20 đề luyện giải tích 2 TS đặng văn vinh

www.tanbachkhoa.edu.vn Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh Thời gian làm bài: 90phút Đề luyện tập số 1.. Đề luyện tập số 2... Đề luyện tập số 4.. Tìm hàm hy thảo mãn điều kiện: h1=1 và bi

Trang 1

www.tanbachkhoa.edu.vn

Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh

Thời gian làm bài: 90phút

Đề luyện tập số 1

Câu 1 Tìm khai triển Taylor của f x y( , ) 2x y

+

= + tại điểm (2,1) đến cấp 3

Câu 2 Tìm cực trị của hàm z = x2 + y2 + xy − 12 x − 3 y

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑∞

= 1

n n

n

v

u

với un=

n

n 









2+ 12 và vn=

2 2 1

n

n











+

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

1 2

1

( 1)

n n

x n

−

∞

=

−

∑

Câu 5 Tính tích phân kép

2 2

1

D

= ∫∫

+ , trong đó D là miền phẳng giới

hạn bởi 2 x ≤ x2 + y2 ≤ 6 , x y ≥ x,

Câu 6 Tính tích phân ( 2 ) ( 2)

cos

x C

I = ∫ e + xy dx + y y + x dy với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ

Câu 7 Tính = ∫ + +( ) +

C

I ydx z x dy xdz , với C là giao của x2+y2 =1 và z= +y 1, chiều kim đồng

hồ theo hướng dương trục 0z

Câu 8 Tính tích phân mặt loại một = ∫∫ ( 2 + 2)

S

I x y dS, trong đó S là phần mặt nón z2 =x2+y2, nằm giữa hai mặt phẳng z=0,z=1

Câu 1 Cho hàm

2

f x y = xe Tính d f2 (2,1)

Câu 2 Tìm gtln, gtnn của f x y( , )=(y2−x e2) 1− +x2 y2trên miền D={( , ) | x y x2+y2 ≤4}

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/

) 2 (

∞

=











+

− n n

n n

n

1

3 ) 2 .(

6 4 2

) 1 2 .(

5 3

∞

=

n

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

3 1

n

x

∞

=

∑

+

Câu 5 Tính tích phân kép

2 2

D

I = ∫∫ e− − dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x 3,

Câu 6 Tính tích phân ( ) ( )

C

I = ∫ x + y dx + − x y dy, với C là phần đường cong y = + x sin x, từ

(0,0)

A đến B ( , ) π π

Câu 7 Tìm diện tích phần mặt cầu z= R2−x2−y2 nằm trong hình trụ x2+y2=Rx

Trang 2

4,

Câu 1 Cho hàm f x y ( , ) (2 x y ) ln x

y

= + Tính d f2 (1,1)

Câu 2 Tìm cực trị của hàm số z = xy +

x

3 +

y

9 với x > 0, y > 0

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

n

n n

∞

=

∑

−

⋯

1

n n

n x n

∞

=

−

∑

Câu 5 Tính tích phân kép ( 2)

D

I = ∫∫ x + dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

y

Câu 6 Tính tích phân ( 2 ) ( 3 2 )

C

I = ∫ x + y dx + x + y dy, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn bởi y = − 2 x y2, = − x, chiều kim đồng hồ

Câu 7 Tìm diện tích phần mặt z= x2+y2nằm trong hình cầu x2+y2+ =z2 2z

Câu 8 Tính =∫∫2

S

I xdS , với S là phần mặt trụ x2+y2 =4nằm giữa hai mặt phẳng z=1,z=4

Câu 1 Cho hàm f x y ( , ) = 4 y2 + sin (2 x − y ) Tính d f2 (0,0)

Câu 2 Tìm cực trị của hàm z = x y3 + 12 x2 − 8 y

1

n

n n

∞

=

∑

⋯

3 1

n n

x

∞

=

∑

Câu 5 Tính tích phân x2 y2.ln(x2 y2)

D

+ +

∫∫ dxdy với D là miền 1 ≤ x2+y2≤e2

Câu 6 Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với h(y) vừa tìm, tính tích

L

dy y x Q y h dx y x P

y

h( ) ( , ) ( ) ( , ) trong đó L là đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2)

Câu 7 Tìm diện tích phần mặt z x+ 2+y2 =2nằm trong hình paraboloid z=x2+y2

Câu 8 Tính =∫∫ 2 + 2 + 2

S

I x dydz y dxdz z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu x2+y2+z2 =2z , phía trên

Trang 3

Câu 1 Tính

2f

x y

∂

∂ ∂ , với

3

2





Câu 2 Tìm cực trị có điều kiện: f x y( , )=2x2+12xy+y2; x2+4y2 =25

3 3

1

2 2

1

n

n n

n

∞

=

+

−

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi:

) 1 ln(

) 1 (

) 5 ( 2 ) 1 ( 1 1

−

∞

=

∑

n n

n n n

Câu 5 Tính tích phân arctg( x y )dxdy

D

với D là hình tròn: x2+y2 ≤3

Câu 6 Chứng tỏ tích phân x y[ (1 ) (1 ) ]

C

I = ∫ e − + + x y dx + − − x y dy không phụ thuộc đường đi Tính tích phân I với C là phần ellipse

2 2

1

x + y = từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ

Câu 7 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi y= −2 x y2, =1,z=0,z=3x, lấy phần z≥0

S

I xdydz y z dxdz z dxdy , với S là phần mặt phẳng x+ + =y z 4nằm trong hình trụ x2+y2 =2y, phía trên

Câu 1 Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x2y3 Tính dz(1,1) và (1,1)

2

y x

z

∂

Câu 2 Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1

2 1

1 4 9

n

n n

∞

=

⋅ ⋅

∑

−

⋯

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n

n n

x

4

3 ) 1 (

0 3

1

− +

−

∑∞

+

Câu 5 Tính tích phân kép 4 2 2

D

I = ∫∫ − x − y dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

1,

x + y = y ≤ x

C

I = ∫ x y + − x y dx + y − − x xy dy, với C là nửa bên phải của đường tròn x2 + y2 = 4 , y chiều kim đồng hồ

Câu 7 Tính tích phân đường loại một =∫∫ 2+ 2

C

I x y dl , với C là nửa trên đường tròn x2+y2 =2y

Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính = ∫( + ) +(2 − ) +

C

I x y dx x z dy ydz , với C là giao của

2 2 2

4

x y z và x y z+ + =0, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z

Câu 1 Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2) Tính dz( 2,1)và 2

2

x

z

∂

∂ ( 2,1)

Trang 4

1

n n

∞

=

∑

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑∞ ( )( )

+ +

0 5 2 6 1

1 2

n n

n

x n

Câu 5 Tính tích phân ∫∫

+ +

0

2 2

dxdy

với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x2+y2=

1(x, y ≥ 0), x2+y2=33 (x, y ≥0), y=x, y = x 3

Câu 6 Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + eαxcosy, Q(x,y)= 2xexy- eαxsiny trong đó α là hằng số Tìm α để biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với α vừa tìm được, tính tích phân

đường ∫[(x,y)− y3]dx+[Q(x,y)+x3]dy

γ

trong đó ( )γ là đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ)

Câu 7 Tính tích phân mặt loại một =∫∫ 2

S

I x dS , với S là nửa trên mặt x2+y2+z2 =4

Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính I = ∫C(3x−y dx2) +(3y−z dy2) +(3z−x dz , với C là giao của 2)

2 2

z x y và z= −2 2y, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z

Câu 1 Tìm z z của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình 'x, 'y x3 + y2 + yz = ln z

Câu 2 Tìm gtln, gtnn của f x y( , )=x2+y2+x y2 +4 trên miền D={( , ) | | | 1,|x y x ≤ y| 1}≤

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/

) 1 (

2 2 1

∞

=

∑ + n n

n

1

2

5

! ) 1 2 .(

5 3 1

9 4

∞

=

n

Câu 4 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

1 3 4 2 1

n n

x

∞ +

=

∑

Câu 5 Tính tích phân kép ∫∫ − −

D

y

x2 2

9 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường tròn x2 + y2 = 9, y≥0và các đường thẳng y = x, y = -x

Câu 6 Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q x y ( , ) = − − (1 x y e ) −y Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với h(x) vừa tìm, tính tích

L

dy y x Q x h dx y x P

x

h( ) ( , ) ( ) ( , ) trong đó L là nữa đường tròn x2 + y2 = 9 nằm bên phải trục tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3)

Câu 7 Tính =∫∫∫2

V

I zdxdydz, với V giới hạn bởi x2+y2+z2 ≤2z và z+ x2+y2 =1

Câu 8 Tính tích phân mặt =∫∫( +2 ) +( +2 ) + +( 2 )

S

I x y dydz y z dxdz z x dxdy , với S là phần mặt

paraboloid z=x2+y , bị cắt bởi 2 z= −2 2x, phía dưới

Trang 5

Câu 1 Tìm miền xác định và miền giá trị của

2 2

1

, if ( , ) (0, 0) ( , )

3, if ( , ) (0, 0)

x y

f x y

x y

− +



=



Câu 2 Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x2- 2xy+ 2y2- 2x+ 2y +4

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của ∑∞ ( )

=

+

1

n

n v

) 1 4 (

1 4

1













+

−

=

n n n

n

! )

1 3 .(

10 7 4

)

2 .(

6 4 2

n n

n n v

n

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑∞

+

04 2.4 3 1

) 3 (

n n

n

n x

Câu 5 Tính J= ∫∫

D

dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x và các

đường thẳng y = x, y = 0

Câu 6 Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi

I= h x y [x x y dy y x y dx]

AB

) (

) ( 2 − 2 2 + 2 − 2 + 2

Câu 7 Tính ( )

V

I =∫∫∫ x+yz dxdydz, với V giới hạn bởi z=x2+y2 và z+x2+y2 =2

Câu 8 Tính tích phân mặt =∫∫2 +(3 + ) +(2 +4 )

S

I xdydz y z dxdz z y dxdy , với S là phần mặt

paraboloid x2+y2+z2 =2x , phần z≤0, phía dưới

Câu 1 Tính f//xy(0, 0) ( , ) 2 2 , if ( , ) (0, 0)

0, if ( , ) (0, 0)



≠



= +



xy

x y

Câu 2 Tìm cực trị của hàm z = x4 + y4 − − x2 y2 − 2 xy x , ≠ 0.

2

1

n

n n

∞

=

+

∑   +  

1

2

n n

x

n n

∞

=

−

∑

+

Câu 5 Tính tích phân kép ( | |)

D

I = ∫∫ x + y dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0

Câu 6 Tính tích phân

(2,3)

2

(1,1)

1

không qua gốc O và không cắt trục tung

Câu 7 2 12 2

V

=∫∫∫

+ + , với V được giới hạn bởi

2 2 2

4

x y z và z≥ x2+y2

Câu 8 Tính tích phân mặt ( ) ( ) ( )

S

I =∫∫ x+z dydz+ y+x dxdz+ +z y dxdy, với S là phần mặt paraboloid z=x2+y2nằm dưới mặt x+ =z 2, phía trên

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	90,61 KB