Miền xác định của hàm số đang xét là R 2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi. x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D.[r]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Đáp án và Thang điểm
(Học kỳ II năm học 2016-2017)
Câu 1 (1,25đ)Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số
) 0 , 0 ( ) y , x ( khi c
) 0 , 0 ( ) y , x ( khi y x
y x ) y , x
3 3
trong đó c là tham số
Bài giải
Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R2.(0,25đ)
y x
x sin y y
x
y sin x y
x
x sin y y
x
y sin x y
x
x sin y y sin x ) y , x (
3 2
2 3 2
2 3 2
2 3 2
2 3 2
2 3 2
2
3
2
2
3
y x
y y
x
x 1 y x
y 1 y x
x x
sin y x
y y
sin y x
x y
x
x sin y
y
x
y
sin
x
0 y x
y
y
x
x
2
3
2
3
0 y
x
x sin y y sin x lim )
y
,
x
(
3 3
) 0 , 0 ( ) y , x ( )
0
,
0
(
)
y
,
x
Do đó, nếu d = 0 thì f(0,0) = 0 và
(x,y) (0,0)
lim ) 0 , 0 ( ) y , x
điểm (0,0)(0,25đ); ngược lại, nếu d 0 thì f(0,0) = d 0 tức là
(x,y) (0,0)
lim ) 0 , 0 ( ) y , x
đang xét không liên tục tại điểm (0,0).(0,25đ)
Câu 2 (1,5đ) Cho hàm số
y
b sin x
a sin ) by ax ( ) y , x
2.1 Tìm miền xác định D của hàm số f(x,y); 2.2 Tìm lim (x,y)
) 0 , 0 ( ) y , x
Bài giải
2.1 Hàm số
y
b sin x
a sin ) by ax ( ) y , x
0 y
0 x
miền xác định của hàm số là D
= {(x,y)R2x 0}{(x,y)R2y 0}, tức là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy không nằm trên các trục tọa độ Ox, Oy.(0,5đ)
y
b sin x
a sin by ax y
b sin x
a sin ) by ax ( ) y , x ( 0
0 y b x
a
by
ax khi (x,y) (0,0) nên theo nguyên lý kẹp thì
0 y
b sin x
a sin ) by ax ( lim )
y
,
x
(
lim
) 0 , 0 ( ) y , x ( )
0
,
0
(
)
y
,
x
Câu 3 (0,75đ) Chứng minh rằng hàm số
x
z arctan z
y arctan y
x arctan )
z , y , x
z
) z , y , x ( y
) z , y , x ( x
) z , y , x (
2 2 2
2 2
2
trong không gian R3
Bài giải
z x
z y
x
y x
z x
z 1
1 y
1 y
x 1
1 x
) z , y
,
x
(
TailieuVNU.com
Trang 22 2 2 2 2 2 2
2
) z x (
xz 2 )
y x (
xy 2 x
) z
,
y
,
x
(
2 2 2 2 2 2 2
2
) x y (
yx 2 )
z y (
yz 2 y
)
z
,
y
,
x
(
2
) y z (
zy 2 )
x z (
zx 2 z
) z , y , x (
0 z
) z , y , x ( y
) z , y , x ( x
) z
,
y
,
x
(
2 2 2
2 2
2
Câu 4 (1,25đ) Cho hàm số f(x,y,z) = x2y2z2 Tính gradf(x,y,z) và
l
) z , y , x (
tại điểm M0(1,-1,1), biết
rằngl được xác định bởi véc tơ M0M1với M1(-1,0,-1)
Bài giải
+ Ta có
2 1 ) 1 (
1 2 z
) 1 , 1 , 1 (
2 1 )
1 (
1 2 y
) 1 , 1 , 1 (
2 1 ) 1 (
1 2 x
) 1 , 1 , 1 (
z y x 2 z
) z , y , x (
yz x 2 y
) z , y , x (
z xy 2 x
) z , y , x (
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
(0,25đ)
z
) 1 , 1 , 1 ( j y
) 1 , 1 , 1 ( i x
) 1 , 1 , 1 ( ) 1 ,
1
,
1
(
+ Ta có M0M1(11)i(01)j(11)k2ij2k M0M1 (2)212(2)2 3
do đó các cosin chỉ phương của véc tơ l là ,
3
2
3
1 cos
3
2 cos (0,5đ)
2i 2 j 2k cos i cos j cos k l
) 1 , 1 , 1 (
3
1 3 k 3
2 j 3
1 i 3
2 k
2
j
2
i
(0,25đ)
Câu 5 (2,0đ) Khảo sát cực trị của hàm số f(x,y) = 6x2y – 24xy – 6x2 + 24x + 4y3 – 15y2 + 36y + 1
Bài giải
Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R2
- Ta có
) 6 y y 2 x 4 x ( 6 36 y 30 y 12 x 24 x y
) y , x (
) 1 y )(
2 x ( 12 2 x y xy 12 24 x 12 y 24 xy 12 x
) y , x (
2 2
2 2
Suy ra hệ phương trình để xác định các điểm dừng (nếu có) của hàm số đang xét là
0 6 y 5 y 2 x 4 x
0 ) 1 y )(
2 x ( 0 ) 6 y y 2 x 4 x ( 6
0 ) 1 y )(
2 x ( 12 0
y
) y
,
x
(
0 x
) y
,
x
(
2 2
2
TailieuVNU.com
Trang 3
3 x
1 x
1 y
2 1 y
2 y
2 x
0 3 x 4 x
1 y
0 2 y y 2
2 x
0 6 y 5 y x x
0 1 y
0 6 y 5 y x x
0 2 x
2 2
2 2
2 2
(0,25đ)
Như vậy, hàm số đang xét có 4 điểm dừng M1(2,2); M2(2,12);M3(1,1);M4(3,1)
- Ta có
) 5 y 4 ( 6 y
) y , x ( f ) y , x ( C ) 5 y 4 ( 6 30 y 24 y
) y , x ( f
) 2 x ( 12 y x
) y , x ( ) y , x ( B ) 2 x ( 12 24 x 12 y x
) y , x (
) 1 y ( 12 x
) y , x ( ) y , x ( A 1 y 12 12 y 12 x
) y , x (
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2(x 2) (y 1)( y 5)
72 ) 5 y 4 ( 6 )
1 y ( 12 ) 2 x ( 12 ) y , x ( C ) y , x ( A ) y , x
(
B
)
y
,
x
(0,5đ)
+ Tại điểm dừng M1(2,2) ta có
0 12 ) 2 , 2 ( A
0 216 )
2 , 2 (
nên nó là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu là
fct = f(2,2) = 21.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M2(2,12) ta có
0 6 ) 2 1 , 2 ( A
0 108 )
2 1 , 2 (
nên nó là điểm cực đại và giá trị cực đại
là fcđ = f(2,1/2) = 111/4.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M3(1,1) ta có (1,1)1440nên nó không phải là điểm cực trị.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M4(3,1) ta có (3,1)1440nên nó không phải là điểm cực trị.(0,25đ)
Câu 6 (1,5đ) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) = x2 + y2 – xy – 4x trên miền đóng D là tam giác được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, y = 0 và 2x + 3y = 12
Bài giải
Miền xác định của hàm số đang xét là R2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi
x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D
Ta có hệ phương trình
0 x y 2 y
) y , x (
0 4 y x 2 x
) y , x (
(0,25đ) để xác định các điểm dừng Hệ phương
trình này có 1 nghiệm duy nhất
3 4 y
3 8 x
, tức là có 1 điểm dừng (8/3,4/3) là điểm trong của miền D và
giá trị của hàm số f(x,y) tại điểm này là
3
16 3
4 , 3
8
f
Bây giờ ta xét giá trị của hàm số f(x,y) trên biên của miền D:
- Trên đường x = 0 thì f(0,y) = y2 với 0 y 4 nên fmin = f(0,0) = 0 và fmax = f(0,4) = 16.(0,25đ)
- Trên đường y = 0 thì f(x,0) = x2 – 4x với 0 x 6 nên fmin = f(2,0) = -4 và fmax = f(6,0) = 12
(0,25đ)
TailieuVNU.com
Trang 4- Trên đường 2x + 3y = 12 thì x 16
3
40 x 9
19 ) y , x ( 2 với 0 x 6 nên
19
96 19
36
,
19
60
f
fmin
và fmax = f(6,0) = 12.(0,5đ)
So sánh các giá trị của hàm f(x,y) tìm được ở trên ta nhận được
3
16 ) (
3
4 , 3 8
và GTLN(f) = 16 tại điểm (0,4).(0,25đ)
Câu 7 (1,75đ)Tìm cực trị của hàm số
y
1 x
1 ) y , x ( với điều kiện
2
1 y
1 x
1 2
Bài giải
2
1 y
1 x
1 ) y , x ( 0 2
1 y
1 x
1 2
1 y
1 x
1
2 2 2
2 2
Lập hàm L(x,y,) (x,y)(x,y) x1 1yx12 y12 21(0,25đ)
2
1 y
1 x
1 ) , y , x (
L
y
2 y
1 y
) , y , x (
L
x
2 x
1 x
) , y , x (
L
2 2
3 2
3 2
,(0,25đ) do đó ta được hệ phương trình xác định các điểm dừng là
1
2 y x
0 2
1
y
1
x
1
0 y
2
y
1
0 x
2
x
1
1
1 1
2
2
3
2
3
2
và
1
2 y x 2
2 2
.(0,25đ)
Tại 1 1 ta có
4
1 y
2 , 2 f C
0 y x
2 , 2 f B
4
1 x
2 , 2 f A
y
2 y
) y , x (
0 y x
) y , x (
x
2 x
) y , x (
y
1 y
) y , x (
x
1 x
) y , x (
2 2
2 2 2
3 2
2
2
3 2
2
2 2
2 2
2 2
2
dy
1 dx
1 Cdy Bdxdy 2 Adx )
2
,
2
(
TailieuVNU.com
Trang 5dx dy 0 dy 4
1 dx 4
1 ) 2 , 2 ( d 0 dy y
2 dx x
2 ) y , x ( d 0 2
1 y
1 x
1
)
y
,
x
0 dx 2
1 )
2
,
2
(
, tức là dạng toàn phương d2f(x0,y0) xác định âm, do đó hàm số
y
1 x
1
)
y
,
x
( đạt cực đại tại điểm (2,2) và giá trị cực đại fmax f 2,2 1.(0,25đ)
Tại 2 1 ta có
4
1 y
2 , 2 f C
0 y
x
2 , 2 f B
4
1 x
2 , 2 f A
y
2 y
) y , x (
0 y x
) y , x (
x
2 x
) y , x (
y
1 y
) y , x (
x
1 x
) y , x (
2 2
2 2 2
3 2
2
2
3 2
2
2 2
2 2
2 2
2
dy 4
1 dx 4
1 Cdy Bdxdy 2 Adx )
2
,
2
(
dx dy 0 dy 4
1 dx 4
1 ) 2 , 2 ( d 0 dy y
2 dx x
2 ) y , x ( d 0 2
1 y
1 x
1
)
y
,
x
0 dx 2
1 )
2
,
2
(
d2 2
, tức là dạng toàn phương d2f(x0,y0) xác định dương, do đó hàm số
y
1 x
1
)
y
,
x
( đạt cực tiểu tại điểm (2,2) và giá trị cực tiểu fmax f2,21.(0,25đ)
TailieuVNU.com