Thông qua các bài học và bài tập thực hành giảng viên GV không những giúp sv mờ rộng vốntri thứcmà còngiúp họ hình thànhcác năng lực tưduy, khâ năng phán đoán và giải quyết vấn đề, nuôi
Trang 1II NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG
Dương Kim Ngọc *
* ThS.Trường Đại học Trà Vinh
ABSTRACT
Lecturing is the most common teaching method, but not always the most effective Therefore, integrating many teaching methods together is indispensable This article is the author integrated discovery teaching method into the lecture method by exploiting the system of exercises “ Vector space ” linear algebra at Tra Vinh university ’ The ability to discover is one of the basic competencies of learners, this ability not only helps learners discover new knowledge but also trains creative thinking, promote their activeness, contribute to improving the quality’ of teaching subjects.
Keywords: discovery teaching method, new knowledge, creative thinking, linear algebra exercises.
Received:09/02/2022; Accepted: 14/02/2022; Published:17/02/2022
1 Đặt vấn đề
Dạy học khám phá (DHKP) là một phương pháp
dạy học tích cực được khuyến khích sử dụng vào
dạyhọc ở nước ta Tìm tòi - khám phákhoa học là
mộttrong những hoạt động tạo ra nhiều cơ hội đề
rèn luyện và hình thành kỹ năng (KN) nhận thức
cho người học Thông qua các bài học và bài tập
thực hành giảng viên (GV) không những giúp sv
mờ rộng vốntri thứcmà còngiúp họ hình thànhcác
năng lực tưduy, khâ năng phán đoán và giải quyết
vấn đề, nuôi dưỡng lòng say mêkhámphá, những
tiền đề cần thiết cho người học trong suốtcuộc đời
Việc vận dụng DHKP trong dạyhọc giảitoán có tác
dụng nâng cao năng lực tư duy, hìnhthành các khái
niệm, tính chất, quytắc, địnhlý, và năng lực giải
toáncho HS, sv
2 Nội dung nghiên cứu
2.1 Khái niệm phương pháp DHKP
DHKP là một pp dạy học khuyến khích người
họcđưara câu hòi và tự timra câu trảlời, hayrút ra
những nguyên tắc từ những ví dụ hay kinh nghiệm
thực tiền DHKP có thể định nghĩa như một tình
huống học tập trong đó nộidung chính cầnđược học
khôngđược giới thiệu trước mà phải tự khám phá bởi
người học,làmcho ngườihọc là ngườitham gia tích
cựcvào quátrìnhhọc
2.2 Minhhọaviệc tích hợp phươngphápDHKP
với phương pháp diễn giảngvào giảng giải bài tập
môn Đạisố tuyến tính, chương“Không gian vectơ”
Môn học Đại số tuyến tính là một trong những
môn học được giảng dạycho sv các ngành khốikỹ thuật ở các trường đại học Qua quá trinh giảng dạy
môn Đạiso tuyến tính cho sv các lớp thuộc khối kỹ thuật như: Kỹthuậtđiện,Điện từ, Cơkhí,Côngnghệ ôtô, Công nghệ thông tin, Kỹ thuật Hóa học, của
các khóa học (DA17CK, DA17CNOT, DA18KD,
DA19HH, ) tác giả xin trình bày kết quà của việc tíchhợp phươngpháp DHKP với diễngiảng vào việc
hướng dẫn sv giải bài tập chương 3 “Không gian vectơ”, cụ the với các bài tập về hệ vectơ độc lập tuyên tính, phụ thuộc tuyến tinh, hệ sinh, cơ sở, so chiều,
Trước tiên cần tóm tẳt một phần lý thuyết của chươngnày, gồm một số nội dungcơ bản sau:
2.5.1 Khái niệm không gian vectơ
Một tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K nếu Vđược trang bị một phép toán đại số
(gọilà phép cộng), ký hiệu(+) và một phépnhân vô hướng, kýhiệu (.) thỏa mãn các điều kiện sau:
- Tính giao hoán của phép cộng
- Tính kết hợp của phép cộng
- Tồn tạitrong V một phầntử 0 thỏa mãn: v.re
Vx+ 0 =x
- Vx ỄE V, tồn tại mộtphần tử đối - X thỏa mãn:
X + (- x)= 0
- V(x,ỳ) G V2 , V o. eK, a (x +y) =ax + ay
- Vx G V, V(«,p) e K2, (a + P)x = ơx + fix
- V;t e V, 'v' ịa, /> ) (= K/ a (fix) = (a/?)x
- Vx e V, \.x= x
44 TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - số 259 KỲ 2 - 2/2022
Trang 2NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG II
2.5.2 Khái niệm không gian con
Cho V là một K-không gian vectơ và w là một
tập con khácrồngcùa V Khi đó ỈV được gọi là một
không gian con của V nếu w là mộtK-không gian
vectơứng vớinhững phép toán (+)và(.)của 1'khi ta
hạn chếchúng lên w.
2.5.3 Sự phụ thuộc tuyên tính và độc lập tuyến
tinh
- Họ các vectơ vp v2, V n, của không gianvectơ
Vtrên trường K được gọi là phụ thuộctuyêntinh nêu
tồn tại cácvô hướng a , a2, an, không phải tất cả
đêubằng 0, sao cho V + Ct, V, + + a V =0
- Họ vectơ không phụ thuộctuyên tínhđược gọi
là họ độc lậptuyếntính,nghĩalà V(ar ơ., an) e K",
a ỵ +a2v2 + +a nv n = 0=>a = a2 = = an = 0
2.5.4 Không gian con sinh bởi một tập hợp
NếuS'là một tậphọp conkhác rỗng của V thihọ
các không gian con cùa V chứa 51 là một tập khác
rỗng Phần giao của họ những không giancon như
vậylà một không gian con,không gian con này được
ký hiệu là và gọi làkhônggian con của V sinh ra
bởitập 5 Nếu {s^ = v thìta gọi s làtậpsinhcủa Vvà
ta còn nói V được sinh ra bởi tập 51
2.5.5 Cơ sở và so chiểu
- Không gianvectơ V trên trường K gọi là n chiều
nếu tồntại n vectơđộc lập tuyến tính và không tồn
tạimột họ độc lậptuyến tính nào chứanhiều hon n
vectơ
Vậy số chiều củakhông gianvectơ là số tối đại
những vectơ độc lập tuyếntính,số chiều của không
gian vectơ V, ký hiệu làdimK
I - Họ n vectơđộc lập tuyến tính của một không
gianvectơ n chiềugọi là một cơ sờ của V.
j Định lý: NeuB = {apa 2, a n}ỉà một tập độc lập
luyêntínhvà sinh ra V thìB là một cơ sở của V.
Một số kết quả thu được khi áp dụng phương
Ĩ’láp DHKP vào quá trình giảng giải bài tập cho
ống những câu hỏi khám phágợi ý của GV dựa
trên bài tập đã được giải để svtự tìm tòi khám phá
ra câu trả lời
Ví dụ 1: Vận dụng dạy học khám phá xétvề “1MOZ
lien hệ giữa hệ sinh và hệ vectơ độc lập tuyến tỉnh ”
Tacóbài tập được hướng dẫn giảivà một sốcâu hỏi
gợi ý khámphá cho sv nhưsau:
- Bài tập:
I Chứng minh hệvectơ
s[{ ữl = (1;2),«2=(-l;2),a3 = (l;-2),«4 = (2;1)}
làhệ sinhtrong R2 =ịa = (agơ,) I a ỵ ,a2 e Rj [9]
Giãi: Gọi a = (a;b) e R: là vectơtùyý Ta cần chứng minh tồn tại bộ số thực X, X,, X, x4, sao choa
= Xị apt- x2 a 2 +X a3 +x4ct4
Ta có (a;è) = x1(l;2)+x2(-l;2) + x,(l;-2) +x4(2;l)
[ X, - x2+ x3 + 2x4 =a
hay <
[2X] + 2x2-2x3 + x4 = b r., 2a + b b-2a „ nv-nu
Chọnx, =—-—;x2 = ;x3 = 0;x4 =0 Vậy 5 là
mộthệ sinh
Các câu hỏi gợi ý khám phá cho sinh viên trả lời
- Câu 1: Hệ vectơ
£ ={«> = (l;2),a2 =(-1;2),ƠJ = (l;-2),a4 = (2;1)}
có tính độc lập tuyến tính haykhông? Tại sao?
- Câu 2: Xác định các hệ con độc lập tuyến tính
s ={a, = (l;2),a2 = (-l;2),a3 = (l;’-2).a4=(2;1)}
- Câu 3: Vectơ a = (a;b) e R2 có thể biểu thị tuyến tính qua các hệ conđộc lậptuyến tính nào cùa
hệ5 trên?
- Câu 4: Các hệ con nào
s ={a, =(1;2),«2 = (-1;2),«3 = (l;-2),«4=(2;1)}
cũng làhệ sinh cùakhông gian vectơR2 ?
- Câu 5: Hình thành khái niệm mới về hệ sinh độc lậptuyếntính trong không gian vectơ R2
- Câu 6: Nêu các định nghĩakhác của bạn vềcơ
sởcủa không gianvectơ
- Câu 7: Sosánh cácđịnh nghĩacủa bạnở câu 6
sẽtươngđương vớicác kết quả nào dưới đây khi xét
một hệvectơ 5 trong không gianvectơ V tùy ý:
+ Hệ s c V là ca sờ của V nếu mọi vectơcủa V có
biểu diễntuyến tínhduy nhất qua s.
+Hệ s c V là ca sởcủa V nếu S’ làhệ sinh có số
vectơ nhỏ nhất
+ Hệ s c Vlà casở của V nếu slà hệ độc lập tuyến tính có sốvectơ lớn nhất
+ Hệ s c Vlàcơ sở của V nếus cósốvectơ bằng
số vectơtrong một cơ sở của V và mọi hệ con củas
là độc lập tuyến tính
+ Hệ sc V là cơ sở của Vnếuslàhệ sinh cósố vectơ bằngsố vectơ của một cơ sở tùy ýcủa V.
+Hệs c V làcơ sở của V nếu s làhệsinhcómọi
hệ con khôngphụ thuộc tuyến tính
+ Hệ s c Vlàcơ sởcủa Vnếu s là hệ sinh phụ
thuộctuyếntính có số vectơ nhó nhất
+ Hệ s c Vỉà cơsở của V nếu 5’là một hệ sinh không phụ thuộctuyến tính
TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - sổ 259 KỲ 2 ■ 2/2022 • 45
Trang 3II NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG
Ví dụ 2: Dạy học khámphá vớigiải bàitập xoay
quanh về "các định nghĩa cơ sở cua không gian
vectơ ”
- Bài tập: Trong không gian vectơ R*2, cho hệ
vectơE = {e,= (l;0),<?,= (0;l)} Hệ vectơ có làcơ
sởcủaR2không? [9]
Tài liệu tham khảo
1 Nguyễn CảnhToàn (1998) Quá trình dạy tự học.NXB Giáodục
2 Bùi Xuân Hải (2000) Đại sổ tuyển tính. Ban
xuất bản trườngĐại học Khoa học tựnhiên
3 Lê Tuấn Hoa(2006). Đại số tuyến tính qua các
ví dụ và bài tập NXBĐại học Quốc gia
4 NguyễnDuy Thuận(2004) Đại số tuyến tinh.
Giải: Thật vậy, trước tiên ta cần chứngminh hệ
vectơí = {e, = (l;0),e2= (0; 1)}làhệ sinhcủa không
gianvectơ R2.Với mọi X GR2: X = (ư;ò) Khiđó X =
(a;è)=a( 1 ;0) +è(0;1) =ae ì + be 2nên hệvectơElà
hệ sinh của R2
Tiếptheota sẽ chứngminh hệ vectơE = {Cj = (1 ;0),
e 2 = (0; 1)}là cơ sởcùa không gian R2 Từ đẳngthức
aeỵ + be 2 = 0 o ứ( 1;0) + Z>(0; 1)=(0;0)=>a = ữ,b = 0
nênhệE độc lậptuyến tính
Vậy hệ vectơ E = {e} =(l;0), e 2 = (0; 1)}là cơ sờ
của không gian vectơ R2
Các câu hỏi gợi ý khám phá cho sinh viên
- Câu 1: Tìm một cơ sở củakhông gian vectơ
R3 4 ={x=(xj;x2;x3) Ixỵ,x 2 ,x3 eRý
và R" =|x=(xpX^-.qx,,)IXj,x2, ,xn eR|
- Câu 2: Nêunhận xét vềsố vectơtrong cơ sở của
không gian vectơ R"
- Câu 3: Nêu dự đoán củabạn về số vectơ trong
một cơsởcủaK-không gian vectơ K"
- Câu 4:Hãy cho vídụ vềmột cơ sở của R-không
gian vectơ các matrậnvuông cấp 3
- Câu 5: Các bạn hãykhám phá về cơ sở của
R-không gian vectơcác đa thức với bậc không lớn
hơn 3
* Ket quả đạt được:
Thông qua việc áp dụng phương pháp dạy học
khám phá với hai nội dung vídụ trên thì giảng viên
không chỉ giúp sinhviên trả lờiđược các câu hỏi gợi
ý khám phá đãđược giảng viên đưara mà còn giúp
các em tự mình khám pháravấnđềđểgiảiđược các
bài tập của “Không gian vectơ” (cũng như các bài
tập ở nộidung khác của học phầnnày).Chẳnghạn:
- Bài tập 1: Xét xem các vectơ sau là độc lập
tuyến tính hay phụ thuộctuyển tính [10]
u =(l;l;l),v = (0;l;-2),w- (—l;l;0)
Giải: * Cách 1: Gọi ÍZ1,ÍZ2,ÍZ3 eK- Ta có
«jM + a2v+ Ơ3W= 0
<=> (1;1;1) + a2 (0;l;-2) + a3(-1;l;0) =0
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này có
nghiệm duy nhất tầm thường a,= a2= ct, = 0 Nên
các vectơu, V, H’ độc lập tuyên tính
* Cách2: Lập định thức 0
-1
1 -2=5*
0-1 0
Suy ra cácvectơ u, V, w độc lậptuyến tính
Từ đó, các em tự suy ra được đối với cách giải thứ nhất thì khi hệ phương trình tuyếntính thuần nhất
được lập từtổ hợp tuyến tínhbằng không có vô số nghiệmthi các vectơ sêphụthuộc tuyến tính; cònđối với cáchgiải thứ hai khi định thức củama trận được lập từ các vectơ bàngkhông thìhệvectơ đang xét là
hệ phụ thuộctuyếntính
- Bài tập 2:
ut = (l;l;l;l),w2 = (2;3;-l;0),w3= (-l;-l;l;l) Tìm điềukiện cầnvà đủ để vectơ u =(x,; X • X • X.)
biểuthịtuyếntính đượcqua hệvectơ Mp u 2; Uý [10]
Giải:Vectơu= (Xp x2; x3; x4) biêuthịtuyêntính được qua hệ vectơ Mp W,; w3 khi và chỉ khi phương
trình u = a1M] +a2u2 + a} u3 có nghiệm khi và chỉ khi
hệphươngtrình saucónghiệm
'I 2
1 3
1 -1
T 0
2
1 0 0
-1
Dođóhệcó nghiệm khivà chỉ khixf- x2- x3+ x4 = 0
Vậyvectơu= (Xp X,; x3; x4) biêu thị tuyên tínhđược
qua hệvectơM,;uW.khi vàchỉkhi X,- X,- x,+ X =0
3 Ket Luận
Vận dụng việctích hợp phương pháp DHKP với
pp diễn giảng vào giải bàitậpmôn Đạisố tuyếntính,
chương“Không gian vectơ” chosv khối ngành kỹ
thuật giúp người học cócơ hộisử dụng các KN nhận
thức như: quan sát,phânloại, phân tích, tiên đoán,
môtả, trừu tượng hóa, khái quát hóa, ; đồng thời
giúp sv tựkhámphá được kiến thức mới, phát triển
tư duy và nâng cao năng lực giải toán
46 TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - số 259 KỲ 2 - 2/2022