Dạng vi phân bất biến trái trên nhóm LIE

Dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie là một bộ phận của NhómLie đang được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về Lý thuyết hệđộng lực, Vật lý lượng tử và nhiều ngành khoa học khác..

mục lục

Trang

Mở đầu 1

Chương 1 Nhóm Lie 3

1.1 Nhóm Lie 3

1.1.1 Định nghĩa .3

1.1.2 Các ví dụ 3

1.1.3 Các tính chất 6

1.1.4 Nhóm Lie con 11

1.2 Trường véctơ bất biến trái trên nhóm Lie 13

1.2.1 Trường véctơ bất biến trái 13

1.2.2 Ví dụ 14

1.2.3 Nhận xét 15

1.2.4 Các tính chất 16

Chương 2 Dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie 23

2.1 Dạng vi phân bất biến trái 23

2.1.1 Định nghĩa 23

2.1.2 Ví dụ 23

2.1.3 Mệnh đề 24

2.1.4 Định lý 25

2.1.5 Mệnh đề 26

2.2 Đạo hàm các dạng vi phân theo một trường véctơ 26

2.2.1 Định nghĩa 26

2.2.2 Nhận xét 27

2.2.3 Mệnh đề 28

2.2.4 Mệnh đề 29

2.3 Đạo hàm Lie của k-dạng vi phân theo trường véctơ 30

2.3.1 Định nghĩa 30

2.3.2 Ví dụ 30

2.3.3 Nhận xét 31

2.3.4 Mệnh đề 32

2.4 Ánh xạ kéo lùi dạng vi phân 33

2.4.1 Định nghĩa 33

2.4.2 Nhận xét 33

2.4.3 Mệnh đề 33

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

mở đầu

Như chúng ta đã biết vào cuối thế kỷ XIX, đã xuất hiện sự kết hợpgiữa lý thuyết nhóm và hình học Riemann Sự kết hợp này được xemnhư sự mở đầu của lý thuyết mới, đó là lý thuyết Nhóm Lie và Đại sốLie

Dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie là một bộ phận của NhómLie đang được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về Lý thuyết hệđộng lực, Vật lý lượng tử và nhiều ngành khoa học khác

Dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie đã được trình bày trongmột số tài liệu, giáo trình hình học như: Lý thuyết đại số Lie và nhómLie của Nguyễn Việt Dũng (1997), Bài giảng về nhóm Lie của thầyNguyễn Hữu Quang (2005), Hình học vi phân của Đoàn Quỳnh (2003)

và nhiều tài liệu về nhóm Lie và đại số Lie

Nội dung chủ yếu của luận văn là trình bày một số tính chất cơbản của dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie Tính bất biến củacác dạng vi phân bất biến trái qua các ánh xạ đạo hàm theo trườngvéctơ

Luận văn được mang tên: Dạng vi phân bất biến trái trênnhóm Lie

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương1 Nhóm Lie

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức về nhóm Lie,

về trường véctơ bất biến trái, về nhóm 1-tham số Đồng thời cũngchứng minh chi tiết nhiều tính chất liên quan

Chương 2 Dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản củadạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie và các tính chất bất biến

của các dạng vi phân bất biến trái.

Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2008 tại trường Đại họcVinh với sự hướng dẫn của thầy giáo PGS-TS Nguyễn Hữu Quang.Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đãhướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn cácthầy trong bộ môn Hình học-Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán,Khoa đào tạo Sau đại học-Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảngdạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập vàhoàn thành luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trườngTHPT Như Xuân, trường Cao Đẳng Y Tế - Thanh hóa, bạn bè đồngnghiệp và gia đình, đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình học tập và hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

chương 1 nhóm lie

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm cơ bản và một sốtính chất của nhóm Lie, nhóm Lie con, trường véctơ bất biến trái vànhóm 1-tham số

1.1 Nhóm Lie

1.1.1 Định nghĩa ([5]) Tập G được gọi là một nhóm Lie nếu cácđiều kiện sau thỏa mãn:

i G là một nhóm (phép toán nhóm ta thường gọi là phép nhân

và viết a.b; ∀a, b ∈ G)

ii G là một đa tạp khả vi với hệ bản đồ {(Uα, ϕα)}α∈I

iii Các phép toán trong G

1.1.2.1 Ví dụ Đường tròn đơn vị S1 là một nhóm Lie.

và xem như một đa tạp con mở trong đa tạp Rn2 cũng là một nhómLie (giao hoán khi n = 1 và không giao hoán khi n > 1)

Chứng minh *) GL(n, R) là một nhóm với phép toán nhân matrận thông thường

Thật vậy, lấy A, B ∈ GL(n, R) ta có:

det(A.B−1) = det A det B−1 = det Adet B1 6= 0

Do đó: A.B−1 ∈ GL(n; R) nên GL(n; R) là nhóm con của M at(n; R)

*) GL(n; R) là một đa tạp khả vi

Thật vậy, xét ánh xạ:

det : M at(n; R) → R

X 7→ det X = X

iε

(Trong đó ε là tích của n phần tử, thuộc n dòng và n cột khác nhaucủa X)

Do đó ánh xạ xác định như trên là ánh xạ liên tục Ta lại

có det(M at(n; R)\GL(n; R)) = {0} là tập đóng trong R với tôpô tựnhiên, suy ra det−1({0}) = M at(n; R)\GL(n; R) là tập đóng trong

M at(n; R) (Do det là ánh xạ liên tục) Vậy GL(n; R) là tập mở trong

Từ các điều kiện trên suy ra GL(n; R) là một nhóm Lie

1.1.2.3 Ví dụ Tập các số thực khác không R∗ với cấu trúc khả

vi thông thường là một nhóm đối với phép nhân thông thường và làmột nhóm Lie aben

Chứng minh +) (R∗, ×) là nhóm giao hoán

Thật vậy, ∀x, y, z ∈ R∗ ta có: x(yz) = xyz = (xy)z nên (R∗, ×) lànửa nhóm

+) R∗ là đa tạp khả vi

Thật vậy, xét M là tập mở, M ⊂ R∗ Lấy U = U∗ = M và

ϕ = id : M −→ M Khi đó {(U, ϕ)} là một Atlat của M

Vậy R∗ là đa tạp khả vi 1-chiều

+) Các phép toán

η : R∗ × R∗ → R∗

(x, y) 7→ x + y ; ∀x, y ∈ R∗Và:

i Phép tịnh tiến phải theo a

iii Phép lấy nghịch đảo

Vậy (Ra)−1 liên tục, tức Ra−1 liên tục

*) Chứng minh Ra là vi phôi:

+) Chứng minh Ra khả vi

Kí hiệu: ψ là phép toán nhóm trong G và kí hiệu

α : G → G × G

x 7→ α(x) = (x, a) ; ∀x ∈ G

Mà ánh xạ ψ đã cho là khả vi Theo định nghĩa ánh xạ khả vi

từ đa tạp tới đa tạp và theo định nghĩa đa tạp tích dễ kiểm tra rằng

α là ánh xạ khả vi suy ra Ra = ψ · α khả vi

+) Chứng minh (Ra)−1 khả vi

Vì (Ra)−1 = R−1a mà Ra khả vi với mọi a ∈ G nên (Ra)−1 khả vi.Mệnh đề được chứng minh

Lưu ý Chứng minh La, ϕ tương tự như Ra

Hệ quả 1: Giả sử G là nhóm Lie, a ∈ G, F là tập đóng trong G, khi

Lưu ý Chứng minh tương tự đối với aF và F−1

Hệ quả 2 Giả sử G là nhóm Lie, V là tập mở trong G và P làtập bất kì trong G Khi đó V P , P V , V−1 đều là các tập mở trong G

Chứng minh *) V P mở trong G

Thật vậy, lấy a ∈ P (chứng minh tương tự như Hệ quả 1) ta có V a

mở trong G nên V P = ∪V a mở trong G

Lưu ý Chứng minh P V , V−1 tương tự

Hệ quả 3 Đối với bất kì hai phần tử p, q thuộc nhóm Lie G đềutồn tại phần tử a ∈ G sao cho qua phép tịnh tiến phải Ra thì p biếnthành q

Chứng minh Thật vậy, đặt a = p−1q thì khi đó

Chứng minh Ta chứng minh đối với bất kì tập F đóng trong G

và x ∈ G nhưng x ∈ F đều tồn tại lân cận V của x và lân cận U của

F mà V ∩ U = ∅ Theo tính chất trên ta chỉ cần chứng minh điềunày cho trường hợp x là e (đơn vị của G)

Thật vậy, vì phép toán nhóm là khả vi nên liên tục, mà e.e−1 = e

và G\F là lân cận của e, nên tồn tại lân cận mở V của e để V−1 ⊂ G\F

Do yV mở suy ra U = ∪yV mở

Ta chứng minh U là lân cận của F và là lân cận muốn tìmThật vậy, vì V chứa e nên yV chứa y suy ra U chứa F với y ∈ F thì

V ∩ yV = ∅, UV ∩ U = ∅ Mệnh đề được chứng minh

1.1.3.3 Mệnh đề ([2]) Mỗi nhóm Lie liên thông G được sinh ra bởilân cận mở tùy ý V của đơn vị e của nó.

Lại do W mở trong G suy ra Wk mở trong G (2)

Từ (1) và (2) suy ra H ⊂ G là mở trong G suy ra H đóng trong G

Vì H 6= ∅ vừa đóng, vừa mở trong G liên thông nên H ≡ G Vậy Hsinh ra G

*) Từ W sinh ra G và W ⊂ V (vì V ∩ V−1 = W ) nên chính V sinh ra

G Mệnh đề được chứng minh

1.1.3.4 Mệnh đề ([1]) Giả sử G0 là thành phần liên thông chứađơn vị của nhóm Lie G Khi đó G0 là nhóm con chuẩn tắc vừa đóngvừa mở của G và là một nhóm Lie.

Chứng minh G0 là tập con vừa đóng vừa mở, là hệ quả của tô

pô đại cương Để chứng minh G0 là một nhóm con ta kiểm tra:

G20 ⊂ G0 và G−10 ⊂ G0

Lấy x ∈ G0 khi đó xG0 liên thông và x ∈ xG0

Như vậy: xG0∩ G0 6= ∅ và do đó xG0 ⊂ G0 Vì điều đó đúng ∀x ∈ G0nên G20 ∈ G0

Tương tự: G−10 liên thông và G−10 ∩ G0 6= ∅ Như vậy G0 lànhóm con của G

Mà ánh xạ: y 7−→ xyx−1 liên tục và xG0x−1 ⊂ G0) đượcchứng minh như G20 ⊂ G Như vậy G0 là nhóm con chuẩn tắc

G0 là nhóm Lie (dễ kiểm tra theo định nghĩa) Mệnh đềđược chứng minh

1.1.4 Nhóm Lie con

1.1.4.1 Định nghĩa ([5]) Nhóm con H (theo nghĩa đại số) củanhóm Lie G được gọi là nhóm Lie con của G nếu H là đa tạp con củaG

Nhắc lại rằng một đa tạp con m- chiều Y của đa tạp n-chiều

X là một tập Y ⊂ X sao cho với mỗi điểm y ⊂ Y xảy ra một trongcác điều kiện sau:

i Trong một hệ tọa độ địa phương ở lân cận U nào đó của

y tập hợp Y ∩ U có thể tham số hóa trực tiếp dạng:

xi = Φi(t1, t2, , tm) ; i = 1, n

Trong đó Φ1, Φ2, , Φn là các hàm khả vi xác định trong một miền

nào đó của không gian Rm và hạng của ma trận

∂(Φ1, Φ2, , Φn)

∂(t1, t2, , tm)tại mọi điểm của miền này đều bằng m

ii Trong một hệ tọa độ địa phương ở lân cận U nào đó của ytập hợp Y ∩U có thể tham số hóa trực tiếp dạng: fi(x1, x2, , xn) = 0trong đó i = 1, n − m và f1, f2, , fn−m là các hàm khả vi và hạngcủa ma trận

∂(f1, f2, , fn)

∂(x1, x2, , xm)tại mọi điểm của U đều bằng n − m

iii Trong một hệ tọa độ địa phương thích hợp của lân cận

U nào đó của điểm y tập hợp Y ∩ U được cho bởi phương trình:

xm+1 = xm = = xn = 0mọi đa tạp con m-chiều mà ta có thể lấy hệ tọa độ địa phương nên nó

là các tham số t1, t2, , tm từ điều kiện (i) Mọi nhóm Lie con vớicấu trúc vi phân ấy đều là một nhóm Lie

* Nhóm con rời rạc của một nhóm tôpô là một nhóm Lie con

* Nhóm các ma trận chéo không suy biến là nhóm Lie con của nhómLie GL(n; K)

* Nhóm các ma trận tam giác không suy biến là nhóm Lie con củanhóm Lie GL(n; K)

* Nhóm SL(n; K) các ma trận khả nghịch cấp n có định thức 1 là

một nhóm Lie con của nhóm Lie GL(n; K).

1.1.4.3 Mệnh đề ([5]) Giả sử H là nhóm con của G và H mởtrong G, khi đó H đóng trong G

Chứng minh Như ta đã biết, phần tử a ∼ b nếu và chỉ nếu a−1b ∈ H

và ta có G/H = {xH/x ∈ G} (G/H gồm các lớp ghép của G theonhóm con H)

Do H mở theo giả thiết, nên xH là tập mở trong G

Ta suy ra: G/H = Y

xH6=H(xH) là tập mở trong GVậy H đóng trong G Mệnh đề được chứng minh

Hệ quả 1 H là nhóm Lie con trong G, H mở thì H cũng đóngtrong G

Hệ quả 2 Nếu G là một nhóm Lie liên thông, V e là một lân cận

mở của điểm đơn vị e ∈ G Khi đó G = V e

Chứng minh Ta kí hiệu: V ei = V e V e V e (i lần)

Khi đó V e mở trong G, (Vì V ei mở trong G và V e =

nY

i=1

V ei) TheoMệnh đề 1.1.4.3 thì V e đóng Theo giả thiết G liên thông nên ta suy

ra G = V e

1.2 Trường véctơ bất biến trái trên nhóm Lie

1.2.1 Trường véctơ bất biến trái

1.2.1.1 Định nghĩa ([5]) Trường véctơ X khả vi trên nhóm Lie

G được gọi là trường véctơ bất biến trái nếu (La)∗X = X ; ∀a ∈ G

Nghĩa là: (La)∗Xp = Xap ; ∀p ∈ G

1.2.2 Ví dụ Lấy G ≡ Rn, với a ∈ Rn

La : Rn → Rn

p 7→ a + p(tức là phép tịnh tiến:

ii.Ta kí hiệu g = {X ∈ B(G)/ X bất biến trái trên G} Khi

đó g là một không gian véctơ thực

là một đẳng cấu tuyến tính Do đó dim g = dim G

Thật vậy, giả sử S là một cơ sở của g và theo giả thiết

ϕ : g → TeG

X 7→ Xe

là đẳng cấu tuyến tính thì ϕ(S) cũng là một cơ sở của TeG (do ϕ đẳngcấu nên ϕ(S) là hệ sinh của g) Do ϕ là song ánh nên S và ϕ(S) cùnglực lượng suy ra dim g = dim TeG

Suy ra (La) ∗ [X, Y ] = [X, Y ].

Vậy [X, Y ] ∈ g Mệnh đề được chứng minh

Hệ quả Tập g các trường véctơ bất biến trái trên nhóm Lie G làmột đại số Lie và g được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G

Chứng minh Theo giả thiết g là trường véctơ bất biến trái trênnhóm Lie G tức là: ∀X, Y ∈ g, ∀a, p ∈ G thì

(La)∗[X, Y ]p = [X, Y ]apmà:

[X, Y ] = (XY − Y X)ap

= −(Y X − XY )ap

= −[Y, X]apvà: [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] =

= [XY − Y X, Z] + [Y Z − ZY, X] + [ZX − XZ, Y ]

= XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X + Y ZX − ZY X − XY Z + XZY ++ZY X − XZY − Y ZX + Y XZ = 0; ∀X, Y, Z ∈ g Ta có điều phảichứng minh

1.2.4.2 Mệnh đề ([9]) Nếu ϕ : G −→ H là một đẳng cấu (đại số)

từ nhóm Lie G vào nhóm Lie H, thì: ϕ◦La = Lϕ(a)◦ϕ

Chứng minh Theo giả thiết: ϕ : G −→ H là một đồng cấu (đạisố) nên ϕ là ánh xạ khả vi, La là vi phôi

ϕa : G → G

p 7→ ap

1.2.4.3 Mệnh đề ([5]) Cho ϕ : G −→ H là đồng cấu giữa cácnhóm Lie, kí hiệu g, h theo thứ tự là đại số Lie G và đại số Lie H,

X ∈ g, Y ∈ h Nếu ϕ∗|eXe = Ye 0 , thì ϕ∗|aXa = Yϕ(a) ; ∀a ∈ G (e0 làđơn vị của Y )

Chứng minh Với X ∈ g, Y ∈ h

Theo định nghĩa (La)∗|eXe = Xa (1)

Theo giả thiết:

Yϕ(a) = (Lϕ(a))∗|eYe 0

= (Lϕ(a))∗ϕ(e)(ϕ∗|e(Xe))

= (Lϕ(a))∗|ϕ(a)◦(ϕ∗|e(Xe)) (2)Mặt khác:

ϕ∗|a(Xa) = ϕ∗|a((La)∗|e(Xe))

Hệ quả Giả sử ϕ : G −→ G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G Y làtrường véctơ bất biến trái trên G sao cho ϕ∗|aXe = Ye thì ϕ∗X = Y

1.2.4.4 Mệnh đề ([9]) Giả sử ϕ : G −→ G là một tự đẳng cấunhóm Lie và X là trường véctơ bất biến trái trên G Khi đó ϕ∗(X)cũng là trường véctơ bất biến trái trên G

Chứng minh Giả sử X ∈ g, ta chứng minh ϕ∗(X) ∈ g

Ta có: ϕ◦La = Lϕ(a)◦ϕ ; ∀a ∈ G (theo Mệnh đề 1.2.4.3)

Đặt: a = ϕ−1(b) ; b ∈ G Khi đó ϕ(a) = b suy ra

Vậy ϕ∗(X) là trường véctơ bất biến trái Mệnh đề được chứng minh

Hệ quả Nếu ϕ : G −→ G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G thì

ϕ∗ là tự đẳng cấu của đại số Lie g của G

Chứng minh Giả sử X, Y ∈ g

*) ϕ∗ là song ánh

*) ϕ∗ biến trường véctơ bất biến trái thành trường véctơ bất biến trái

Chứng minh *) Điều kiện cần: Do ϕX ∈ g nên ta có

Như chúng ta đã biết (Xem [5]), nhóm {ϕt} sinh ra một trườngvéctơ X trên G như sau: Với mỗi p ∈ G, ta lấy Xp là véctơ tiếp xúcvới đường cong x(t) = ϕt(p) tại điểm p = ϕ0(p) (t = 0) Đường congnày được gọi là quỹ đạo của điểm p dưới tác động của nhóm 1-tham

số {ϕt}

Tương tự: Một nhóm con 1-tham số các phép biến đổi địaphương cũng được định nghĩa như nhóm 1-tham số.

Nghĩa là:

ϕ : (−ε, ε) × U → G

(t, u) 7→ ϕt(u)Với các điều kiện:

+) {ϕt} là vi phôi từ tập mở U vào ϕt(u); ∀t ∈ (−ε, ε)+) Nếu t, s, t + s ∈ (−ε, ε) = Iε đều có ϕt+s = ϕt ◦ ϕs

Ta cũng có khái niệm {ϕt} sinh ra trường véctơ X trên U đượcxây dựng như trên

1.2.4.6 Mệnh đề ([5]) Mỗi trường véctơ bất biến trái trên nhómLie G đều là trường véctơ đầy đủ trên nhóm Lie đó

Chứng minh Giả sử X là trường véctơ bất biến trái trên nhómLie G, ta phải chứng minh X sinh ra một nhóm 1-tham số toàn cụctrên G Ta giả sử X sinh ra một nhóm 1-tham số địa phương ϕ trên

Iε × U với U chứa đơn vị e của G, bây giờ ta chứng minh rằng tồntại một nhóm 1-tham số ϕ0 xác định trên Iε× G mà X sinh ra ϕ0 xácđịnh trên Iε× G bằng cách đặt:

Điều này chứng tỏ ϕ = ϕ0 tức là nhóm 1-tham số địa phương ϕ xácđịnh trên Iε× G.

Vậy X là trường véctơ đầy đủ trên G Mệnh đề được chứng minh

chương 2 dạng vi phân bất biến trái

trên nhóm lie

Trong chương này, chúng tôi trình bày về k-dạng vi phân bất biếntrái trên nhóm Lie G và tính bất biến của các dạng vi phân bất biếntrái qua các ánh xạ đạo hàm

2.1 Dạng vi phân bất biến trái

2.1.1 Định nghĩa ([5]) Một k-dạng vi phân ω trên nhóm Lie Gđược gọi là k-dạng vi phân bất biến trái nếu (L∗a)ω = ω, với ∀a ∈ G

Nghĩa là: Giả sử X1, X2, , Xk là các trường véctơ trên B(G), ta có(L∗aω)p(X1(p), X2(p), , Xk(p)) = ωap(La∗ |p (X1(p), X2(p), , Xk(p));

∀p ∈ G

2.1.2 Ví dụ Giả sử G = R2 có hệ tọa độ {x, y} Khi đó: θ1 = dx,

θ2 = dy là các 1-dạng vi phân bất biến trái

c) Giả sử ω ∈ g∗, X ∈ g khi đó ω(X) là hàm hằng trên G

Chứng minh a)Ta biết rằng Ω1(G) làm thành một R-không gianvéctơ với hai phép toán:

)ω = ω, ∀a ∈ G Do đó ta có:[(La∗)(αω)](X) = (αω)[(La) ∗ (X)]

= αω[(La) ∗ (X)]

= α.[(La∗ω).(X)]

= (αω)(X)

ii) Với ∀ω1, ω2 ∈ g∗ thì L∗a(ω1 + ω2) = (ω1 + ω2)Thật vậy, L∗a(ω1) = ω1, L∗a(ω2) = (ω2), nên ta có:

b) d(f∗ω0) = f∗(dω0), ∀f khả vi, áp dụng cho f là phép tịnh tiến trái

La và theo định nghĩa 1.1 (Chương2) ta có:

L∗a(dω) = d(L∗aω) = dω, (L∗a = ω)

Vậy dω bất biến trái

c) Ta chỉ cần chứng minh rằng, với bất kì x ∈ G ta đều có:

ω(X)(x) = ω(X)(e), (e là phần tử đơn vị của nhóm G) Thật vậy, vì(Lx) ∗ (Xe) = e nên: (Lx) ∗ e(Xe) = (LxX)x = Xx (vì X ∈ G) (1)Mặt khác, L∗xω = ω (vì ω ∈ g∗) nên: (2)

2.1.4 Định lý(Maurer-Cartan ([9])) Với ∀X ∈ g, ∀Y ∈ g,

∀ω ∈ g∗, thì dω(X, Y ) = −12ω([X, Y ])

Chứng minh Ta đã biết đối với bất kì 1-dạng vi phân ω trên đa tạpkhả vi M và bất kì các trường véctơ khả vi X, Y trên M ta đều có kếtquả sau: