ĐỊNH HƯỚNG CHO học SINH lớp 12 THPT GIẢI NHANH một số DẠNG bài tập TRĂC NGHIỆM về MÔĐUN của số PHỨC ở mức độ vận DỤNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRĂC NGHIỆM VỀ MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRĂC NGHIỆM VỀ MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Người thực hiện: Phạm Văn Quí Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019

MỤC LỤC Trang

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 32.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

2.3.1 Phương pháp giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm lấy

2.3.2 Phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm chuẩn hóa số

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 13

Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp

loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp

loại từ C trở lên

18

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Số phức là bài toán thường xuyên xuất hiện ở kỳ thi THPT Quốc Gia, đặcbiệt từ khi môn toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia chuyển sang hình thức thi trắcnghiệm khách quan thì số phức trong đề thi trắc nghiệm chiếm tỉ trọng khôngnhỏ và càng đa dạng hơn kể cả về dạng toán cũng như mức độ nhận thức, vì vậy

nó luôn được sự quan tâm đặc biệt của học sinh cũng như giáo viên Hơn nữachương trình SGK và nội dung thi tốt nghiệp cũng như thi tuyển sinh đại họctrước đây thì các dạng toán về số phức được đưa ra rất căn bản, đa phần chỉ ởmức độ nhận biết, hoặc thông hiểu Các câu hỏi mang tính vận dụng gần nhưkhông xuất hiện Nhưng thực tế trong đề thi THPT Quốc gia những năm gần đâythì thường xuyên xuất hiện các câu hỏi số phức ở mức độ vận dụng, điều đó làmcho không chỉ học sinh mà giáo viên cũng gặp khó khăn trong việc tìm tòi lờigiải Mặt khác với hình thức thì trắc nghiệm thì không những áp lực về kiến thức

mà áp lực về thời gian cũng rất lớn Chính vì vậy định hướng được cách suyluận lôgic và cách giải bài toán để tìm đáp án đúng rất quan trọng trong khi làmbài thi Bên cạnh đó, các tài liệu tham khảo cho những dạng toán trên hầu nhưchưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bài toán đơn lẻ và trong các đề thi thử

Do đó việc tổng hợp và đưa ra phương pháp giải nhanh các dạng toán trên là rấtcần thiết cho học sinh trong quá trình ôn thi THPT quốc gia Xuất phát từ thực tếtrên, với một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài

liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải

nhanh một số dạng bài tập trắc nghiệm về môđun của số phức ở mức độ vận dụng” nhằm giúp các em hiểu và có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập để đạt

kết quả tốt nhất trong các kì thi

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua việc nghiên cứu các bài toán giúp học sinh hiểu, định hướngđược cách làm bài tập, biết vận dụng lý thuyết để giải quyết một số bài toán vềmôđun số phức ở mức độ vận dụng một cách chính xác và nhanh chóng Từ đókích thích khả năng tư duy, sự ham hiểu biết và yêu thích môn học của học sinh

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Kiến thức chương Số phức trong chương trình toán THPT

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán trắc nghiệmlấy môđun hai vế của đẳng thức số phức

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm chuẩnhóa số phức

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

số i thỏa mãn i 2 1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z a bi 

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần

Số phức liên hợp của z a bi  a b  là a bi,   và được kí hiệu bởi z

'

z

z của phép chia số phức z' cho số phức z khác 0 là tích của z'

với số phức nghịch đảo của z , tức là:

1'

'

z

z z z

0

z z

z

+ z z ' z  z'  3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Đối với giáo viên

- Trước đây số phức trong chương trình thi THPT quốc gia (từ năm 2009đến 2016) chỉ là một bài áp dụng định nghĩa hoặc tính chất và đặc biệt là các emhọc sinh có thể kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay

- Hiện tại với đề THPT Quốc Gia bằng hình thức trắc nghiệm khách quancủa bộ giáo dục Thông qua các đề minh họa của Bộ đưa ra và các đề thi thử củacác sở, các trường, các câu hỏi trong phần số phức đã xuất hiện nhiều hơn, rộnghơn Đặc biệt những câu khó, hoặc “lạ” (mức độ vận dụng) mà trước đây chưaxuất hiện thì nay xuất hiện tương đối nhiều Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệunghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn tham khảo của giáo viên còn hạn chế

- Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu những dạng toán mới,

vì vậy chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinhgiải những bài toán tích phân ở mức độ vận dụng

2.2.2 Đối với học sinh

- Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn vềkinh tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các

em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình

- Với lớp bài toán vận dụng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận

và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ýthức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bàitoán

- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít

- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bàitoán mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa

- Học sinh còn lúng túng vì các dạng bài toán số phức ở mức độ vận dụngcác em chưa được tiếp xúc nhiều, cũng như chưa được định hướng phương phápđúng đắn nên chưa có nhiều kĩ năng giải loại bài tập này

Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toánmôđun số phức ở mức độ vận dụng bằng cách “ định hướng” cho học sinh cáchgiải một số bài tập môđun số phức một cách “chính xác” và “nhanh chóng”,giúp các em phát triển tư duy và kích thích sự ham học tập của các em

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Phương pháp giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm lấy môđun hai vế của đẳng thức số phức

Bài 1: (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:

 4  2 5 

z z  i  i  i z

[4]

* Phân tích: Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường gọi số phức

dưới dạng z a bi  và đưa về giải hệ phương trình tìm a b, Tuy nhiên với bài toán này nếu làm theo lối mòn đó ta sẽ gặp hệ phương trình phức tạp và tương đối khó khăn khi tìm a b,

Mặt khác ta đã biết z là số thực không âm và một tính chất rất “mạnh” của

môđun số phức đó là

' ' ;

' '

z z

Nếu biết kết hợp khéo léo với định

nghĩa “Hai số phức z a bi  a b  và ' ' ',  z  a b i a b   gọi là bằng ', ' 

nhau nếu: a a và ' b b ” thì ta sẽ có hướng giải bài toán nhanh chóng và triệt 'để

* Giải:

Ta có: z z  4 i2i5 i z  z z  4 z  z i 2i5 i z

8,95; 0,69

0,64 ( ì 0)

z z

Với z 8,95 thay vào đề bài ta tìm được 1 giá trị z

Với z 0,69 thay vào đề bài ta tìm được 1 giá trị z

Vậy có 3 giá trị z thỏa mãn bài toán

 Chọn C

* Nhận xét:

1) Vì bài toán chỉ yêu cầu đếm số giá trị z nên ta chỉ cần đếm số nghiệm không

âm z sau đó suy ra số giá trị z thỏa mãn đề bài (vì mỗi z cho ta một giá trị của z )

2) Thực tế giải các bài toán như trên ta có thể đi đến quy trình sau:

+ Từ giả thiết ta chuyển về phương trình dạng: một vế chứa z và một vế không chứa z

+ Đặt z làm nhân tử chung và viết phần còn lại dưới dạng số phức dạng đại số

+ Từ z tìm được thay vào giả thiết ban đầu tìm z (hoặc đếm số giá trị của z )

Bài 2: (Đề minh họa lần 2 thi THPT Quốc Gia năm 2017) Xét số phức z thỏa

z 

D

2  z  2

* Phân tích: Một điều khá thú vị là đề bài không hỏi giá trị của z (Nếu đưa ra

z thì ta có thể thay vào đề thử) mà hỏi thông qua đặc điểm của z vì vậy đòi

hỏi học sinh phải nắm được phương pháp giải toán chứ không thể dựa hoàn toànvào máy tính Casio

Với các bước giải như Bài 1 ta có thể giải bài toán như sau:

* Nhận xét: Ta thấy với phương pháp Môđun hóa hai vế thì bài toán trở nên

đơn giản, dễ hiểu và cũng không tốn nhiều thời gian khi làm bài thi trắc nghiệm

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z 4 1 i z  4 3 z i Mệnh đề nào sauđây đúng:

* Phân tích: Với định hướng như hai bài ở trên ta dễ dàng đưa về giả thiết về

dạng z1z2, sau đó lấy môđun hai vế

Bài 4: (Đề thi thử trường THPT Chuyên Long An năm 2018) Cho số phức

* Phân tích: Đây là bài toán quỹ tích điểm biểu diễn số phức w Sẽ không có

gì phải băn khoăn nếu ta rút z theo w rồi thay vào giả thiết như các bài toán cơ bản mà giả thiết chỉ cho môđun z Tuy nhiên giả thiết bài toán lại cho biểu thức của z và z vì vậy nếu vẫn tư duy như các bài toán quỹ tích thông thường thì sẽ

gặp khó khăn khi giải bài này Mặc dù vậy với giả thiết như trên ta hoàn toàn có

thể tìm được z và đưa bài toán về dạng quen thuộc

* Nhận xét: Bài toán này tác giả không có ý nói về quỹ tích điểm biểu diễn số

phức, tuy nhiên với bài toán quỹ tích điểm biểu diễn số phức như vậy nếu không

tìm được z thì sẽ rất khó khăn Mà để tìm được z thì ta lại sử dụng phương

pháp “Môđun hóa hai vế của biểu thức” để đưa bài toán về dạng quen thuộc khi

Nếu so sánh hai cách trên ta thấy với phương pháp “Môđun hóa hai vế của

biểu thức” ta tìm được z nên bài toán được giải quyết triệt để Còn ở cách 2

giải theo cách thuần túy bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức thì chỉ tìmđược tâm đường tròn là chính xác, còn bán kính thì chỉ dự đoán Tuy nhiên đây

là bài toán trắc nghiệm với 4 phương án như trên thì cách làm đó vẫn tìm đượcđáp án đúng, nhưng nếu hướng dẫn cho học sinh giải mà làm theo cách 2 thì có

* Nhận xét chung: Qua bốn bài tập nhỏ trên ta thấy:

Lấy môđun hai vế của một biểu thức số phức thực ra là việc sử dụng phép kéotheo của hai số phức bằng nhau z1z2  z1 z2 Do đó ta chỉ thực hiện khigiả thiết của bài toán được đưa về các dạng chuẩn sau:

z z z z z z

và ' ' ;

' '

z z

2.3.2 Phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm chuẩn hóa số phức

Bài 1: (Đề khảo sát chất lượng lớp 12 năm 2019 của Sở GD & ĐT Thanh Hóa)

Gọi z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z 1 2i  và 5 z1 z2  Tìm8môđun của số phức w z 1 z2  2 4 i

z  z  ) nhưng 4 ẩn (a a b b, ', , '), về nguyên tắc là không giải được nghiệm

cụ thể Như vậy ta biết được có rất nhiều số phức thỏa mãn giả thiết nhưng môđun của số phức w z 1 z2  2 4 i sẽ là không đổi Chính vì vậy ta chỉ cần tìm hai số phức z z1, 2 thỏa mãn giả thiết bài toán sau đó tính w và suy ra w là giải quyết xong bài toán

Vấn đề ở chỗ ta chọn z2 như thế nào để ta tính được z1 là số “đẹp” , từ đó ta

tính được z1z2  2 4 i

Ta có z2  1 2i  nên ta chọn 5 z2  1 3i, sau đó sử dụng máy tính cầm tay

ta sẽ tìm được z1 nhanh chóng từ đó chọn được đáp án đúng Cụ thể như sau:

y x

* Nhận xét: Phương pháp tư duy để giải bài toán trên rất đơn giản dễ hiểu với

học sinh, đặc biệt gọi số phức ở dạng đại số học sinh rất quen thuộc, hơn nữa ta tận dụng được máy tính cầm tay nên tính toán rất nhanh

Ta cũng có thể giải bài toán bằng cách biểu diễn hình học số phức như

hướng dẫn giải của Sở GD & ĐT Thanh Hóa, tuy nhiên cách biểu diễn hình học đòi hỏi học sinh có tư duy tổng hợp, liên hệ kiến thức hình học tọa độ Oxy khá nhạy bén

Ở đây tác giả không đề cập đến cách làm nào tối ưu hơn, mà chỉ đưa ra một cách làm khác cho học sinh có thể lựa chọn phù hợp với mình đồng thời làm chobài toán hấp dẫn hơn mà thôi

* So sánh cách giải khác (Hướng dẫn giải của Sở GD & ĐT Thanh Hóa)

Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1, B là điểm biểu diễn của số phức z2.Theo giả thiết z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z 1 2i  nên A và5

B thuộc đường tròn tâm I1; 2  bán kính r  5

Mặt khác z1 z2  8 AB 8

Gọi M là trung điểm của AB suy ra M là điểm biểu diễn của số phức

1 22

z z

và IM  3

* Phân tích: Nếu như ở bài 1 đề bài yêu cầu tính môđun của số phức có liên

quan đến z1z2 ta có thể liên hệ đến trung điểm của MN với M N, là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z z1, 2 Tuy nhiên ở bài này đề bài yêu cầu tính môđun z12z2 mà ta định hướng giải toán bẳng cách biểu diễn hình học như bài 1 thì có vẻ như hơi khó khăn trong việc tìm mối liên hệ giữa giả thiết và yêu cầu bài toán

Từ giả thiết bài toán, về mặt đại số ta thấy bài toán cho 3 phương trình là:

z  z lại là số không đổi Vì vậy ta chỉ cần tìm hai số z z1; 2thỏa mãn giả thiết

là ta sẽ tìm được phương án đúng Đây cũng chính là ý tưởng mà tác giả muốn trình bày ở dạng toán “chuẩn hóa số phức”

Bài 3: Cho các số phức z1 0, z2 0 thỏa mãn: z1 z2 z1 z2 Tính giá trị biểu thức

22

31

2

x x

* Nhận xét: Với những bài toán dạng như trên nếu biết cách “chuẩn hóa” z1hoặc z2 thì bài toán được giải quyết rất nhanh Ngược lại nếu vẫn tư duy “lối mòn” đi tìm tất cả z1, z2 thì có lẽ rất tốn thời gian và công sức đồng thời xem

những bài toán như vậy là rất khó khăn và gây chán nản khi làm những bài thi

về số phức trong các đề thi THPT Quốc Gia

Bài 4: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 z2  1 Khi đó

* Tuy nhiên đây là bài toán trắc nghiệm nên ta chỉ cần làm như thế nào để tìm ra

đáp án đúng một cách nhanh nhất là được Với ý tưởng “chuẩn hóa” như các bàitrên thì ta sẽ chọn z z1 , 2 thỏa mãn giả thiết bài toán là được

- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức liên quan phần Sốphức, đặc biệt là những bài toán về Môđun của số phức ở mức độ vận dụng,giúp tôi có những kiến thức mới và kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy chocác em Từ đó định hướng cho các em cách phát hiện và tư duy trong việc giảicác bài toán ở mức độ vận dụng.

- Với các đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ này như một tài liệu để thamkhảo và hướng dẫn cho học sinh khi giải các bài toán về Môđun của Số phức ởmức độ vận dụng

- Đối với học sinh sau khi được áp dụng cách tiếp cận mới trong việc giải toángiúp học sinh phát triển tư duy hơn Học sinh có khả năng định hướng đượccách làm với những dạng bài tập khó khác Học sinh tự tin hơn trong quá trìnhlàm bài, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học tập Việc làm các bài tập

về Số phức nói chung và Môđun của Số phức ở mức độ vận dụng của các em trởnên nhanh chóng và chính xác Cụ thể, tôi cho các em một số bài kiểm tra phầnMôđun của số phức trong từng quá trình trước và sau khi áp dụng phương phápgiải mới bài tập số phức, kết quả như sau:

Bài kiểm tra số 1: ( Trước khi áp dụng sáng kiến)

Kết quả:

Lớp Sĩ số Đúng 0 câu Đúng 1 câu Đúng 2 câu Đúng 3 câu

SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ12A2 41 11 26.8% 25 61 % 5 12.2 % 0 0 %

Bài kiểm tra số 2: ( Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm)

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn: z3 4 i z  4 3 i  5 2 0 Tính z

So sánh kết quả thu được từ hai bảng ta thấy sau khi áp dụng phương phápgiải nhanh thì học sinh làm bài tốt hơn và khả năng tư duy phát triển hơn Điểnhình là có những câu khó dạng mới gặp các em vẫn làm tốt

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Qua việc vận dụng đề tài đã nghiên cứu vào trong quá trình giảng dạy vàhọc tập của học sinh đã thu đươc những kết quả tích cực như bảng số liệu đãphân tích Đề tài đã giúp cho giáo viên rất nhiều trong việc truyền đạt tư tưởng,phương pháp và kiến thức cho học sinh Bản thân học sinh khi được giảng dạythông qua đề tài đã giúp các em phát triển được tư duy, biết định hướng để giảimột bài toán Khơi dậy ở các em niềm thích thú, sự ham học hỏi và đặc biệt giúpcác em đạt hiệu quả cao nhất khi làm bài tập cũng như thi THPT quốc gia

Việc áp dụng đề tài không chỉ dừng lại ở một số bài toán Môđun số phức

ở mức độ vận dụng, mà còn có thể mở rộng hơn nữa ở nhiều dạng toán khác.Bản thân đề tài là động lực cho mỗi giáo viên và học sinh tìm tòi phát triển hơn