Tổng trực tiếp các mô đun tựa liên tục

LỜI NÓI ĐẦUMôđun tựa liên tục là một trong những lớp mở rộng của môđun nộixạ và gần hơn nữa nó là mở rộng của lớp môđun liên tục, đó là lớpmôđun thỏa mãn hai điều kiện C1 và C3 sau: • C1

LỜI NÓI ĐẦUMôđun tựa liên tục là một trong những lớp mở rộng của môđun nội

xạ và gần hơn nữa nó là mở rộng của lớp môđun liên tục, đó là lớpmôđun thỏa mãn hai điều kiện (C1) và (C3) sau:

• (C1): Mọi môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếpcủa M

• (C2): Mọi môđun con của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếpcủa M thì nó là một hạng tử trực tiếp của M

• (C3): Nếu M1 và M2 là các hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn

M1 ∩ M2 = 0 thì M1 ⊕ M2 cũng là một hạng tử trực tiếp của M.Một điều đáng lưu ý rằng, mọi hạng tử trực tiếp của môđun tựa liêntục là môđun tựa liên tục nhưng tổng trực tiếp của các môđun tựa liêntục không hẳn là môđun tựa liên tục Chẳng hạn xét ví dụ sau:

Xét vành R =

0 F

trong đó F là một trường Đặt A =

là môđun nội xạ, B là môđun đơn và ta có R = A ⊕ B Tuy nhiên RR

chỉ thỏa mãn điều kiện (C1) nhưng không thỏa mãn điều kiện (C3) và

do đó nó không là môđun tựa liên tục

Mục đích chính của luận văn đó là:

1 Hệ thống lại các kiến thức về môđun liên tục, tựa liên tục

2 Tìm hiểu một số vấn đề liên quan đến tổng trực tiếp các môđuntựa liên tục

3 Tìm hiểu điều kiện C10: Mọi môđun con xiclic đóng của M cốt yếutrong một hạng tử trực tiếp của M , và các lớp môđun ec-liên tục

(thỏa mãn C10 và C2 ), lớp môđun ec- tựa liên tục (thỏa mãn C10 và

C3 )

Xuất phát từ mục đích nghiên cứu, đề tài có tựa đề là: "Tổng trựctiếp các môđun tựa liên tục" Ngoài phần mở đầu, kết luận và tàiliệu tham khảo, nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương:Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này chủ yếu dành để trìnhbày các khái niệm, định nghĩa liên quan ở chương 2

Chương 2 Tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục và ec - tựaliên tục

Nội dung của chương 2 được trình bày trong 2 phần:

2.1 Tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục Phần này chủ yếu dành đểtrình bày các kết quả về tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục, tườngminh các kết quả đã được giới thiệu trong [5] và [8]

2.2 Môđun ec- liên tục và ec - tựa liên tục Trong [9] đã giới thiệu kháiniệm điều kiện (C10) và từ đó chúng ta có các khái niệm ec - liên tục,

ec - tựa liên tục, ec- CS Đây là một trong những hướng mở rộng củađiều kiện (C1) Trong tài liệu tham khảo [8], tác giả S Plubtieng đã giớithiệu một số kết quả về lớp mở rộng này Nội dung chính của phần nàychúng tôi trình bày lại một cách có hệ thống và tường minh các kết quảđó

Luận văn được bắt đầu thực hiện từ tháng 3 năm 2010 dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành và sâu sắc tới Thầy, người đã đặt bài toán và tận tình hướng dẫn,giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy giáo, Cô giáotrong tổ Đại số, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đạihọc Vinh về sự tận tâm giảng dạy và tạo những điều kiện thuận lợi nhất

để tác giả hoàn thành khóa học

Mặc dù đã hết sức cố gắng trong quá trình nghiên cứu, tham khảo

các tài liệu cũng như tiếp thu các ý kiến đóng góp, song luận văn khótránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Kính mong nhận được các ý kiếnđóng góp của quý Thầy, Cô và các bạn.

Vinh, tháng 10 năm 2010

Tác giảNguyễn Thị Ngọc Dung

CHƯƠNG 1CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn, các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp

và có đơn vị Các môđun trên vành luôn được hiểu là unita phải (nếukhông nói gì thêm )

Ở chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và các kếtquả đã biết sẽ được sử dụng trực tiếp trong nội dung các chương sau.Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu, chúng tôi chủ yếu thamkhảo trong các tài liệu [1], [2] và [10]

Trước hết chúng ta có các khái niệm về môđun đơn và môđun nửađơn

1.1.1 Định nghĩa • Trên vành R, một R- môđun phải M được gọi

là môđun đơn (simple) nếu M 6= 0 và không có môđun con nàokhác ngoại trừ 0 và chính nó Môđun M được gọi là môđun nửađơn (semisimple) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tươngđương sau:

1 Mọi môđun con của M là một tổng của các môđun con đơn

2 M là tổng của các môđun con đơn

3 M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn

4 Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M

• Tổng tất cả các môđun con đơn của R- môđun phải M được gọi là

đế phải của môđun MR Ký hiệu Soc(MR) hoặc Sr(M )

1.1.2 Định nghĩa Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn

n + 1 các môđun con của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = 0 được gọi làdãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) nếu Mi−1/Mi

là đơn

Liên quan đến dãy hợp thành và là cơ sở của việc hình thành kháiniệm về độ dài của một môđun, chúng ta có định lý Jordan- H¨older:1.1.3 Định lý Nếu môđun M có sự phân tích thành các dãy hợp thành

có độ dài hữu hạn thì mọi cặp dãy hợp thành đó đều có cùng độ dài.1.1.4 Định nghĩa Một môđun M có sự phân tích thành dãy hợp thànhđược gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của dãy hợp thành đượcgọi là độ dài của M Ký hiệu lg(M ) hoặc length(M )

Trong lý thuyết vành, một trong những lớp iđêan đặc biệt đó là linhhóa tử Nhiều tính chất của các lớp vành cũng như các đặc trưng củachúng đã được nghiên cứu thông qua lớp iđêan này

1.1.5 Định nghĩa Cho vành R và A ⊂ R là tập con khác rỗng Linhhóa tử (annihilator) phải (trái) của tập A trong R là tập hợp r(A) :={b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tư., l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A})

Một cách tự nhiên chúng ta có linh hóa tử của phần tử a là trường hợpđặc biệt khi tập A = {a} và linh hóa tử của tập A là tập hợp thỏa mãntính chất linh hóa tử cả hai phía trái và phải

Đối với linh hóa tử ta có một số tính chất cơ bản sau:

1.1.6 Bổ đề Cho A là một tập con khác rỗng của vành R Khi đó tacó:

1 Linh hóa tử trái l(A) là iđêan trái của R Tương tự đối với linh hóa

tử phải r(A)

2 Nếu A là tập con của Z(R) (tâm của vành R) thì l(A) = r(A) làmột iđêan của vành R.

3 Nếu A là một iđêan trái (phải) của vành R thì l(A) (r(A) là mộtiđêan của vành R)

Vào cuối những năm của thập kỷ hai mươi, E Noether và E Artin

đã giới thiệu các khái niệm ACC và DCC Từ đây, Artin đã chứng minhđược định lý mô tả cấu trúc của lớp vành nửa đơn và được gọi là định

lý Wedderburn - Artin, đánh dấu cho việc phát triển của lý thuyết vànhmột cách có hệ thống

1.1.7 Định nghĩa

• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện ACC (Ascending ChainCondition) nếu với mọi dãy tăng các môđun con M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆

Mn ⊆ , tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2,

• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện DCC (Descending ChainCodition) nếu với mọi dãy giảm các môđun con M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇

Mn ⊇ , tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2, 1.1.8 Định nghĩa

• Môđun M được gọi là môđun Artin (Noether) nếu M thõa mãn điềukiện DCC (ACC)

• Vành R được gọi là vành Artin (Noether) phải nếu RR là môđunArtin (Noether) Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự cho vànhArtin (Noether) trái

Môđun nội xạ là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan trọngtrong nghiên cứu lý thuyết vành Theo thời gian và nhu cầu của việcnghiên cứu chuyên sâu, khái niệm này đến nay đã được mở rộng theonhiều hướng khác nhau như: nội xạ chính, min nội xạ, nội xạ trực tiếp,

giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ, Trong phần này chúng tôi tập trunggiới thiệu về lớp môđun nội xạ, các tính chất cơ bản và một số hướng

mở rộng của lớp môđun này Trước khi đi vào khái niệm môđun nội xạchúng ta có khái niệm môđun con cốt yếu và một số tính chất của nó.1.1.9 Định nghĩa Môđun con A của R- môđun M được gọi là môđuncon cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (t.ư., A ⊂◦ M ) nếu và chỉ nếu với mọimôđun con U ⊂ M , A ∩ U = 0 ⇒ U = 0 (t.ư A + U = M ⇒ U = M ).Nếu A ⊂∗ M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của A

Từ định nghĩa của môđun con cốt yếu và môđun con bé ta có một

5 0 ⊂◦ M và M ⊂∗ M với mọi R môđun M

Nếu K là một môđun con của môđun M , sử dụng bổ đề Zorn, tồntại môđun con tối đại C của M thỏa mãn C ∩ K = 0 Khi đó C đượcgọi là môđun con bù (complement) của K trong M Do đó, K ⊂∗ Mnếu và chỉ nếu 0 là bù của K

Tiếp theo là một số tính chất cơ bản của nó môđun con bù

1.1.11 Mệnh đề Cho C là một môđun con của môđun M Các điềukiện sau tương đương:

1 C đóng trong M;

2 Nếu C ⊂∗ N ⊆ M thì C = N ;

xạ nếu N là N - nội xạ Môđun N được gọi là môđun nội xạ nếu N làA-nội xạ với mọi A trong Mod-R.

Như vậy chúng ta có, môđun N là nội xạ nếu và chỉ nếu N là RR-nội xạ Môđun N là nội xạ khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong cácđiều kiện tương đương sau:

1 Với mọi môđun A và với mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu

f : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu từ

1.1.14 Định nghĩa Hai R-môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhaunếu M là N -nội xạ và ngược lại.

Về tính chất nội xạ lẫn nhau ta có một số kết quả sau

1.1.15 Bổ đề Cho G = ⊕i∈IGi và M là một R-môđun phải Khi đó G

là M- nội xạ nếu và chỉ nếu Gi là M-nội xạ với mọi i ∈ I

1.1.16 Bổ đề Nếu G là M- nội xạ và N ⊆ M thì G là N- nội xạ và(M/N )- nội xạ

Kết quả sau còn được biết đến với tên gọi bổ đề Azumaya (Azumaya’sLemma)

1.1.17 Bổ đề Nếu G và M = M1⊕ M2⊕ ⊕ Mn là các R-môđun phảithì G là M- nội xạ nếu và chỉ nếu G là Mi- nội xạ với mỗi i = 1, 2, , n.1.1.18 Bổ đề Môđun G là M- nội xạ nếu và chỉ nếu λ(M ) ⊆ G vớimọi đồng cấu λ : E(M ) → E(G)

1.1.19 Định nghĩa Nếu N là một môđun con cốt yếu của môđun nội

xạ E thì E được gọi là bao nội xạ hay R-bao nội xạ của môđun N Kíhiệu E(N )

Chúng ta có một số tính chất của môđun nội xạ

1.1.20 Mệnh đề Tích trực tiếp và các hạng tử trực tiếp của môđunnội xạ là môđun nội xạ

Giữa các tính chất khác của bao nội xạ ta có bổ đề sau

1.1.21 Mệnh đề Trong phạm trù các R- môđun phải (trái) trên vành

R ta có:

1 M là nội xạ nếu và chỉ nếu M = E(M )

2 Nếu M ⊂∗ N thì E(M ) = E(N )

3 Nếu M ⊂◦ Q, với Q nội xạ, thì Q = E(M ) + E0.

4 Nếu ⊕AE(Mα) là nội xạ, với A là tập hữu hạn các chỉ số, thìE(⊕AMα) = ⊕AE(Mα)

Như chúng ta đã có trong Mệnh đề 1.1.20, hạng tử trực tiếp của mộtmôđun nội xạ là môđun nội xạ Vấn đề đặt ra là, liệu tổng trực tiếp củacác môđun nội xạ có là môđun nội xạ hay không Điều này chỉ đúngtrong một số trường hợp cụ thể Chẳng hạn chúng ta có câu trả lời trongmệnh đề sau

1.1.22 Mệnh đề Trên vành R, các điều kiện sau là tương đương:

1 Mọi tổng trực tiếp của các R- môđun nội xạ phải (trái) là môđunnội xạ phải (trái)

2 Nếu (Mα)α∈A là một họ các R- môđun phải (trái) thì E(⊕AMα) =

1.2 Môđun tựa liên tục và một số tính chất

Khái niệm nội xạ có nhiều hướng mở rộng khác nhau, chẳng hạnnhư: mở rộng thông qua các điều kiện C1, C2, C3 chúng ta có các kháiniệm CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục

Cho MR là R- môđun phải Ta định nghĩa các điều kiện sau:

1.2.1 Định nghĩa • (C1) : Mọi môđun con của MR là cốt yếu trongmột hạng tử trực tiếp của MR Hay nói cách khác, mọi môđun conđóng trong MR là hạng tử trực tiếp của MR

• (C2) : Nếu A và B là các môđun con của MR đẳng cấu với nhau và

A là hạng tử trực tiếp của MR thì B cũng là hạng tử trực tiếp của

Điều kiện (1 − C1) là mở rộng của điều kiện C1 và từ điều kiện C2

suy ra điều kiện C3

1.2.2 Định nghĩa Môđun MR được gọi là CS-môđun (extending ule) nếu MR thỏa mãn điều kiện (C1) Môđun MR được gọi là liên tục(continuous) nếu MR thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2) Môđun MR

mod-được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu MR thỏa mãn các điềukiện (C1) và (C3) Môđun MR được gọi là (1 − C1)- môđun (uniformextending) nếu MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1)

Từ các định nghĩa trên chúng ta có dãy kéo theo sau đây:

Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1)

Sử dụng các khái niệm trên cho vành R khi xét R như một R-môđuntrên chính nó chúng ta có các khái niệm tương ứng

1.2.3 Định nghĩa Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục) vànhphải nếu RR là một CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải trên chính

nó Tương tự chúng ta có các khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái

và vành tựa liên tục trái

1.2.5 Mệnh đề Môđun M không phân tích được và có tính chất (C1)nếu và chỉ nếu M đều Mọi môđun đều M là môđun tựa liên tục.

Chúng ta có mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là một môđunnội xạ Mệnh đề sau là kết quả tương tự trên lớp môđun thỏa mãn cácđiều kiện (Ci)3i=1

1.2.6 Mệnh đề Các điều kiện (Ci)3i=1 có tính chất di truyền đối vớicác hạng tử trực tiếp Đặc biệt, mọi hạng tử trực tiếp của một môđunliên tục (tựa liên tục) là một môđun liên tục (t.ư., tựa liên tục)

CHƯƠNG 2TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC

VÀ EC - TỰA LIÊN TỤC

2.1 Tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục

Như đã giới thiệu trong 1.2, mọi hạng tử trực tiếp của môđun tựaliên tục là môđun tựa liên tục (Mệnh đề 1.2.6) Tuy nhiên, tổng trựctiếp của các môđun tựa liên tục không hẳn là môđun tựa liên tục.2.1.1 Ví dụ Xét vành R =

0 F

trong đó F là một trường Đặt

Mục đích chính của phần này là đưa ra một số điều kiện cần thiết

để tổng trực tiếp của các môđun là tựa liên tục Trước hết chúng ta cómột đặc trưng của môđun tựa liên tục

2.1.2 Định lý Cho M là một R - môđun phải Các điều kiện sau tươngđương:

1 M là môđun tựa liên tục;

2 Nếu C và D là các môđun con bù lẫn nhau trong M thì M = C ⊕ D;

3 τ (M ) ⊆ M với mọi τ2 = τ ∈ End[E(M )];

4 Nếu E(M ) = ⊕i∈IEi thì M = ⊕i∈I(M ∩ Ei)

Chứng minh Để thuận tiện trong trình bày chứng minh, chúng ta kýhiệu E thay cho bao nội xạ E(M ) của M Chúng ta sẽ chứng minh theolược đồ sau: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).

• (1) ⇒ (2) Giả sử C và D là các môđun con thỏa mãn điều kiện(2) Sử dụng Mệnh đề 1.1.11, C và D là các môđun con đóng trong

M Mặt khác, M là môđun tựa liên tục nên M có tính chất (C1),

do đó C (t.ư D) cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của

M Theo tính chất (2), Mệnh đề 1.1.11, cả C và D đều là hạng tửtrực tiếp của M Theo giả thiết, C và D là các môđun con bù lẫnnhau nên C ∩ D = 0 Kết hợp điều kiện M có tính chất (C3) (do

M tựa liên tục) ta có M = C ⊕ D

• (2) ⇒ (3) Giả sử τ2 = τ : E → E Đặt K = M ∩ τ (E) và

N = M ∩ (1 − τ )(E) Suy ra K ∩ N = 0, do đó ta có K ⊆ C làmôđun con bù của N trong M Do C là đóng trong M , theo Mệnh

đề 1.1.11, C là môđun con bù của D trong M Theo tính chất (2),

M = C ⊕ D Đặt π : M → C là một phép chiếu với Ker(π) = D

Do M ⊂∗ E nên M ∩ (τ − π)(M ) = 0 Nhưng nếu m = (τ − π)(x),trong đó m, x ∈ M , thì τ (x) = m + π(x) ∈ M ∩ τ (E) = K ⊆ C.Suy ra (1 − τ )(x) ∈ M ∩ (1 − τ )(E) = N ⊆ D và do đó từ x =

τ (x)+(1−τ )(x), kết hợp định nghĩa của π chúng ta có π(x) = τ (x).Điều này chứng tỏ m = 0 và ta có điều kiện (3)

• (3) ⇒ (4) Hiển nhiên chúng ta có M ⊇ ⊕i∈I(M ∩ Ei) (∗)

Giả sử m ∈ M ; m ∈ E1 + E2 + + En và τ1, τ2, , τn là họcác lũy đẳng trực giao trong End(E) thỏa mãn τ (E) = Ei với mỗi

i ∈ I Khi đó, theo điều kiện (3), τi(M ) ⊆ M với mỗi i ∈ I và

do đó m = Σni=1τi(m) ∈ ⊕ni=1(M ∩ Ei) Điều này chứng tỏ rằng

M ⊆ ⊕i∈I(M ∩ Ei) (∗∗) Từ (∗) và (∗∗) ta có M = ⊕i∈I(M ∩ Ei)

• (4) ⇒ (1) Nếu K ⊆ M thì E = E(K) ⊕ G Khi đó, theo (4),

M = (M ∩ E(K)) ⊕ (M ∩ G) và K ⊂∗ (M ∩ E(K)) Vậy M thỏamãn điều kiện C1.

Để chứng minh M thỏa mãn điều kiện C3 ta giả sử K1, K2 làcác hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn K1 ∩ K2 = 0 Ta phảichứng minh (K1⊕ K2) cũng là hạng tử trực tiếp của M Thật vậy,với môi i, chọn bao nội xạ Ei = E(Ki) sao cho Ki ⊆ Ei ⊆ E.Khi đó, vì Ki ⊂∗ Ei với mỗi i nên E1 ∩ E2 = 0 Từ E1 ⊕ E2 nội

xạ nên ta đặt E = E1 ⊕ E2 ⊕ H, với H nào đó Theo (4), ta có

M = (M ∩ E1) ⊕ (M ∩ E2) ⊕ (M ∩ H) Ta chỉ cần chứng tỏ rằng

Ki = M ∩ Ei với mỗi i Thật vậy, do Ki ⊂∗ Ei nên Ki ⊂∗ (M ∩ Ei)

và do Ki ⊂⊕ M nên Ki ⊂⊕ (M ∩ Ei) Vậy Ki = M ∩ Ei Suy ra

Mở rộng kết quả trên cho trường hợp M = M1⊕ M2⊕ ⊕ Mn ta cóđịnh lý sau

2.1.4 Định lý Cho R-môđun M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn, các điều kiệnsau tương đương: