Về nhóm các phép dời

Phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng: a Định nghĩa: Phép dời hình có một điểm bất động O duy nhất đợc gọi là phép quayquanh điểm O điểm bất động là điểm biến nó thành chính nó

đã đợc học một số kiến thức cơ bản về Lý thuyết nhóm Chúng tôi nhận thấyrằng Lý thuyết nhóm là một khái niệm rất quan trọng, nó đợc ứng dụng rộngrãi trong số học, đại số, hình học , và các khoa học khác Do đó chúng tôithấy cần phải học lại và học thêm về Lý thuyết nhóm để vừa mở rộng thêmkiến thức vừa học thêm phơng pháp t duy đại số

Khoá luận của chúng tôi là sự ôn tập lại kiến thức về nhóm ở năm thứ hai,học tập thêm kiến thức mới về Lý thuyết nhóm, vận dụng những kiến thức đểchứng minh một số mệnh đề mà ở sách giáo khoa ( Đại số đại cơng – HoàngXuân Sính) cha đề cập hoặc cha chứng minh Đồng thời chúng tôi cũng cố gắngvận dụng các kiến thức để soi sáng một số vấn đề của các môn học khác

Khoá luận gồm 2 chơng: Chơng 1 Một số khái niệm cơ bản về nhóm.Trong chơng này trình bày một số khái niệm cơ bản về nhóm cần cho chơngsau, giải một số bài tập về nhóm Chơng 2 Nhóm các phép dời Trong chơngnày trình bày các khái niệm cơ bản về phép dời trong hình học, tích các phépdời Vận dụng các hiểu biết về nhóm để nghiên cứu cấu trúc nhóm của tập cácphép dời

Vì năng lực và thời gian có hạn, nên những kết quả mà chúng tôi thu

đ-ợc chỉ mới là bớc đầu Còn một số vấn đề chúng tôi rất hứng thú về nhóm cácphép dời Nhất là nhóm các phép dời trong không gian mà chúng tôi cha thểnghiên cứu đầy đủ Chúng tôi hy vọng sẽ có thể thu đợc nhiều kết quả nếu còn

đợc tiếp tục Chắc rằng khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôirất mong nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn

Để hoàn thành khoá luận này tôi xin chân thành cảm ơn :

- PGS TS Nguyễn Quý Dy – Khoa Toán - Đại học Vinh

- Các thầy cô giáo trong Khoa Toán trờng Đại học Vinh

- Gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoànthành khoá luận

Tµi liÖu tham kh¶o

331115212424272832353639

Chơng IMột số khái niệm cơ bản về nhóm

ii) Nếu phép toán trên G là phép toán cộng thì phần tử đơn vị e ký hiệu

là 0 và gọi là phần tử 0, phần tử nghịch đảo của x ký hiệu là -x và gọi là phần

2) Tập hợp Sn các phép thế của {1, 2 , n} cùng với phép nhân (hoặchợp thành) các phép thế là một nhóm hữu hạn, cấp n! không giao hoán vớimọi n ≥ 3.

3) Nửa nhóm các số tự nhiên N không phải là một nhóm đối với phép toáncộng vì với mọi phần tử x ∈ N không tồn tại phần tử đối với x

Từ AB = AC nhân bên phải của đẳng thức ( ở 2 vế ) với A-1 ta có:

A-1(AB) = A-1(AC) ⇔ (A-1A)B = (A-1A)C ⇔ I.B = IC với I là ma trận

đơn vị của GL(n, k) ⇒ B = C

iv) Trong một nhóm phơng trình xa = b ( ax = b ) có nghiệm duy nhất

1.4 Cấp của phần tử của nhóm:

Giả sử G là một nhóm với đơn vị là e a ∈ G nếu am ≠ e với mọi m > 0 ,thì ta nói a có cấp vô hạn Nếu trái lại, thì số nguyên dơng nhỏ nhất m, sao cho

am = e đợc gọi là cấp của a

1.5 Mệnh đề:

Cho (G, °) là một nhóm, a là phần tử của G, khác e sao cho an = e Khi

đó n chia hết cho cấp của a

Chứng minh:

G là một nhóm với phân tử đơn vị là e, a ∈ G, a ≠ e, giả sử a có cấp là k

⇒ ak = e

Từ an = e ⇒∃ q ∈ ℤ: n = kq + r (0 ≤ r < k ) ⇒ an = akq + r = akqar =(ak)qar = eqar = ear = ar mà an = e ⇒ ar = e ⇒ r = 0 ⇒ n = kq, q ∈ ℤ

Tức là: n  k hay n  Ord(a)

Nâng luỹ thừa hai vế của đẳng thức at = b-t lên mũ r ta đợc:

art = b-n = e ( vì ar = e ) ⇒ rt s ⇒ t s vì ( r, s ) = 1 (2) Cũng từ at = b-t nâng cả 2 vế lên luỹ thừa mũ s ta đợc:

(at)s = (b-t)s = e = ar ⇒ ts r ⇒ t r vì (s, r) = 1 (3)

Từ (2) và (3) ⇒ t rs

Vậy (|a|, |b| ) = 1; ab=ba ⇒ |ab| = |a| |b|

1.7 Mệnh đề:

Cho (G, °) là một nhóm giao hoán a, b ∈ G có cấp tơng ứng là m, n Khi

đó, trong G tồn tại phần tử có cấp bằng bội chung bé nhất của m, n

Chứng minh:

Giả sử nhóm G có đơn vị là e, Ord(a) = m, Ord(b) = n

Nếu (m, n) =1 thì ta luôn có |ab| = mn

Nếu (|a|, |b|) ≠ 1 ⇔ UCLN (m, n) = d ⇒ (

d

n d

0 - đèn tắt ;

1 - đèn đỏ ;

Với công tắc thì : 0 – là hở

1 – là kín

A là một bộ phận khác rỗng của nhóm G A là một nhóm con của G khi

và chỉ khi các điều kiện sau đây thoả mãn:

Theo định lý 1.10 ta có i) ⇒ ii) và ii ⇒ iii) là hiển nhiên

Ta chứng minh iii ⇒ ii)

Vì A ≠φ nên luôn có x ∈ A theo giả thiết iii) ⇒ e = x x-1∈A thoả mãn

điều kiện ii) của định lý 1.10 Giả sử x, y ∈ A, vì y-1∈ A theo iii) có

x.(y-1)-1 = xy ∈ A thoả mãn điều kiện i) của định lý 1.10

⇒ A là nhóm con của G

Ví dụ:

mℤ = {mx / x∈ℤ } ⇒ (mℤ, +) ⊆ (ℤ, +)

Thật vậy: Giả sử ∀ my, mx ∈ mℤ ⇒ mx - my = m(x-y) ∈ mℤ

Theo điều kiện iii) của hệ quả ta có: (mℤ, +) ⊆ (ℤ, +)

1.12 Định lý:

Cho (G, °) là một nhóm A, B là các nhóm con của G Khi đó:

AB = {ab| a ∈ A, b ∈ B}là nhóm con khi và chỉ khi AB = BA

y-1 = ( a2,, b2 )-1, a2 ∈ A, b2 ∈ B ⇒ xy-1 = a1b1(a2b2)-1 = a1b1b2-1a2-1

Khi đó ∃ a3 ∈ A, b3 ∈ B, (a2b2)-1 = b3a3

⇒ xy-1 = a1b1b3a3 = a1 (b1b3)a3 = a1b4a3 , với b1b3 = b4∈B

với b4a3 ∈ BA, ∃ a4 ∈ A và b’ ∈ B: b4a3 = a4b’

⇒ xy-1 = a1(b1a3) = a1(a4b’) = (a1a4) b’ = a’b’ với a’ = a1a4 ∈ A

⇒ xy-1 = a’b’ ∈ AB với a’ ∈ A, b’ ∈ B vậy: AB ⊆ G

Do đó: AB ⊆ G ⇔ AB = BA

Đ2 Đồng cấu nhóm.

G đến một nhóm G’ sao cho f( ab) = f(a) f(b), a, b ∈ G

x+y α f(x) + f(y), ∀ x, y b ∈ℤ là một đồng cấu

2.2 Định nghĩa: Cho G và G’ là các nhóm, f là đồng cấu từ G đến G’.

+ f đợc gọi là đơn cấu nếu f là một đồng cấu và đơn ánh

+ f đợc gọi là toàn cấu nếu f là một đồng cấu và toàn ánh

+ f đợc gọi là đẳng cấu nếu f là một đồng cấu và song ánh , kí hiệu là G

x α x là một đẳng cấu.

2) ϕ : G → G/H

x α x+ H là toàn cấu, gọi là đồng cấu tự nhiên

2.4 Tính chất của đồng cấu nhóm:

Từ định nghĩa của đồng cấu ta dễ dàng chứng minh đợc các tính chất sau:

i) ánh xạ đồng cấu bảo tồn đơn vị và nghịch ảnh

ii) Cho ánh xạ f từ G đến G’, f đẳng cấu thì f-1 : G’ → G cũng đẳng cấu.iii) Tích của hai dồng cấu là một đồng cấu

2.5 Định nghĩa: Cho f từ G đến G’ là một đồng cấu nhóm Các phần tử đơn

vị của G và G’ đợc kí hiệu thứ tự là e và e’

Ta kí hiệu: Imf = f(x)

Kerf = { x ∈ G / f(x) = e’ } = f-1(e)

Imf gọi là ảnh của đồng cấu f, kerf gọi là hạt nhân của đồng cấu f

Khi đó:

i) f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = G’

ii) f là một đơn cấu nếu và chi nếu kerf = {e }

Với e là đơn vị của G và e’ là đơn vị của G’

Trong đó p là toàn cấu tự nhiên.

Lấy y bất kì, y ∈ G’, do f toàn ánh ⇒∃ x ∈ G: f(x) = y

x+A ∈ G/A và g(x+A) = f(x) = y

• Biểu đồ giao hoán:

g

Chú ý : Giả sử A là nhóm con chuẩn tắc của G

p: G → G/A là toàn cấu tự nhiên

Cho ( G, ) là nhóm, S tập con của G Khi đó nhóm con G’ bé nhất chứa

S đợc gọi là nhóm con sinh bởi tập S, ký hiệu G’ = < S >

3.2 Mệnh đề:

Cho M là tập con của nhóm G Khi đó, nhóm con sinh bởi tập M:

< M > = {a1ε 1.a2ε 2 amε m / ai ∈ M, εi = ± 1}

Chứng minh:

Giả sử B là nhóm con sinh bởi M của G vì A là một nhóm con của G, A ⊃ M

⇒ B ⊆ A Lại do B là một nửa nhóm con của G chứa M ∪ M-1⇒ A ⊆ B.Vậy: A = B, tức là < M > = {aε1.aε2 amεm / ai ∈ M , ε1 = ±1 }

Cho G là nhóm, S là tập con của G Nếu S = {x} Khi đó, nhóm con

A = < x > đợc gọi là nhóm xyclic sinh bởi x Nếu G = < x > thì G là nhómxyclic sinh bởi x, theo mệnh đề 3.2: G = { xn, n ∈ℤ}

∀ x ∈ A thì x = ∑

=

n n i

ai ei , ∀ ai ∈ K ⇒ V = {e1, e2, , en}

2) (ℤ/4ℤ, +) có cấp là 4 và (ℤ/4ℤ, +) = <1> hoặc ( ℤ/4ℤ, + ) = < 3 >

3.6 Mệnh đề:

i) Mọi nhóm xyclic đều là nhóm aben

ii) Nhóm con của nhóm xyclic là nhóm xyclic

Vậy mọi nhóm xyclic đều là nhóm aben

ii) Giả sử G là nhóm xyclic và A là nhóm con của G

• Nếu A = {e} thì A là nhóm xyclic

• Nếu A = G thì A là nhóm xyclic

• Nếu A ≠ {e}, A ≠ G vì A ⊆ G và G = < x > xyclic ⇒ x ∈ A, a ≠ e , x=

ak, k ∈ Z, k ≠ 0 ⇒ k > 0 hoặc –k > 0 Khi đó tồn tại ak mà k > 0 để ak ∈ A

i) Nếu G vô hạn thì G đẳng cấu với (ℤ, +).

ii) Nếu G hữu hạn thì G đẳng cấu với (ℤ n,, +), với ℤ n = ℤ/nℤ.

3.9 Định nghĩa: Nhóm con H gọi là ớc chuẩn ( hoặc chuẩn tắc ) của G khi

và chỉ khi mọi x∈ G, a ∈ H ta có x-1ax ∈ H, ký hiệu H ∆ G

ta nói xRy ⇔ x-1y ∈ H Khi đó R là quan hệ tơng đơng ở trên G

• Bắc cầu: ∀x, y, z ∈ H, giả sử xRz và zRy ⇒ xRy

Thật vậy: xRy ⇔ x-1y ∈ H, yRz ⇔ y-1z ∈ H ⇒ x-1y(y-1z) ∈ H ⇔ x-1(yy-1)z ∈

H ⇔ x-1z ∈ H ⇒ R quan hệ tơng đơng trên G

3.11 Mệnh đề:

Cho G là một nhóm, với x, y ∈ G, H là nhóm con của G

i) xH = yH ⇔ x-1y∈H

G là nhóm, H là nhóm con của G, H ∆ G khi và chỉ khi xhx-1∈H, ∀ h ∈H,

∀ x ∈ G ( hoặc là x1hx∈H, ∀ x ∈ G,∀ h ∈ H )

Chứng minh:

Giả sử H là ớc chuẩn của G Ta chứng minh xhx-1 ∈ H, ∀ h ∈ H, ∀ x ∈ G

Thật vậy: Vì H ∆ G theo định nghĩa, ta có xH = Hx ⇒∃ h, h’ ∈ H: xh =h’x ⇔ xhx’ = h’ ∈ H

i) Giao của hai ớc chuẩn là ớc chuẩn

ii) Tích hai ớc chuẩn là ớc chuẩn

Đ4 Nhóm hữu hạn 4.1 Định nghĩa: Nhóm chỉ có một số hữu hạn phần tử, đợc gọi là nhóm hữu hạn.

Giả sử |G| = n, H là nhóm con của G

Vì H ⊂ G nên H cũng là nhóm hữu hạn Giả sử H có cấp là m

Khi đó H = {h1, h2, , hm} ⇒ hi = hj ⇔ i = j, ∀ i, j =1, , m

Với x ∈ G ⇒ xH = {xh1, xh2, , xhm}

Vì |H| = m ⇒|xH| = m và xhi = xhj ⇔ hi = hj ⇔ i = j Khi đó với mỗi x

có tơng ứng một lớp ghép xH vì cấp của G hữu hạn Do đó số lớp ghép trái xH

là hữu hạn

Nếu gọi số lớp ghép trái xH là l, mặt khác |xH| = m ⇒|G| = n = ml

Ví dụ:

B A AB

Chơng II

Nhóm các phép dời

1.1 Định nghĩa:

Giả sử F là tập tất cả các điểm trên đờng thẳng Khi đó, mọi phép biến

đổi của F , nghĩa là ánh xạ ϕ : F → F bảo toàn khoảng cách giữa hai điểmbất kì đợc gọi là phép dời trên đờng thẳng

1.3 Phép dời và tích các phép dời

Cho ƒ: A → B; g: B → C là các phép dời Khi đó, sự thực hiện liên tiếphai phép dời ƒ và g đợc gọi là tích ( hay hợp thành của hai phép dời)

Kí hiệu là: g 0 ƒ

Rõ ràng tích của hai phép dời g, ƒ là phép dời g 0ƒ :A → C

Từ định nghiã suy ra:

i) Tích của phép dời thực hiện đợc khi và chỉ khi ảnh của phép dời ƒ là tập concủa tạo ảnh của phép dời g

ii) Tích hai phép dời không có tính giao hoán

Ví dụ: xét hai phép dời hình là phép đối xứng trục ∆:

Định nghĩa:

Trong mặt phẳng cho phép dời hình ƒ biến điểm M thành điểm M’ Ta có:

ƒ(M) = M’ Khi đó phép dời hình biến điểm M’ thành điểm M gọi là phép dờinghịch đảo của ƒ, ký hiệu là ƒ-1 và ta có:

ƒ-1(M’) = M

∆1C

Cho đoạn thẳng AB có đờng trung trực

là d, phép biến đổi A thành B là phép đối xứng

trục

b)Tính chất:

Từ định nghĩa của đối xứng trục ta dễ

dàng suy ra các tính chất của nó:

+ Phép đối xứng trục là một phép dời Có nghĩa là, phép đối xứng trục

có đầy đủ các tính chất của phép dời hình

+ Nếu Đ∆(M) = M’ ⇒ Đ∆(M’) = M ⇒ Đ∆(M’) Đ∆(M) = M

+ a ⊥∆ , a ∩ ∆ = I, a là đờng thẳng, I là một điểm

⇒ Đ∆(a) = a và Đ∆(I) = I

+ Đ∆(∆) = ∆

+ Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định nếu biết trục đối xứng ∆ của nó

3.2 Phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng:

a) Định nghĩa:

Phép dời hình có một điểm bất động O duy nhất đợc gọi là phép quayquanh điểm O ( điểm bất động là điểm biến nó thành chính nó ).O còn gọi làtâm của phép quay góc α, ký hiệu Qα0

d

+ Phép quay là một phép dời

+ α = ±π thì phép quay là phép đối xứng tâm O

+ Qα0 : M → M’ ⇒ Q- α 0 : M’ → M

+ Qα0 : A → A’, B → B’⇒ ( AB , A’B’) = α + Phép quay đợc xác định nếu biết tâm quay O và góc quay α

3.5 Mệnh đề: Tập tất cả các phép đối xứng trục S trong mặt phẳng là tập sinh

của nhóm tất cả các phép dời G của mặt phẳng

đợc bằng tích nhiều cách khác nhau của hai phép

đối xứng trục với hai trục song song

2/

v

v

T = < S >

Đối xứng tâm là trờng hợp đặc biệt của đối xứng trục Khi đó, trục đốixứng chỉ còn là một điểm Có nghĩa là tập tất cả các phép đối xứng trục Strong mặt phẳng.cũnglà tập sinh của nhóm tất cả các phép đối xứng tâm củamặt phẳng

Vậy tất cả các phép đối xứng trục S trong mặt phẳng là tập sinh củanhóm tất cả các phép dời G của mặt phẳng

⇒ H ∆ G

của một hình.

dời trong không gian, sao cho mọi điểm của Φ là bất động Khi đó G là mộtnhóm

G = { ƒ / ƒ(x) = x, ∀ x ∈Φ }

Chứng minh:

Nhận xét:

• Đối với phép đối xứng trục Đ∆, mọi điểm nằm trên trục đối xứng ∆

đều là điểm bất động, các điểm còn lại của không gian đều không phải là

điểm bất động

• Đối với phép đối xứng tâm Đ0 chỉ có tâm đối xứng O là điểm bất độngduy nhất

• Đối với phép tịnh tiến T vmà v≠ 0 ta không có điểm bất động nào

Nếu v= 0 , mọi điểm của không gian đều bất động đối với phép tịnh tiến T v

và khi đó ta có

v

T là phép đồng nhất

Đối với phép quay QαO , tâm quay O và góc quay α với α ≠ k2π thì có

điểm bất động O Nếu α = k2π, mọi điểm của không gian đều bất động đốivới phép quay QαO và khi đó ta có Qα0 là phép đồng nhất ( k ∈ ℤ )

Do đó, ta nhận thấy G là tập con của tập các phép dời hình của Φ trongkhông gian

∀ ƒ , g ∈ G ⇒ g-1∈ G ⇒ ƒ g-1∈ G

Vậy G là một nhóm

4.2 Nhóm các đối xứng của hình vuông

Hình vuông đợc biến thành chính nó qua 8 phép biến đổi sau:

• e là ánh xạ đồng nhất

• f1 phép quay 900 theo chiều kim đồng hồ

• f2 phép quay 1800

• f3 phép quay 270 0

• f4 đối xứng trục nằm ngang qua O

• f5 đối xứng trục thẳng đứng đi qua O

• f6 đối xứng trục đờng chéo trong các góc phần t thứ I, III

O

• f7 đối xứng trục đờng chéo trong các góc phần t thứ II, IV

Tơng tự, các hình đa giác đều và các khối thể đều đều có một nhóm đối xứng

• 24 phép biến đổi là tổ hợp của mỗi phép quay đó với phép nghịch đảo

i đối với tâm nghịch đảo là tâm của hình lập phơng

Nhận xét:

Nhận thấy 24 phép quay đầu làm các đỉnh của một hình lập phơng đổichỗ cho nhau, nhng không làm thay đổi vị trí của hình lập phơng đó Nó tạothành một nhóm con của các phép đối xứng của hình lập phơng Và vì nó có

24 phần tử nên nó đẳng cấu với nhóm S4

Rõ ràng, bài toán về nhóm các phép dời giữ nguyên tại chỗ một đa giác

đều trong mặt phẳng, một đa diện đều trong không gian, là một bài toán thú vị

về cấu trúc nhóm trong hình học Tuy nhiên, nó rất phức tạp khi số đỉnh và số mặt tăng lên Chúng tôi sẽ cố gắng tìm hiểu thêm về bài toán đó vào những dịp khác

Kết luận

Qua quá trình nghiên cứu đề tài "Về nhóm các phép dời" đã thu đợc

một số kết quả cụ thể sau:

1 Ôn tập một số kiến thức cơ bản về nhóm cần thiết để vận dụng

nghiên cứu nhóm các phép dời Khoá luận đã chứng minh đợc một số mệnh đề

về nhóm mà trong sách giáo khoa Trần Xuân Sính cha đề cập Đó là, các mệnh đề: 1.5; 1.6; 1.7; 1.12; 3.2; 3.7; 3.8; 3 13; 4.5; ở chơng 1, lập bảng toán của nhóm các phép thế bậc 4: S4

2 ở chơng 2, tác giả đã nghiên cứu về cấu trúc nhóm các phép dời trên

một đờng thẳng; trong một mặt phẳng; trong không gian và trên một hình Đãthu đợc một số kết quả qua các định lý và mệnh đề sau: 1.4; 2.2; 3.4; 3.5; 3.6;4.1 Về nhóm các phép dời trên đờng thẳng, trong mặt phẳng đã giải quyếtmột cách trọn vẹn Còn nhóm các phép dời trong một hình trong không gianthì các kết quả thu đợc mới là bớc đầu, nhng rất có ý nghĩa vì đã hình thành đ-

ợc phơng pháp để nghiên cứu vấn đề

3 Khoá luận đã cố gắng vận dụng lý thuyết nhóm để soi sáng một số

vấn đề của các môn học khác Nhất là vấn đề đại số hoá hình học Tuy nhiên,

do thời gian và năng lực có hạn nên nhóm các phép dời trong không gian tác

giả cha nghiên cứu đợc một cách đầy đủ

Phụ lụcMô tả cấu trúc Đại số của S4

• S4 là nhóm các phép thế trên 4 phần tử Nó cùng với phép hợp thànhcác ánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng bậc 4 Có phần tử đơn vị

là ánh xạ đồng nhất trên {1,2,3,4} Phần tử nghịch đảo của ƒ∈S4 là ánh xạ

ƒ12 =  312 4

4321

ƒ1 = 1243

4321

ƒ13 =  314 2

4321

ƒ2 = 1324

4321

ƒ14 = 32 14

4321

ƒ3 = 1342

4321

ƒ15 =  3241

4321

ƒ4 = 1423

4321

ƒ16 =  3412

4321

ƒ5 = 1432

4321

ƒ17 = 34 21

4321

ƒ6 = 2134

4321

ƒ18 = 4 123

4321

ƒ7 = 2 143

4321

ƒ19 = 4132

4321

ƒ8 = 2314

4321

ƒ20 = 4213

4321