GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN TỈ LỆ THỨC MÔN ĐẠI SỐ LỚP 7.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Qua thời gian giảng dạy môn toán lớp 7, và các tiết dự giờ đồng nghiệp ở trường THCS Tân Đồng, bản thân tôi nhận thấy như sau : Với các dạng toán tỷ lệ thức tôi thấy

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MÔN TOÁN

Họ và tên : Lê Hữu Hoằng

Chức vụ : Giáo viên.

Đơn vị : Trường THCS Tân Đồng.

Trình độ chuyên môn : CĐSP Toán - tin.

Bộ môn giảng dạy : Toán 7 + 9

Năm học : 2007 – 2008

Đề tài :

“ GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN TỈ LỆ THỨC

MÔN ĐẠI SỐ LỚP 7.”

A PHẦN MỞ ĐẦU :

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Qua thời gian giảng dạy môn toán lớp 7, và các tiết dự giờ đồng nghiệp

ở trường THCS Tân Đồng, bản thân tôi nhận thấy như sau :

Với các dạng toán tỷ lệ thức tôi thấy chưa hệ thống hóa được các dạngbài tập, chưa đưa ra được nhiều hướng suy luận khác nhau của một bài toán vàchưa đưa ra các phương pháp giải khác nhau của cùng một bài toán để kíchthích sáng tạo của học sinh Về tiết luyện tập giáo viên thường đưa ra một sốbài tập rồi cho học sinh lên chữa hoặc giáo viên chữa cho học sinh chép Vàđưa ra nhiều bài tập càng khó thì càng tốt Trong nhiều trường hợp thì kết quảdẫn đến ngược lại, học sinh cảm thấy nặng nề, không tin tưởng vào bản thânmình dẫn đến tình trạng chán học

Vì vậy giáo viên cần phải có phương pháp giải bài tập theo dạng và cóhướng dẫn giải bài tập theo nhiều cách khác nhau Nếu bài toán đó cho phép.Mỗi dạng toán có phương pháp giải riêng để giải bài tập nhằm hình thành tưduy toán học cho học sinh, cung cấp cho học sinh những kĩ năng thích hợp đểgiải quyết bài toán một cách thích hợp

Học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải chotừng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm đượccác bài tập dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa

Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập tỷ lệ thức saocho các em có thể giải bài tập tỷ lệ thức một cách dễ dàng nhất

II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :

1 Mục đích nghiên cứu :

Xây dựng được hệ thống bài tập tỉ lệ thức để củng cố, bồi dưỡng họcsinh kiểm tra đánh giá khả năng lĩnh hội tri thức của học sinh

2 Nhiệm vụ nghiên cứu :

- Khảo sát thực trạng việc học sinh giải toán dạng tỉ lệ thức ở trườngTHCS Tân Đồng

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU :

- Thời gian thực hiện : Khóa học 2006 – 2007 ; 2007 - 2008

- Năm học 2006 – 2007 ; 2007 – 2008

- Trong chương trình toán 7

- Học sinh lớp 7 trường THCS Tân Đồng

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO :

- Sách giáo khoa toán 7

- Một số đề thi học sinh giỏi toán 7

- Một số tài liệu khác

B QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI :

Qua quá trình giảng dạy thực tế và tham khảo đồng nghiệp, kết quả họctập của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của họcsinh Có bài lời giải độc đáo, sáng tạo , chặt chẽ, trình bày sáng sủa, khoa học,song cũng có bài giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự sáng tạo

TÓM TẮT KIẾN THỨC PHẦN TỈ LỆ THỨC

Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát chất lượng năm học 2006- 2007 và năm học 2007 - 2008.

Câu 1 : Tìm x,y,z biết :

5 3

2

z y

; 4

3

z y y

x = = và 2x – 3y + z = 6

Đáp án :

Câu 1 : Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

15 10

150 5

3 2 5 3

+ +

+ +

20 12 9

20 12 5 3

12 9 4 3

z y x

z y z y

y x y x

6 20 2 3 9 2

3 2 20 12

Đối tượng 1 : Các em chỉ mới làm được câu 1.

Đối tượng 2 : Các em đã làm được câu 1 và câu 2.

Đối tượng 3 : Các em đã hoàn chỉnh cả ba câu.

II CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :

Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố đểnắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản , tính chất mở rộng của tỷlệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau Sau đó cho học sinh làm một loạt những bàitoán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sởcho việc chọn lời giải, có thể minh họa điều đó bằng các dạng toán, bằng cácbài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây

DẠNG 1 : Tìm x,y,z.

Bài toán 1 : Tìm x,y biết :

9 10

90 5 2

5

k x k

y x

5

2 5

5

2 5

2

2 2

y x y

x y

15 5

3 9

25

6 36

9 4

9 10

90 10 25 4

2 2 2 2

2 2

2 2

y

x x

x

xy y

z y y

x = = và x + y + z = 37

4 3

z y y

x = = và 2x + 3y – z = 186

3 2

z y y

x = = và x + y + z = 92

5 3

z y y

x = = và 2x + 4y – 2z = -4

Giải :

a Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xemliệu có tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau haykhông ? Yêu cầu đó đã hướng các em hệ thống hóa kiến thức cơ bản, tính chấtmở rộng để chọn lời giải cho phù hợp

Ta có :

1 37

37 12 15 10 12 15 10

12 15 3

1 4 3

1 5 4 5

15 10 5

1 3 5

1 2 3 2

=

= + +

+ +

z y hay z

y z y

y x hay y

x y x

-> x = 10.1 = 10

y = 15.1 = 15

z = 12.1 = 12Vậy x = 10; y = 15; z = 12

b Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trunggian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau Tôi còn hướng cho các em tìm hiểuxem có gì đặc biệt trong tổng 2x + 3y – z = 186 để giúp các em nhớ lại tínhchất của phân số bằng nhau Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toáncho thích hợp

Ta có :

3 62

186 28

20 3 15 2

3 2 28

20 15

28 20 4

1 7 4

1 5 7 5

20 15 5

1 4 5

1 3 4 3

=

=

− +

− +

y x

z y hay z

y z y

y x hay y

x y x

Hướng thứ nhất : Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai

tích ta có lời giải sau :

Ta có :

2 79

158 15

24 40 15 24 40

15 24 3

1 5 3

1 8 5 8 8

5

24 40 8

1 3 8

1 5 3

5 5

3

=

= + +

+ +

y x

z y hay z

y z y z y

y x hay y

x y x y x

-> x = 40.2 = 80

y = 24.2 = 48

z = 15.2 = 30

Vậy x = 80; y = 48; z = 30

Hướng thứ hai : Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng

thức Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3,5,8 Từ đó các em có lờigiải của bài toán như sau :

Ta có BCNN (3,5,8) = 120

Từ 3x = 5y = 8z 8 1201

120

1 5 120

1

+ +

+ +

Hướng thứ ba : Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành một

thương Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau :

120 79 158

8

1 5

1 3

1 8

1 5

1 3

+ +

+ +

em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải phần b

* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút Yêu cầu các

em phải có tư duy một chút để tạo nên tích trung gian như sau :

+ Từ 2x = 3y - > 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y

+ Từ 5y = 7z -> 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z

-> 10x = 15y = 21z

40 840 21 1

56 840 15 1

84 840 10 1

840 210

15 60 21

1 7 15

1 5 10

1 3

7 5 3 21

1 15

1 10

− +

z y x z

y x

Vậy x = 84; y = 56; z = 40 Các em đã tìm hướng giải cho phần b và tự cho được ví dụ về dạng toánnày

Bài toán 4 : Tìm x,y, z biết rằng :

a x5−1 = y 3− 2 = z 2− 2 và x + 2y – z = 12

b x 2−1 = y 3− 2 = z 4− 3 và 2x + 3y – z = 50

Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làmthế nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc2x + 3y – 5z = 10

Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp cho các em nhìn rangay và có hướng đi cụ thể

Hướng thứ nhất : Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng

nhau ta có lời giải của bài toán như sau :

Ta có :

1 9

3 12 9

3 2

2 6 5

) 2 ( 4 2 1 6

4 2 3

2

) 2 ( 2 2

2 3

2 5

=

− +

−

−

− +

z y

x y

y z

y x

y = 3.1 + 2 = 5

z = 2.1 + 2 = 4Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng đểtự giải phần (b) của bài toán 4

Bài toán 5 : Tìm x,y,z biết rằng :

hiện x + y + z Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷsố bằng nhau và đã có lời giải của bài tóan phần (b) như sau :

Giải : Điều kiện x,y,z ≠ 0

Ta có :

5 , 0 2

1 2

1

2 ) (

2 3 2

1 3

3 1

=

= + +

→

= +

+

→

= + +

+ +

= +

+

− + + + + + + +

=

− +

= + +

=

+

+

z y x z

y

x

z y x

z y x z

y x

y x z

x z

y z

y x y

z x x

, 0 2

1 = → − + = +

+

x

x x

, 0

2 = − + = +

+

y

y y

3 5

, 0

3 = − − =

− +

z

z z

Sau khi thực hiện dạng 1 của đề tài tôi cho học sinh làm bài toán thực nghiệm như sau :

*Đề kiểm tra lần 1:

4 3

Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỷ lệ thức còn cóvai trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức so với hệ thống các bàitập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mởrộng đã cho các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và yêu cầu của bàitoán.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1

Bài 1 : Tìm các số x , y , z biết rằng :

DẠNG 2 : Chứng minh tỷ lệ thức :

Bài toán 1 : Cho tỷ lệ thức b a = d c Hãy chứng minh :

d c

d c b a

b a

b

d c

d c b a

b a

a

4 3

5 2 4 3

5 2

+

−

= +

−

Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thốnghóa kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán đểtìm hướng giải cụ thể.

* Hướng thứ nhất : Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng

1 (

) 1 (

1

1 )

1 (

) 1 (

+

−

= +

−

= +

−

= +

−

+

−

= +

−

= +

−

= +

−

k

k k

d

k d d dk

d dk d

b

k b b bk

b bk b

a

b

a

d c

d c b a

b a

+

−

= +

−

* Hướng thứ hai : Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và

tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :

Từ : b a = d c → a c = d b (Hoán vị trung tỷ)

b c

b a d c

b a

d c b a

b a

+

−

= +

−

Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vàotính chất cơ bản của tỷ lệ thức :

d

c b

Xét tích : (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd

(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd-> (a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) (cùng bằng ac – bd)-> a a b b = c c +− d d

+

−

(Đpcm)Với việc hệ thống hóa các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một sốhướng giải Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễhiểu, đề trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài , qua đó để học sinh tự giảicác bài tập phần b của bài 1

Bài toán 2 : Cho b a = d c Hãy chứng minh :

;

2 2

2

2 2

2

2 2

cd

ab d

c

b a c

cd

ab d

c

b a b

cd

ab d

c

b a a

= + +

=

−

−

= + +

Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ tínhtoán dễ nhầm lẫn hơn Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về lũy thừa vàkiến thức về tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trìnhbày hơn Tôi đã nhấn mạnh lại các công thức :

Nếu :

bd

ac d

c b

a d

c b

và hướng cho các em trình bày lời giảicủa bài toán phần c

c

b a Hay

d cd c

b ab a

cd

ab d

c b

a cd

ab d

b c

a

= + +

+ +

+ +

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

2

Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày đượclời giải phần a,b và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác đểchứng minh tỷ lệ thức

Bài toán 3 : (Dành cho học sinh khá giỏi)

Cho b a = c b Hãy chứng minh b a c b = a c

+

+

2 2

2 2

Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận caohơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức đểcó hướng giải phù hợp

* Hướng thứ nhất : Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái, biến đổi

vế phải ta có lời giải sau :

Từ b a = c b -> b2 = ac Thay vào vế trái ta có :

c

a c a c

c a a c ac

ac a c

+

= +

+

) (

) (

2

2 2 2

2 2

(Đpcm)

* Hướng thứ hai : Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức ta

có lời giải sau :

Vì cần có a2 ; b2 nên ta nhân từng vế của b a = c b với chính bản thân nó ta có :

2 2

2 2 2

2 2

2

c b

b a c

b b

a c

b c

b b

a b

a c

mà b ac b a ac a c a

c

b b

* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 2 :

Cho tỷ lệ thức : b a = d c hãy chứng minh :

( ) ( ( ) )2

2 2

2

3

2

3 2 3 2

3 2

.

d c

b a d

c

b a b d

c

d c b a

b a

* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2006 – 2007 :

Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh môntoán 7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độclập suy nghĩ để nhớ kĩ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao Đóchính là công cụ giải toán của mỗi học sinh Ngoài ra phương pháp này còn làcông cụ đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đạilượng tỷ lệ thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2:

Chứng minh rằng nếu a2 = b.c ( với a # b và a # c ) thì :

số gạo ở 3 kho bằng nhau Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu Biết rằng kho Bnhiều hơn kho A là 20 tạ

Để giải bài toán này tôi lại cho học sinh đọc kĩ đề bài , tóm tắt, phântích kĩ mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau :

Giải :

Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x,y,z (tạ) gạo (x,y,z > 0)

Số gạo lúc sau ở kho A là : x + 71x = 78x

Số gạo lúc sau ở kho B là : y - 91y = 98y

Số gạo lúc sau ở kho C là : z - 72z = 75z

Theo bài ra ta có : 78x = 98y = 75z (1) và y – x = 20

Chia cả ba tỷ số của (1) cho BCNN (8;5) = 40 ta có :

2 10

20 35 45 56 45

Chẳng hạn :

Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo, bằng các dữ liệu sau :

1 Tổng số gạo ở ba kho là 272 tạ

2 Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ

3 Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ

Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 3:

Có 16 tờ giấy bạc lọai 2000 đồng ,5000 đồng , 10000 đồng Trị giá mỗilọai tiền trên đều bằng nhau Hỏi mỗi lọai có mấy tờ

Hướng dẫn giải :

Gọi số tờ giấy bạc lọai 2000 đồng , 5000 đồng , 10000 đồng theo thứ tự là

x, y ,z ( x, y ,z € N * )

Ta có : x + y + z = 16 và 2000x = 5000y = 10000z

Biến đổi để đưa về áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau suy ra :

Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kĩ đề bài.Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của chuyển động trên mộtđoạn đường Chú ý rằng : Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian làđại lượng tỷ lệ nghịch Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức :

1

2 2

1

t

t v

v = và các em đãcó hướng đi tìm t1 ; t2

Giải :

Gọi v1 là vận tốc dự định, t1 là thời gian dự định ; v2 là vận tốc thực đi, t2

là thời gian thực đi

v1, v2 cùng đơn vị; t1, t2 cùng đơn vị (v1, v2 , t1, t2 > 0)

Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệnghịch Do đó :

1

2 2

Vậy thời gian dự định đi lúc đầu là 90 phút

* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 4 của đề tài :

Bài toán 1 :

Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi được ½quãng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn được 10phút Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Bài toán 2 :

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h và dự định đến B lúc11h45’ Sau khi đi được 4/5 quãng đường thì người đó xe đó đi với vận tốc 30km/h nên đến B lúc 12h

Hỏi xe đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB là bao nhiêu ?

* Kết quả kiểm tra dạng 4 Năm học 2006 - 2007:

c b a ABC

ch bh ah

Ta đặt h a + h b = h b + h c = h c + h a = k

8 7

5-> ha + hb = 5k

+ hb + hc = 7k

hc + ha = 8k2(ha + hb + hc) = 20k -> ha + hb + hc = 10kMà ha + hb = 5k -> hc = 5k

2 2

3k b k c k

-> a.3k = b.2k = c 5k

-> 3a = 2b = 5c.

30

1 2 30

1

3a⋅ = b⋅ = c⋅ = a = b = c

Vậy a : b : c = 10 : 5 : 6

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 70m và tỉ số giữa hai cạnhcủa nó bằng 3 /4 Tính diện tích miếng đất đó

Đáp số : 300m2

MỘT SỐ SAI XÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC :

Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh tiếp thu được các nội dung trên nhờ cụ thể hóa phương pháp, phân dạng được bài tập nên học sinh biết cách vận dụng vào bài tập

Tuy nhiên cũng còn nhiều sai sót, thiếu chính xác cần tiếp tục uốn nắn, rèn kĩ năng

Sau đây là vài ví dụ minh họa :

Các em ⇒ 5x = 8y = 3z nên việc tìm x,y,z sai

Cách khắc phục :

Lời giải đúng mong đợi :

Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức Các em đãbiết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3,5,8 Từ đó các em có lời giải của bàitoán như sau :

Ta có BCNN (3,5,8) = 120

Từ 3x = 5y = 8z 8 1201

120

1 5 120

1

+ +

+ +

Do đó các em không đi đến được yêu cầu của bài toán

Những sai xót và cách khắc phục :

Sai xót : Học sinh chưa sử dụng đúng phương pháp hoán vị các số hạng của tỉ

lệ thức, chưa biết sử dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau

Cách khắc phục :

Từ a b = d c ⇒ a c = d b (hoán vị trung tỉ)

Aùp dụng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để đi đến đpcm

Lời giải đúng mong đợi :

Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và tính chất cơbản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :

Từ : b a = d c → a c = d b (Hoán vị trung tỷ)

b c

b a d c

b a

d c b a

b a

+

−

= +

−

Ngoài hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tínhchất cơ bản của tỷ lệ thức :

d

c b

Xét tích : (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd

(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd-> (a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) (cùng bằng ac – bd)-> a a b b = c c +− d d

+

−

(Đpcm)Trong quá trình giảng dạy, sẽ xuất hiện những trường hợp học sinh mắc phải sai lầm, tùy theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn hoặc có