Các đặc trưng của nửa vành zerosumfree và ứng dụng

CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ ỨNG DỤNG .... CÁC ỨNG DỤNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ MỘT SỐ NỬA VÀNH LIÊN QUAN ĐẾN NỬA VÀNH ZEROSUMFREE THƯỜNG GẶP .... CH NGă1 Trong chương n

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Tôi xin cam đ an đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu và kết quả nêu tr g luận văn là trung th c và chưa từng

đ c công bố tr g bất kì công trình nà khác

Tác giả luận văn

Võ Thị Thanh

1 chọn đề t 1

2 ục ti v nội ng nghi cứu đề t 1

ương h nghi cứu 2

ố cục đề t 2

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Ử ĐỒ CẤ Ử

1.1.1 Các định nghĩa và ví dụ 4

1.1.2 Tính chất 9

1.2 IĐÊAN CỦA NỬA VÀNH VÀ NỬA VÀNH THƯƠNG 10

1.2.1 Các định nghĩa và ví dụ 10

1.2.2 Các tính chất 12

1.3 NỬA MÔĐUN VÀ NỬA MÔĐUN CON 13

1.4 QUAN HỆ TƯƠNG ĐẲNG VÀ NỬA MÔĐUN THƯƠNG 15

1.5 ĐỒNG CẤU NỬA MÔĐUN 17

1.6 NỬA MÔĐUN NỘI XẠ 19

CHƯƠNG 2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ ỨNG DỤNG 21

2.1 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE 22

2.2 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE CÓ TÍNH CHẤT TRỪ 27

2.3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ MỘT SỐ NỬA VÀNH LIÊN QUAN ĐẾN NỬA VÀNH ZEROSUMFREE THƯỜNG GẶP 43

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)

M Đ U

1 LỦădoăch năđ tƠi

N aăvƠnhălƠăc uătrúcăđ i s r tăphongăphúătrongătoánăh c N aăvƠnh

cung c pă lỦă thuy tă kháiă quátă chungă mangă tínhă tự nhiênă nh t c aă vƠnh.ă LỦă

thuy t n aăvƠnhăđ c bi tăđ n trong những ng d ng c aătoánăh c, khoa h c vƠăkƿăthu t

Kháiăni m n aăvƠnhăđầuătiênăđ c xu t hi nătrongăcôngătrìnhăc aănhƠătoánă h că ng iă Đ că R.Dedekindă vƠoă nĕmă 1894ă đề c pă đ n ideal c aă vƠnhăgiaoă hoánă vƠă mu nă h nă nữaă trongă côngă trìnhă c a F.S Macaulay[10], W Krull[8],ăE.ăNoether[11],ăvƠăP.ăLorenzen[9]ăđề c păđ nătiênăđề c aăcácăs tự nhiênăvƠăcácăs hữu tỷ khôngăơm

C uătrúcăđ i s c a n aăvƠnhămƠăchúngătaăđ c g p lầnăđầuătiênăđóăchínhălƠăc uătrúcăc a t p h p s tự nhiên.ăSauănƠyăcònăcóăthêmăt p h păcácăs nguyênăd ng,ăs hữu tỷ d ngăvƠăc cácăs thựcăd ngănữa.ăĐ c bi t, những

t p h p s nƠyăđưăđ căđ aăvƠoăxuyênăsu tătrongăch ngătrìnhăh c t b c

m uăgiáoăđ n b c phổ thôngăd i nhữngăhìnhăth căkhácănhau.ăCácăt p h p s nƠyăđềuăcóănhữngătínhăch t,ăđ căđiểm chung nh tăđ nhăbênăc nh nhữngăđ c điểmăriêngăbi t,ăthúăv c aănó

Đề tƠiă"Cácăđ cătr ngăc a n aăvƠnhăzerosumfreeăvƠă ng d ng" nƠyă

đ c vi t v i hy v ng phầnănƠoăcóăthể th aămưnăđ c mong mu n c a b n thơnălƠănghiênăc uărõăh nănhữngăđ căđiểm chung y,ăbênăc nhăđóăcóăthể tìmătòi,ăliênăh những ng d ng c aănóătrongăthực t

2 M cătiêuăvƠăn iădungănghiênăc uăđ tƠi

M cătiêuăc aăđề tƠiălƠătìmăhiểu về "n aăvƠnhăzerosumfree"ăvƠănghiên

c u nhữngătínhăch tăđ cătr ngăc aănó

Trênă c ă s đó,ă tìmă cácă v nă đề liênă quană nh ă kh oă sátă n aă vƠnhăzerosumfreeăcóătínhăch t tr

Đóngă gópă c aăđề tƠiă lƠă tổngă quană cácăk t qu thuăđ c c a cácă tácă gi đưănghiênăc uătrênăn aăvƠnhăzerosumfree vƠăch y u trong [3] ,[4]vƠă[12], ch ng

minh chi ti t,ălƠmărõăcácăm nhăđề,ăđ nhălỦ,ăđ aăraăvíăd minh h aăđể ng i

đ c d dƠngăti p c n v năđề.ăNgoƠiăra,ătrongălu năvĕn,ătácăgi c gắngătìmă

hiểuăcácă ng d ngăvƠăm r ng m t s k t qu thúăv về n aăvƠnhăvƠăn aăvƠnhă

zerosumfree

3 Phương pháp nghiên cứu

1 Thu th păcácăbƠiăbáoăkhoaăh c c aăcácătácăgi đưănghiênăc uăliênquanăđ n n aăvƠnhăzerosumfree, n aăvƠnhăzerosumfreeăcóătínhăch t tr

2 S d ng m t s kƿ thu tătrongălỦăthuy tănhóm,ăn aănhóm,ălỦăthuy tvƠnhăvƠăn aăvƠnh,ălỦăthuy tămôđunăvƠăn aămôđunăđể ápăd ng tổngăquanăvƠă

ch ng minh chi ti tăcácăk t qu c a m t s tácăgi đưănghiênăc u

3 V n d ngă cácă k t qu đưă cóă trongă cácă bƠiă báoă về n aă vƠnh

zerosumfree để tìmăraăcácăv năđề liênăquan

4 Traoăđổi k t qu nghiênăc u v iăGVHDăthôngăquaăcácăbuổi seminar

4 B c căđ tƠi

N i dung c a lu năvĕnăchiaăthƠnhăhaiăch ng:

Ch ngă1:ăTrìnhăbƠyă m t s ki n th c c s về lỦ thuy t n a vƠnh vƠ

n a môđun

Ch ngă 2:ă Trìnhă bƠyă kháiă ni m về n aă vƠnhă zerosumfreeă vƠă cácă đ c

tr ngăc aănó.ăNghiênăc uătínhăch t tr c a n aăvƠnhăzerosumfree vƠăđ c bi t lƠăcácăđ căđiểm c aăvƠnhăsaiăphơnătrênăn aăvƠnhăzerosumfree.ăCu iăcùngălƠă

m tăvƠiăvíăd về n aăvƠnhăliênăquanăđ n n aăvƠnhăzerosumfreeăth ng g păvƠă

m t s ng d ng c a n aăvƠnh zerosumfree trong thực t

Những k t qu trênăđơyălƠăsự c gắngăkhôngăng ng c aătôiătrongăth i

giannghiênăc uăluơnăvĕn.ăVìăv y,ătôiăr tămongăđ c sự gópăỦăchơnăthƠnhăt quỦthầyăcôăgiáoăcùngăcácăb năđ căđể n iădungăđề tƠiăđ căhoƠnăthi năh n

CH NGă1

Trong chương này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ sở trong lý

thuyết nửa vành và nửa môđun để chuẩn bị cho nội dung nghiên cứu của chương sau Các kiến thức trong chương này được chúng tôi trích dẫn chủ

yếu trong các tài liệu của J.S.Golan

1.1 N AăVĨNHăVĨăĐ NG C U N AăVĨNH

1.1.1 Cácăđ nhănghƿaăvƠăvíăd

Đ nhănghƿaă1.1.1 M t t p h p A khácăr ng cùngăv iăhaiăphépătoánă(+)ăvƠă

nhơnă(.)ăđ c g iălƠăm t n aăvƠnhă(semiring) n uăcácăđiều ki năsauăđ c th a mưn:

(1) (A,+)ălƠăm t v nhómăgiaoăhoánăv i phần t khôngălƠă0A

(2) (A,.)ălƠăm t v nhóm v i phần t đ năv lƠă1A

(3) Phépănhơnăphơnăph iăhaiăphíaăv iăphépăc ng

(4) 0Ar   0A r 0A v i m i r  A

N uăphépănhơnătrênăn aăvƠnhăA cóătínhăgiaoăhoánăthìăA đ c g iălƠăn aăvƠnhăgiaoăhoán

M t t p h păkhácăr ng H cùngăv iăhaiăphépătoánăc ngăvƠănhơnăth aămưnăđiều

ki nă(1),ă(3)ăvƠă(4)ătrongăđ nhănghƿaătrên,ăcùngăv iăđiều ki n (H,.) lƠăm t n a nhóm,ăđ c g iălƠăhemiring

Víăd 1.1.1 T p s tự nhiênă cùngăv iăphépătoán c ngăvƠănhơnăthôngă

th ngălƠăm t nửa vành giao hoán

Víăd 1.1.2 Cho IB  {0,1} trênăđóăxácăđ nhăhaiăphépătoánăc ngăvƠănhơnă

nh ăsau:

KhiăđóăIB  {0,1} lƠăm t n aăvƠnhăvƠăđ c g iălƠănửa vành Boolean

Víăd 1.1.3 N u (H,+,.)ălƠăm tăhemiring,ăXétăS=H X vƠăđ nhănghƿaăphépătoánăc ngăvƠănhơnătrênăS nh ăsau:

(r,n)+ (r’,n’)= (r+r’,n+n’)ăvƠă(r,n).(r’,n’)= (nr’+n’r+rr’,nn’)

v i m i (r,n), (r’,n’) thu c S Lúcăđó,ă(S,+,.)ălƠăm t n aăvƠnhăv i phần t đ nă

v (0,1)ăvƠăS đ c g iălƠăDorroh mở rộng c a H b i

Đ nh nghƿaă1.1.2 M t t p con S c a m t n aăvƠnhăA lƠăm t n aăvƠnhăconă

(subsemiring) c a A n u 1 ,0A A vƠă S đóngă kínă v iăphépă c ngă vƠă phépăS

nhơnă trongă A N uă khôngă cầnă điều ki n 1A thìă S đ c g iă lƠă m t Ssubhemiring

Đ nh nghƿaă1.1.3 Tâm (center) c a m t hemiring H lƠăt p h p

C H  r H rr r r  r H RõărƠngăt p C(H) luônăkhácăr ngăvìănó

ch aă0ăvƠăC(H) lƠăm t subhemiring c a H N u H lƠăm t n aăvƠnhăthìăC(H)

lƠăm t n aăvƠnhăconăc a H N u H giaoăhoán thìăC(H)=H

Đ nhănghƿaă1.1.4 M t phần t r c a m t hemiring H đ c g iălƠălũy đẳng

cộng tính (additively idempotent) n u r+r=r.ăTaăkíăhi u I H lƠăt p h p t t

c cácăphần t lũyăđ ng c ngătínhăc a H H đ c g iălƠăm t hemiring lũy

Đ nhănghƿaă1.1.6 Cho H lƠăm t hemiring, những phần t thu c t p h p

    * 

I H  I H  I H đ c g iălƠăphần tử lũy đẳng (idempotent elements) H

đ c g iălƠăhemiring lũy đẳng n u I H  H

Đ nhănghƿaă1.1.7 M t phần t u c a m t hemiring H đ c g iălƠăchính

quy n u t n t i phần t v  H sao cho uvu= u M t hemiring H đ c g iălƠă

0Akhôngăthể lƠăphần t vôăh n b i 0A  1A 1A 0A

(ii) M t n aăvƠnhăH đ c g iălƠăm t n aăvƠnhăv i phần t đ năv vôăh n

(semiring with infinite unit) n uăvƠăchỉ n u r   1 1, r H

(iii) M t phần t vô h n u c a A th a ru=u=ur,   0 r A đ c g iălƠ

phần tử vô hạn mạnh ( strongly infinite element)

Víăd 1.1.4 T p h p  4 0,1, ,a b cùngăv iăphépăc ngăvƠănhơnănh ăsauălƠă

T p con K= {0,1,a} lƠăm t n aăvƠnhăconăc a  4

Đ nhănghƿaă1.1.9 M t phần t r c a n aăvƠnhăăA đ c g iălƠăkhả đối n u

t n t i m t phần t r’ thu c A sao cho r+r’=0.ăKhiăđóăr’ đ c g iălƠăphần tử

đối c a r vƠănóălƠăduyănh t

(i) Ta s biểu th phần t đ i c a phần t r ( n uănóăt n t i) b i –r vƠăt p

t t c cácăphần t c a A cóăphần t đ iălƠăV(A)

(ii) V(A) lƠănhómăconăl n nh t c a (A,+)

Đ nhănghƿaă1.1.10 M t phần t u c a n aăvƠnh A đ c g iălƠăkhả nghịch

n u t n t i m t phần t u’ thu c A sao cho uu’=u’u=1A.ăKhiăđóău’ đ c g i

lƠăphần tử nghịch đảo c a u vƠănóălƠăduyănh t

(i) Ta s biểu th phần t ngh chăđ o c a phần t u ( n uănóăt n t i) b i

u-1vƠăt p t t c cácăphần t c a A cóăphần t ngh chăđ o lƠăU(A)

(ii) N u U(A)= A\{0A} thìăA đ c g iălƠănửa vành chia được ( division

semiring)

(iii) N u A lƠăm t n aăvƠnhăchiaăđ căvƠăgiaoăhoánăthìăA đ c g iălƠă

nửa trường (semifield)

Đ nhănghƿaă1.1.11 M t phần t u khácăkhôngăc a m t hemiring H đ c

g iălƠăm t ước trái của không n u t n t i 0 v Hsao cho uv= 0 Nóăđ c

g iălƠăm t ước phải của không n u t n t i 0 v Hsao cho vu= 0 Nóăđ c

g i lƠăước của không n uănóălƠă cătráiăvƠăph i c aăkhông

Đ nhănghƿaă1.1.12.ăM t n aăvƠnhăA đ c g iălƠănguyên n uănóăkhôngăcóă

c c aăkhông

Đ nhănghƿaă1.1.13 M t phần t u c a m t n aăvƠnhăA đ c g iălƠăgiản

ước được n u u+b=u+c thìăkéoătheoăb=c v i b,cA N u m i phần t c a

n aăvƠnhăA đều gi nă căđ căthìăA đ c g iălƠănửa vành giản ước được

Đ nhă nghƿaă 1.1.14.ă N u A vƠă A’ lƠă cácă n aă vƠnhă thìă m tă ánhă x

M tăđ ng c u n aăvƠnhăf đ c g iălƠăđơn cấu (ăt ngă ng, toàn cấu, đẳng

cấu) n uăánhăx f lƠăđ năánh (ăt ngă ng,ătoƠnăánh,ăsongăánh)

Víăd 1.1.5 V i m i A lƠăn aăvƠnhăb tăkì,ătaăluônăcóăm tăđ ng c u n a

Đ nhănghƿaă1.1.15 Cho f A: A' lƠăm tăđ ng c uăcácăn aăvƠnh.ăKhiă

đó,ănhân, ảnh và ảnh thực sự c a f đ căkíăhi uălƠăKer(f), Im(f) vƠăf(A) đ c

xácăđ nhănh ăsau:

1.1.2 Tínhăch t

M nhăđ Một tập A chứa hai phần tử 0 ,1A A với phép toán cộng và nhân được định nghĩa là một nửa vành giao hoán nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn với mọi a b c d e , , , ,  A

  a b d  a.1 b 0d db a d 1 0d db ad ad bd

mưnătínhăphơnăph i giữaăphépătoánăc ngăvƠănhơn

DoăđóăA lƠăn aăvƠnhăgiaoăhoán

1.2 IĐÊANăCA N A VĨNHăVĨăN AăVĨNHăTH NG

1.2.1 Cácăđ nhănghƿa vƠăvíăd

Đ nhănghƿaă1.2.1 M t iđêan trái (phải) I c a m t hemiring H lƠăm t t p

conăkhácăr ng th aămưnăcácăđiều ki n sau:

(1) N u v i m i a b, I thìăa b I  ;

(2) N u v i m i a vƠăr HI  thìăraI ar I.

N u I lƠăm t iđêan trái vƠălƠăm t iđêanăph i c a H thìănóăđ c g iălƠăiđêan

c a H

Đ nhănghƿaă1.2.2 M t iđêanăhaiăphíaăI c a H đ c g iălƠănguyên tố n u

v i m iăiđêanăhaiăphíaăJ, K c a H mƠăJKI thìăsuyăraăJ I ho c KI

Đ nhănghƿaă1.2.3 M t quan h t ngăđ ng ( equivalence relation)  xácă

đ nhătrênăn aăvƠnhăA th aămưnăđiều ki n n u r  vƠăr' s thìăs' r   s r' s'

vƠărsr s' ' đ c g iălƠăm t quan hệ đồng dư ( congruence relation) trênăn a

vƠnhăA Quan h đ ngăd  đ căxácăđ nh b i r  n u r=r’ đ c g iălƠăr'quan hệ đồng dư tầm thường hay quan hệ đẳng thức) Quan h đ ngăd ă 

đ căxácăđ nh b i r  v i m i r' r r, 'Ađ c g iălƠăquan hệ đồng dư không

thực sự trên A

Kíăhi u Cong(A) lƠăt p t t c cácăquanăh đ ngăd trênăn aăvƠnhăA Khiăđóă

t p Cong(A)   vìă nóă luônă ch a quan h đ ng th c vƠă quană h đ ng d

khôngăthực sự N u t p Cong(A) chỉ cóă2ăphần t thìăA đ c g iălƠănửa vành

đồng dư đơn( congruence- simple) hayălƠănửa vành c-đơn (c-simple semiring)

Đ nhănghƿa 1.2.4 Cho  lƠăm t quan h đ ngăd trênăn aăvƠnhăA V i m i

r ,ăđ t /A r  lƠăl păt ngăđ ngăc a r ng v i quan h  vƠă /A  g m t t

c cácăl păt ngăđ ngă /r  N u  lƠăthực sự thìătaăxácăđ nhăđ c c uătrúcă

c a n aăvƠnhă /A  thôngăquaăhaiăphépătoánăđ căđ nhănghƿaănh ăsau:ăv i m i , '

r r A, r/r'/ r r' /  vƠă( / )( '/ )r  r   rr' / 

N aăvƠnhă /A  đ c xácăđ nhănh ătrênăđ c g iălƠănửa vành thương ng v i

quan h đ ngăd 

Víă d 1.2.1 M tă iđêană I trênă n aă vƠnhă A xácă đ nh m t quan h t ngă

đ ngă  trênă A đ c cho b i I r  n u t n t i I r' a a, 'I sao cho

Đ nhănghƿaă1.2.6 Cho S lƠăm t n aăvƠnhăvƠăt p h p S X S d iăphépătoánă

c ngă vƠă nhơnă đ că đ nhă nghƿaă nh ă sau:ă (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) vƠă

(a,b)(c,d)= (ac+ bd,ad+ bc), v i m i ( , ),( , )a b c d   lƠă m t n aă vƠnhă v i S S

phần t khôngălƠă(0,0), phần t đ năv lƠă(1,0) Trênăđóăxácăđ nh m t quan h

đ ng d : ( , ) ( , )a b  c d n u a d     v i m i x Sx b c x  ăH nănữa, n a

vƠnhăth ngăS  (S S) / lƠăm tăvƠnhăvƠăđ c g iălƠăvƠnhăsaiăphơn L p

t ngăđ ng c a phần t  a b, S đ căkíăhi uălƠă a b, 

C uătrúcăc aăvƠnhăsaiăphơnăđ căđ aăraăb iăBleicherăvƠăBourneănĕmă1965,ănóăđóngăvaiătròăquanătr ng trong vi c nghiênăc u c uătrúcăc a n aăvƠnhăthôngăquaăvƠnhăsaiăphơn.ăNĕmă1971,ăBoteroăvƠăWeinertăđưăđ aăraăcáchăđ nhănghƿaăkhácănh ăsau:ăN u (a,b) vƠă(c,d) thu c S S thìă a b,  ( , )c d khiăvƠăchỉ khi

t n t i r r, 'S sao cho a+r=c+r’ vƠăb+r=d+r’ ĐiềuănƠyăcóăthể vi t l i r ng

 a b, ( , )c d  khi vƠăchỉ khi t n t i ''r  sao cho a+d+r”=c+b+r” Th t S

v y, n u  a b, ( , )c d  thìăt n t i r r, 'S nh ătrên,ătaăđ t r”=r+r’ Ng c

l i, n u t n t i ''r  để cho a+d+r”=c+b+r”thìătaăđ t r=d+r” vƠăr’=b+r” S

1.2.2 Cácătínhăch t

M nhăđ ([3,Proposition 6.3]) Cho I là một iđêan của một nửa vành H khi

đó các điều kiện sau là tương đương

(i) I là iđêan nguyên tố;

(ii) Tập hợp arb r| HI khi và chỉ khi a I  hoặc b I ;

(iii) Nếu a b, H thỏa ( )( )a b  thì hoặc a II  hoặc b I

Trong đó (a),(b) lần lượt là các iđêan sinh ra bởi phần tử a và b

Chứng minh:( ) ( )i  ii V i a b, H vƠăt p I'arb r| H N u aI

ho c b thìăI I'I vìăI lƠăm tăiđêanăc a H Ng c l i, gi s J=(a), K=(b) vƠăI'I , do I lƠăm tăiđêanăhaiăphíaăc a H nênăJKI M tăkhác,ăvìăI lƠăm t iđêanănguyênăt , theo (i), nênăJ I ho c KI Suy ra a ho c b II 

( )ii  Cho J, K lƠăcácăiđêanăc a H th a ( )i JKI Gi s J I L y

H qu 1.2.1.([3, Corollary6.4]) Nếu a,b là các phần tử của nửa vành H thì

các điều kiện sau trên một iđêan nguyên tố I của S là tương đương:

(i) Nếu ab I  thì a I  hoặc b I ;

(ii) Nếu ab I  thì ba I

Chứng minh: ( ) i  ( ) ii RõărƠng

( ) ii  ( ) i N u ab I thìăabr I v i m i r H Theo (ii) suy ra bra I v i

m i r Theo M nhăđề trên suy ra a IH  ho c b I

H qu 1.2.2 Cho I lƠăm tăiđêanăc a m t n aăvƠnhăgiaoăhoánăH.ăKhiăđóăI lƠăm tăiđêanănguyênăt n uăvƠăchỉ n u ab I suy ra a I ho c b I

Chứng minh: VìăH giaoăhoánănênăab I khiăvƠăchỉ khi arb abr I  v i m i

r Theo M nhăđề trênă taăcóăđiều cần ch ng minh H

1.3 N AăMỌĐUNăVĨăN AăMỌĐUN CON

Đ nhănghƿaă1.3.1 Cho A lƠăm t n aăvƠnh.ăM t A- nửa môđun phải M lƠă

m t v nhómă giaoă hoánă (M,+) v i phần t khôngă lƠă 0M cùngă v iă ánhă x

M A  xácăđ nh b i M  m r, mr đ c g iălƠăphépănhơnăvôăh ng th amưnăcácăđiều ki n sau:

(1) m.(rr’)=(mr).r’;

(2) (m+m’).r=m.r+m.r’;

(3) m.(r+r’)=m.r+mr’;

(4) m.1A= m;

(5) 0M r= 0M= m.0A

trongăđóăr,r’ lƠăcácăphần t tùyăỦăthu c A, m vƠ m’ lƠăcácăphần t tùyăỦăthu c

M.ăKỦăhi u A-n aămôđunăph i M lƠăMA

Nửa môđun trái trênăn aăvƠnhăA đ căđ nhănghƿaăhoƠnătoƠnăt ngătự.ăKỦăhi u

A-n aămôđunătráiăM lƠăAM

N u A lƠăn aăvƠnhăgiaoăhoánăthìăm t A- n aămôđunătráiăM cũngălƠ m t A-n a

môđunăph i M vƠăđ c g iălƠăA-nửa môđun

Víăd 1.3.1 M i n aăvƠnhăA lƠăm t A-n aămôđunătráiăv iăphépănhơnăvôă

Đ nhănghƿaă1.3.2 M t t p con N c a A-n aămôđunăph i M đ c g iălƠă

nửa môđun con c a M,ătaăkíăhi uălƠă N M , n u N đóngăkínăv iăphépăc ngăvƠăphépănhơnăvôăh ng,ănghƿaălƠăv i m i n n, 'N vƠă r A taăcó: n n  vƠă' N

nr N

Víăd 1.3.3 Cho A lƠăm t t păconăkhácăr ng c a n aămôđunăph i M vƠăI

lƠă m tă iđêană ph i c a A.ă Khiă đóă t p AI g m t t c cácă tổng hữu h n

Đ nhănghƿa 1.3.4 M t A- n aămôđunăph i M th aămưnăV(M)=M đ c g i

lƠăm t A-nhóm phải ( right A-group) M t n aămôđunătrênăm tăvƠnhăR đ că

g iălƠăR-môđun M t A-nhóm trái ( left A-group) đ căđ nhănghƿaăt ngătự

1.4 QUAN H T NGăĐ ẲNGăVĨăN AăMỌĐUNăTH NG

Đ nh nghƿaă1.4.1. Cho A lƠăm t n aăvƠnhăvƠăM lƠăm t A- n aămôđunăph i

M t quan h t ngăđ ngă xácăđ nhătrênăn aăvƠnhăM đ c g iălƠăm t quan

hệ đồng dư n u m m vƠă' n thìăn' m n   vƠăm n' ' mr m r' v i m i

r A

Kíăhi u Cong(MA) lƠăt p t t c cácăquanăh đ ngăd trênăA -nửa môđun phải

M Khiăđóăt p Cong(MA)   vìănóăluônăch a quan h đ ngăd ătầmăth ng (

quan h đ ng th c)  đ căxácăđ nh b i t mt m' n u m=m’ vƠăquanăh đ ng

d ăkhôngăthực sự  đ căxácăđ nh b i u mu m' v i m i m m, 'M

Víăd 1.4.1. N u N lƠăm t n aămôđunăconăc a A- nửa môđun ph i M thìăN

c m sinh m t quan h đ ngă d  trênă M đ că xácă đ nhă nh ă sau: N

N

m m n n N m n m n   vƠăquanăh đ ngăd nƠyăđ c g iălƠăquan

hệ Bourne V i m i m M , taăkíăhi u m/N thay cho /m  N

Víăd 1.4.2 N u A lƠăm t n aăvƠnhăvƠăS lƠăm t v nhómăconăc a C(A) thìăS

xácăđ nh m t quan h đ ngăd S trênăb tăkìăA-nửa môđun phải M nh ăsau:ă

v i m i m m, 'M, mS m'  s S ms: m s'

Víăd 1.4.3 Cho A lƠăm tăvƠnhăcóăV A( ) 0M vƠăM lƠăm t n aămôđun

con c a A.ăĐ nhănghƿaăquanăh  trênăM nh ăsau:ăm m’ v i m i m m, 'M

t ngă đ ngă Ann(m)=Ann(m’) trongă đóă Ann m( ) s A ms: 0M lƠă m t

quan h đ ngăd ătrênăM

Th t v y,  lƠăm t quan h t ngăđ ngătrênăM Gi s m m’ vƠăphần t n

tùyăỦăthu c M N u sAnn m n(  thìă0) M  (m n s)   ms ns

Do V M( ) 0M nênăms  vƠăvìăth ns 0M sAnn m( )Ann m( ') M tăkhác

( ')

sAnn m t călƠă 'm s nênă( ' )0M m n s m s ns'   , suy ra 0M

( ' )

sAnn m n hay Ann m n(  ) Ann m n( ' )

T ngătự taăcóăAnn m n( ' ) Ann m n(  V y ) Ann m n(  ) Ann m n( ' t călƠ )(m n ) ( ' m n )

Gi s s tùyăỦăvƠăA tAnn ms( ) thìă0M (ms t) m st( ) Doăđóă

Ann ms Ann m s hay (ms) ( ' ) m s

Nh năxétă1.4.1 T p Cong(MA) đ c sắp x p theo th tự b ph n b i quan

h th tự   xácăđ nh b i:      ' (m m’ suy ra m ' m’).

RõărƠngă t      u v i m i  Cong M( A) N u m m, 'M thìătaăkíăhi u

phần t nh nh t Cong M( A) th aămưnăm m'lƠă( , ')m m

Nh năxétă1.4.2.ăN u N lƠăm t n aămôđunăconăc a A- nửa môđun ph i M vƠă

( A)

Cong M

  thìăh n ch c a  lênăN lƠăm t quan h đ ngăd trênăN vƠăkíă

hi u |N.ăNg c l i, n u N lƠăm t n aămôđunăconăc a A- nửa môđun ph i M

vƠă Cong N( A) thìăt n t i duy nh t m t quan h đ ngăd cựcăđ i trênăM,ăkíă

hi uălƠă |N sao cho h n ch trênăN lƠă ăTrongătr ng h păđ c bi tătaăkíăhi u

|N



 lƠăquanăh đ ngăd cựcăđ i duy nh t trênăM mƠăh n ch lênăN lƠăm t

quan h tầmăth ng

Đ nhănghƿaă1.4.2 Cho M lƠăm t A-n aămôđunăph iăvƠ  lƠăm t quan h

đ ng d ătrênăăM V i m i m M , taăkíăhi u /m  lƠăl păt ngăđ ngăc a m

ng v i quan h  vƠ trênăt păth ng /M  g m t t c cácăl păt ngăđ ngă

đ c g iălƠănửa môđun thương của M theo quan h t ngăđ ng 

Đ nhănghƿaă1.4.3.ăN u M  0M vƠăCong(M) chỉ cóăhaiăphần t thìăkhiăđóă

A- n aămôđunăM đ c g iălƠăđồng dư đơn (congruence- simple) ho c c- đơn

(c-simple)

1.5 Đ NG C U N AăMỌĐUN

Đ nhănghƿaă1.5.1 Cho hai A-n aămôđunăph i M, N, m t A-đồng cấu nửa

môđun t M đ n N lƠăánhăx f M: N th aămưn:

(1) f (x+ y)= f(x)+ f(y) v i m i ,x y M ;

(2) f(xr)= f(x).r v i m i x M r , A

M tăđ ng c u n aămôđunăf đ c g iălƠăđơn cấu (ăt ngă ng, toàn cấu, đẳng

cấu) n uăánhăx f lƠăđ năánh(ăt ngă ng,ătoƠnăánh,ăsongăánh)

Đ nh nghƿaă1.5.2 Cho A- n aămôđunăph i M, N, t p

A

Hom M N  f MN f là đồng cấu nửa môđun} lƠăm t v nhómăgiaoă

hoánăv iăphépătoánăđ căđ nhănghƿaănh ăsau:

         ,

VƠănóăđ c g iălƠăvị nhóm của các A- đồng cấu từ M đ n N

Víăd 1.5.1 Cho M lƠăm t A- n aămôđunăph i, v i m i m M ta có ánhă

x :

: A M m

f MN đ c g iălƠăA-đơn xạ(A- monomorphism) n u vƠăchỉ n u v i

m i n aămôđunăph i K vƠăv i m i A-đ ng c u n aămôđunăg g t K 1, 2 đ n M

mƠ f go 1 f go 2thìăg1 A- đ ng c u g2 f : MN đ c g iălƠăA-toàn xạ(

A-epimorphism) n u vƠăchỉ n u v i m i n aămôđunăph i L vƠăv i m i

A-đ ng c u n aămôA-đunăh h 1 , 2 t N đ n L mƠăh o f1 h of2 thìăh1 M t A-đ ng h2

c u f : MN đ c g iălƠăA-song xạ ( A-bimorphism) n u f lƠăm t A-

đ năx vƠăA- toƠnăx

Đ nhă nghƿaă 1.5.4 Cho A- n aă môđună ph i M, N, xétă A-đ ng c u

:

f MN Khiăđó,ănhân, ảnh và ảnh thực sự c a f đ căkíăhi uălƠăKer(f),

Im(f) vƠăf(M) đ căxácăđ nhănh ăsau:

Đ nhănghƿaă1.6.1 Cho A lƠăm t n aăvƠnh.ăM t A- n aămôđunăph i E đ c

g iălƠănội xạ n u cho m t A- n aămôđunăph i M vƠăm t n aămôđunăconăN, b t

kìăA- đ ng c u t N vƠoăE đềuăcóăthể m r ngăthƠnhăA- đ ng c u t M vƠoăE

TrongălỦăthuy tăvƠnhăvƠămôđun,ăchúngătaăđưăbi t m iămôđunăph iăđều

ch a trong m t n aămôđunăn i x ăTuyănhiên,ăđiềuănƠyăkhôngăx yăraătrongălỦă

thuy t n aăvƠnhăvƠăn aămôđun.ăTaăcóăm nhăđề sau:

M nhăđ 1.6.1 ([3,Proposition 15.18]) Cho A là một nửa vành và E là một

A- nửa môđun phải nội xạ Khi đó:

(i) EAlà một A- nửa môđun phải nội xạ với mọi tập A khác rỗng

(ii) Mọi hạng tử trực tiếp của E cũng nội xạ

Đ nhănghƿaă1.6.2 M t A- đ ng c u n a môđunăph i : MN đ c

g iă lƠă cốt yếu ( essential) n u v i b tă kìă A- đ ng c u n aă môđună ph i

  thìăánhăx  o lƠăm t A-đ năx chỉ khi  m t A- đ năx

M t A- n a môđun con M’ c a m t n aămôđunăph i M đ c g iălƠălớn trong

M n uăánhăx nhúngăM'MlƠăm t A- đ ng c u c t y u.ăTrongătr ng

h pănƠy,ătaăcũngăg i M lƠăm t mở rộng cốt yếu c a n aămôđunăconăM’

Nh ăv y, m t A- đ ng c u : MN lƠăcốt yếu n uăvƠăchỉ n u  ( M ) lƠă

l n trong N T đóă taă th y r ng, m t n aă môđună conă M’ c a m t S-n a môđunăph i M lƠăl n trong M n uăvƠăchỉ n u m i n aămôđunăc a M ch a M’

lƠăl n trong M

CH NGă2 CÁCăĐ CăTR NG C A N AăVĨNHăZEROSUMFREE VĨă

NG D NG

Trong chương này các kết quả chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu [3], [4],

[12] và một số kết quả suy ra từ đó, cụ thể như sau:

Trong 2.1, tôi trình bày khái niệm và một số tính chất đặc trưng của nửa vành zerosumfree cùng với một số ví dụ minh họa Một số tính chất trên nửa vành được áp dụng cho nửa vành zerosumfree để có kết quả cụ thể hơn

Trong 2.2, tôi đề cập tới một số kết quả của tính chất trừ khi xét nó trên

nửa vành zerosumfree Tôi trình bày thêm định nghĩa một V- nửa vành phải, nêu lên mối quan hệ giữa nửa vành zerosumfree và nửa vành zeroic, xét các

lớp nửa vành mà nửa môđun trên nó có bao nội xạ Từ đó đưa ra khẳng định

nếu mỗi nửa vành zerosumfree S thỏa mãn tính chất: “ Mọi mở rộng cốt yếu

của mỗi S- nửa môđun c-đơn M đều trùng với M” thì S là một V- nửa vành

phải và vành sai phân tương ứng của nó là vành không Mặt khác, nếu nửa vành nào đó thỏa mãn một tính chất nhưng không phải là vành thì có thể

chuyển thành một nửa vành zerosumfree khác 0 vẫn mang tính chất đó

Trong 2.3, tôi trình bày một số ứng dụng thực tế của nửa vành

zerosumfree và một số ví dụ về nửa vành liên quan đến nửa vành zerosumfree thường gặp như tập các số tự nhiên, tập các số nguyên không

âm, tập các số hữu tỷ không âm, tập các số thực không âm

2.1 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE

Đ nhănghƿaă2.1.1 M t n aăvƠnhăA đ c g iălƠăzerosumfreeăn u phần t 0 lƠă

phần t kh đ i duy nh t c a v nhómă(A,+,0) NghƿaălƠ,ăv i m i a,a’ thu c A,

n u a+a’=0 thìăa=a’=0

Trong (A,+ ) không cóăphần t khácăkhôngănƠoăcóăphần t đ i

M tăvƠnhăcóăđ năv khôngăthể lƠăzerosumfreeăănh ăm t n aăvƠnhă.ăTh t v y,

n u lƠăm tăvƠnhăcóăđ năv ,ăkhiăđóă-1+1=0 trong trong khi c -1 vƠă1 đềuăkhácă0

Víă d 2.1.1 T p cácă s tự nhiênă v iă phépă toánă c ngă vƠă nhơnă thôngă

th ngăcácăs tự nhiênălƠăgiaoăhoánăvƠălƠăzerosumfree

Nh năxétăcũngăđúngăchoăt p Q+ cácăs hữu tỷ khôngăơm,ăchoăt p + cácăs

thựcăkhôngăơmăvƠăchungăchoăS   S , trongăđó S lƠănhómăc ng b t kỳ c a

Víă d 2.1.2 Cho m i s nguyênă d ngă n,ă xétă t p Xn   ,0,1, 2, ,ntrongă đóă  đ c gi thi t th aă mưnă cácă điều ki n sau:   vƠăii

  , v i m i i thu c Xn.ăTaăđ nhănghƿaăphépătoánăc ngăvƠănhơnătrênă

n

X nh ăsau:

i+ h= min{i,h} vƠ i.h=max{i,h}

Lúcă đó,ă Xn lƠă m t n aă vƠnhă cóă đ nă v giaoă hoánă vƠă zerosumfree

Th t v y, phần t 0 c a Xn lƠă n.ă Lúcă đóă i+h=0Xn t c min{i,h}= n suy ra i= h= n= 0Xn.

Víăd 2.1.3 Xétăt p A3= {0,1,a}v iăphépătoánăc ngăvƠănhơnănh ăsau:

lƠăm t n aăvƠnhăcóăđ năv giaoăhoánălũyăđ ngăvƠărõărƠngălƠăzerosumfree

Víăd 2.1.4 Cho R lƠăm tăvƠnh,ăt p h p ideal(R)={I| I lƠăiđêan c a R}

Trênăt p ideal(R) xácăđ nhăphépăh păvƠăgiao thôngăth ngăcácăiđêan trênăR Khiăđóăideal(R) l păthƠnhăm t n aăvƠnhălũyăđ ng c ngătính,ăzerosumfreeăvƠăkhôngăgiaoăhoán

Nh năxétă2.1.1 N u A lƠ m t n aăvƠnh zerosumfree thìăt p

Trong c 3ătr ng h pătaăđềuăcóăx y  (1) A'

V i m i ,x y , xétătíchăxy N u x=0 ho c y=0 thìăA' xy  N u x vƠăy 0 A'

đềuăkhácă0,ătaăcóăxyb=x(yb) vƠ do y nênA' yb0,ăh nănữa x0 vìăth

T (1)ăvƠă(2)ătaăcóăA’ lƠăn aăvƠnhăconăc a A

M tăkhác,1  A 'nênăA’ lƠ m t n aăvƠnh con zerosumfree thực sự c a A

M nhăđ 2.1.1 A là một nửa vành zerosumfree nếu và chỉ nếu V(A)={0}

Chứng minh:() Gi s A lƠă m t n aă vƠnhă zerosumfree ta ch ng minh

V(A)= {0}

Gi s V A( ) thìăt n t i { }0 a c a A sao cho 0 a V A ( ), t c t n t i phần t

đ i a’ c a A sao cho a+a’=0 Do A lƠăm t n aăvƠnhăzerosumfreeănênăa=a’=0

(ămơuăthu n)

V y V(A)= {0}

  Gi s V(A)= {0} ta ch ng minh A lƠ m t n aăvƠnhăzerosumfree

Điềuă nƠyă cóă nghƿaă lƠă chỉ cóă phần t 0 c a A lƠă cóă phần t đ i

V y A lƠăm t n aăvƠnhăzerosumfree

Nh năxétă2.1.2 Cho R lƠăm tăvƠnhăgiaoăhoán,ăm t t p con P c a R v iăcácă

phépătoánăc ngăvƠănhơnăđ c h n ch t R th a P      P 0 ăKhiăđó,ăP lƠ

m t n aăvƠnhăzerosumfreeăcóăđ n v

Chứng minh: V i m i ,x y P mƠăx+y=0,ălúcăđóăy lƠăphần t đ i c a x nênă

y V yP y P    P  0  y 0 L p lu năt ngătự, taăcũngăcóăx=0.Doăđóăx=y=0 suy ra P lƠăm t n aăvƠnhăzerosumfree

Nh năxétă2.1.3 M t n aăvƠnh chiaăđ c thìănóăho c lƠăm t n aăvƠnhă

zerosumfree ho călƠăm tăvƠnh chiaăđ c

Chứng minh: Gi s A không ph iălƠăm t n aăvƠnh zerosumfree.ăKhiăđó,ăt n

t i 0  cóăphần t đ iălƠă–a.a A

N u 0  thìc A c ca  1  a ca 1a   a  ca 10 0

Suy ra c có m t phần t đ i vìăth (A,+) lƠăm tănhómăvƠădoăđóăA lƠăm tăvƠnh.ă

V y A lƠăm t vƠnhăchiaăđ c