Về môđun nguyên sơ

2 Mọi tập không rỗng S các môđun con của M đều chứa một phần tử tối đại tức là môđun con A0 sao cho đối với phần tử N bất kỳ thuộc S chứa A0, ta có N ≡ A0.. Khi đó trong A tồn tại một i

Chơng 1 Các kiến thức cơ bản1.1 khái niệm chung về vành.

1.1.1 Định nghĩa Ta gọi là vành một tập hợp A cùng với hai phép toán đã cho

trong A ký hiệu theo thứ tự bằng các dấu (+) và (.) ( ngời ta thờng ký hiệu nh

vậy) và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thoả mãn:

Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó gọi là phân tử đơn vị của

A và ký hiệu là e hay 1

1.1.2 Định nghĩa Giả sử A là vành, B là một bộ phận của A ổn định với hai

phép toán trong A nghĩa là x + y ∈ B và xy ∈ B với ∀x,y ∈ B B là vành con

của A nếu B cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành.

1.1.3 Định nghĩa Ta gọi là iđêan trái (iđêan phải) của một vành A, một vành

con B của A thoả mãn điều kiện x a ∈ A (ax ∈ A) với mọi a ∈ B và mọi x∈A

Một vành con B của một vành A gọi là một iđêan của A nếu và chỉ nếu B vừa

là iđêan trái vừa là iđêan phải của A.

1.1.4 Định lý Một bộ phận B khác rỗng của một vành A là một iđêan của A

nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thoả mãn:

1) a b – ∈ B với mọi a, b ∈ B.

2) x a ∈ B và a x ∈ B với mọi a ∈ B và mọi x ∈ A.

1.1.5 Định nghĩa Cho P là iđêan của A (P ≠A ) Khi đó P đợc gọi là iđêan

nguyên tố nếu ∀x, y ∈A, x y ∈ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P, ( hoặc xy ∈ P, x ∈ P

suy ra y ∈ P, mọi x, y ∈ A ⇔ nếu x ∉ P và y ∉ P thì xy ∉ P, ∀x, y ∈ A ) ( luôn giả thiết A là vành giao hoán, có đơn vị )

1.1.6 Định nghĩa Giả sử P là một iđêan P đợc gọi là iđêan tối đại nếu tồn

tại một iđêan I ⊆ A, I ≠A sao cho P ⊆ I thì P = I

1.2 Khái niệm chung về môđun.

1.2.1 Định nghĩa Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị ( ký hiệu 1), ta gọi M

4) ( r s ) a = r ( s a ), ∀r, s ∈ A ; ∀a ∈ M

5) Tiên đề Hunita : 1a = a, ∀a ∈ M

1.2.2 Định nghĩa Giả sử M là một A môđun X là tập con của M, X đợc gọi

là môđun con của M nếu X cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hớng trên

1.2.4 Định nghĩa ánh xạ f : M → M′ đợc gọi là đơn cấu nếu f đồng cấu và

đơn ánh, f đợc gọi là toàn cấu nếu f đồng cấu và toàn ánh

Nếu tồn tại đẳng cấu f :M → M′ ta nói môđun M đẳng cấu với môđun M′

2) Mọi tập không rỗng S các môđun con của M đều chứa một phần tử tối

đại (tức là môđun con A0 sao cho đối với phần tử N bất kỳ thuộc S chứa A0,

ta có N ≡ A0)

3) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

Chứng minh Ta chứng minh ba điều kiện trên là tơng đơng.

(1)⇒ (2) Gọi ϕ = { A i\ A i ⊂m M ,i∈I } ≠ 0 / Do ϕ ≠ 0/ ⇒ ∋ A i ∈ ϕ.

Nếu A1 tối đại ta có điều phải chứng minh

Nếu A1 không tối đại suy ra tồn tại A2 ∈ ϕ và A1đợc chứa thực sự trong

2

A , nếu A2 không tối đại, thì nó đợc chứa trong A3 Theo quy nạp nếu ta tìm

đ-ợc một môđun con A i không tối đại, thì nó đợc chứa nh một môđun con thực

sự trong một môđun con A i+ 1 nào đó.Vậy ta có thể xây dựng đợc một dãy vô hạn là điều không thể đợc

(2)⇒ (3) Lấy B là môđun con của M Gọi { A i } i∈I là họ tất cả các môđun con hữu hạn sinh của môđun con B Gọi ϕ = { A i \ i∈ I } thì

ϕ ≠ 0 / Do A1= a với a ∈ B ⇒ A1∈ ϕ

Do (2) suy ra ϕ có phần tử tối đại là T∈ ϕ suy ra T hữu hạn sinh.

Ta cần chứng minh T=B

⊆

T B: Do Tlà môđun con của B Ngợc lại a ∈B, ta chứng minh a ∈T Do T

là hữu hạn sinh suy ra T = x1 , x2, , … x n

Nếu a ∉ Tlấy C = x1, x2, , … x n, a, suy ra C là hữu hạn sinh, suy ra

C ∈ ϕ mà C chứa thực sự T, mâu thuẫn với T tối đại, vậy a ∈ T, suy ra

B ⊆T

Vậy B = Tsuy ra B là hữu hạn sinh

(3)⇒ (1).Từ (3) lấy dãy tăng bất kỳ A1 ⊆ A2 ⊆… ⊆… (a) Trong

đó

A ⊂m M Lấy B = ∞

= 1

i i

A suy ra B ⊆m M Theo (3) suy ra B hữu hạn sinh

suy ra B = x1, x2, ,… x k Khi đó x1, x2, , … x n∈ ∞

= 1

n n

A suy ra B = A m

hay A m+ 1 = = … A m+ 2 = =… B

Vậy dãy (a) dừng tại m

1.3.2 Định nghĩa Môđun M thoả mãn các điều kiện tơng đơng của định lý

1.3.1 gọi là môđun Nơte

1.3.3 Định lý Giả sử M là một A môđun Nơte Khi đó:

1) Mọi môđun con của môđun M đều Nơte.

2) Mọi môđun thơng của môđun M đều là Nơte

Chứng minh 1) Gọi H là môđun con của môđun M Với mọi môđun N

của H suy ra N là môđun con của M Mà M là môđun Nơte suy ra N hữu hạn sinh

Vậy theo định nghĩa môđun Nơte, H có mọi môđun con hữu hạn sinh suy

ra H Nơte

2) Giả giử B là môđun con nào đó của M Ta cần chứng minh M/B Nơte

và f : M→M/B là đồng cấu chính tắc Giả sử M1 ⊂ M2 ⊂… là dãy tăng các

môđun con của M/N và giả sử M i = f− 1 (M i) Khi đó M1 ⊂ M2 ⊂… là một

chuỗi tăng các Môđun con của M, mà nó phải có phần tử tối đại, chẳng hạn

M r ; nh thế M i = M r , với i ≥r nhng f(M i) =M i, điều đó chứng minh mệnh đề trên

1.3.4.Bổ đề Cho f là tự đồng cấu của M,

Vậy ker f ⊆ ker f 2

1.3.5 Hệ quả Mọi mođun M, f ∈ End M thì:

1) Im f ⊇ Im f2 ⊇… ⊇ Im f n ⊇…

1.3.6 Định nghĩa Một vành đợc gọi là vành Nơte, nếu nó Nơte nh một

môđun bên trái trên chính nó Điều đó có nghĩa là mọi iđêan trái đều hữu hạn sinh

1.4 Iđêan nguyên tố liên kết

luôn giả thiết A là vành giao hoán Các môđun là các A - môđun, các

đồng cấu là các A - đồng cấu và các đồng cấu

1.4.1 Định nghĩa Cho S là tập con của A Khi đó S đợc gọi là tập con nhân

của vành A nếu thoả mãn 2 điều kiện:

1) 1 ∈ S

2) x, y ∈ S, ∀ x, y ∈ S.

1.4.2 Mệnh đề 1 Giả sử S là tập con nhân của A và S không chứa 0 Khi đó

trong A tồn tại một iđêan tối đại trong tập các iđêan không giao với S, và mọi

iđêan nh thế đều nguyên tố

Chứng minh Sự tồn tại một iđêan P nh thế suy từ bổ đề Zoóc (tập các

iđêan không giao với S không rỗng, vì có chứa iđêan không, và tập đó là tập sắp thứ tự qui nạp ) Giả sử P là phần tử tối đại trong tập đó Giả sử a, b∈ A;

ab ∈ P nhng

a ∉ P và b ∉ P Theo giả thiết, các iđêan (a, P ) và (b, P) sinh bởi a và

P ( hoặc b và P tơng ứng ) giao với S, vì vậy tồn tại các phần tử s, s /∈ S ; c, c/ ∈

A ; p, p /∈ P sao cho :

s = c a + p và s/ = c / b +p /

Nhân hai biểu thức đó , ta đợc :

ss/ = cc / ab +p // ,

Trong đó p// là một phần tử nào đó thuộc P Từ đó suy ra rằng ss/ nằm trong

P Điều đó mâu thuẫn với việc P không giao với S và chứng minh rằng iđêan

Giả thiết rằng x ∉ m khi đó m + Ax là iđêan thực sự chứa m và do đó phải

bằng A Do đó có thể viết : 1 = u + ax, trong đó u ∈ m, a ∈ A Nhân với y ta

đợc :

y = yu + axy

Từ đó suy ra y ∈ m và nh vậy m là iđêan nguyên tố.

1.4.4 Định nghĩa Phần tử a thuộc vành A đợc gọi là phần tử luỹ linh nếu tồn

tại một số nguyên n ≥ 1 sao cho a n = 0

1.4.5 Mệnh đề Phần tử a thuộc vành A là luỹ linh khi và chỉ khi nó nằm

trong mọi iđêan nguyên tố của vành A.

Chứng minh Nếu a n = 0 thì a n∈ P với mọi iđêan nguyên tố P và do đó a∈

P Nếu a n không bằng 0 đối với một số dơng nào cả , thì ta ký hiệu S là tập con, nhân gồm các luỹ thừa của a, cụ thể là { 1, a, a2, …… } và theo giả thiết

ta tìm đợc một iđêan nguyên tố không giao với S, điều đó chứng minh mệnh

đề đảo

1.4.6 Định nghĩa Linh căn của iđêan a ⊂ A là tập mọi a ∈ A sao cho a n∈ a

đối với một n nguyên ≥ 1 nào đó (hoặc tơng đơng, là tập các phần tử a∈A

mà ảnh của chúng trong vành thơng A/a là luỹ linh)

1.4.7 Hệ quả Phần tử a thuộc vành A nằm trong linh căn của iđêan a khi và

chỉ khi nó nằm trong mọi iđêan nguyên tố chứa a

Chứng minh áp dụng mệnh đề 1.4.5 đối với vành thơng A/a.

1.4.8 Định nghĩa Giả sử x ∈ M ( M là môđun ) Cái linh hoá a của phần tử x

là iđêal gồm tất cả các phần tử a ∈ A sao cho ax = 0 Xảy ra đẳng cấu

1.4.9 Bổ đề Giả sử x là một phần tử thuộc môđun môđun M, a là cái linh

hoá của nó và P là một Iđêan nguyên tố của A Khi đó (Ax) P ≠ 0 Khi và chỉ khi P chứa a.

1.4.10 Định nghĩa Giả sử a là một phần tử thuộc A Giả giử M là một

môđun nào đó Đồng cấu:

x  ax, x ∈ M

Sẽ gọi là đồng cấu chính liên kết với a và sẽ đợc ký hiệu là aM

1.4.11 Định nghĩa Ta bảo rằng a M luỹ linh địa phơng , nếu đối với mỗi

x ∈ M, tồn tại một số nguyên n (x) ≥ 1 sao cho a n x x

M

) ( = 0

1.4.12 Nhận xét Từ điều kiện trên suy ra rằng đối với mỗi môđun con hữu

hạn sinh N của M, tồn tại một số nguyên n ≥ 1 sao cho a n N = 0: chỉ cần lấy

n là là bậc lớn nhất trong các bậc của các luỹ thừa của a, linh hoá tập hữu hạn các phần tử sinh của N Vì vậy, nếu môđun M hữu hạn sinh, thì đồng cấu

a M luỹ linh địa phơng khi và chỉ khi nó luỹ linh.

1.4.13 Định nghĩa Giả sử S là tập con nhân của vành A và môđun M.

Xét các lớp tơng đơng các cặp ( x, s ) trong đó x ∈ M, s ∈ S và 2 cặp (x, s ) và (x / , s / ) là tơng đơng nếu tồn tại phần tử s 1 ∈ S sao cho s 1 (s / x sx– / ) = 0

1.4.14 Mệnh đề 2 Giả sử M là một môđun, a ∈ A Khi đó a M luỹ linh địa

ph-ơng khi và chỉ khi a nằm trong mọi iđêan nguyên tố P mà M P ≠ 0.

Chứng minh Giả thiết rằng a M luỹ linh địa phơng Giả sử P là một

iđêan nguyên tố của A sao cho M P ≠ 0 Khi đó tồn tại x ∈ M: ( Ax ) P≠ 0 Giả

sử n là một số nguyên dơng sao cho n

M

a x = 0 Ký hiệu a là cái linh hoá của

phần tử x Khi đó an∈ a và do đó, áp dụng bổ đề 1.4.9 và hệ quả 1.4.7 của

mệnh đề 1.4.2 ta có thể kết luận rằng a nằm trong mọi iđêan nguyên tố P sao cho M P ≠ 0 Đảo lại, nếu đã cho phần tử x ∈ M, x≠ 0, thì ta xét môđun Ax

và từ lý luận trên, ta chứng minh đợc rằng n

M

a x = 0 với một n ≥ 1 nào đó, chứng tỏ tính luỹ linh địa phơng của đồng cấu aM

1.4.15 Định nghĩa Giả sử M là một môđun, iđêan nguyên tố P đợc gọi là

iđêan liên kết với M, nếu tồn tại một phần tử x ∈ M mà cái linh hoá của nó

trùng với P Vì P ≠A nên, đặc biệt, x ≠ 0.

1.4.16 Mệnh đề 3 Giả sử M là một môđun khác 0 và P là một phần tử tối

đại trong tập các iđêan linh hóa các phần tử x ∈ M, x ≠ 0 Khi đó P là một iđêan nguyên tố tố.

Chứng minh Giả sử P là cái linh hoá của phần tử x ≠ 0 Khi đó

P ≠ A Giả sử a, b ∈ A, ab ∈ P, a∉ P Khi đó ax ≠ 0 Nhng iđêal

( b, P) linh hoá ax và chứa P Nếu P tối đại, thì từ đó suy ra rằng b ∈ P và do

đó P là iđêan nguyên tố

1.4.17 Hệ quả Nếu vành A Nơte và M là môđun khác không, thì tồn tại một

iđêal nguyên tố liên kết với M.

1.4.18 Mệnh đề 4 Giả sử vành A Nơte và a ∈ A Giả sử M một môđun.

Khi đó đồng cấu a M là đơn cấu khi và chỉ khi a không nằm trong một iđêann nguyên tố nào liên kết với M.

Chứng minh Giả thiết rằng a M không phải đơn cấu, nh thế ax = 0 với một x nào đó thuộc M, x ≠ 0 Do hệ quả 1.4.17 của mệnh đề 3 (1.4.16), tồn tại

một iđêal nguyên tố P liên kết với Ax và a là phần tử thuộc P đó Đảo lại, nếu

a M là đơn cấu, thì a không thể nằm trong một phần tử khác không nào của M

1.4.16 Mệnh đề 5 Giả sử vành A Nơte và M là một môđun Giả sử a ∈ A

Các điều kiện sau là tơng đơng :

1 1) a M là luỹ linh địa phơng;

2) a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố liên kết với M;

3) a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố P mà M P ≠ 0;

Chứng minh Từ (1) suy ra (2) dễ dàng chứng minh do định nghĩa và trong mệnh đề không cần thiết A phải Nơte Điều đó cũng không cần thiết từ

(3) suy ra (1) do điều khẳng định đã đợc chứng minh trong mệnh đề 2(1.4.14)

Nh vậy ta phải chứng minh rằng (2) suy ra (3) Giả sử P là một iđêan nguyên

tố mà M P ≠ 0 Khi đó tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho

( Ax ) P = 0 Do mệnh đề 3 (1.4.16), trong A tồn tại một iđêan nguyên tố q liên kết với( Ax )P Do đó tồn tại phần tử y/s thuộc ( Ax )P với y ∈ Ax , s ∉ P và y/s ≠ 0, mà cái linh hoá của nó trùng với q Từ đó suy ra rằng q⊂ p, vì nếu

trái lại sẽ tồn tại b ∈ q, b ∉ P và 0 = by/s từ đó y/s = 0 - mâu thuẫn.

Bây giờ giả sử a1 , , a… r l à tập hữu hạn các phần tử sinh của iđêan q Khi đó với mỗi i = 1, , r… , tồn tại phần tử ti ∉ P sao cho ti a i y = 0 Rõ ràng rằng

t = t 1…t r ∉ P Mọi phần tử thuộc q đều linh hoá phần tử t y thuộc M, và nếu

a(ty)= 0 trong M, thì ay/s = 0 trong M P, từ đó a ∈ q Do đó q là cái linh hoá

của phần tử ty ∈ M, là iđêan nguyên tố liên kết với M Đó là đều phải chứng minh

1.4.20 Hệ quả Giả sử vành A Nơte và M là một môđun Các điều kiện sau

đây tơng đơng nhau:

1) Tồn tại chỉ một iđêan nguyên tố liên kết với M

2) M ≠0 và với mọi a ∈ A , đồng cấu a M hoặc là đơn cấu hoặc luỹ linh

địa phơng Khi thoả mãn các điều kiện đó, tập tất cả các phần tử a ∈ A sao

cho a M luỹ linh địa phơng trùng với iđêal nguyên tố liên kết với M

Chứng minh Đây chính là hệ quả trực tiếp của mệnh đề của mệnh đề

4(1.4.18) và mệnh đề 5 (1.4.19)

1.4.21 Mệnh đề 6 Giả sử N là môđun con của M Mọi iđêan nguyên tố liên

kết với N cũng liên kết với M Một iđêan nguyên tố bất kỳ liên kết với M cũng liên kết hoặc với N hoặc với M/N

Chứng minh Mệnh đề thứ nhất đã rõ ràng Giả sử P là iđêan nguyên

tố liên kết với M, chẳng hạn P là cái linh hoá của phần tử x ≠ 0

Nếu Ax ∩ N = 0, Ax thì đẳng cấu với một môđun con của M/N và do đó P

liên kết với M/N

Nếu Ax ∩ N ≠ 0, thì ta xem Ax ∩ N nh một môđun trên vành nguyên vẹn

A/P và rõ ràng cái linh hoá của một phần tử khác không bất kỳ Ax ∩ N trong

A/P là 0 Do đó cái linh hoá của nó trong A là P và P liên kết với N, là điều

phải chứng minh

Chơng 2

Môđun nguyên sơ

A-môđun, các đồng cấu là các A - đồng cấu, nếu không nói gì trái lại )

Đ 1 Môđun nguyên sơ

1.1 Định nghĩa và ví dụ về môđun nguyên

1.1.1 Định nghĩa Giả sử M là một môđun Môđun con Q của M đợc gọi là

nguyên sơ, nếu Q ≠ M và nếu đối với một a ∈ A đã cho bất kỳ đồng cấu:

a M/Q : M / Q → M / Q

x + Q ax +Q

hoặc là đơn cấu hoặc là luỹ linh

1.1.2 Định nghĩa.( Xem A nh một môđun trên chính nó ).Cho q là một Iđêan

của A q đợc gọi là iđêal nguyên sơ khi và chỉ khi nó thoả mãn điều kiện sau

đây:

Nếu ∀a, b ∈ A, ab ∈ q và a ∉ q thì b n ∈ q với n ≥ 1 nào đó

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho vành số nguyên Z, Z là Z – môđun và Q = nZ (n >1) là môđun

con của Z Khi đó Q là môđun con nguyên sơ.

Thật vậy ta có : Q ≠ Z Với một a bất kỳ thuộc Z, đồng cấu a M/Q là đơn cấu

Vậy Q là môđun con nguyên sơ

1.2 Các tính chất của môđun nguyên sơ.

1.2.1 Mệnh đề Cho M là môđun Giả sử Q là mđun con nguyên sơ và P là

iđêan gồm tất cả các phần tử a ∈ A mà a M/Q luỹ linh Khi đó P là iđêan nguyên tố.

Chứng minh Thật vậy, ta giả thiết rằng a, b ∈ A , ab ∈ P và a ∉ P

Do Q là môđun con nguyên sơ nên aM/Q đơn cấu và do đó n

Q M

a / đơn cấu với mọi n ≥ 1

Mặt khác, từ tích luỹ linh của (ab)M/Q bây giờ ta suy ra rằng bM/Q phải luỹ linh và do đó b ∈ P Theo định nghĩa iđêan nguyên tố suy ra P là iđêan

x∈ , x∉Q jvới một j nào đó Khi đó a n x∉Q j đối với mọi n dơng và do đó

a M/Q là đơn cấu Điều đó chứng minh mệnh đề

Đ 2 Sự phân tích môđun nguyên sơ

2.1 Định nghĩa sự phân tích môđun nguyên sơ

2.1.1 Định nghĩa Giả sử N là môđun con của M Nếu N biểu diễn đợc dới

dạng một giao hữu hạn của các môđun con nguyên sơ, chẳng hạn:

N = Q1∩ ∩Q r

thì ta sẽ gọi sự biểu diễn đó là sự phân tích nguyên sơ của môđun con N

2.1.2 Nhận xét Dùng định lý 1.2.2., ta thấy rằng bằng cách nhóm các Q i lại theo các iđêan nguyên tố của chúng, ta luôn luôn có thể từ sự phân tích nguyên sơ đã cho thu đợc một sự phân tích khác, trong đó các iđêan nguyên

tố tơng ứng với các môđun con nguyên sơ đều khác nhau cả

2.1.3 Định nghĩa Sự phân tích nguyên sơ của môđun con N, trong đó các

iđêan nguyên tố p , ,1 p r tơng ứng với Q , ,1 Q r đều khác nhau và N không thể biểu diễn đợc dới dạng giao của một họ con thực sự các môđun con nguyên sơ {Q , ,1 Q r}, sẽ đợc gọi là sự phân tích tối giản

2.1.4 Nhận xét Bằng cách bỏ bớt một số trong các môđun nguyên sơ tham

gia trong sự phân tích đã cho, ta thấy rằng nếu môđun con N có một sự phân tích nguyên sơ nào đó thì nó có một sự phân tích tối giản

2.1.5 Định nghĩa Giả sử N = Q1∩ ∩Q r là một sự phân tích nguyên sơ tối giản và p i tơng ứng với Q i Nếu p i không chứa một p j nào cả (j≠i), thì ta bảo rằng p i cô lập Nh vậy các iđêan nguyên tố cô lập là các iđêan nguyên tố tơng ứng với các môđun nguyên sơ p i