TAI LIEU ON TAP TN 2012

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ x=2.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có tung độ y=8.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C , biết

Trang 1

Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) Ta có:

a) Điều kiện đủ:

- f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) ⇒ f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b)

- f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) ⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).

b) Điều kiện cần.

- f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) ⇒ f’(x) 0≥ trên khoảng (a ; b)

- f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) ⇒ f'(x)≤0trên khoảng (a ; b).

2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

- Tìm TXĐ của hàm số

- Tính y’,

- Giải phương trình y’ = 0

- Lập bảng xét dấu y’

- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận

• Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn

đúng

• Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c

Nếu ∆<0 thì f(x) luôn cùng dấu a

Nếu ∆=0 thì f(x) luôn cùng dấu a

a

b x

2

−

≠

∀ Nếu ∆>0 thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 Ta có bảng xét dấu sau:

3

4x3 − x2 +x− f) y = x4 – 2x2 + 3 g) y = -x4 + 2x2 – 1 h) y = x4 + x2 k) y =

x

−

+1

13

n) y = x +

x

4

p) y = 4 x− 2 q) y = x2 −x−20

Bài 2 Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R

Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !

Trang 1

Trang 2

Bài 3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ

−+

− x m x m x ĐS : −1≤m≤4

b) y = (3 2) 3

3

)1

+

−++

−

x m mx

x m

mx

+

+1 đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số ĐS : m < -1 hoặc m > 1

b) y =

m x

m mx







2

Trang 3

8 24 4

+

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

* Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và x0∈(a;b)

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) ∀x∈(x0 −h ;x0 +h) và x≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) ∀x∈(x0 −h;x0 +h) và x ≠x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực

)

;(

,0)('

0 0

h x x x x

f

x h x x x

)

;(

,0)('

0 0

h x x x x

f

x h x x x

f

thì x0 là điểm cực tiểu của f(x)

* Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x0 – h ; x0 + h) với h > 0 Khi đó:

"

0)('

x f

thì x0 là điểm cực tiểu của f(x)

"

0)('

x f

thì x0 là điểm cực đại của f(x)

Trang 3

Trang 4

−

x x

1

22

p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ; π]

có cực đại và cực tiểu ĐS : m < 3 d) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị ĐS : m > 0

mx x

−

x

m mx x

x +

Trang 4

Trang 5

x x

8 24 4

+

6/ y = (x+2)2(x-3)3

13/ y =

2 2

Trang 6

3/ y = sinx - cosx 8/ y = 2sin2x - 3

4/ y = 2sinx + cos2x , x ∈[0; π] 9/ y = sinx + cosx , x ∈(- π ;π)

5/ y = cos2x 10/ y = sin2x - 3cosx , x ∈ [0; π]

3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

Bài 1 Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số

a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4]

c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + 1 trên đoạn [1 ; 4]

2 2

+

++

x

x x

3

4

trên [0;π] u) y = sin2x + 2sinx – 1 t) y = cos22x - sinxcosx + 4

o) y = sin4x + cos2x + 2 w) y = x – sin2x trên − ππ ; 

2Bài 2 Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất

Bài 3 Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là 48cm2

Bài 4 Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số

1) y = x4 – 2x2 + 1 trên đọan [-1;2] 2) y = 1 x− 2

Trang 6

Trang 7

x

= + trên khoảng ( 0 ; +∞ ).22) y x= −3 8x2+16x−9 trên đoạn [1;3].23)

26) y x= −3 3x2−9x+35 trên đoạn [-4;4].27) y=2x3+3x2−1 trên đoạn 2; 1

3 1

x y

x

=

− trên đoạn

11;

Trang 8

4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

x f x

f

x x x

x f x

f

x x x

1

x x

2 2

x x x

x −

− 2/ y = 1 3 − x + 2 x 3/ y =

2

1 2

x x

− +

5 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I / Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R

Trang 9

+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d

• Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? , Các điểm khác : …

+) Đồ thị

II / Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R

+/ Chiều biến thiên :

• y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b )

)(

)0(

?

?0

x f

c f

x x

Trang 10

III / Hàm số :

d cx

b ax y

+

−

10/ y = -x3+3x2-4x+2 11/ y = x3 - 3x2 + 3x + 1 12/ y = 2 + 3x - x3

Trang 11

x x

x y x

+

= +

x y

+

=

2 1

x y

x y x

+

=

34

x y

x

−

=

−13/ 1 2

x y x

−

=+

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

1 Biện luận số nghiệm phương trỡnh dựa vào đồ thị

( Bài toán này thờng đi sau bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số )

Bài toán

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

2/ Biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình f(x,m) = 0 (1)

3/ Tìm tham số m để phơng trình f(x,m) = 0 (1) có k nghiệm thoả mãn điều kiện nào đó

Trang 12

• Bớc 4 : Dựa vào yêu cầu bài toán

tìm ra điều kiện của tham số m

• Chú ý

- Đồ thị hàm số y = g(m) là đờng thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm

có tung độ y0 = g(m)

- Trong phơng trình : f(x) = g(m) thì y = f(x) là hàm số đã cho ban đầu

- Nếu bài toán không bắt vẽ đồ thị thì ta có thể sử dụng bảng biến thiên để giải bài toán này

- Sử dụng phơng pháp này trong trờng hợp tham số m độc lập đợc về một vế , còn trong ờng hợp phải tìm nghiệm cụ thể hay hệ số của ẩn còn có tham số m thì không dùng phơng pháp này đợc

tr-2/ Giao điểm của hai đồ thị.

Hoành độ giao điểm của hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiờm của phương trỡnh f(x) = g(x) (1)

Do đú số nghiệm phõn biệt của (1) là số giao điểm của hai đường cong

B2:Do tung ủoọ laứ y0⇔f(x0)=y0 giaỷi phửụng trỡnh naứy tỡm ủửụùc x0⇒ f /(x0)

B3: Phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn vụựi (C) taùi ủieồm coự tung ủoọ y0 laứ:y = f (x ) (x–x/ 0 0) + y0

4/ Bieỏt heọ soỏ goực cuỷa tieỏp tuyeỏn laứ k:

B1: Goùi M0(x0;y0) laứ tieỏp ủieồm

B2: Heọ soỏ goực tieỏp tuyeỏn laứ k neõn :

f′(x0)=k (*)

B3: Giaỷi phửụng trỡnh (*) tỡm x0 ⇒f(x0) ⇒ phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn.

Chuự yự:

Tieỏp tuyeỏn song song vụựi ủửụứng thaỳng y=ax+b thỡ coự f/(x0)=a

Tieỏp tuyeỏn vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng y=ax+b thỡ coự f/(x0).a=-1

5/ Bieỏt tieỏp tuyeỏn ủi qua ủieồm A(x 1 ;y 1 ) :(NC)

Trang 13

B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x1) + y1 (1)

B2: d là tiếp tuyến của (C) ⇔hệ phương trình sau có nghiệm :

c

+

+ với a,b,c,m,n, nguyên

Để y nguyên thì mx + n phải là ước số của c, suy ra các trường hợp

Bài tốn luyện tập

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( )2;4 .

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ 1

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

• Điểm uốn:

x y’

Trang 14

CÂU ĐÁP ÁN

y'' 6x=y'' 0= ⇔ =x 0

Do y'' đổi dấu khi x đi qua x0 =0Tọa độ điểm uốn U 0;2( )

•Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ+ Giao điểm với Oy: x 0= ⇒ =y 2: ( )0;2+ Giao điểm với Ox: y 0= ⇔x 1x== −2: 1;0 , 2;0( ) (− )

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

x y

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn U 0;2 làm tâm đối xứng.( )

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M 2;4 là ( ) y' 2( ) =9

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là y 9x 14= −

Điểm thuộc (C) có tung độ y0 =0, có hoành độ x01= −2 hoặc x02 =1

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (−2;0) là y' 2( )− =9

Phương trình của hai tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 0 là y 9x 18= + và y 0=

Bài 2 Cho hàm số y = − +x3 3x2 −4 (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Trang 15

2 Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương

Trang 16

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1;1

4

  và tiếp xúc với đồ thị (C)

4 Tìm m để đường thẳng ( )d2 :y mx= −1 cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất

5 Tìm m để đường thẳng ( )d3 :y m x= ( −1) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài 6 Cho hàm số

3 2

3 Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C)

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất

5 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm 4;7

3

  và tiếp xúc đồ thị (C)

Bài 7 Cho hàm số y= − +x3 3(m+1)x2−2

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0

2 Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình : x3−3x2−2k =0

3 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Viết phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4−2x2 =m

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x=2

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y=8

5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24

Trang 17

Hàm số đạt cực đại tại x 0= , yCÑ=0, đạt cực tiểu tại x= ±1,

CT

y =0.Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ+ Giao điểm với Oy: x 0= ⇒ =y 0: ( )0;0+ Giao điểm với Ox: y 0 x 0 : 0;0 ,( ) ( 2;0)

1 2

x y

2 2

−

Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng

2 (điểm)

Số nghiệm thực của phương trình 4 2

x −2x =m bằng số giao điểm của đồthị (C) của hàm số y x= 4 −2x2 và đường thẳng (d): y m=

Dựa vào đồ thị ta có:

Với m< −1, (d) và (C) không có điểm chung, do đó phương trình vô nghiệm.Với m= −1 hoặc m 0> , (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có hai nghiệm

Với − < <1 m 0, (d) và (C) có bốn điểm chung, do đó phương trình có bốn nghiệm

3 (điểm)

Tung độ của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 =2 là y0 =8

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm ( )2;8 là y' 2( ) =24

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( )2;8 là y 24x 56 = −

x y’

Trang 18

CÂU ĐÁP ÁN

4 (điểm)

Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ y0 =8 , có hoành độ x0 = ±2.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm và (−2;8 lần lượt là ) y' 2( ) =24 ,

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là y 24x 56 = −

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x=2

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y= −9

5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24

Bài 3 Cho hàm số y=x4+x2+1 (C)

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4−2x2 =m

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 21

y= x − x (C)

2 Tìm m để phương trình − +x4 8x2 =m có 4 nghiệm thực phân biệt

Trang 19

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song

x − x + =m có 2 nghiệm thực phân biệt

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x=1

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc

2 Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình − +x4 2x2 > −8

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3

5 Tìm m để đường thẳng ( )d : y mx= +3 cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1

2 Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình 4 2

x − x + =k

3 Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình

4 2

2

x x

− < −

4 Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x= 3

5 Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị

Bài 9 Cho hàm số y=x4+2mx2+m2+m

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= −2

2 Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình x4−4x2+ =k 0

3 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x= −1

4 Tìm m để hàm số có 1 cực trị

5 Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc 1200

Trang 20

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )d : 2x+45y− =1 0.

+

=+ (C)

1

x 1Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (− +∞1; ).

Trang 21

x y

2 9Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm  

5 2.Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm − − 

2

= − Tung độ của điểm M là 01

Ta thấy (2) không có nghiệm x= −1

Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt khi:

Trang 22

Bài 3 Cho hàm số 1

1

x y x

−

=+ (C)

1 Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )1

Bài 4 Cho hàm số 3 1

1

x y

3 Tìm m để đường thẳng ( )d1 :y mx= −2m−7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm

A, B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )d2 :x y+ − =2 0.

5 Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều

là số nguyên

2

x y

Trang 23

2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuụng gúc với đường phõn giỏc của gúc phần tư thứ hai

3 Viết phương trỡnh đường thẳng qua điểm M( )3;4 và tiếp xỳc với đồ thị (C)

4 Tỡm m để đường thẳng ( )d1 : y mx= + −3 m đồ thị (C) tại hai điểm A, B

phõn biệt Tỡm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB

5 Tỡm những điểm trờn đồ thị (C) cú toạ độ với hoành độ và tung độ đều

là số nguyờn

2 1

x y

4 Tỡm những điểm trờn đồ thị (C) cú toạ độ với hoành độ và tung độ đều

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình : x3 - 3x2 + m = 0 (1)

2/ Tìm m để phơng trình : x4 - 2x2 + logm - 1 = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt

Bài 5 : Cho hàm số y = (1-x2)2 - 6 (C)

2/ Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình : m - x4 + 2x2 = 0 (1)

Trang 24

1 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

a) Tại điểm uốn của (C) (Là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0)b) Tại điểm có tung độ bằng -1

c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5

d) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0

2 Cho (C) : y =

2

2+

−

x

Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5

c) Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x

d) Tại giao điểm của hai tiệm cận

x

x x

.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):

a) Tại điểm có hòanh độ x = 2

b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0

c) Vuông góc với tiệm cận xiên

4 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)

a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)

b) y =

2

332

1x4 − x2 + đi qua điểm A(0 ; )

2

3

đi qua điểm A(2 ; 1)

TỔNG HỢP VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

I Hàm bậc 3

1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(-1; -2)

c) Chứng minh rằng điểm uốn của (C) là tâm đối xứng của nó

2) Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x + m = 0

c)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x0 = 1

3) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1

Định dạng
Số trang	37
Dung lượng	2,6 MB