Giải tích 2 đề số 5

Giải tích 2 – Đề số 5

Câu 1 Tính

2f

x y



  , với

3 ( ) sin ; 2





u xy e

Câu 2 Tìm cực trị có điều kiện: f x y( , )2x212xy y2; x24y2 25

L(x,y,λ)= 2x2+12xy+y2 +λ(x2+4y2-25)

 x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 v x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4

d2L= (4+2λ)dx2 + (2+8λ)dy2 + 24dxdy

x2 = -4y2+25 => 2xdx=-8ydy

x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 =>d2L>0

 f(x,y) đạt cực tiểu tại (3,-2), (-3,2)

x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 => d2L<0

 f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

3 3

1

2 2

1

n n

n n

n











3 3

1

2 2

1

n n

n n

n









  phân kỳ theo tc Cauchy

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi:

) 1 ln(

) 1 (

) 5 ( 2 ) 1 ( 1 1



  







n n

n n

n

=> -1/2<x-5<1/2 => 9/2<x<11/2

x=9/2: phân kỳ theo tc tích phân

x=11/2: hội tụ theo tc Leibnitz

Miền hội tụ (9/2,11/2]

Câu 5 Tính tích phân arctg x y dxdy

D

 2  2 với D là hình tròn: x2+y2 3

I= arctg x y dxdy

D

Câu 6 Chứng tỏ tích phân x y (1 ) (1 ) 

C

I   e    x y dx    x y dy không phụ thuộc đường đi Tính

tích phân I với C là phần ellipse

2 2

1

  từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ

=

x y

C

I   e    x y dx    x y dy = + = -3e3 + 2e-2

Câu 7 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi y 2 x y2, 1,z0,z3x, lấy phần z 0

V= = 2 = 2 =2 = 3/2

2 3

S

I xdydz y z dxdz z dxdy, với S là phần mặt phẳng x    y z 4nằm trong hình

trụ x2y2 2y, phía trên

2 3

S

=

=

x=rcosφ, y-1=rsinφ

I=

=

=