vành euclide và ứng dụng vành euclide

Nói đến vành Euclide thì phép toán đặc trưng là phép chia, ứng dụng của vành Euclide là tìm ước chung lớn nhất của hai số, vành Euclide sinh ra ideal tối đại,…... Đặc biệt, thuật toán E

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

MSSV: 1110088 Lớp: SP Toán – Tin K37

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, em đã trang bị đầy đủ những kiến thức cần thiết và

sự giúp đỡ của quý thầy, cô trong bộ môn đã giúp đỡ em hoàn thành luận văn này Đặc biệt, em xin chân thành gởi lời cám ơn sâu sắc đến Cô Lê Phương Thảo, Cô

đã giúp đỡ rất nhiệt tình và tận tình, để em có thể hoàn thành tốt luận văn này

Và em cũng gởi lời cám ơn đến các bạn trong thời gian làm luận văn đã ủng hộ tình thần và giúp đỡ em hoàn thành luận văn Gia đình cũng đã ủng hộ, động viên Tuy nhiên, đã được Cô hướng dẫn tận tình và em đã cố gắng rất nhiều, nhưng do kiến thức vẫn còn hạn chế nên luận văn không tránh được những sơ sót Mong quý thầy, cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn!

Em xin chân thành cám ơn!

Cần Thơ, ngày tháng năm 2015

Sinh viên Ngô Thuận Dủ

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 6

BẢNG VIẾT TẮT, KÝ HIỆU 8

Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9

1.1 Vành 9

1.1.1 Định nghĩa 9

1.1.2 Tính chất 10

1.1.3 Ví dụ 10

1.2 Vành con 10

1.2.1 Định nghĩa 10

1.2.2 Định lí 1 (Tiêu chuẩn nhận biết một vành con) 11

1.2.3 Ví dụ 11

1.3 Ideal 12

1.3.1 Định nghĩa 12

1.3.2 Định lí 2 12

1.3.3 Ví dụ 13

1.3.4 Ideal sinh bởi một tập hợp – Ideal chính 13

1.4 Miền nguyên 14

1.4.1 Định nghĩa 14

1.4.2 Ví dụ 14

1.5 Trường 14

1.5.1 Định nghĩa 14

1.5.2 Ví dụ 14

1.5.3 Trường con 14

1.6 Bài tập 15

Chương 2 VÀNH ĐA THỨC - VÀNH EUCLIDE 22

2.1.2 Tính chất 22

2.1.3 Ví dụ 23

2.2 Vành chính 24

2.2.1 Các khái niệm 24

2.2.2 Định nghĩa 24

2.2.3 Mệnh đề 1 24

2.3 Vành đa thức 25

2.3.1 Định nghĩa 25

2.3.2 Định lí 4 27

2.3.3 Định lí 5 (Thuật chia Euclide) 27

2.3.4 Đa thức bất khả quy trên miền nguyên 27

2.3.5 Nghiệm của đa thức 28

2.3.6 Tiêu chuẩn Eisenstein 29

2.3.7 Phương trình bậc 3 30

2.4 Vành Euclide 31

2.4.1 Định nghĩa 31

2.4.2 Định lí 7 33

2.4.3 Bổ đề 1 33

2.5 Bài tập 33

Chương III ỨNG DỤNG VÀNH EUCLIDE 48

3.1 Bài toán tìm ước chung lớn nhất 48

3.1.1 Bổ đề 2 48

3.1.2 Thuật toán Euclide 48

3.1.3 Phép chia Euclide 50

3.1.4 Mối liên hệ giữa bội chung nhỏ nhất (BCNN) và ƯCLN 53

3.1.5 Bài tập 54

3.2 Bài toán phương trình Diophante ax + by = c 64

3.2.1 Điều kiện có nghiệm của phương trình Diophante 64

3.2.2 Liên phân số và giản phân 64

3.2.4 Bài tập 70

3.3 Bài toán phương trình Pell x2 – dy2 = 1 (2) 80

3.3.1 Tập hợp nghiệm của phương trình Pell 80

3.3.2 Giải phương trình Pell bằng liên phân số 83

3.4 Phương trình Pell tổng quát 87

3.4.1 Mệnh đề 2 87

3.4.2 Định nghĩa 88

3.4.3 Thuật toán giải phương trình Pell tổng quát 90

3.4.4 Chú ý 91

3.4.5 Bài tập 93

3.5 Bài toán Fermat 96

3.5.1 Giới thiệu phương trình n n  n x y z 96

3.5.2 Phương trình Pythagore 97

3.5.3 Chứng minh định lí Fermat với n = 4 99

3.5.4 Chứng minh định lí với n = 3 102

3.5.5 Chứng minh bổ đề Euler 106

3.5.6 Bài tập 111

3.6 Vành Euclide sinh ra ideal tối đại 114

KẾT LUẬN 120

TÀI LIỆU THAM KHẢO 121

PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong suốt quá trình học tập tại Trường Đại học Cần Thơ, môn học “Lý thuyết Vành và Trường” là môn học làm em thích thú và nghiên cứu sâu Các kiến thức mới lạ và ứng dụng của nó đã làm em thấy thú vị khi tiếp cận môn học này Phần nhỏ của môn học đó mà em cảm thấy bị cuốn hút là vành Euclide Khi nói đến vành Euclide thì nó có các tính chất mới lạ và ứng dụng đã làm em say mê khi nghiên cứu về nó Với cách học theo chế độ tín chỉ hiện nay thì việc nghiên cứu của sinh viên là quan trọng, tự mình tìm ra nhiều điều thú vị từ môn học và đó là lý do em

chọn đề tài “VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG VÀNH EUCLIDE” Nói đến

vành Euclide thì phép toán đặc trưng là phép chia, ứng dụng của vành Euclide là tìm ước chung lớn nhất của hai số, vành Euclide sinh ra ideal tối đại,…

Đặc biệt, thuật toán Euclide là một thuật toán để xác định ước chung lớn nhất

(GCD – Greatest Common Divisor) của hai phần tử thuộc vành Euclide Điều quan trọng chủ yếu là nó không yêu cầu việc phân tích thành thừa số nguyên tố của số nguyên và nó cũng mang ý nghĩa lớn vì nó là một trong những thuật toán cổ nhất được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại

II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là các bài toán về vành, vành con, miền nguyên, trường, ideal tối đại, ideal nguyên tố, các bài toán về ứng dụng của vành Euclide như: tìm ước chung lớn nhất, phương trình Diophante, bài toán Fermat,…

III MỤC ĐÍCH VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Nhằm tìm hiểu về vành, các vành đặc biệt và trong đó có vành Euclide Hiểu thêm ứng dụng của vành Euclide trong các bài toán và có thêm các kỹ thuật giải toán

Nội dung nghiên cứu gồm:

- Chương I Kiến thức chuẩn bị: Hệ thống lý thuyết và các bài tập về vành, miền nguyên và trường

- Chương II Vành đa thứ - vành Euclide: Tổng hợp lý thuyết và bài tập, đặc

- Chương III Ứng dụng vành Euclide: Các bài tập ứng dụng vành Euclide

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Sưu tầm các tài liệu, tổng hợp lại các lý thuyết và bài tập cho từng chương Trên

cơ sở đó, phân tích các bài toán và đưa ra các bài tập tương tự Cuối cùng là lời giải chi tiết các bài tập minh họa

V CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

- Nhận đề tài, tìm tài liệu liên quan

- Nghiên cứu các tài liệu

- Lập đề cương chi tiết

- Xin ý kiến của giảng viên hướng dẫn

- Thực hiện đề tài

- Trình bày luận văn

<a> hay (a) Ideal chính sinh bởi phần tử a

deg ( )f x Bậc của f(x)

Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Vành

1.1.1 Định nghĩa

Một tập hợp X gọi là vành nếu trên X có xác định hai phép toán hai ngôi gồm

phép cộng (+) và phép nhân (•), thỏa mãn các điều kiện sau:

V 1: Tập hợp X là một nhóm giao hoán (nhóm Aben) đối với phép toán cộng

V 2: Tập hợp X là nửa nhóm đối với phép toán nhân

V 3: Phép toán nhân phân phối đối với phép toán cộng

Để hiểu rõ hơn, tập hợp X là vành nếu nó được trang bị hai phép toán hai ngôi trên X là theo lối cộng và theo lối nhân, thỏa mãn các điều kiện sau:

V 3 Phép toán nhân phân phối đối với phép toán cộng

Phân phối trái: x y(  z) xyxz

Phân phối phải: yz x  yxzx

Lưu ý:

Nhóm (X, +) là nhóm cộng của vành X Trong đó, phần tử trung lập (hay là phần

tử không) kí hiệu là 0 Phần tử đối xứng của phần tử xX gọi là phần đối của x, kí hiệu là – x

Nếu phép nhân trên X có tính chất giao hoán thì vành X gọi là vành giao hoán.

Nếu phép nhân có phần tử đơn vị (kí hiệu e hay 1) thì vành X gọi là vành có đơn vị

thực Khi đó với hai phép toán cộng và phép toán nhân các ma trận, M n( , )

là một vành có đơn vị, không giao hoán nếu n1 Tương tự, ta có các vành: ( , ); ( , ); ( , )

1.2.2 Định lí 1 (Tiêu chuẩn nhận biết một vành con)

Giả sử A là một tập con khác rỗng của vành X, khi đó các điều kiện sau là tương

Từ đó suy ra: k là vành con của

Ví dụ 3 Chứng minh rằng:   2  ab 2 ,a b  với phép toán cộng và nhân các số lập thành một vành giao hoán, có đơn vị của vành các số thực

Giải

Thật vậy: Hiển nhiên  2 

(1) Vành con A của X gọi là ideal trái của X nếu xa  A, x X và  a A

(2) Vành con A của X gọi là ideal phải của X nếu ax  A, x X và  a A

(3) Vành con A của X gọi là ideal của X nếu A vừa là ideal trái và là ideal phải của X

Đối với vành giao hoán, các khái niệm ideal trái, ideal phải và ideal là trùng nhau

Chú ý: Giả sử X là vành có đơn vị và A là ideal của X chứa đơn vị của X Khi

(2) Tâm C X( ) của vành X là một vành con của vành X nhưng không là ideal của vành X

Ví dụ 2 Cho X là vành giao hoán, có đơn vị và aX Chứng minh rằng:

Vậy A là ideal của vành X 

1.3.4 Ideal sinh bởi một tập hợp – Ideal chính

(1) Giả sử S X là một bộ phận con của vành X Ta để ý đến họ những ideal của vành X mà có chứa tập S Họ này khác rỗng vì ít nhất cũng có một ideal chứa S

là ideal tầm thường X

Gọi A là giao tất cả các ideal của vành X có chứa tập S Ta có A là ideal của vành

X và đó chính là ideal nhỏ nhất của vành X có chứa tập S Ta gọi ideal A là ideal sinh bởi tập S

Nếu S a a a1, 2, 3, ,a n thì ideal A được gọi là ideal sinh ra bởi các phần tử

1, 2, 3, , n

a a a a

(2) Nếu bộ phận S chỉ gồm một phần tử a thì ideal sinh bởi phần tử a được gọi

là ideal chính Kí hiệu a hay  a

1.4 Miền nguyên

1.4.1 Định nghĩa

(1) Giả sử X là một vành, phần tử a0 của X gọi là ước của không, nếu tồn tại

phần tử b0của X sao cho ab=0 hoặc ba=0

(2) Một vành X được gọi là một miền nguyên nếu X là vành giao hoán, có đơn

vị, có nhiều hơn một phần tử và không có ước của không

1.4.2 Ví dụ

(1) Vành các số nguyên , số hữu tỷ là miền nguyên

(2) Vành n

n

 là một miền nguyên khi và chỉ khi n là một số nguyên tố

(3) Vành M n( , ) không phải là một miền nguyên nếu n>1

1.5 Trường

1.5.1 Định nghĩa

Một tập hợp X được gọi là một trường nếu X là một vành giao hoán, có đơn vị,

có nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch

Nói rõ hơn thì một tập hợp X là một trường nếu trên X có xác định hai phép toán

cộng và nhân thỏa mãn các điều kiện sau:

T 1 : X là một nhóm Aben đối với phép cộng

T 2 : X  0 là một nhóm Aben đối với phép nhân

T 3 : Phép nhân phân phối đối với phép cộng

1.5.2 Ví dụ

(1) Mỗi vành , , đều là một trường

(2) Vành n các số nguyên mod n là một trường khi và chỉ khi n là một số

nguyên tố

1.5.3 Trường con

a Định nghĩa

Giả sử X là một trường Tập con A khác rỗng được gọi là trường con của X nếu

A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một

trường

b Định lí 3 (Tiêu chuẩn nhận biết một trường con)

Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của một trường X Khi đó các

điều kiện sau là tương đương:

(1) A là một trường con của X

(1) Giả sử X là một trường Khi đó X là một trường con của chính nó

(2) Trường số hữu tỷ là trường con của trường số thực

1.6 Bài tập

BÀI TẬP 1 Chứng minh rằng tập ( )i abi a b,   với hai phép toán cộng

và phép toán nhân lập thành một vành giao hoán, có đơn vị

Suy ra A là một vành con của vành X

BÀI TẬP 4 Cho X là vành Tập con của X là C X( )aX axxa, x X gọi

Suy ra a b C X ,abC X  Vậy C x là vành con của X, hiển nhiên  

 

C X là vành giao hoán

b Gọi I là ma trận đơn vị cấp n, với mọi n a thì aI nC X 

Ngược lại, giả sử A là tâm của vành X Gọi T là ma trận có các phần tử trên ij

đường chéo chính và ở vị trí  i j, 1, còn các vị trí khác đều bằng 0

Vậy X là vành con của vành M2( ) các ma trận vuông cấp hai

BÀI TẬP 6 Cho X là một vành tùy ý, n là số tự nhiên cho trước Chứng minh rằng

tập AxX nx0 là một ideal của vành X

Giải

Với mọi a b, A; ta có: 0

0

na nb

Vậy tậpA là một ideal của vành X

BÀI TẬP 7 Giả sử B và A là một ideal của một vành X và AB Chứng minh rằng tập B AxA xB X A là một ideal của vành X A

Giải

Hiển nhiên  B A X / A Giả sử x1A x, 2 A B A/ Khi đó x x1, 2B và

do B là ideal của vành X nên x1 x2 B Từ đó ta có,

x1 A  x2A  x1x2 A B A/

Với mọi x A B A x/ ,  A X /A Khi đó xB x, X và do B là ideal của vành X nên xxB Bởi vậy ta có xA x Axx A B A/ , tương tự

xA x AB A/ Vậy B A là một ideal của vành X A

BÀI TẬP 8 Tìm tất cả các ideal của vành 2 2 và 10

Giải

Ta có 2 2 có các ideal là    0,0 , 2 2, 0  2, 2 0

Ta có 10  / 10 Ta biết các ideal của đều có dạng m , m và số thực

m là ước của 10 nên ta có / 10  10, 2 / 10 ,5 / 10 ,10 / 10  0

Vậy S là ideal của vành Y

BÀI TẬP 10 Phần tử a được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho

Suy ra A là một vành con của vành các số thực

Vì trường các số phức là giao hoán, không có ước của 0 nên A cũng là giao

hoán, không có ước của 0 Hơn nữa, đơn vị 1 1 0   3 A Suy ra A là vành giao

hoán, có đơn vị và không có ước của 0

Vậy A là một miền nguyên

Suy ra tập S là vành con của M2 S là một vành

  với ,a b Khi đó tồn tại ma trân CS A C: I2,

mâ trận C là ma trận nghịch đảo của ma trận A

Chương 2 VÀNH ĐA THỨC - VÀNH EUCLIDE

2.1 Ideal nguyên tố và ideal tối đại

2.1.1 Định nghĩa

Giả sử X là một vành giao hoán, có đơn vị:

1 Ideal P của vành X được gọi là ideal nguyên tố nếu P X và x y, X từ

xyP suy ra rằng xP hoặc yP

2 Ideal M của vành X được gọi là ideal tối đại nếu M  X và tồn tại A là ideal của X sao cho M  A X M  A thì AX  1 A

2.1.2 Tính chất

1 Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị Ideal P của X là ideal nguyên tố khi và

chỉ khi vành thương X P là một miền nguyên

Chứng minh

Giả sử P là ideal nguyên tố của X Do P X nên X P0P Với mọi ,

x yX; ta có xPyPxy P 0 Khi và chỉ khi xyPsuy ra xP

hoặc yP hay xy P 0. Do đó X P không có ước của không Vậy X P là một

miền nguyên

Ngược lại, X P là một miền nguyên thì P X Với mọi x y, X thì xyP

khi và chỉ khi xPyPxy    P 0 x P 0 hoặc y P 0 hay xP

hoặc yP.Vậy P là ideal nguyên tố 

2 Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị Ideal M của X là ideal tối đại khi và chỉ khi vành thương X M là một trường

Chứng minh

Giả sử M là ideal tối đại của X Khi đó M  X , nên X M  0 Giả sử

xMX M xM  ta có xM Gọi Ax y y XxX là một ideal sinh bởi xX Vậy AM là một ideal của X thực sự chứa M Vì M là ideal tối đại

nên AM  X , do đó tồn tại yX m, M xy:  m 1 hay xy   1 m M Vậy

xMyM xyM  1 M , tức là x M khả nghịch Do đó X M là một

trường

Ngược lại, giả sử X M là một trường và A là một ideal của X thực sự chứa M

Khi đó M  X và tồn tại xA mà xM, do đó xM 0 Do X M là trường

nên x M có nghịch đảo là yM , tức là xMyMxyM  1 M

Từ đó xy  1 m M hay xy    m 1 A A X Vậy M là ideal tối đại 

3 Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị Khi đó:

i Ideal {0} của X là nguyên tố khi và chỉ khi X là một miền nguyên

ii Ideal {0} của X là tối đại khi và chỉ khi X là một trường

2.1.3 Ví dụ

Xét vành các số nguyên Giả sử M là ideal khác không của , khi đó

M  p là ideal nguyên tố khi và chỉ khi p là số nguyên tố

Chứng minh

Ta có M  p là ideal nguyên tố khác không trong thì p là số nguyên tố

Thật vậy, giả sử pkm với k 1,m p thì kmM Do M là ideal nguyên tố nên kMhoặc mM Mâu thuẫn

Ngược lại, nếu p là một số nguyên tố thì M  p là một ideal nguyên tố

Hiển nhiên M  , giả sử m n,  ; m nM thì m.n chia hết cho p Do đó m chia hết cho p hoặc n chia hết cho p (do p nguyên tố) hay mp hoặc np Vậy M  p là ideal nguyên tố

Như vậy M  p là ideal nguyên tố khác không trong khi và chỉ khi p là số

nguyên tố

Hơn nữa, mỗi ideal nguyên tố khác không p trong là một ideal tối đại Thật vậy, giả sử A p là một ideal của chứa n và An , thì ,

nkp k do p là số nguyên tố và p n nên p= 1 hay A Vậy p là ideal tối đại 

2.2 Vành chính

2.2.1 Các khái niệm

a Định nghĩa

Giả sử X vành giao hoán có đơn vị

Phần tử cX được gọi là phần tử bất khả quy nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i Phần tử c0 và c không khả nghịch

ii Nếu cab với a b, X thì a khả nghịch hoặc b khả nghịch

Phần tử pX được gọi là nguyên tố nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i Phần tử p0 và p không khả nghịch

ii Nếu p ab với | a b, X thì p | a hoặc p | b

b Ví dụ

1 Trong vành , các số nguyên tố (dương và âm) là các phần tử bất khả quy

2 Trong vành  x (vành đa thức trên trường số thực ) các đa thức bậc nhất

hoặc đa thức bậc 2 không có nghiệm thực đều là những phần tử bất khả quy

2.2.2 Định nghĩa

Một miền nguyên X được gọi là một vành chính nếu mọi ideal của X đều là ideal

chính

 Ví dụ Vành các số nguyên là một vành chính Thật vậy, chỉ cần chứng

minh rằng mọi ideal A của đều là ideal chính

Nếu A 0 0 thì A là một ideal chính sinh bởi 0 Nếu A 0 , gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất trong A (số này tồn tại, vì có phần tử x 0 A nên  x A,

trong hai số x và – x có 1 số luôn dương) Giả sử aA , chia a cho n ta được:

i Nếu pX là một phần tử bất khả quy thì  p là ideal tối đại trong X

ii Mọi ideal nguyên tố khác không trong X đều là ideal tối đại

iii Phần tử pX là nguyên tố khi và chỉ khi p là bất khả quy

iv Mọi cặp phần tử khác không a b, X đều có ước chung lớn nhất Nếu d là ƯCLN của a, b thì d as bt s t  , X

P  p vì  p là ideal nguyên tố khác không của X thì p là nguyên tố của X, do

đó p là bất khả quy Vậy p là ideal tối đại (theo i)

iii Ta có mọi phần tử nguyên tố của X đều bất khả quy thì mọi phần tử nguyên

tố đều bất khả quy Ngược lại, nếu pX là bất khả quy thì  p là ideal tối đại,

do đó  p là ideal nguyên tố Vì p0 nên    p  0 , do đó p là phần tử nguyên

tố

iv Tập con Aaxby x y, X là một ideal của vành X (đó chính là ideal của X sinh bởi tập S  a b, ) Vì X là một vành chính nên A d với dA

Rõ ràng a b, A do đó d a d b Vì d| , | Anên tồn tại các phần tử s t, X sao

cho d asbt Giả sử cX c a, | và c b tức là | aca b', cb a b' ', 'X, khi

đó d ca s' cb t' c a s b t '  '  hay c d| Vậy d as bt là ước chung lớn

Giả sử f a a0, , ,1 a n,  và g b b0, , ,1 b n, là các phần tử tùy ý của P Khi đó

Dễ dàng kiểm tra lại rằng P cùng với hai phép toán đó lập nên một vành giao

hoán, có đơn vị là 1,0,0, , phần tử không của vành này là  0,0,0, Ta ký hiệu phần tử đơn vị là 1 và phần tử không là 0

x  với mỗi phần tử aA có thể đồng nhất với dãy

a,0,0, nhờ đơn cấu vành sau:

f x a x  a x a xa

Khi đó cách biểu thị như vậy là duy nhất đôi với mỗi phần tử f A

Nói cách khác: a x n n  a x2 2a x1 a0 b x n n  b x2 2b x b1  0 khi và chỉ khi

i degf x g x   max deg f x ,degg x  .

ii degf x g x      deg f x degg x 

2.3.3 Định lí 5 (Thuật chia Euclide)

Giả sử K là một trường và f(x), g(x) K x , g x( )0 Khi đó tồn tại duy nhất các đa thức q x r x( ), ( )K x  sao cho

f x( ) g x q x( ) ( )r x( ), với deg ( )r x deg ( ).g x

Các đa thức ( )q x và ( ) r x được gọi tương ứng là thương và dư trong phép chia f(x) cho g(x)

2.3.4 Đa thức bất khả quy trên miền nguyên

Nếu D là miền nguyên thì D x cũng là miền nguyên (định lí 1) Đa thức  

f(x)D x khác không và không khả nghịch được gọi là bất khả quy trong D x 

Nói riêng, nếu K là một trường thì các phần tử khả nghịch trong K x chính là  

các phần tử khác không của K Đa thức f(x)K x  khác không và không khả

nghịch là bất khả quy trên K khi và chỉ khi f x g x h x    với

f c a c  a c a ca được gọi là giá trị của f(x) tại c

Nếu f c 0 thì c được gọi là nghiệm của f(x)

n

C b a b cb  a  … b cb a rcb a

Vậy f x  x3 q x  với   4 3 2

q x  x x  x  x r  Đa thức f(x)

chia hết cho x3 nên c 3 là một nghiệm của f(x)

2.3.6 Tiêu chuẩn Eisenstein

2 1 0

n n

f x a x  a x a xa n1 là đa thức với hệ số nguyên và giả

sử tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn các điều kiện sau:

i Hệ số cao nhất a không chia hết cho p n

ii Tất cả các hệ số a n1, , ,a a1 0 đều chia hết cho p

iii Hệ số tự do a không chia hết cho p0 2

Khi đó f(x) là đa thức bất khả quy trong  x

 Ví dụ Dùng tiêu chuẩn Eisenstein chứng minh các đa thức sau bất khả quy

trong  x

a x48x312x26x2

b x4 x3 2x1

Giải

a Xét tiêu chuẩn Eisenstein với số nguyên tố p = 2

Hệ số cao nhất không chia hết cho 2, tất cả các hệ số còn lại đều chia hết cho 2,

hệ số tự do không chia hết cho 2 2 Vậy đa thức đã cho bất khả quy trong  x

b Đa thức đã cho không áp dụng được tiêu chuẩn Eisenstein nên ta phân tích đa thức trên theo y x 1, ta có:

Như vậy mọi phương trình bậc 3 đều có thể đưa về phương trình khuyết dạng (3)

Để giải phương trình (3) , ta đặt y u v thay vào (3), ta có:

027

Ta đặt

1 1 1 2

Vậy y y y là nghiệm của phương trình (3) 1, 2, 3

Người ta thường viết tắt (6) dưới dạng

.2

2.4.2 Định lí 7

Mọi vành Euclide đều là vành chính

Chứng minh

Giả sử X cùng với ánh xạ  : X* là ánh xạ Euclide và A là ideal tùy ý của

X Nếu A 0 thì A là một ideal chính sinh bởi 0 Giả sử A 0 gọi *  

xqa r Vì a x, A nên r  x qaA vì A là ideal của X Nếu r 0 thì

Giả sử X là một vành chính và a, b, q, r là những phần tử của X thỏa mãn đẳng

thức aqb r Khi đó ước chung lớn nhất của a, b là ước chung lớn nhất của b, r

Chứng minh

Gọi A là ideal sinh bởi a, b và B là ideal sinh bởi q, r Khi đó aqb r B, do

đó AB

Mặt khác, r a qb  A r A nên B A

Vậy AB , vì X là một vành chính nên A d với d là ước chung lớn nhất của

a, b (theo mệnh đề iv của mục 2.2.3) Nhưng AB nên d là ước chung của b, r 

2.5 Bài tập

BÀI TẬP 1 Cho A là một vành chính Chứng minh rằng các ideal nguyên tố khác

 0 đều là ideal tối đại của A

Giải

Giả sử I  0 là một ideal nguyên tố của vành chính A Vì A là vành chính nên

 

:

a A I a

   , do I là ideal nguyên tố nên I  A suy ra a không là ước của 1 Vậy

ta cần chứng minh a là phần tử bất khả quy của A

Thật vậy, giả sử auv u v , A khi đó    a  u và    a  v (1)

Vì uv a  a nên từ giả thiết I là ideal nguyên tố suy ra u a hoặc v a

hay    u  a hoặc    v  a (2)

Từ (1) và (2)    u  a hoặc    v  a suy ra u liên kết với a hoặc v liên kết với

a Vậy a không có ước thực sự, do đó a là phần tử bất khả quy của A

BÀI TẬP 2 Cho X là vành Bool với x2   x, x X Chứng minh rằng mọi ideal

nguyên tố của X đều là ideal tối đại

Giải

Gọi P là ideal nguyên tố của X, ta cần chứng minh P là ideal tối đại

Giả sử A là ideal của X sao cho P A Khi đó tồn tại xA x, P Theo giả

thiết X là vành Bool nên   2

x x  x   x P Ta thấy xP nên

BÀI TẬP 3 Trong vành  x cho đa thức    2 2

f x  x x  x

Chứng minh rằng đa thức f(x) chia hết cho 2x1

Giải Cách 1

Suy ra f(x) chia hết cho 1

Do đó đa thức f(x) chia hết cho 2x1 trong  x

BÀI TẬP 4 Tìm đa thức bậc 4 sao cho đa thức đó chia cho đa thức  2

BÀI TẬP 5 Xác định các hệ số a, b, c thuộc tập số thực sao cho đa thức

f x  x  x   a bx  a c Theo đề bài, ta có dư của phép

chia này bằng x nên ta có hệ phương trình sau:

        Theo giả thiết x x1, 2, ,x là nghiệm của n

đa thức f(x) nên theo công thức Viète ta có x1x2  x n  n

Vậy để dấu “=” xảy ra thì x1 x2   x n 1 và đa thức f x   x1 n

BÀI TẬP 7 Cho I là ideal của vành giao hoán, có đơn vị A Chứng minh rằng tập

Vì x22 là đa thức bất khả quy của vành  x do đó 2

có dạng y xq hoặc yxq1 Với y = 2 ta suy ra x là ước của 1 hoặc 2, hoặc 3

do đó  x 9 Kết hợp với nhận xét i, ta có b = 0 và như vậy x a Thế

A B A BM thì tồn tại C sao cho B ACdetBdet detA C, từ đó

ta có detAdetB do detC1 Vậy  A  B

Nếu A B, M B*,  0 detB0 khi đó tồn tại ma trận nghịch đảo

Ánh xạ  thỏa mãn điều kiện của vành Euclide, vậy M là vành Euclide

BÀI TẬP 11 Chứng minh rằng miền nguyên 3

,2

12