Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số và phương trình vi phân

Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số và phương trình vi phân

Mục lục

1.1 Nhóm 6

1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 9

1.2.1 Nhóm các phép biến đổi 9

1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 10

1.2.3 Biến đổi vi phân 15

1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất 15

1.2.5 Toán tử sinh vi phân 19

1.2.6 Hàm bất biến 23

1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 24

1.3.1 Định nghĩa 24

1.3.2 Toán tử sinh vi phân 27

1.3.3 Đại số Lie 32

1.3.4 Đại số Lie giải đ-ợc 35

2 ứng dụng tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 37

2.1 ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải ph-ơng trình vi

phân cấp I 372.1.1 Hệ toạ độ chính tắc 372.1.2 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

vào giải ph-ơng trình vi phân cấp I 402.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 432.2.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số độc lập,

một tham số phụ thuộc 432.2.2 Ví dụ ứng dụng Đại số Lie vào giải ph-ơng trình vi

phân bậc cao 49

Lời cảm ơn

Trong suốt thời gian làm khóa luận, tôi đã nhận đ-ợc sự h-ớng dẫnrất tận tình, chu đáo của TS Đặng Anh Tuấn Mặc dù ở xa nh-ng Thầyvẫn th-ờng xuyên h-ớng dẫn, động viên tôi cố gắng hoàn thiện đ-ợc khoáluận này Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tớiThầy

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đặng Đình Châu, Thầy

đã cho tôi những lời khuyên quý báu không chỉ về các vấn đề xoay quanhkhóa luận mà còn về ph-ơng pháp học tập và nghiên cứu, tôi rất trântrọng những góp ý của Thầy, đó cũng là động lực để tôi hoàn thành khóaluận này

Tôi cũng xin cảm ơn ThS Ninh Văn Thu đã giải đáp thắc mắc, đónggóp những ý kiến giúp tôi hoàn thành khoá luận này; đồng thời tôi xin

đ-ợc gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Giải tích; các Thầy,Cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học - tr-ờng ĐH Khoa Học Tự Nhiên -

ĐHQGHN đã giảng dạy, dìu dắt tôi trong suốt 4 năm qua Khóa luận cũng

đ-ợc hoàn thành với sự động viên tinh thần của gia đình và bạn bè.Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất về tất cả sự giúp đỡquý báu đó!

Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2009

Sinh viên: Nguyễn Thị Hồng Xuân

Lời mở đầu

Trong toán học, một nhóm Lie, đ-ợc đặt tên theo nhà toán học ng-ời

Na Uy là Sophus Lie, là một nhóm cũng là một đa tạp trơn (differentiablemanifold), với tính chất là các toán tử nhóm t-ơng thích với cấu trúc trơn.Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của các đối xứng liên tục củacác cấu trúc toán học Điều này đã làm nhóm Lie là công cụ cho gần nh-tất cả các ngành toán hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt làtrong vật lý hạt

Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể đ-ợc nghiên cứu sửdụng giải tích vi phân (differential calculus), t-ơng phản với tr-ờng hợpcác nhóm tôpô tổng quát hơn Một trong những ý t-ởng chính trong lýthuyết về nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúc toàn cục,nhóm, với phiên bản mang tính địa ph-ơng của nó hay còn gọi là phiênbản đã đ-ợc làm tuyến tính hoá, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ mà bây

giờ đ-ợc biết đến nh- là đại số Lie

Nhóm Lie đã cung cấp một ph-ơng tiện tự nhiên để phân tích các đốixứng liên tục của các ph-ơng trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot),trong một cách thức nh- các nhóm hoán vị (permutation group) đ-ợc sửdụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của cácph-ơng trình đại số

Trong bài khoá luận này, tác giả xin trình bày một số nghiên cứu cơ bản

về nhóm Lie một tham số, nhóm Lie 2 tham số và các ứng dụng của chúngtrong việc giải ph-ơng trình vi phân Các bài toán và ví dụ đ-ợc trìnhbày trong khóa luận đ-ợc trích dẫn từ cuốn Symmetry anh Integration

Methods for Differential Equations của George W.Bluman and Stephen C.

Anco Đây là tài liệu chính đ-ợc sử dụng trong khoá luận này Tác giảxin đ-ợc trình bày chi tiết các chứng minh và các ví dụ cụ thể để đ-a ranhững nguyên lý nền tảng nh-: cấu tạo và tính chất cơ bản của nhóm Lie,cách áp dụng lý thuyết nhóm Lie trong giải PTVP

Cấu trúc của khóa luận gồm 2 ch-ơng:

Ch-ơng1: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm, nhóm các phépbiến đổi, nhóm Lie các phép biến đổi một tham số; Biến đổi viphân, Toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất.Ví dụ.1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số

Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm Lie hai tham số, Đại

số Lie, tính giải đ-ợc Ví dụ minh họa

Ch-ơng2: ứng dụng của tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân1.1 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số để giải ph-ơngtrình vi phân cấp 1

1.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao

Mặc dù đã rất cố gắng nh-ng do thời gian và trình độ còn hạn chế nênkhóa luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mongnhận đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy, Cô và các bạn

Ch-ơng 1

Kiến thức chuẩn bị

Chúng ta bắt đầu với việc định nghĩa nhóm, xét đến nhóm các phép biến

đổi và đặc biệt là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số Trong tr-ờnghợp này các phép biến đổi đều thực hiện trên R2

1.1 Nhóm

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp G cùng với phép toán φ : G ì G → G.

(G, φ) đ-ợc gọi là một nhóm nếu thoả mãn các tiên đề

4) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a bất kỳ thuộc G, tồn tại duy nhất

phần tử nghịch đảo a−1 ∈ G sao cho φ(a, a−1) = φ(a−1, a) = e.

Định nghĩa 1.1.2 Nhóm (G, φ) đ-ợc gọi là nhóm Abel nếu

φ(a, b) = φ(b, a) , với mọi phần tử a, b ∈ G.

Định nghĩa 1.1.3 Cho (G, φ) là một nhóm với phần tử đơn vị e, A ⊂ G,

khi đó tập A cùng với phép toán φ đ-ợc gọi là nhóm con của nhóm (G, )

nếu thoả mãn các điều kiện

1) Với mọi phần tử a, b ∈ A thì φ(a, b) ∈ A.

Vì a + b = b + a với mọi a, b ∈ Z nên (Z, +) là nhóm Abel.

Ví dụ 1.1.5 Cho G = R+ là tập các số thực d-ơng với phép toán nhân

φ(a, b) = a.b

i) ánh xạ φ : R+ìR+ →R+ vì tích a.b là số thực d-ơng khi a, b là các

số thực d-ơng

ii) Với các phần tử a, b, c ∈ R+ bất kỳ, ta có

φ(φ(a, b), c) = (a.b).c = a.(b.c) = φ(a, φ(b, c)).

iii) Tồn tại phần tử đơn vị e = 1 thoả mãn a.1 = 1.a = a, với mọi phần

Vì a.b = b.a với mọi a, b ∈ R+ nên nhóm (R+, ) là nhóm Abel

Ví dụ 1.1.6 Cho S = {ε : −1 < ε < +∞} với phép toán giữa các tham

1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

Nh- phần trên đã xét nhóm các phép biến đổi có cấu trúc đại số Nếu tathêm cấu trúc giải tích vào nhóm này thì nó trở thành nhóm Lie các phépbiến đổi một tham số Bây giờ ta xét đến nhóm Lie các phép biến đổimột tham số Tr-ớc hết, ta định nghĩa

Định nghĩa 1.2.2 Cho D ⊂ R2 là một miền mở và x = (x1, x2) ∈ D.

Ví dụ 1.2.3 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng) Cho nhóm các

Với mọi số thực ε cố định, lấy (x, y) 6= (x0, y0)

3) Với (x, y) cố định ∈ R2, ta có biểu diễn

Và phép toán giữa các tham số φ(α, β) = αβ.

Vì phần tử đơn vị là α = 1 nên nhóm các phép biến đổi này đ-ợc tham

số hoá lại với số hạng ε = α − 1 nên α = 1 + ε Khi đó,

Ta chỉ ra rằng nhóm các phép biến đổi X((x, y), ) trên là nhóm Lie các

phép biến đổi một tham số

1) Ta chỉ ra rằng với mọi ε ∈ S ánh xạ X(., ε) : R2 →R2 là song ánh

Với mọi ε ∈ (−1, +∞), ta lấy (x, y) 6= (x0

3) Với (x, y) cố định ∈ R2, ta có biểu diễn

+ 1

2ε

2∂2X(x, ε)

∂ε2

§Þnh lý 1.2.6 (§Þnh lý Lie c¬ b¶n thø nhÊt) Tån t¹i mét phÐp tham sè

= X(x; ε) t-¬ng øng víi nghiÖm cña bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I

Khai triÓn chuçi luü thõa φ(ε−1, ε + ∆ε) theo ∆ε t¹i ∆ε = 0, ta cã

Ví dụ 1.2.7 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng) Cho nhóm các

ε=0 = (1, 0).

Bây giờ, giả sử ta chỉ có ξ(x) = (1, 0) Khi đó từ hệ (1.5) - (1.6) ta sẽ xây

dựng trở lại nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng Thật vậy,

với phép toán giữa các tham số là φ(a, b) = a + b + ab, và có phần tử nghịch đảo ε−1 = − ε

Γ(ε0)dε0 =

Z ε 0

cho bởi φ(a, b) = a + b với ε−1 = −ε và Γ(ε) ≡ 1 Do đó, với hàm vi phân

là ξ(x) nhóm Lie các phép biến đổi một tham số ε sẽ trở thành

dx∗

dε = ξ(x

∗

với điều kiện ban đầu

Định lý 1.2.10 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số t-ơng đ-ơng với

là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.

Khai triển Taylor (1.27) tại ε = 0, ta có

∂X(x; ε)

∂εk

dkx∗

dεk

k

x.

Hệ quả 1.2.11 Nếu F (x) là hàm khả vi vô hạn thì nhóm Lie các phép biến

đổi một tham số x∗ = X(x; ε) với toán tử sinh vi phân

dkF (x∗)

dεk

ε=0 = 1; ξ22(x) = ∂y

∗

∂ε2

δ=0 = 1, Θ12 = ∂φ2

∂δ1

δ=0 = ε2,

Θ21 = ∂φ1

∂δ2

δ=0 = 0, Θ22 = ∂φ2

∂δ2

lµ ma trËn (1.53) KiÓm tra l¹i hÖ (1.42) - (1.43).

Gi¶i bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu cña hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I

Do vậy (1.61) đồng nhất với hệ (1.42) - (1.43) với cùng phép toán (1.52);(1.62) t-ơng đ-ơng với hệ (1.42) - (1.43) với phép toán giữa các tham số

ϕ(ε, δ) = (1+ δ1, ε2+ e−δ1δ2); (1.63) t-ơng đ-ơng với hệ (1.42) - (1.43) vớiphép toán

Định nghĩa 1.3.5 Xét nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số với các toán

tử sinh vi phân X1, X2 đ-ợc xác định bởi (1.39) và (1.46) Tích Lie của X1

Định lý 1.3.6 (Định lý Lie cơ bản thứ hai) Hoán tử của 2 toán tử sinh

vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số cũng là một toán tử sinh

Định nghĩa 1.3.8 Một đại số Lie L là một không gian véc tơ trên R với

dấu ngoặc toán tử song tuyến tính (giao hoán tử) thoả mãn các tính chất

(1.66), (1.69), và (1.67) Đặc biệt, các toán tử sinh vi phân X1, X2của nhóm

Lie các phép biến đổi 2 tham số x∗

Với a, b, c, d ∈ R2 tích Lie của các toán tử tuyến tính trong không gian R2

[aX1+ bX2, cX1+ dX2] = (aX1+ bX2)(cX1+ dX2) − (cX1+ dX2)(aX1+ bX2)

Đặt G2 = X(x, ε) là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số Nhóm Lie

một tham số (ε) bất kỳ là nhóm con của G2 có toán tử sinh vi phân t-ơng

ứng trong L2

Ví dụ cho X1 ∈ L2 t-ơng ứng với eεX 1x ∈ G2, aX1+ bX2 ∈ L2 t-ơng

ứng với cả eε(aX 1 +bX 2 )x ∈ G2, và eεaX 1eεbX2x ∈ G2

Nếu X1, X2 ∈ L2, thì cả eεX1x và eεbX2x thuộc G2 với số thực ε bất kỳ Xét nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (ε) giao hoán tử

e−εX1e−εX2eεX1eεX2x = [eεX1]−1[eεX2]−1eεX1eεX2x ∈ G2.

Định nghĩa 1.3.10 Một không gian con J ⊂ L đ-ợc gọi là một đại số

con của đại số Lie nếu [X1, X2] ∈ J với mọi X1, X2 ∈ J

1.3.4 Đại số Lie giải đ-ợc

Định nghĩa 1.3.11 Một đại số con J ⊂ L đ-ợc gọi là một iđêan hay một

đại số con chuẩn tắc của L nếu [X, Y ] ∈ J với mọi X ∈ J , Y ∈ L.

Định nghĩa 1.3.12 L2 là một đại số Lie giải đ-ợc 2 chiều nếu tồn tại mộtchuỗi các đại số con

L(1) ⊂ L(2) = L2, (1.70)

sao cho L(k) là một đại số Lie k chiều và L(k−1) là một iđêan của

tơ không

Định nghĩa 1.3.13 L đ-ợc gọi là đại số Lie Abel nếu [X1, X2] = 0, với

X1, X2 ∈ L

Định lý 1.3.14 Mọi đại số Lie Abel đều giải đ-ợc.

Định lý 1.3.15 Mọi đại số Lie hai chiều đều giải đ-ợc.

Chứng minh: Cho L là một đại số Lie 2 chiều với toán tử sinh vi phân

X1 và X2 là véc tơ cơ bản Giả sử [X1, X2] = aX1 + bX2 = Y Nếu

c1X1+ c2X2 ∈ L, với mọi hằng số c1, c2 tuỳ ý thì

[Y, c1X1+ c2X2] = c1[Y, X1] + c2[Y, X2]

= c1b[X2, X1] + c2a[X1, X2]

= (c2a − c1b)Y.

Do vậy, Y là một iđêan một chiều của L [Nếu a = b = 0, thì L là một

đại số Lie Abel.]

Giả sử ta thực hiện đổi hệ toạ độ (xét trong tr-ờng hợp đơn ánh và khả

vi liên tục trong một miền thích hợp)

y∗ = Y (x) = (y1(x), y2(x)). (2.1)Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1), với toán tử sinh vi

phân X = ξ1(x) ∂

∂x1+ ξ2(x)

∂

∂x2, trên hệ toạ độ x = (x1, x2), biểu diễn toán

tử sinh vi phân trên bằng hệ toạ độ y = (y1, y2), xác định bởi (2.1) Toán

Chú ý rằng, bằng việc sử dụng quy luật chuỗi, ta có

Định nghĩa 2.1.2 Phép đổi toạ độ (2.1) xác định một tập các hệ toạ độ

chính tắc cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) nếu trong hệtoạ độ mới đó nhóm (1.1) có dạng sau:

y∗1 = y1,

y∗2 = y2+ ε.

(2.6)

Định lý 2.1.3 Cho nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) bất kì, khi đó tồn tại

một tập các toạ độ chính tắc y = (y1, y2) sao cho (1.1) t-ơng đ-ơng với hệ (2.6).

Chứng minh: Từ Định lý (1.2.14), ta có

y1∗ = y1(x∗) = y1(x),

Do vậy, y2(x) đ-ợc tìm ra từ nghiệm riêng ν(x) của ph-ơng trình đạo hàm

riêng tuyến tính không thuần nhất cấp I bất kì

Định lý 2.1.4 Trong các thành phần của tập hợp hệ toạ độ chính tắc bất

kì y = (y1(x), y2(x)), toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) trở thành

Định nghĩa 2.1.5 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số {X(., ε)}

đ-ợc gọi là phù hợp với ph-ơng trình vi phân y0 = f (x, y), nếu

Ví dụ 2.1.6 Cho ph-ơng trình vi phân sau:

y0 = f y

x



,

trong đó, f là hàm thuần nhất.

Trong R2, ta lấy x1 = x, x2 = y, và cho hệ toạ độ chính tắc đ-ợc kí hiệu

bằng y1 = r, y2 = s, Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

và do đó, hệ (2.14) có hệ toạ độ chính tắc là (r, s) = y

x , ln |y|

 Ta cóph-ơng trình vi phân dạng tách biến: x

Suy ra s(x, y) = ln |x| Vậy hệ toạ độ chính tắc là (r, s) = (x2y, ln |x|).

r − 1 r + 1

... 1.2.10 Nhóm Lie phép biến đổi tham số t-ơng đ-ơng với

là nhóm Lie phép biến đổi tham số.

Khai... data-page="24">

Vì F (x) hàm bất biến nên F (x∗) = F (x) Vậy từ (1.36) ta suy ra

Tập phép biến đổi đ-ợc gọi nhóm Lie phép biến đổi tham

số thoả mãn điều kiện...

Định lý 1.3.2 (Định lý Lie thứ nhất) Nhóm Lie phép biến< /b>

đổi tham số lân cận ε = t-ơng ứng với nghiệm toán giá trị ban đầu hệ ph-ơng trình vi phân cấp I