Phân hoạch vành đa thức chẵn thành lớp các phần tử liên hợp và ứng dụng trong lý thuyết mã

Tuy nhiên, thời gian gần đây có nhiều nghiên cứu mới chỉ ra rằng các vành này, với các phương pháp phân tích toán học mới, cụ thể là phân hoạch vành này thành lớp các phần tử liên hợp,

TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG VIỆT

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIEN THONG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

(TOM TAT)

PHAN HOACH VANH DA THUC CHAN

THANH LOP CAC PHAN TU LIEN HOP

VA UNG DUNG TRONG LY THUYET MA

NGANH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ

CAO MINH THANG

NGƯỜI HƯỚNG DÂN KHOA HỌC : GS.TS NGUYÊN BÌNH

HÀ NỘI - 2010

MỤC LỤC

MU TỐ c0 11000110020040205060AE50112E2-SSESEBSSEE-CGSSEEHAIGS1GS3SE280232570.08S2E5/000020943S35/161 02 228 S0SES oet 0H22 ESu l2s21sgn Cử Sạn re h2 1

Chương 1 PHAN HOACH VANH DA THUC CHAN THANH LGP CAC PHAN TU! LIEN

1.1 Tổng hop cdc két qua nghién ctru c6 LGn quate oo cece ce cecececeeceesesececeeecesececevevevsesevececsteteesevevevecs 3

L2 Phương pháp phân hoạch vành đa thức thành các Ideal 5-55-2522 <+2£<+se<zsesererres 3

21 1ã TET VAIHTd2),LHUGb:=szzz-c<c-esaz92scs523528E2E82Eu4i28gi931E-g3/38.39/08:60002giđ222E2-E8EkEILL0I35302Z72012-14535E.1/ 4 1.22 Cách tlirc:laonma X TT từ các HHGiÌ: - z2 z2 2s261126266226216021311600: S22E4T022AESSS2SE4833548815338.53534028,35 4

1.3 Phương pháp phân hoạch vành đa thức thành các CMG và CPG 2-55 S++c stress 4

1381 Nhom nhan xyclic (CMG) trén vành da thie eee eee eee cee ce cee cee tne eee eee 4 1.3.2 Cấp số nhân xyclic (CPG) trên vành da thtte o c.ccccccccecccsessssesseseesssseessestsssesessesseeeeesese 5 13:3 Quan hệ giữa các CMG và CPG trong vành da thtte oo cece ceecceeeeeceeceecesceeseeeesneeenseees 5 1.3.4 Quan hệ giữa các CPG và Ideal trong vành đa thỨc - 22525222 +2S222 222222 zzzrszzsee 5

135 Eii(liSiIELi NINH TETEŠ coapsnouaoseoingtzdiituztctooi3tiaGEiiGiTZiGSgE002G06181210i040:00/6825/1000-3801812/G1202/83Ú 5

1S Uns dans trons Ty Turyet inva Sta SAL a eg coe ốc 13

T31 Một số đặc tính tạo mã của lớp các CE của luỹ đẳng nuốt và Zero -2222222s222se2 13

1.5.2 Các kiểu phân hoạch có thể sử dụng cho lớp các CE của luỹ đẳng nuốt và phần tử

1.5.3 Lớp ma XCB t6i uu (2” —1,7,2”") dua trén lép cdc CE cia luỳ đăng nuốt 13

Chương 2 _— KHẢO SÁT CỤ THẺ VỚI VÀNH ĐA THỨC Z„[x]/(xŸ + 1), Za[x]/(Ÿ + 1) 14

2t kcil Xác định các lớp các CE của các thặng dư bậc 2 trong vành . -<+-+<+<+<++ 14

2.1.7 Ma XCB (7, 3, 4) đựa trên phân hoạch chuân các CE của luỹ đẳng nuốt 14 2.15 Mã XCB (7, 3, 4) đựa trên phân hoạch cực đại lớp các CE của luỹ đẳng nuốt 15

đữöi HiasiEfllbdeiiteir DETWT SE + eeaseeendeeooieotoateostccttiotorogbBEUgOOEioicoAESiECLaloMdEĐ l6

22.1 Xác định các lớp các CE của các thặng du bậc 2 trong vành -+++-s<>++s<++ss 16 2:22 Mã XCB (15, 4, 8) đựa trên phân hoạch các CE của luỹ đẳng nuốt theo nhóm nhân

đơn vị 16 22.3 Ma XCB (15, 4, 8) dua trén phan hoach cdc CE etia phan tử Zero 22222z2s2z2se2 17

Chương - jKT EUẨN VÀ KHI VN GG LÍ sasesetnibiitnliODE-CRGEOARU2L2L21040302020/63/2H800/1002J08020019030DH0A g3 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO - 5 1S 331212585512 E2E55 152515511 115E11 211 155111115121111 1111111111011 11 111111111111 20

LỜI MỞ ĐẦU

Vành đa thức là một cấu trúc đại số có nhiều ứng dụng trong lý thuyết mã Một loại vành đa thức cụ thể, vành đa thức chẵn, trước đây ít được chú ý vì các cách xây dựng

mã truyền thống trên vành đa thức chăn có thê dễ dảng suy ra từ cách thức xây dựng

mã tương ứng trên các vành đa thức lẻ, vốn có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết mã

Tuy nhiên, thời gian gần đây có nhiều nghiên cứu mới chỉ ra rằng các vành này, với

các phương pháp phân tích toán học mới, cụ thể là phân hoạch vành này thành lớp các phần tử liên hợp, có nhiều khả năng ứng dụng trong lý thuyết mã và đã có một số kết

quả

Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề xuất các ứng dụng mới của vành đa thức chăn

mới trong lý thuyết mã

Đối tượng nghiên cứu chính của luận văn là vành đa thức chăn, các phần tử liên hợp

và các mã XCB

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là phương pháp phân hoạch vành đa thức chẵn

thành lớp các phần tử liên hợp, và các ứng dụng của phương pháp phân hoạch này trong việc xây dựng các lớp mã XCB mới

Phương pháp nghiên cứu của luận văn tông hợp và phân tích, trong đó tông hợp các kết quả nghiên cứu đã có của các tác giả khác về ứng dụng của vành đa thức chăn trong việc xây dựng mã khống chế sai nói chung, mã XTT và mã XCB nói riêng Trên

cơ sở đó phân tích các đặc điểm hạn chế và đề xuất các ứng dụng mới của thông qua phương pháp phân hoạch các vành này thành lớp các phần tử liên hợp

Luận văn sử dụng các công cụ toán học đặc biệt là đại số đa thức và các công cụ của

lý thuyết mã, lý thuyết truyền tin để giải quyết yêu cầu nghiên cứu lý thuyết

Những kết quả đạt được của luận văn góp phần làm rõ hơn tầm quan trọng của vành

đa thức chấn trong lý thuyết mã, một cấu trúc đại số có ít ứng dụng theo quan điểm

xây dựng mã truyền thống Nội dung luận văn có thê coi là một tài liệu tham khảo cho

sinh viên về lý thuyết mã bên cạnh các tài liệu giảng dạy hiện có Các dữ liệu khảo sát

trên vành cụ thể là những ví dụ minh hoạ chỉ tiết, dễ hiểu cho phương pháp phân hoạch vành đa thức chăn thành lớp các phần tử liên hợp cũng như các ứng dụng dựa

trên cấu trúc đại số đó Và quan trọng hơn, các đề xuất ứng dụng mới, dù chưa hoàn

thiện nhưng cũng là tiền đề cho hoạt động nghiên cứu tiếp theo của tác giả.

2

2

Chuwong 1 PHAN HOACH VANH DA THUC CHAN THANH LOP

CAC PHAN TU LIEN HOP VA UNG DUNG TRONG LY

THUYET MA

1.1 Tổng hợp các kết quả nghiên cứu có liên quan

Ứng dụng của phân hoạch vành đa thức phải kế đến đầu tiên đó là để xây dựng một

lớp mã khống chế sai có ứng dụng rất rộng rãi, mã xyclic truyền thống (XTT) [10]

Chính đặc tính của quan hé giita các từ mã trong một bộ mã XTT, dịch vòng của một

từ mã cũng là một từ mã trong bộ mã, đã cho thấy cơ sở toán học của một bộ mã XTT

chính là một Ideal

Cũng theo hướng ứng dụng phân hoạch vành đa thức trong việc xây dựng các mã sửa sai Gần đây, ở Việt Nam, đã có các công trình nghiên cứu đề xuất ra một lớp mã sửa

đại số mới, các nhóm nhân xylic (CMG) và các cấp số nhân xylic (CPG) chứ không

phải các Ideal Chính từ quan điểm xây dựng mã như vậy, đã có rất nhiều kiêu phân

hoạch vành đa thức mới đã được đề xuất Các kiểu phân hoạch khác nhau đã mở ra khả năng tạo mã rất lớn trên vành đa thức, đặc biệt là những vành trước đây không được sử dụng để xây dựng mã XTT hoặc không tìm được các bộ mã XTT có đặc tính

mà còn gợi mở nhiều khả năng ứng dụng trong các nhánh khác của lý thuyết mã

1.2 Phương pháp phân hoạch vành đa thức thành các Ideal

Định nghĩa 1-1: Ideal I của vành đa thức gồm tập các đa thức a(x) là bội của một đa

thức ø(x) thỏa mãn:

- g(x)|x" +1 (g(x) laude cia (x” +1))

- deg g(x) =r =mindega(x) voi Va(x) € la(x) #0

Ky hiéu Ideal trong vanh da la I= ( g(x)).

1.2.1 7 Mã XTT trên vành đa thức

Định nghĩa 1-2: Mã X1 trên vành đa thức là một bộ mã tuyến tinh co tinh chat sau:

Nếu đa thức a(x) là một từ mã thì dịch vòng của a(x) cũng là một từ mã trong bộ mã

đó

1.2.2 Cách thức tạo mã XTTT từ các Ideal

Để xây dựng một mã XTT không hệ thống (ø,&) : Chon Ideal I= ( g(x)) thuộc vành

đa thức có deg{g(x)}=ø—k Ngược lại từ một I=(z(+)) trong vành với

deg{ø(x)} = ” Có thể xây dựng được bộ mã XTT (,7— 7)

1.2.3 Hiệu quả tạo mã

Mặc dù có nhiều ưu điểm nhưng từ lý thuyết mã cyclic ta có thể thay được một số hạn

sinh có thể được lựa chọn để tạo các mã tốt không nhiều và phụ thuộc vào số ideal có thể xây dựng Nếu phân tích của nhị thức x” +1 thành tích của các đa thức bắt khả qui

không gồm nhiều đa thức bất khả qui thì khả năng lựa chọn rất ít

1.3 Phương pháp phân hoạch vành đa thức thành các CMG và CPG

1.3.1 Nhóm nhân xyclic (CMG) trên vành đa thức

Định nghĩa 7-3: Nhóm nhân xyclic (CMG) trong vành đa thức là tập hợp các đa thức

đều bằng lũy thừa của một đa thức gọi là phần tử sinh [7]

A=f{a(x),a (x),a)(x) a"(x)}

5

1.3.2 Cấp số nhân xyclic (CPG) trên vành đa thức

Dinh nghia 1-4: Cap so nhan xyclic (CGP - Cyclic Geometic Progressions) trén vanh

đa thức là một tập hợp con có dang sau:

4ø = 1qŒ)a(),4(3)đ”(x), ,q(x)g'””(x),g(3)a”(x),}

1.3.3 Quan hệ giữa các CMG và CPG trong vành đa thức

Afagy = U2) * Aa:

1.3.4 Quan hệ giữa các CPG và Ideal trong vành đa thức

Có thể thấy một Ideal I= (g(x)) trong vành đa thức Z,[x]/x” +1chính là một tập

các lớp kề với nhóm nhân dơn vị với trưởng các lớp kể là:

- - Các đa thức là bội của ø(3)

- _ Chưa thuộc một lớp kề nào trước lớp kề mà nó làm trưởng

Nói cách khác lực lượng của một Ideal là bội số của ø

Trong một số vành thi I =(g(x))chinh là một cấp số nhân có phần tử dau 1a g(x),

công bội là đ(x) = x và lực lượng |I|= ø

- _ Tập các trưởng lớp kề tạo mã sẽ cho ta mô tả đầy đủ của mã XCB

- _ Trong trường hợp chỉ lựa chọn một lớp kề mã XCB sẽ là một mã xyclic Lưu

ý, mã này không hoản toàn đồng nhất với mã XTT Ở phần sau ta sẽ thấy mã

XTTT là một tập con của lớp mã này

1.3.6 Các thức tạo mã XCB trên các CPG của vành đa thức

Từ định nghĩa của mã XCB có thê thấy công đoạn đầu tiên để xây dựng được mã XCB là đi tìm các CPG trên vành đa thức hay nói cách khác là phân hoạch vành đa

thức thành các CPG.

1.3.0.1 Phân hoạch vành tỉa thức thành các CPG

Phân hoạch vành đa thức theo hạt nhân Z(x) bao gồm các bước sau:

- - Bước 1: Xác định nhóm nhân sinh Au (hay lớp kề sinh của vành) đề trên đó

xây dựng các CPG

- _ Bước 2: Chọn trưởng lớp kề z(x) là đa thức tuỳ ý trong vành và không thuộc

các lớp kề đã tạo Thực hiện phép nhân từng phần tử của 4„với đ(x)sẽ

được lớp kề 4„„ = G(x) * Ay

- _ Bước 3: Lặp lại bước 2 cho đến khi không chọn được trưởng lớp kề nào khác

ta sẽ có được phân hoạch đầy đủ của vành theo Aa

Có thể hình dung kết quả phân hoạch vành đa thức theo hạt nhin a(x) nhu trén Hinh

sinh từ lớp kê sinh

Hạt nhân phân hoạch

(Trưởng lớp kề sinh)

Hình 1-1: Phân hoạch vành có nhóm nhân sinh

là nhóm nhân xyeclic bắt kỳ

1.3.0.2 Cách thức xây dựng mã xyclic trên CPŒ

Cách thông thường để xây dựng một mã xyclic trên một CPG là xây dựng ma trận

với khuôn dạng như sau:

G= [ g(x).a' (x) | ,i=0,ord[a(x)]

Lưu ý đây là phương trình tạo cột của G Đây cũng là điểm khác biệt so với cách tạo

ma trận sinh của mã XTTT.

i

Co thé thay mét diém rat rd qua cau tric ma tran sinh 1a déi voi cdc m4 XTT, mỗi từ

mã sẽ là một phần tử của Ideal còn với mã xyclic trên CPG, mỗi dấu mã là một phan

tử cua CPG

1.3.0.3 Cách thức xây dựng mã XCB trên các CPG

Có thể sử dụng tuỳ ý một tổ hợp bất kỳ của các lớp kề để xây dựng mã XCB, bao gồm

- Tao cdc dấu thông tin bằng cách dùng mỗi đa thức trong nhóm nhân sinh

A,, để mã hoá một dấu thông tin trong từ mã Như vậy giá trị k của bộ mã

XŒPB trên phân hoạch này là & = ord(a(x))

- _ Tạo các dấu kiểm tra băng cách dùng một tổ hợp tuỳ ý các lớp kê đã xây dựng

1.3.7 Quan hệ giữa mã XCB và mã XTTT

Ma xyclic (n, k) truyền thống có thê coi là một lớp kề đặc biệt trong phân hoạch của

vành với hạt nhân phân hoạch a(x) =x

+ Mã xyclic hệ thống (n, k) được xem là nhóm nhân xyclic sau [8]:

tiéu a(x) = 1 chuan a(x) = x ord(a(x)) = max hoạch khác

Hình 1-2: Quan hệ giữa các dạng phân hoạch vành đa thức và các lớp mã X11, XCB

và mã tuyển tính ngâu nhiên

Ngoài ra, có thể hình dung mã xyclic như một chuỗi hạt có tốc độ xử lý khác nhau như

trong Hình 1-3 Mã xyclic truyền thống có nhịp dịch của từ mã là x (Hình 1-3.a), mã xylic

xây dựng từ mã XCB có nhịp dịch khác x (Hình 1-3.b), còn mã XCB chứa các dấu mã khác nhau, mỗi dâu mã có thê có nhịp dịch khác nhau tuỳ theo trưởng các lớp kề (Hình

1-3.c)

c(x) Cy"

sp)

t Nhip a(x) =x t Nhip a(x)

truyền thống từ mã xyclic cục bộ

Hình 1-3: So vánh đặc tính xyclic của các mã xyclic và mã xyclic cục BỘ

Có thê thấy các dấu mã của mã XTT và mã xyclic trên các nhóm nhân sẽ dịch vòng

trên toàn bộ từ mã nhưng các dấu trong một từ mã XCB lại chỉ dịch vòng cục bộ trong

nhóm dấu mà mà lớp kề đó mã hoá Đây cũng chính là là lý do mã XCB được gọi là

ma “xyclic cuc bộ”

1.3.8 Hiệu quả tạo tạo mã

1.3.8.1 Uu điểm của phương pháp tạo mã trên cúc CMG và CPG của vành đa thức

- Đối với phân hoạch không suy biến, số kiểu phân hoạch không suy biến bằng

số các bậc khác nhau của các phần tử trong vành (trừ các phần tử là luỹ đăng

bậc I), ký hiệu là M Cụ thể hơn, M là số ước khác nhau của bậc lớn nhất của

các đa thức thuộc vành

- Đối với phân hoạch suy biến, ký hiệu là I, bằng số các Ideal trong vành Đây là

một điểm rất lý thú, nó cho thấy, phân hoạch vành đa thức thành các Ideal đề

xây dựng mã XTT thực chất là một trường hợp đặc biệt của phân hoạch vành

Đối với các vành chăn, từ trước đến nay, người ta thường không quan tâm đến việc xây dựng mã cyclic từ các vành này theo các phân hoạch thông thường Bởi vì, các vành chăn chắng qua là kết quả của phép ánh xạ bình phương từ các vành lẻ, các Ideal của vành chăn chính là các Ideal của vành lẻ bình phương

10

1.4 Phân hoạch vành đa thức chấn thành lớp các phần tử liên hợp

1.4.1 Cac thang dw bac hai và căn bậc hai của thặng dư đó trên vành đa thức

chin Dinh nghia 1-6: Da thic ƒ(x) được gọi là thing du bac 2 (quadratic residue - QR)

trong Z¡; nếu tổn tai da thức g(x) sau:

8 (+) = /(x)mod(x'” +1)

Khi g(x) =./ f(x) duoc gọi là căn bậc 2 chính của f(x)

Bồ đề 1-1: Đa thức ƒ(x) nằm trong tập các thặng dư bậc 2 O,, ( f(x) € Q,, ) khiva chỉ khi ƒ(x) chứa các đơn thức có số mũ chăn

Số các thặng dư bậc 2 trong Z„„ được xác định như sau:

lØ» =3 Œ;=CŒ;+C? +C? + +C7+C? =2”

¿=0

Bồ đề 1-2: Các căn bậc 2 của một thặng dư bậc 2 được xác định theo công thức sau:

sqrif(a)} = gx) =(1+2") ix! + FO)

teU

Trong đó U là một lập gôm các tổ hợp tuỳ ý các giá trị trong tập s = {0,n—l}

Như vậy đối với mỗi thặng dư bậc 2 trong vành nụ, Ñ tất cả 2” căn bậc 2 (kể cả căn bậc 2 chính)

1.4.2 Phần tử liên hợp và các tính chất liên quan

1.4.2.1 Luỹ đăng nuốt và phân tử zero

Định nghĩa 1-8: Trong mọi vành đa thức, đa thức a(x) = 0 hay dưới dạng số mũ của

các đơn thức là (0) được gọi là phan tử zero của vành.