Giải tích 2 đề số 4

Giải tích 2 – Đề số 4

Câu 1 Cho hàm f x y ( , )  4 y2 sin (2 x  y ) Tính d f2 (0,0)

f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y)

f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2

f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2

f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y)

f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10

 d2

f(0,0)=2dx2-4dxdy+10dy2

Câu 2 Tìm cực trị của hàm z  x y3  12 x2  8 y

Điểm dừng:

 x=2, y=-4

A=z’’xx=6xy+24 B=z’’xy= C=z’’yy=0

Δ=AC-B2= -9 =-144<0

 z(x,y) ko có cực trị

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

2 5 8 (3 1)

1 5 9 (4 3)

n

n n









 = =3/4 <1



1

2 5 8 (3 1)

1 5 9 (4 3)

n

n n









 hội tụ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

3 1

( 1) ( 1)

2 ( 1) ln( 1)

n n

x







=> -8<x+1<8 => -9<x<7

x=-9: phân kỳ theo tc tích phân

x=7: hội tụ theo tc Leibnitz

 Miền hội tụ (-9,7]

Câu 5 Tính tích phân x2 y2.ln(x2 y2)

D





 dxdy với D là miền 1  x2+y2e2

x=rcosφ, y=rsinφ )

2 2 2

2

ln(

y

x

D





Câu 6 Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với h(y) vừa tìm, tính tích phân

L

dy y x Q y h dx y

x

P

y

h ( ) ( , ) ( ) ( , ) trong đó L là đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều ngược

kim đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2)

h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó

 = => h(y) =y+c

h(1)=1 => c=0

 h(y)= y

L

dy y x Q y h dx y

x

P

y

= = -2e2+2

Câu 7 Tìm diện tích phần mặt z x 2y2 2nằm trong hình paraboloid zx2y2

S là phần mặt z x 2y22nằm trong hình paraboloid zx2y2 D=prxOyS, D={x2+y2 1}

Câu 8 Tính   2  2  2

S

I x dydz y dxdz z dxdy, với S là nửa dưới mặt cầu x2 y2 z2  2 z, phía trên

S

Tương tự dydz=0