khó và bỏ qua

- Tài liệu dùng cho học sinh còn ít dẫn đến việclựa chọn và giải bài tập còn nhiều hạn chế

CHƯƠNG II : GIảI QUYếT VấN Đề

I Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

Hai biểu thức A và B của các số hoặc chữ thay số , liên hệ với nhau bởi một trong các quan hệ lớn hơn ( > ) ; bé hơn ( < ) ; lớn hơn hoặc bằng ( ≥ ) ; bé hơn hoặc bằng (≤ ) ; khác (≠ ) gọi là bất đẳng thức Viết là :

10.Tính chất 10: Nếu a > b > 0 và n là một số nguyên dương thì n a > n b

II.Những bài toán về bất đẳng thức và phương pháp giải

⇔ 2≥ 8ab ( vì a + b = 1 ) ⇔ 1 ≥ 4ab ⇔ ( a + b )2 ≥ 4ab ( vì a + b = 1 ) ⇔ ( a + b )2 ≥ 0 ( 2 )

Bất đẳng thức ( 2 ) đúng ,mà các phép biến đổi trên là tương đương , vậy bất đẳng thức ( 1 ) đúng ( đpcm)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bài 2 : Cho a , b , c , d , e là các số thực Chứng minh rằng :

a , a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b

http://violet.vn/tbadanh

b , a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e )

Giải :

a , Ta có : a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b, ⇔2 ( a2 + b2 + 1 ) - 2 ( ab + a + b ) ≥ 0

⇔ 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae ≥ 0

⇔(a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) ≥ 0 ⇔ ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 ≥ 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b , c , d , e Nên ta có

điều phải chứng minh Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e

Bài 3 : Cho ab ≥ 1 Chứng minh rằng : 2

1

2

ab a

a ab

+ +

) 1 )(

1

2

ab b

b ab

+ +

⇔

) 1 )(

1 (

) ( 2

ab a

a b a

+ +

) 1 )(

1 (

) ( 2

ab b

b a b

+ +

ab) (1 ) b (1 ) a (1

) a (1 - a b 1 ) (

2 2

2 2

+ +

+

+ +

1 )(

1 (

) )(

(

2 2

2 2

2

ab b

a

b a b ab a a b

+ +

+

−

− +

⇔

) 1 )(

1 )(

1 (

) 1 )(

)(

(

2 2

ab b

a

ab a b a b

+ +

+

−

−

http://violet.vn/tbadanh

⇔

) 1 )(

1 )(

1 (

) 1 ( ) (

2 2

2

ab b

a

ab a b

+ +

Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng Ta hãy giả sử bất

đẳng thức đó sai và kết hợp với giả thiết để suy ra điều vô lí

Điều vô lí có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái với một điều

đúng ,cũng có thể là sai hay vô lí vì hai điều trái ngược nhau Từ đó suy ra bất

đẳng thức cần chứng minh là đúng

* Ví dụ : Bài 1 : Cho a2 + b2 ≤ 2 Chứng minh rằng : a + b ≤ 2

Giải : Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế (hai vế đều dương ) ta được :

a2 + 2ab + b2 > 4 (1) Mặt khác ta có : 2ab ≤ a2 + b2 ⇒ a2 + b2 + 2ab ≤ 2( a2 + b2 )

Mà 2( a2 + b2) ≤ 4 ( giả thiết) , do đó a2 + 2ab + b2 ≤ 4 mâu thuẫn với (1) Vậy điều giả sử là sai Vậy a + b ≤ 2

Bài 2: Chứng minh rằng nếu a1a2 ≥ 2( b1 + b2 ) thì ít nhất một trong hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0

x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm

http://violet.vn/tbadanh

Giải : Giả sử cả hai phương trình đã cho vô nghiệm

Khi đó : ∆1 = a12 - 4b1 < 0 ∆2 = a22 - 4b2 < 0 => a12 + a22 - 4b1 - 4b2 < 0 ⇔ a12 + a22 < 4( b1 - b2 ) Theo giả thiết ta có 2( b1 - b2 ) ≤ a1a2 => 4( b1 - b2 ) ≤ 2a1a2

Do đó : a12 + a22 ≤ 2a1a2 => a12 + a22 - 2a1a2 ≤ 0 => ( a1 - a2)2 ≤ 0 ( vô lí ) Vậy ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm

Bài 3 : Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất

đẳng thức đúng : a2 + b2 ≥

2

) (b+c 2

b2 + c2 ≥

2

) (c+a 2

c2 + a2 ≥

2

) (a+b 2

Giải : Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sai Ta có :

a2 + b2 <

2

) (b+c 2 (1)

Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta được :

a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 <

2

) ( ) ( )

b a a c c

http://violet.vn/tbadanh

* Bài tập vận dụng : Bài 1 : Cho a3 + b3 = 2 chứng minh rằng a + b ≤ 2

Bài 2 : Cho ba số a , b ,c khác nhau đôi một Chứng minh rằng tồn tại một

trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn ( a + b + c )2

Bài 3 : Chứng minh rằng nếu a + b + c > 0, abc > 0, ab + bc + ca > 0 thì

đại lượng đó và ta có thể vận dụng các bất đẳng thức trên để chứng minh

* Ví dụ : Bài 1 : Chứng minh rằng nếu a , b , c là độ dài các cạnh của một tam giác

a2 + b2 + c2 < a( b + c ) + b( a + c ) + c( a + b ) ⇔a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) (đpcm)

Bài 2 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

c b

http://violet.vn/tbadanh

Ta có

c b

= ( a - b )( a - c ) [ -( a + b)( a2 + ac + c2) + ( a + c)( a2 + ab + b2)] = ( a - b )( a - c) (ab2+ b2c - ac2- bc2)

= ( a - b )( a - c) ( 2 2 ) ( )

c b bc c b

= (a - b)(a - c)( b - c)( ab + bc + ca) < 0 (vì a , b , c ∈ N* và a < b < c) Vậy a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < 0 (đpcm)

Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

a3 + b3 + c3 + 3abc > ab( a + b ) + bc( b + c ) + ac( a+ c )

a a

a1+ 2 + + n

≥ n

n a a

a1 2

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an Trong trường hợp này ta thường đề cập đến một số bài toán mà chỉ sử dụng trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy :

Cho hai hoặc ba số không âm ta có :

a + + ≥ 3

3 2

1a a a

* Ví dụ : Bài 1 : Chứng minh rằng a , b là hai số dương ta luôn có :

a+ +

Giải : áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số

c b

2

c b c b

http://violet.vn/tbadanh

Tương tự

a c

a+ + =

2

c b

a+ +

Vậy

c b

b a

−

+

2 +

b c

b c

b a

−

+

c a

ac a

c a

ac a

+

− + +

2 2

2

=

c

a c

b c

−

+

c a

ac c

c a

ac c

+

− + +

2 2

2

=

c

a c

2 3

+

Do đó :

b a

b a

−

+

2 +

b c

b c

2 3

c

a c

2 3

b a

−

+

2 +

b c

b c

2 ) (

c b a abc

)

Ta chỉ đề cập đến trường hợp : Cho hai hoặc ba số bất kì : a1 , a2 ; b1 , b2 hoặc a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta có : ( a1b1 + a2b2 )2 ≤ ( a12 + a22)( b12 + b22)

( a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ≤ ( a12 + a22+ a32)( b12 + b22+ b32) Dấu " = " xảy ra khi và chỉ chi : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 ( k ∈ R )

* Ví dụ : Bài 1 : Cho x2 + y2 = 1 Chứng minh rằng : |2x + 3y| ≤ 13

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi :

y

x + =

13 1

) (

) (

) ( a +b + b +c + c+ a ⇒ ( a+b+ b+c+ c+a)2 ≤ 3( a + b + b + c + c + a) = 6

⇒ a+b + b+c + c+a ≤ 6 (đpcm)

Bài 3 : Cho a2 + b2 + c2 + d2 = 1 Chứng minh rằng : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ≤ ( 2x2 + 1 )2 ( x ∈ R )

Giải :

x

Ta có (x2 + cx + d)2 ≤ ( x2 + c2 + d2) ( x2 + x2 + 1) Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta được : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ≤ ( x2 + x2 + 1)( x2 + a2 + b2 + x2 + c2 + d2)

⇔ ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ≤ ( 2x2 + 1 )( 2x2 + 1 ) = ( 2x2 + 1 )2

( vì a2 + b2 + c2 + d2 = 1 ) (đpcm)

Bài 4 : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

Giải : Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

ab + bc + ca ≤ 2 2 2

c b

a c

+

n

Bài 3 : Chứng minh rằng nếu : a + b = 1 thì a2 + b2 ≥

2 1

Bài 4 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng :

) (

1 3

c b

a + + ( )

1 3

a c

b + + ( )

1 3

b a

c a

+ +

c a

+ +

Giải: Ta có : a + b > 1 > 0 (1)

Bình phương hai vế : ( a + b)2 > 1 ⇒ a2 + 2ab + b2 > 1 (2) Mặt khác : ( a - b)2 ≥ 0 ⇒ a2 + 2ab + b2 ≥ 0 (3) Cộng từng vế của (2) và (3) :

b a

+

− +

c b

c b

+

− +

a c

a c

b a

b a

+

− < 1

Theo tính chất của dãy tỉ số ta có :

b a

b a

+

− <

c b a

c b a

+ +

+

−

Tương tự :

c b

c b

+

− <

a c b

a c b

+ +

+

−

a c

a c

+

− <

b a c

b a c

+ +

+

−

Cộng vế thao vế ba bất đẳng thức trên ta được :

b a

b a

+

− +

c b

c b

+

− +

a c

a c

+

− <

c b a

c b a

+ + +

http://violet.vn/tbadanh

Từ đó suy ra : |

b a

b a

+

− +

c b

c b

+

− +

a c

a c

Giải :

Ta luôn có :

d c b a

a

+ + + < a b c

a

+ + < 1 ( 1 )

áp dụng tính chất của tỉ số ta có :

c b a

a

+ + < a b c d

d a

+ + +

+ (2)

Từ (1) và (2) ta có :

d c b a

a

+ + + < a b c

a

+ + < a b c d

d a

+ + + +

Tương tự ta có :

d c b a

b

+ + + < b c d

b

+ + < a b c d

b a

+ + + +

d c b a

c

+ + + < c d a

c

+ + < a b c d

b c

+ + + +

d c b a

d

+ + + < d a b

d

+ + < a b c d

c d

+ + + +

Cộng vế theo vế của 4 bất đẳng thức kép trên ta được :

d c b a

d c b a

+ + +

+ +

+ <

c b a

d c b a

+ + +

+ +

( 2

Vậy 1 <

c b a

Bài 2 : Cho x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 Chứng minh rằng : ( x + y )( y + z )(z + x ) ≥ 8xyz

7 Phương pháp 7 : Phương pháp làm trội, làm giảm :

* Phương pháp :

+

n <

4 1

Giải : Ta biến đổi số hạng tổng quát :

2 ) 1 2 (

1

+

k =

1 4 4

1

k <

) 1 4 ( 4

1 + +

n

n 1 ) (

http://violet.vn/tbadanh

k

k )

1 (

2

1 +

2 3

1 + +

n

n 1 ) (

1 + +

n

n 1 ) (

2 3

3 4

1 + +

n

n 1 ) (

Trên mặt phẳng toạ độ lấy : A(0 ; -1) ; B(a ; 1) ; C(b ; 2) ; D(3 ; 3)

Ta có : AB = a2 + 4

BC = 2 2

1 ) (a−b +

CD = 2 2

1 ) 3

Từ bất đẳng thức AB + BC + CD ≥ AD ta có :

5 4 3 1 3) - (b 1 b) - (a 2

http://violet.vn/tbadanh

2 2

(a2 +c2 b2 +c2 + (a2 +d2)(b2 +d2) ≥ ( a + b)( c + d ) trong đó a, b, c, d là những số thực dương

CHƯƠNG III : THựC NGHIệM SƯ PHạM

1 Mục đích thử nghiệm

Tôi muốn thử nghiệm đề tài của mình để kiểm tra tính khả thi của nó , kiểm tra xem khả năng giải bất phương trình , bất đẳng thức của học sinh có tiến bộ không.Từ đó cần điều chỉnh để đề tài được hoàn thiện hơn Nếu có hiệu quả tốt tôi sẽ nhân rộng cho các giáo viên khác

2 Nội dung thử nghiệm

Trong quá trình giảng dạy , bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã đưa ra các bài toán trong đề tài , hướng dẫn học sinh giải sau đó cho học sinh áp dụng giải các bài tiếp theo dựa vào từng phương pháp cụ thể

3 Phương pháp thử nghiệm

- Hướng dẫn học sinh cách áp dụng đối với từng trường hợp

- Cho học sinh áp dụng làm bài cụ thể đối với từng trường hợp

- Ra bài tập về nhà và yêu cầu học sinh tìm tòi thêm các bài tập tương tự

- Kiểm tra mức độ tiếp thu , vận dụng của học sinh