Kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn đại số lớp 7

Là người đã giảng dạy và bồi dưỡng học sinhgiỏi môn Toán 7 nhiều năm với mong muốn giúp học trò học tốt hơn môn Toán và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 7, tôi đã nghiê

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:

Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là nội dung cơ bản củachương I đại số 7 cũng là nội dung cơ bản của chương trình Toán 7 Trong quátrình giảng dạy tôi thấy học sinh vẫn còn mắc những sai lầm khi giải dạng toán

về tỉ lệ thức Dạng toán này xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi Toán

7 Hiện nay ngoài kiến thức và bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và sách bàitập thì chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề này một cách đầy đủ nên khi dạyphần này giáo viên dạy và ôn đội tuyển gặp không ít khó khăn để biên soạn chohết nội dung của chủ đề Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã nghiên cứuthấy phần này hay, tâm đắc muốn trình bày một số kinh nghiệm về nội dungkiến thức của chủ đề để giáo viên dễ dàng áp dụng trong việc giảng dạy cho họcsinh

Đối với học sinh, thông qua hướng dẫn giải bài tập của giáo viên, giúp họcsinh rèn luyện tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú tronghọc tập, nâng cao mức độ tư duy, khả năng phân tích phán đoán, khái quát đồngthời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo trong khi làm bài tập

Trường THCS Xuân Vinh là trường có tỉ lệ học sinh mũi nhọn còn hạn chế

so với mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh yêu thích môn Toán và

dự thi học sinh giỏi cấp huyện Là người đã giảng dạy và bồi dưỡng học sinhgiỏi môn Toán 7 nhiều năm với mong muốn giúp học trò học tốt hơn môn Toán

và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp huyện môn Toán 7, tôi đã nghiên cứu và

viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất

của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán ở môn Đại số lớp 7”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh đại trà hiểu được kiến thức cơ bản và vận dụng kiến thứcmột cách linh hoạt vào giải bài tập;

Giúp học sinh giỏi được tiếp cận với nhiều dạng và nhiều cách giải đểkhông còn thấy khó khăn khi gặp phải dạng bài tập này;

Muốn bản thân, đồng nghiệp trong và ngoài trường tham khảo để giảng dạyđược tốt hơn về dạng toán tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau;

Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có tính tích cực, tựgiác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say

mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có một phươngpháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu về việc hướng dẫn học sinh sử dụng tỉ lệ thức, tính chấtcủa dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán trong chương trình Đại số 7

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa,sách bài tập, sách tham khảo, tài liệu trên mạng…

- Phương pháp điều tra;

- Phương pháp đối chứng;

- Phương pháp thực nghiệm;

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm…

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

Tính chất 2: (Đảo lại)

Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

d

c b

e c a f d b

e c a f

e d

a b

a b

2 1

n n

n

b b

b b

a a

a a b b

b b

a a

a a b

a b

a b

a b

3 2 1 3

2 1

3 2 1 3

3 2

2 1 1

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

c b

a d

c b

2

4 Nếu b a d c e f b a d c e f3 b a.d.c..e f

3 3 3 3

y a

a



d

b c

a



a

c b

d



a

b c d



Lưu ý: Nếu đặt dấu “ – ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu

“ - ” trước số hạng dưới của tỉ số đĩ Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho tamột khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những

tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đĩ số hạng trên hoặc số hạng dưới của nĩ

cĩ dạng thuận lợi để sử dụng các dữ kiện của bài tốn

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

Qua quá trình cơng tác giảng dạy và bồi dưỡng phần kiến thức về tỉ lệ thức,của dãy tỉ số bằng nhau tơi thấy:

- Học sinh ( ngay cả giáo viên) gặp nhiều sai sĩt trong quá trình giải tốn Các

em hay sai trong cách trình bày lời giải, sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”;giữa “=” với dấu “+”, sử dụng thiếu dữ kiện bài tốn hoặc vận dụng tính chấtmột cách tương tự

- Học sinh cịn học vẹt, làm việc rập khuơn, lười suy nghĩ, lười tư duy dẫn đếnmất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân;

- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm tìm tịi, phân dạng để tìm hiểu chuyênsâu từng dạng tốn;

- Học sinh sau khi đi tìm được một lời giải đúng thì các em hài lịng và dừng lại

mà khơng đi tìm cách giải khác, khơng sáng tạo gì thêm nên khơng phát huy hếttính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân;

- Tài liệu viết về các dạng tốn này cịn ít, mỗi cuốn chỉ đề cập đến một dạngnhỏ và chưa đưa ra phương pháp giải cụ thể hoặc phương pháp giải đơn giảnchưa đưa ra được nhiều cách giải để phát triển bài tốn…

Trước thực trạng trên địi hỏi giáo viên phải cĩ các giải pháp trong phươngpháp dạy học sao cho phù hợp Năm học 2016 – 2017 tơi được giao nhiệm vụdạy Tốn 7 Khối 7 cĩ 02 lớp với 56 học sinh Giữa học kì I của năm học, tơi ra

đề khảo sát học sinh như sau: Thời gian 45 phút

Bài 1 (3 điểm): Tìm x, y biết

a 3x 5y và x + y = 16 b 3x = 7y và x – y = 20

c 3x 4y và 2x – 3y = -12

Bài 2 (3 điểm): Tìm x , y, z biết

a 2x 4y 5z và x + 2y – z = 10 b 3x 4y ; 5y 7z và 2x + 3y –z = 186

Bài 3 (3 điểm): Cĩ 16 tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ và 10000đ Trị giá mỗi

loại tiền trên đều bằng nhau Hỏi mỗi loại cĩ mấy tờ?

Bài 4 (1 điểm): Cho ba tỉ số bằng nhau: b a c

 ; c b a

 ; a c b

 Tính giá trị mỗi tỉ số đĩ?

Kết quả ban đầu khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này:

TSHS SLGiỏi% SLKhá% Trung bìnhSL % SLYếu% SLKém%

56 3 5,4 8 14,3 27 48,1 15 26,8 3 5,4

Đứng trước thực trạng trên tôi đưa ra một số dạng toán và cách giải giúp các

em không còn sai sót khi trình bày lời giải Các dạng toán đó là:

1 Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước

2 Tìm các thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.

3 Toán chia tỉ lệ.

4 Tính giá trị của biểu thức

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

Để học sinh vận dụng kiến thức giải bài tập một cách chính xác, nhanhnhất, ngắn nhất giáo viên cần giúp các em xác định kiến thức, phương pháp cơbản cần dùng để giải từng dạng toán cụ thể Muốn khắc sâu kiến thức cho họcsinh, giáo viên cần chọn những bài tập có tính chất cơ bản và mang tính pháttriển các kiến thức ở mọi khía cạnh, hướng dẫn học sinh giải các bài tập theonhiều cách khác nhau Qua đó giúp học sinh vừa nắm được kiến thức cơ bản vừaphát triển được tư duy, sáng tạo linh hoạt khi làm bài, tạo hứng thú và yêu thíchmôn học

2.3.1 Dạng 1: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Phương pháp giải: Tìm cách biến đổi tỉ lệ thức ban đầu để trở về đẳng

thức cần chứng minh hoặc có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đórồi biến đổi các vế của đẳng thức cần chứng minh theo hằng số k

Bài 1.1 (Bài 102a/ tr50/ SGK):

Cho a c

b d (a, b, c, d 0, a b,c d) Chứng minh rằng: a bb cd d Hướng dẫn: Đối với bài toán này ta có thể biến đổi tỉ lệ thức cho trước đểtrở thành đẳng thức cần chứng minh hoặc đặt a c k

b d  rồi biến đổi hai vế củađẳng thức cần chứng minh theo k

- Giáo viên trình bày kĩ cho học sinh bốn cách giải sau:

b bk b

b a

    ( 1)k 1 ( 2 )

d

k d d

d dk d

d c

Từ (1) và (2) suy ra : a bb cd d (đpcm)

Cách 3:  

d

c b

a

ad = bc  ad + bd = bc + bd  ( a + b)d = ( c + d)b  a bbcd d (đpcm)

Cách 4:

d

c b

a

   1   1

d

c b

a

d

d c b

Giáo viên kết luận: Như vậy để chứng minh tỉ lệ thức dạng: b a d c , tathường dùng hai phương pháp chính:

Phương pháp 1: Chứng tỏ tích ad bằng tích bc

Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số có cùng giá trị Nếu trong đề bài đã chotrước một tỉ lệ thức khác, ta có thể đặt giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức đã chobằng k, rồi tính giá trị của mỗi tỉ số trong tỉ lệ thức phải chứng minh theo k (cách2) cũng có thể dùng các tính chất của tỉ lệ thức như hoán vị các số hạng, tínhchất dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức… để biến đổi tỉ lệ thức đã chođến tỉ lệ thức phải chứng minh (cách 1, 3)

Kinh nghiệm khi dạy bài tập dạng 1.1 giáo viên nên đưa cả 4 cách giải trên

để học sinh được biết, tuy nhiên giáo viên nên cho học sinh nhận xét từng cách

giải, phân tích cách giải, chọn cách giải tối ưu cho bài toán và chọn cách giảiphù hợp với các bài tập dạng tương tự như bài tập 1.1

Giáo viên kết luận: Cách 2 có thể áp dụng được cho nhiều bài toán

chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Bài 1.2 (Bài 63/ Tr31/ SGK): Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức:

b a d

d c b

b a d

c b

a d

c b

b a d

d c b

b a d

c b

a d

c b

b b a





Hướng dẫn: Từ a2 = bc ta suy ra được tỉ lệ thức nào? (b a a c hoặc c a b a)

Ta nên sử dụng tỉ lệ thức nào để chứng minh? (c a a b)

) (

(do a2 = bc) = b b c c a a c c a a

) (

Hướng dẫn: - Ở câu a làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?

- Ở câu b từ b a d c làm thế nào để xuất hiện a2, b2?

- Tính chất nâng cao của dãy tỉ số bằng nhau cho ta biết gì?

Giải:

k b b kb

b kb b

a

b a

d

k d d kd

d kd d

c

d c

2 2

2 2

2 2

2

11

11 3

3 8

8 7

7

c

a cd

ab d

b c

a cd

ab d

b c

a d

b c

2 2 2

2

8 11

8 11 3

7

3 7

d c

b a cd c

ab a

2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

b

k k b b b k

kb b

k b kb

b kb kb

b a

ab a

(1)

117 38 711(( )) 38 . 117 38 .(.(117 38)) 711 2 38

2 2

2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

d

k k d d d k

kd d

k d

kd

d kd kd

d c

cd c

Nhận xét: Trong câu a và b thì cách 1 ngắn gọn hơn tuy nhiên khó hơn, còn

cách 2 tuy dài hơn nhưng dễ hơn

Bài 1.5: (Nguồn internet, hệ quả của bài tập 55/ tr21/ Sách nâng cao và các chuyên đề Đại số 7) Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b + d) (2)

(đk: b;d ≠ 0) thì a c

b d

Hướng dẫn: Ở bài toán này đề bài cho các đẳng thức, từ các đẳng thức ta phảichứng minh tỉ lệ thức, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận ngược nhưsau:

Muốn có

d

c b

a

  a.d = b.c …………. (a + c)d = c(b + d) Căn cứ vào(1) và (2) ta đưa cả hai vế của (1) cùng bằng 2bd Vậy từ a + c = 2b ta nhân cảhai vế với d Ta có thể trình bày bài giải như sau:

Bài 1.6 (Bài 88/ Tr29/ Sách Nâng cao và các chuyên đề Đại số 7):

Biết:

c

bx ay b

az cx a

y a

Giải:

bcx acy b

abz bcx a

acy abz c

bx ay b

az cx a

b a

bcx acy abz bcx acy abz

c bx ay

b az

c x a cy bz

bx ay

az

c x

c y bz

az

c x

cy bz

y

c z a

x

c z b

y

Suy ra

c

z b

y a

2005 3

2 1

2005 3

2 1 2005

2005 3

3 2

2 1

y y

x x

x x y

x y

x y

2 1

2 1

2.3.2 Dạng 2: Tìm các thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số

Bài 2.1 (Bài 74/ Tr14/ SBT): Tìm hai số x, y biết: 2x 5y và x + y = -21

Hướng dẫn: Với bài này học sinh chỉ cần vận dụng tính chất của dãy tỉ sốbằng nhau để giải, tuy nhiên yêu cầu đối với bài này giáo viên cần hướng dẫn,trình bày cụ thể và nêu những chú ý mà học sinh có thể dẫn đến sai như đặt ra ởmục thực trạng của vấn đề Ví dụ:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 3

7

21 5

2 5

Điều này là thiếu sót vì nếu chỉ áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chỉ cho ta đến

5 2 5





y x y x

Cần có thêm điều kiện x + y = -21 thì ta mới

7

21 5

2 5

Cách 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và x + y = -21 ta có:

3

7

21 5

2 5

Do đó: x = - 6 và y = -15

Cách 3: Phương pháp thế: Từ: 2x5y  x25y

mà x + y = - 21 suy ra: 7 y5 = -21 nên y = -15

Do đó: x = - 6

Nhận xét: Trong ba cách giải trên thì cách 1, 2 hay dùng nhất còn cách 3 thì ít

sử dụng vì kĩ năng biến đổi theo phương pháp thế của học sinh lớp 7 còn hạn chế

Bài 2.2 (Bài 61/ Tr31/ SGK): Tìm ba số x, y, z biết rằng: ;4 5

3 2

z y y x





và x + y – z = 10

Hướng dẫn: Ở bài toán này chưa có một dãy tỉ số bằng nhau Vậy để xuất

hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thế nào? Ta thấy ở tỉ số

3

y

và 4

y

có hai sốhạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới (tatìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quyđồng hai tỉ số này

Giải:

Ta có:

12 8 3 2

y x y x





 (1) ;

15 12 5 4

z y z y

c b a

20 12

6 2

3 2 12

3 6

z y y x



 và 2x – 3y + z = 6

b) 23x 34y 45z và x + y +z = 49

Hướng dẫn: - Câu a là sự kết hợp của bài 2.2 và bài 2.3

- Câu b, ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sốnghạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x; 3y; 4z, làm thế nào để các số hạngtrên chỉ còn là x; y; z Ta sẽ tìm BCNN (2; 3; 4) = 12 và khử các hệ số của tử đểcác số hạng trên chỉ còn là x; y; z

z y x

3 2

6 20 36 18

3 2 20 36

3 18

Nhận xét: Trong các câu a, b chúng ta còn có thể hướng dẫn học sinh giải bằng

8

2 9

8

2 9

8 9

) 9

2 1 ( )

=1

Từ đó dễ dàng suy ra: a1 = a2 =a3 = = a8 =a9 =10

Nhận xét: Ngoài cách trên, trong quá trình dạy cho học sinh tôi còn hướng

dẫn học sinh các cách khác, đó là:

1

9

1 8

2 1

9

1 1

9

8

2 9

8 9

90 90 1

8 9

) 10

10 10 ( )

( 1

10

8

10 9

7

3 8

2 9

1

suy ra: a1 = 9k+1; a2 = 8k +2; a3 = 7k +3; a9 = k+ 9 rồi thế vào (1) tìm k

Bài 2.6 (Đề thi HSG lớp 7 Huyện Thọ Xuân năm học 2015 - 2016):

15 3 5

10 15 2

3 5 3

5 2 5

0 2

3 5

6 10 15 6 10 15

2 2 2 2

3 5

0 3

5 2

0 5

2 3

c b

a c

b a

5

0 5

2

0 2

3

c b

a c

b a

a c

b a

3 5

5 2

2 3

5 2

3 2

c b

c a

b a

Suy ra: a2 b3 5c

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và a + b + c = -50 ta có:

10

50 5 3 2 5 3

-5 5 5

Với k = 3 suy ra: x = 5.3 = 15; y = 7.3 = 21; z = 3.3 = 9

Với k = -3 suy ra: x = 5.(-3) = -15; y = 7.(-3) = -21; z = 3.(-3) = -9

Vậy các cặp số (x, y, z) cần tìm là: (15, 21, 9) và (-15, -21, -9)

Cách 2:

9 49 25 3 7 5

2 2

x z y x

747 9 49 25 9 49

25

2 2 2 2 2

Suy ra: x2 = 9.25 = 225  x = 15 hoặc x = -15

Với x = 15 thay vào (1) ta tìm được y = 21; z = 9

Với x = -15 thay vào (1) ta tìm được y = -21; z = -9

Lưu ý: Với dạng bài tập này học sinh thường mắc các sai lầm sau:

- Theo cách 1: Từ k2 = 9 học sinh chỉ suy ra k = 3 do đó thiếu trường hợp k = -3

- Theo cách 2: Từ x2 = 225 học sinh chỉ suy ra x = 15 do đó thiếu trường hợp

x = -15 hoặc các em hiểu sai tính chất nên vận dụng:

9 49 25 3 7 5

2 2

x z y x

a b  suy ra: x = k.a, y = k.b

do đó: x.y = (k.a).(k.b) = ab.k2

- Cần tránh sai lầm khi áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

5 2

2 5 2

Suy ra: x2 = 4.1 = 4  x = 2 hoặc x = -2

Với x = 2  y = 10 : 2 = 5Với x = -2  y = 10 : (-2) = -5

Lưu ý: với bài này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:

- Với cách 1: Khi k2=1 k   1 ( rất nhiều học sinh chỉ suy ra k = 1)

- Với cách 2: Học sinh sai lầm khi áp dụng tương tự: 1

10

10 5 2

5

y x y x

hoặc từ x =2 suy ra y = 5 dẫn đến kết luận sai bài toán

Bài 2.9 (Bài 61g/ Tr20/ Sách Nâng cao và phát triển Toán 7):

Cách 2: 2x 3y 5z 27

30

810 5 3 2

5 3

3 3

3 3

z3 = 53.27 = 3375

 z = 15 Vậy: x = 6 ; y = 9 ; z = 15

Nhận xét : Dạng toán như bài 2.8; 2.9 không khó khi ta nắm được các bước giải

và có thể mở rộng cho nhiều biến Tuy nhiên cần lưu ý cho học sinh trong trườnghợp số mũ của k là số chẵn thì phải xét đủ các trường hợp của k

2.3.3 Dạng 3: Toán chia tỉ lệ

Phương pháp giải

Bước 1: Biểu diễn các đại lượng cần tìm (hoặc các đại lượng liên quan) bằng

các chữ cái (gọi là ẩn) Chú ý điều kiện và đơn vị của ẩn

Bước 2: Thiết lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện ràng buộc của các ẩn Bước 3: Tìm các thành phần chưa biết của tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau Bước 4: Đối chiếu điều kiện rồi kết luận.