Phân hoạch của vành đa thức theo các phần tử liên hợp và ứng dụng trong lý thuyết mã

Phân hoạch của vành đa thức theo các phần tử liên hợp và ứng dụng trong lý thuyết mã

Phân hoạch của vành đa thức theo các phần tử liên hợp

và ứng dụng trong lý thuyết mã

PGS.TS Nguyễn Bình, KS Đặng Hoài Bắc

Khoa Kỹ thuật điện tử 1 Tóm tắt: Mã xyclic cục bộ (XCB) tuy còn non trẻ nhng đã tỏ ra có nhiều u điểm thoả mãn

đ-ợc yêu cầu thực tế của hệ thống truyền tin Trong bài báo này, chúng tôi sẽ đề cập đến một cách phân hoạch mới trên vành đa thức chẵn Z 2 [x]/x 2n +1 (ký hiệu là Z 2n ) đó là phân hoạch theo lớp các phần tử liên hợp và từ đây xây dựng mã XCB cụ thể trên phân hoạch này.

1 Phân hoạch của vành đa thức Z2n theo các phần tử liên hợp

1.1 Các thặng d bậc 2 và các căn bậc 2 của chúng.

Định nghĩa 1.1: Đa thức f(x) đợc gọi là thặng d bậc 2 (quadratic residue - QR) trong Z 2n nếu tồn tại đa thức g(x) sau:

g 2 (x)  f(x) mod x 2n+1 (1.1)

Nh vậy g(x)  Z2n và đợc gọi là căn bậc 2 (Square root - Sqr) của f(x)

Nếu g(x) = ( x ) đợc gọi là căn bậc 2 chính của f(x)

Chẳng hạn nếu: f(x)= 1+ x2 + x4 thì căn bậc 2 chính của nó là: ( x )= 1+ x + x2

Bổ đề 1.1:Đa thức f(x) nằm trong tập các thặng d bậc 2 Q 2n ( f(x)  Q 2n ) khi và chỉ khi f(x) chứa các đơn thức có số mũ chẵn.

Số các thặng d bậc 2 trong Z2n đợc xác định nh sau:

Q2n= 



n

0 i

i n

C = 1 2 3 (n 1) n

     = 2n (1.2)

Ví dụ 1.1: Ta xét vành Z2n với n=3 ta có vành Z6 ( n = 3)

Tập các thặng d bậc hai Q2n trong vành Z6 đợc xác định theo bổ đề 2.1 nh sau:

Q6 ={0, 1, x2, x4, 1+x2, 1+x4, x2+x4, 1+x2+x4} ( có tất cả 23 - tức 2n - phần tử)

Bổ đề 1.2: Các căn bậc 2 của một thặng d bậc 2 đợc xác định theo công thức sau:

sqr[f(x)] = g(x) = (1+x n ) x ( x )

U t

t  















(1.3) Trong đó U là một tập gồm các tổ hợp tuỳ ý các giá trị trong tập s = {0, 1, 2, , n-1}

Do vậy lực lợng của U sẽ bằng:U = 2n -1

Ví dụ 1.2: Trong tập Q6 ở trên ta xét một QR bất kỳ để xác định căn bậc 2, chẳng hạn f(x)=x2

áp dụng công thức (1.3) tính các căn bậc hai ở trên ta có

sqr(x2) = (1+x3) x x

U t

t



















(với f ( x )=x) + khi U= {0, 1, 2} sqr(x2) = (1+x3)( 1+x+x2) + x = 1+x2+x3+x4+x5

+ Tơng tự ta có: khi U = 0,1sqr(x2) = (1+x3)( 1+x) + x = 1+x3+x4

Cứ nh vậy ta sẽ tìm đợc toàn bộ 22n phần tử liên hợp của vành Z6

Nhận xét:

- Trong vành Z2n có 2n thặng d bậc 2, mỗi thặng d bậc 2 có 2n căn bậc 2, vậy có tất cả 22n

căn bậc 2 trong vành, các căn bậc 2 này tạo nên toàn bộ vành Z2n

- Ta sẽ gọi các căn bậc 2 của cùng một thặng d bậc 2 là các phần tử liên hợp (Conjugate

Elements ) tơng ứng với thặng d đó ký hiệu là CEs

1.2 Phân hoạch vành Z 2 [x]/ x 2n +1 theo các phần tử liên hợp

Để khảo sát sự phân hoạch theo các CE trên vành Z2[x]/x2n+1, ta sẽ khảo sát trên vành

cụ thể Z6(n=3) Tập các QR trong vành Z6 là: Q6 ={0, 1, x2, x4, 1+x2, 1+x4, x2+x4, 1+x2+x4}

Sqr(1)

)

Sqr(0)

)

)

+x 4

)

Vành Z 6

Hình 1 Phân hoạch vành Z 6 theo lớp các phần tử liên hợp

Ta thấy rằng, đối với phép cộng  các CEs ở hình 1 sẽ thoả mãn bảng 1 nh sau:

 Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0)

Sqr(1) Sqr(0) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1)

Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(0) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 )

Sqrh(x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 4 )

Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 2 ) Sqr(1) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 )

Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(1) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 4 )

Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(x 4 ) Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(0) Sqr(1) Sqr(x 2 +x 4 )

Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(x 2 ) Sqr(1) Sqr(0) Sqr(1+x 2 +x 4 )

Sqr(0) Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0)

Bảng 1 Phép cộng modulo với các phần tử liên hợp trong vành Z 6

Ta kiểm tra một phép cộng modulo trong bảng trên chẳng hạn: Sqr(1)+Sqr(x4) = Sqr(1+x4)

Ta có: 1+x+x4sqr(1) x5 Sqr(x4)

1+x+x4x5 = 1+x+x4+x5  Sqr(1+x4) ( thoả mãn) Kiểm tra với các tổng khác trong bảng 1, chúng ta thấy chúng đều thỏa mãn do vậy rõ ràng là lớp các phần tử liên hợp tạo nên một nhóm Aben cộng tính

+ Đối với phép nhân, lớp các phần tử liên hợp trong vành Z6 cũng thoả mãn bảng sau:

 Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(1) Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0)

Sqr(x 2 ) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0)

Sqrh(x 4 ) Sqr(x 4 ) Sqr(0) Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0)

Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(0) Sqr(0)

Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(0) Sqr(0)

Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(0)

Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0)

Bảng 2 Phép nhân modulo với các phần tử liên hợp trong vành Z 6

Ta kiểm tra các kết quả trong bảng trên, chẳng hạn nh:

Sqr(1+x2)x Sqr(x4) = Sqr(1+x4) (lu ý Sqr(1+x4) = Sqr((1+x2) x x4))

Xét: (x3+x4)  Sqr(1+x2) và (1+x2+x3)  Sqr(1+x+x2)

Ta có: (x3+x4)x(1+x2+x3) = (x3+x4+x6+x5+x6+x7)mod(x6+1) = x+x3+x4+x5  Sqr(1+x4) Một cách tơng tự nh trên ta có thể kiểm tra toàn bộ các phép nhân giữa các cặp các phần tử liên hợp nh trong bảng 2

Từ kết quả ở bảng 2 ta thấy rằng, các phần tử liên hợp trong vành Z6 tạo nên một nhóm theo phép nhân với phần tử đơn vị là Sqr(1), nhng lu ý sẽ có trờng hợp hai phần tử khác

0 nhng khi thực hiện phép nhân theo mod (x6+1), ta lại nhận đợc kết quả lại bằng 0

Ta có thể lấy ví dụ :

(x+x3)  Sqr(1+x2) (1+x2+x4)  Sqr(1+x2+x4) Khi thực hiện phép nhân: (x+x3) x (1+x2+x4) = (x+x3+x3+x5+x5+x7) mod (x6+1) = x+x = 0 Vậy, các phần tử liên hợp của các thặng d bậc 2 trong vành Z6 tạo nên một nửa nhóm nhân

Nhận xét:

- Lớp các CE của các thặng d bậc 2 trong vành Z6 là một nhóm đầy đủ đối với phép cộng và nửa nhóm đối với phép nhân

- Lớp các CE trong vành Z6 thoả mãn các tiên đề về vành, chúng tạo nên một vành Điều này cũng đúng cho các phần tử liên hợp của mọi vành đa thức Z2n với các n khác nhau

Học viện Công nghệ BCVT

2 Xây dựng mã XCB theo các phân tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt

2.1 Xây dựng mã theo lớp CEs của luỹ đẳng nuốt trên vành Z 10 theo phân hoạch chuẩn

Theo kết quả phần trên ta thấy lớp các phần tử liên hợp trên Z2n luôn có cấu trúc của một vành đại số, dựa vào cấu trúc đại số này ta hoàn toàn có thể xây dựng đợc mã XCB

Trong vành Z [x] xn 1

2  luôn tồn tại 







1 n

0 i

i

0(x ) x

e đợc gọi là luỹ đẳng nuốt Tơng

tự nh vậy, trong vành Z2n, ta cũng xác định đợc một lũy đẳng nuốt là e0( x2)với :









1 n 0 i

i 2 2

e

(2.1) Phép nhân một đa thức bất kỳ với luỹ đẳng nuốt giúp ta kiểm tra đợc tính chẵn lẻ Luỹ đẳng nuốt có những tính chất đặc biệt để xây dựng mã XCB

Trong vành Z2[ x ] x10 1, tức vành Z2n với n = 5 ta thấy rằng có tất cả 32 (2n) thặng

d bậc 2 mỗi thặng d bậc 2 có tất cả 32 (2n) phần tử liên hợp Các thặng d bậc 2 trong vành là các đa thức bao gồm các đơn thức có số mũ chẵn đợc xác định nhờ bổ đề 1.1

Q10 = {0, 1, x 2 , x 4 , x 6 , x 8 , 1+x 2 , 1+x 4 , 1+x 6 , 1+x 8 , x 2 +x 4 , x 2 +x 6 , x 2 +x 8 , x 4 +x 6 , x 4 +x 8 , x 6 +x 8 , 1+x 2 +x 4 , 1+x 2 +x 6 , 1+x 2 +x 8 , 1+x 4 +x 6 , 1+x 4 +x 8 , 1+x 6 +x 8 , x 2 +x 4 +x 6 , x 2 +x 4 +x 8 , x 2 +x 6 +x 8 , x 4 +x 6 +x 8 , 1+x 2 +x 4 +x 6 , 1+x 2 +x 4 +x 8 , 1+x 2 +x 6 +x 8 , 1+x 4 +x 6 +x 8 , x 2 +x 4 +x 6 +x 8 , 1+x 2 +x 4 +x 6 +x 8 }

Các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt e0(x 2 )=1+x 2 +x 4 +x 6 +x 8

Ta xác định CEs của luỹ đẳng nuốt e0(x2)=1+x2+x4+x6+x8 trong tập Q10 trên theo biểu thức:

Sqr(e0(x2)) = (1+xn) 













U t

t

0 ( )

e x

(2.2) Toàn bộ các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt đợc thể hiện ở bảng bên trái, bảng bên phải thể hiện phân hoạch của các luỹ đẳng nuốt trong vành Z10 theo phân hoạch chuẩn (phân hoạch trong đó các phần tử trong một lớp dịch vòng theo các trởng lớp kề)

{1+x+x 2 +x 3 +x 4 ,+x 2 +x 3 +x 4 +x 6 ,1+x 2 +x 4 +x 6 +x 8 ,

1+x 3 +x 4 +x 6 +x 7 , x+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 , x+x 3 +x 4 +x 5 +x 7 ,

x+x 3 +x 5 +x 7 +x 9 , x+x 4 +x 5 +x 7 +x 8 , x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 ,

x 2 +x 4 +x 5 +x 6 +x 8 , x 2 +x 5 +x 6 +x 8 +x 9 , x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 ,

x 3 +x 5 +x 6 +x 7 +x 9 , 1+x 3 +x 6 +x 7 +x 9 , x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 ,

1+x 4 +x 6 +x 7 +x 8 , 1+x+x 4 +x 7 +x 8 , x 5 +x 6 +x 7 +x 8 +x 9 ,

x+x 5 +x 7 +x 8 +x 9 , x+x 2 +x 5 +x 8 +x 9 , 1+x 6 +x 7 +x 8 +x 9 ,

1+x 2 +x 6 +x 8 +x 9 , 1+x 2 +x 3 +x 6 +x 9 , 1+x 2 +x 7 +x 8 +x 9 ,

1+x+x 3 +x 7 +x 9 , 1+x+x 3 +x 4 +x 7 , 1+x+x 2 +x 8 +x 9 ,

1+x+x 2 +x 4 +x 8 , x+x 2 +x 4 +x 5 +x 8 , 1+x+x 2 +x 3 +x 9 ,

x+x 2 +x 3 +x 5 +x 9 , x 2 +x 3 +x 5 +x 6 +x 9 }

1 (01234) (02346) (03467) (02468)

2 (12345) (13457) (14578) (13579)

3 (23456) (24568) (25689)

Phân 4 (34567) (35679) (36790)

hoạch 5 (45678) (46780) (47801)

6 (56789) (57891) (58912)

7 (67890) (68902) (69023)

8 (78901) (79013) (70134)

9 (89012) (80124) (81245)

10 (90123) (91235) (92356)

Bảng 3 Phân hoạch chuẩn của các CE trên vành Z 10

Bổ đề 2.1: Tập tất cả các phần tử liên hợp với luỹ đẳng nuốt e 0 (x 2 ) sẽ tạo ra các mã xyclic cục bộ với các giá trị sau: (n, k, d 0 ) = ( 2 n - 1, n, 2 n-1 )

Đây là mã tối u thoả mãn giới hạn Griesmer nghĩa là độ dài từ mã n thoả mãn:

1 0

0 2

k i i

d n





 

  

 

Nhận xét:

- Để trực giao hóa hệ tổng kiểm tra a ( x )  b ( x )  1  x n, ta có thể chọn trớc giá trị của n dấu thông tin Để thuận tiện, bắt đầu từ đây khi lập mã ta sẽ chọn

0 x

x

xn  n1   n1 )

- Từ toàn bộ các lớp kề, ta có thể xây dựng mã (31, 5) với d0  16

Sau đây, ta sẽ xây dựng mã xyclic cục bộ cụ thể từ các lớp kề C1, C2 và C3 trong bảng 3.1 Các phần tử (5 6 7 8 9) không cần phát vì theo giả định chúng đều bằng 0, nhng để nhận biết chúng khi giải mã phải thêm 0 vào, do đó mã xyclic cục bộ này có chiều dài là 29 Mã này chính là mã (29, 5) với d0 14 đây mã gần tối u (29, 5, 14) với sơ đồ lập mã nh sau:

Hình 2 Sơ đồ mã hoá mã (29,5) theo các lớp kề C 1 , C 2 , C 3

Ta có thể phát bất kỳ từ mã C1 hoặc C2 hoặc C3 tuỳ theo chọn bit Sau 5 nhịp dịch vòng xác

định đợc 5 dấu thông tin từ x0 đến x4 Sau đây là sơ đồ giải mã

Bộ giải mã ngỡng của mã này đợc thể hiện ở hình 3 Tại xung clock thứ nhất, đầu ra của thiết bị giải mã M là x0 Tại xung clock thứ hai, đầu ra của M là x Tại xung clock thứ ba,

đầu ra cuả M là x2 Tại xung clock thứ t, đầu ra là x3 Tại xung clock thứ 5, đầu ra là x4 Ng-ỡng chính của thiết bị giải mã ngNg-ỡng M sẽ là 8 Bộ mã có khả năng sửa đợc 6 bit sai

Lu đồ thuật toán mô phỏng cách lập, giải mã trên đợc thể hiện ở trang tiếp theo

2.2 Xây dựng mã theo lớp CEs của luỹ đẳng nuốt trên vành Z 10 theo phân hoạch cực đại

Trong vành Z2[ x ] x10  1, nhóm nhân với phần tử sinh là phần tử nguyên thuỷ a(x) = 1+x+x2 đợc xác định nh sau: a(x)1xx2  (012)

Học viện Công nghệ BCVT

x0x1x2x3x400000

1

+ +

+ +

C 2

C 3

+

1

3

C C32C33C43C53C63C73C83C93C103 C12C22C32C42C52C62C72C82C92C102 C11C21C13C14C15C16C71C18C19C101

+ +

+ + + + +

+ +

+ + +

+

M=8

OUTPUT

Hình 3 Bộ giải mã mã XCB (29,5) theo phân hoạch chuẩn

A= {ai(x), 1, 30 } = {(012), (024)), (01356), (048), (1245689), (6), (678), (068), (12679), (046), (0124578), (2), (234), (246), (23578), (026), (0134678), (8), (089), (028), (13489), (268), (0234679), (4), (456), (468), (04579), (248), (0235689),(0)}

Sau đây chúng ta sẽ xem xét cách xây dựng mã xyclic cục bộ cụ thể trên một phân hoạch cực đại theo các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt trên vành Z10

Với n  5 , 32 phần tử của luỹ đẳng e0(x2) đợc phân hoạch theo hai lớp kề nh sau:

} 30 , 1 b , b } 29 , 0 i ), x ( a

)

x

(

e

{

B1 0 i   i 

(12359), (03679), (23456), (24568), (02369), (56789), (15789), (23569), (01289), (01248), (25689), (12345), (13457), (12589), (45678), (04678), (12458), (01789), (01374), (14578)}.

)}

13579 ( ), 02468

{(

Ta sẽ sử dụng lớp kề B1 để tạo mã xyclic cục bộ (29, 5) phần tử (5 6 7 8 9) = 0 vì theo giả thiết x5=x6=x7=x8=x9=0

Lu đồ thuật toán và kết quả chơng trình mô phỏng

Lu đồ thuật toán:

Kết quả mô phỏng:

Begin

Đa thức thông tin

có hợp lệ không?

Y

N

Mã hoá và truyền (Send):

- Chọn tr ởng lớp kề của C

1 , C

2 , C 3

- Dịch vòng

- Cộng modulo 2 theo 3.1 Phát từ mã

Tạo nhiễu (Noise)

Nhiễu có hợp lệ không

Nhập đa thức thông tin

N

Hiển thị từ mã

Nhận thông tin (Receive) Receive = Send XOR Noise

Giải mã:

J số tổng kiểm tra đã biết

Y

Cách mã hóa mã 29,5 theo phân hoạch cực đại:

Giả sử ta có đa thức thông tin là I = {1 0 1 0 0}

Bằng cách thay lần lợt đa thức thông tin vào các đa thức trong nhóm nhân xyclic ở trên, và cộng modul 2 kết quả ta sẽ đợc toàn bộ từ mã tơng ứng với đa thức thông tin đó.Ví dụ, đa thức đầu tiên của nhóm nhân là a = (1 + x + x2 + x3 + x4 ), thay tơng ứng đa thức thông tin ở trên vào ta đợc bit đầu tiên của từ mã là:

(1 + x2) = 11 = 0 Thực hiện với tất cả các bit còn lại ta đợc toàn bộ từ mã xyclic theo phân hoạch cực đại tơng ứng với đa thức thông tin trên là:

0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0

Hệ tổng kiểm tra trực giao với 1  x 5 đợc xây dựng từ B 1 là:

22 1

23 6

24 19

Đối với hệ tổng kiểm tra trực giao này, ta có thể chọn x5 x6 x7 x8 x9 0









trờng hợp này, ta có mã xyclic ( 29 , 5 ) với d0  14

Bộ giải mã ngỡng của mã này đợc thể hiện trong hình 4

Học viện Công nghệ BCVT

b 30 b 29 b 28 b 27 b 26 b 25 b 24 b 23 b 22 b 21 b 20 b 19 b 18 b 17 b 16 b 15 b 14 b 13 b 12 b 11 b 10 b 9 b 8 b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1

+ + + + + + + + + +

+

+ +

+

M=8

Hình 4 Bộ giải mã mã (29,5) theo phân hoạch cực đại

Giá trị của b16 bằng zero, giá trị này không đợc truyền đi, nhng nó đợc thêm vào trong quá trình giải mã

Tại xung nhịp clock đầu tiên, đầu ra của thiết bị giải mã ngỡng M là x0 Tại xung clock thứ 22, đầu ra của M là x1 Tại xung clock thứ 43, đầu ra của M là x2 Tại xung clock thứ 64, đầu ra của M là x3 Tại xung clock thứ 85, đầu ra của M là x4.Đây là xung nhịp clock cuối cùng của quá trình giải mã Ngỡng chính của M sẽ là 8 Bộ mã sửa đợc 6 bit sai

Với thuật toán tơng tự ta xây dựng chơng trình mô phỏng bằng MATLAB và có đợc kết quả nh sau:

3 Kết luận

Ta thấy rằng việc xây dựng các mã theo các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt có nhiều u điểm nổi bật nh:

- Các mã tạo ra đều là mã gần tối u thoả mãn các giới hạn Griesmes

- Khả năng tạo ra các bộ mã có cùng tham số là rất lớn Điển hình nh mã (29,5) chúng

ta tạo ra có tới hơn 5400 khả năng

- Các sơ đồ mã hoá và giải mã đều khá đơn giản chỉ cần các bộ cộng modulo 2 và nhân

đa thức thông thờng

- Dựa vào phơng pháp phân hoạch theo các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt ta có thể xây dựng mã trên mọi vành chẵn Z2n, điều mà trớc nay cha đợc đề cập đến

Kết quả của bài báo nếu đợc hoàn thiện về phần cứng có thể đợc sử dụng trong việc truyền tin trong các mạng Lan, Wan với những đặc tính truyền dẫn và sửa sai tốt, linh hoạt trong việc thay đổi bộ mã

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyen Binh, Nguyen Xuan Quynh

"Application of symmetric characteristic of cosets for improving error - correcting

ability of local cyclic codes" Science conference Electronics - Informatics Institute.

Hanoi, 1988

[2] Vũ Việt: Phân hoạch vành đa thức Chuyên đề tiến sĩ, 2001

[3] Nguyen Binh Tran Duc Su, Pham Viet Trung

"Decomposition of polynomial ring according to the classes of conjugate elements".

ATC - 26 Hanoi, 10.2001

[4] Nguyen Binh, Vu Viet, Pham Viet Trung

"Decomposition of polynomial ring and coding with random clock" CAFEO 2000.

Hanoi, 22-24 Nov, 2000

Học viện Công nghệ BCVT