TÀI LIỆU ÔN TẬP MÔN TOÁN 9

Tính các góc B và C.CÂU 6 : Chứng minh định lí : Trong một đường tròn ,đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.. CÂU 7 : Phát biểu và chứng minh định lí về hai

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP TOÁN LỚP 9

ÁP DỤNG TỪ NĂM HỌC : 2008 - 2009

A PHẦN ĐẠI SỐ:

I LÝ THUYẾT:

1 HỌC KÌ I:

Câu 1 : Định nghĩa căn bậc hai số học của một số a 0

Áp dụng : Tính căn bậc hai của :

Câu 6: Cho hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2 Khi nào thì hai đường thẳng

đã cho cắt nhau, trùng nhau, song song với nhau

Cho d : y = 2x + 1 d’ : y = x – 2

Xác định tọa độ giao điểm của d1 và d2

Câu 10 : So sánh

a, 3 2 5 và 1 5

2 HỌC KÌ II:

Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất

hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?

Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số.

Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?

Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương.

Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:

a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau

b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau

Câu 5: Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai

Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình  3 x2 3 1 0 x  

Câu 6: Cho phương trình ax2 + bx +c=0 (a 0) Viết công thức tính ngiệm của phương trình trên

Câu 9: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm có tổng là S và có tích là P (không

cần chứng minh )

Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:2 2 và 2 2

Câu 10: Nêu tính chất của hàm số y ax a  2(  0)

II CÁC BÀI TOÁN :





x A

b, Tìm tọa độ giao điểm A của (d) và (d’)

c, gọi giao điểm của (d) và (d’) với oy là B và C Tính diện tích tam giác ABC

Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình

Bài 4:

Câu 1: Xác định hàm số y ax b  biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm

a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4)

b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)

Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b  biết rằng d0ồ thị của nó đi qua điểm

A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng y x và y2x1

Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)

a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hoành độ bằng 1

b/ Trong trường hợp m = -3 Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của chúng

c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P)

Bài 6: Giải phương trình :

b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt

c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép

Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = 0 (1)

1/ Chứng tỏ rằng phương trình cĩ nghiệm với mọi m

2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm Tính nghiệm cịn lại

3/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm đối nhau

4/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau

5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2

6/ Tìm m để x12 x22 đạt gía trị lớn nhất

7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương

8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 khơng phụ thuộc vào m

CÂU 2 : Phát biểu định nghĩa tỉ số lượng giác của một gĩc nhọn

Áp dụng : Tính tỉ số lượng giác của gĩc 600

CÂU 3 : Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = c, BC = a, AC = b, AH là đường cao

(AH = h ) Chứng minh rằng : 2 2 2

h b c

Áp dụng : Cho c = 5, b =12 Tính h

CÂU 4 : Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = c, BC = a, AC = b Viết cơng thức

tính cạnh gĩc vuơng b và c theo cạnh huyền a và tỉ số lượng giác của các gĩc B và C

Áp dụng : Cho  0

B a Tính b;c ?

Áp dụng : Cho c = 5, b = 12 Tính các góc B và C.

CÂU 6 : Chứng minh định lí : Trong một đường tròn ,đường kính vuông góc với một

dây

thì đi qua trung điểm của dây ấy

Áp dụng : Cho đường tròn (O;6cm), dây AB cách tâm O một khoảng 4,8cm Tính

độ dài dây AB

CÂU 7 : Phát biểu và chứng minh định lí về hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt

nhau tại một điểm

CÂU 8 : Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác ? Cách xác định đường tròn đó ?

Áp dụng : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm.Gọi (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính r ?

CÂU 9 : Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác ? Cách xác định đường tròn đó ?

Áp dụng : Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 12, AC = 35

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

CÂU 10 : Hai đường tròn ngoài nhau và hai đường tròn đựng nhau có những tính

chất giống nhau và khác nhau như thế nào ?

Áp dụng : Cho hai đường tròn (O;4cm)và (O cm/,1 ), OO/ 7cm Vẽ tiếp tuyến

chung ngoài BC B O C,  O/  Tính độ dài BC

2 HỌC KÌ II:

Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai

đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau”

Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường tròn Áp dụng:Cho đường

tròn (O), đường kính AB Vẽ dây AM sao choAMO 400 Tính số đo cung BM ?

Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song

song thì bằng nhau (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, cómột dây đi qua tâm cuả đường tròn)

Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong

một đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bánkính OM, ON sao cho:AOM 40 ,0 BON 800 So sánh: AM, MN và NB ?

Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện

bằng 1800 ”

Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa

số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm )

Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng

nửa số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường tròn nằm ởngoài của góc)

Câu 8: Chứng minh định lí: “ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa

tổng số đo hai cung bị chắn”

Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung n0của hình quạt tròn bán kính R Áp dụng: Cho đường tròn ( O; R = 3 cm) Tính độ dài cung AB có số đo bằng 600?

Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O) Chứng minh:

AB + CD = AD + BC

III CÁC BÀI TOÁN

1 HỌC KÌ I:

BÀI 1 : Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB = 6, cạnh bên AD = 4 và

hai đường chéo vuông góc với nhau Tính độ dài các cạnh DC, BC và đường chéo BD

BÀI 2 : Cho tam giác ABC có C 30 ,0 B 45 ,0 BC15

Tính độ dài các cạnh AB,AC?

BÀI 3 : Cho hai đường tròn (O) và  /

O cắt nhau tại A và B Vẽ các cát tuyến chung CAD

và EBF của hai đường tròn sao cho CD // EF, C và E thuộc (O), D và F thuộc  /

O Chứng minh rằng CDFE là hình bình hành

BÀI 4 : Cho hai đường tròn (O) và  /

O cắt nhau tại A và B Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O)tại C và cắt  O/ tại D Dựng qua A cát tuyến EAFE O F,  O/  a/ Chứng minh rằng CEB DFB  900

b/ Chứng minh rằng OO///CD Tính CD biết : AB = 6cm, OA = 8cm, O A/ 6cm

c/ Tìm vị trí của cát tuyến EAF sao cho AE = AF

BÀI 5 : Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy

các điểm di động D và E sao cho DOE  600

a/ Chứng minh rằng : tích BD.CE không đổi

b/ Chứng minh rằng BOD OED, từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE c/ Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE

2 HỌC KÌ II:

Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên

đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai

là N Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P Chứng minh :

a/ Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn

b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành

c/ Tích CM.CN không đổi

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường

tròn ấy sao cho BA = R Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I Tia BA cắttia CM tại D

a/ Chứng minh: DI  BC

b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn

c/ Giả sử AMB 450.Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM

Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là một điểm trên đường tròn

sao cho CA > CB Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác điểm C)

a/ Chứng minh : OF  AB

b/ Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F

c/ CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M Chứng minh ba điểm D,

E, M thẳng hàng

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H,

a/ Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.

b/ Chứng minh: MA  PQ

c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn

Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây

AE đi qua trung điểm P của OC, ED cắt CB tại Q

a/ Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp được một đường tròn

- Với số dương a, a được gọi là căn bậc hai số học của a

- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

- Căn bậc hai số học của :

32 32

4 28

Tọa độ giao điểm A của (d) và (d’) là A (-3, -5)

Câu 7: Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng đi qua A (0, b); B ( b,0

Câu 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax by c 

Trong đó a,b và c là các số đã biết ( a 0 hoặc b 0 )

Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm

Câu 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng

Câu 3: Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể vô nghiệm, có 1 nghiệm duy

nhất hoặc vô số nghiệm

Câu 4: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng

2 2

c, A > 0 <=>

23

12

x x

x

x x

x A





1 01

201

2 02

a

a a

b, Xét PT hoành độ : 2x + 1 = x – 3 => x = -4 => y = -7

A (-4, -7)

c,

1.2

ABC

S  BC AH 1

4.42

1

a b

11

Vậy nghiệm của hệ phương trình

2313

x y

a b

ê =ëTọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9)

c/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

=-y = -x2y= -2x - 3

C(3;-9)B(-1;-1)

-9

1 2

2

981

9

x x

x

-é =ê

=-ê =ëVậy với m = -1 hoặc m = 3 thì x1 x2 2

ê =ë(Thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x1 =-3 và x2 = 5

2/

2 2 2

CÂU 7: Chứng minh định lí (SGK/tr.114)

CÂU 8 : -Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác (SGK/tr.114)

Cách xác định : +Tâm là giao điểm các đường phân giác các góc trong tam giác + Bán kính là khoảng cách từ tâm đến cạnh của tam giác

Áp dụng : BC 122162  400 20 cm ; 12 16 20 4 

AB AC BC

r       cm

CÂU 9: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ? –Đường tròn qua ba đỉnh của tam giác Khi đó

tam giác nội tiếp đường tròn

Cách xác định : + Tâm là giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tam giác

+Bán kính : Khoảng cách từ tâm đến đỉnh tam giác

BC  122352  1369 37 37 18,5

BC R

CÂU 10 : Hai đường tròn ngoài nhau và hai đường tròn đựng nhau có tính chất :

+Giống nhau : Không có điểm chung

+Khác nhau : -Hai đường tròn đựng nhau thì không có tiếp tuyến chung

-Hai đường tròn ngoài nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong

40

AMO 

KL Tính BOM ?

Ta có:OA = OB ( bán kính)

 AOM cân tại O

 BOM = 2AMO 2.400=800 ( định lí góc ngoài của tam giác AOM)

Câu 3:

KL

AC BD

Ta có: AOC OCD ( So le trong)

BOD ODC ( So le trong)

Mà OCD ODC  ( OCD cân tại O)

 AM MNNB ( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn)

 AM < MN < NB ( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn)

180180

A C

B D

Ta có: A 12sđBCD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

C 12sđBAD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)

Câu 6: Học sinh xem SGK trang 74

Câu 7: Học sinh xem SGK trang 78

Câu 8:

n

E O D

C A

B m

Xét tam giác BDE, ta có:

BEC= B D  ( định lí góc ngoài của tam giác BDE)

BC CE BE  DC=? 2 64 8

-Tứ giác CDFE có CD//EF và CD = EF nên nó là hình bình hành

-AI là đường trung bình hình thang OMNO/  IA OM O N// // /

mà OM EF nên IAEF.

BÀI 5 : a/ BD.CE không đổi:

- BOD CEO BD CO OB

OD EO OE

Vậy BOD OED Suy ra DO là tia phân giác góc BDE

c/ Giả sử đường tròn (O) tiếp xúc AB tại H vẽ OK DE

O nằm trên phân giác BDE OH OK

 Đường tròn (O;OH) tiếp xúc DE tại K

PHỤ LỤC : HÌNH VẼ CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Ở HỌC KÌ I

( BÀI 1 ĐẾN BÀI 5)

E D

C

B C

A K

F

I

G

H K

I

F E

O M

N

B

C D

O

E H

MAB, CM cắt (O) tại NĐường thẳng d AB tại MTiếp tuyến của (O) tại N cắt d tại P

KL

a/ OMNP nội tiếp được 1 đường tròn

b/ CMPO là hình bình hànhc/ CM.CN không đổi

a/ Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn:

cạnh dưới 1 góc không đổi)

b/ Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành:

Mà AMC, MOP ở vị trí so le trong.

Nên: CM // OP (3)

Mặt khác: PM // CO ( Cùng vuông góc với AB) (4)

Từ (3), (4)  CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song) c/ Chứng minh tích CM.CN không đổi:

Ta có: CND  900 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)

Nên ta chứng minh được: OMCNDC(g.g)

 CM CO

CD CN

Hay CM.CN = CO CD = R.2R= 2R2

Mà R không đổi  2R2 không đổi

Nên: CM.CN không đổi (đpcm)

BM cắt AC tại I, BA cắt CM tại D

ABM 450 : (c)

KL a/ DI

BC b/ AIMD nội tiếp (O) c/ Tính độ dài AC và SquatAOM ? a/ Chứng minh : DI BC:

Ta có: BAC 900 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)

 CA  BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC (1)

Và BMC 900( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)

 BM  CD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC (2)

Từ (1), (2)  I là trực tâm của tam giác BDC

 DI là đường cao thứ ba của tam giác BDC

Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn

( Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 1800)

c/ Tính độ dài AD Diện tích hình quạt AOM:

*Tính AD:

Nếu ABM 450thì ABIvuông cân tại A ( Tam giác vuông có 1 góc nhọn

Xét tam giác ADI vuông tại A ,ta có: ADI AMI ( 2góc nội tiếp cùng chắn cung AI…)

Vậy : Tam giác ADI là nửa tam giác đều

 ID = 2R Lúc đó: AD = 2 2 2

a/ Chứng minh: OF  AB

Ta có: ACF BCF 450( Tính chất của đường chéo hình vuông)

AF BF ( Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau)

 AF = BF

 AFB cân tại F

Mà O là trung điểm của AB

 FO là trung tuyến cũng là đường cao ( Tính chất tam giác cân) Hay : FO  AB

b/ Chứng minh tam giác BDF cân tại F:

F  đường chéo CE của hình vuông ACDE

 FA = FD ( Tính chất 2 đường chéo của hình vuông) (1)

Mà: FA = BF ( cmt)

 FD = FB (2) Hay: Tam giác BDF cân tại F

c/ Chứng minh: D, E, M thẳng hàng:

Xét tam giác ABM, ta có:

O là trung điểm của AB

Mà OF // AM ( cùng vuông góc với AB)

 F là trung điểm của BM

P

B

M I

GT

Cho ABCvuông tại A AM: trung tuyến, AH: đường cao Đường tròn (H; HA) cắt AB tại P

và AC tại Q KL

a/ Chứng minh : P, H, Q thẳng hàng

b/ MA  PQc/ BPCQ nội tiếp được đường tròn

a/ Chứng minh 3 điểm P, H, Q thẳng hàng:

Ta có: PAQ  900(GT)

Mà PAQ là góc nội tiếp

 PAQ chắn cung nửa đường tròn

 PQ là đường kính của đường tròn tâm H

 P, H, Q thẳng hàng ( đường kính đi qua tâm)

b/ Chứng minh: MA  PQ:

Gọi I là giao điểm của AM và PQ

Ta có: C MAC  ( Tam giác MAC cân tại M)

Mà C HAC  900( Tam giác AHC vuông tại H)

Và HACAQH ( Tam giác AHQ cân tại H)

 MAC AQH  900

Nên: Tam giác AIQ vuông tại I

Hay PQ vuông góc với AM tại I

c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được 1 đường tròn:

Ta có: C BAH  ( cùng phụ vớiCAH )

mà P BAH ( Tam giác AHP cân tại H)