Giải tích 2 đề số 13

Bài giải Vì hàm trong dấu tích phân là hàm chẵn theo x,y và miền D đối xứng qua 2 trục ox,oy nên ta chỉ cần tính tích phân trên góc phần 4 thứ I rồi gấp 4 lần lên.

Giải tích 2 – Đề số 13

Câu 1: Tính f y'(0,1) của hàm f x y( , ) 3 2x2y2 và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến

Tương tự câu 1 đề 12

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z  ( x  y e ) xy trên miền   2 x y1

Bài giải

2

x

u

y











 



2 2 2 2

Xét  

 

2

[-2,1]

4

1 4 [-2,1]

m in f 2 2

ax f 1

   





 Vậy max z =2e đạt tại (u,v)=(1,0) hay (x,y)=(1/2,1/2)

max z =-4e4 đạt tại (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-1,-1)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

( 1) ( 1)

n n









 

Bài giải 1:

Có em giải như sau:

( 1) ( 1) ( 1)

n

 

( 1)n

n

u

n



 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Các em nhận xét xem đúng hay sai?

Bài giải 2:

 

 

1

1

n

n

u

n



 

Vì  

2

1

1

n

n

n n









 hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz và

2

1 1

n n



 phân kỳ do đó chuỗi phân kỳ

Câu 4: Tìm chuỗi Taylor của ( ) 22 3

x

f x

x x





  , tại x  và tìm miền hội tụ của chuỗi 0 1 này

Bài giải ( ) 22 3 9 7

x

f x



Đăt u=x-1

 

 

1 0

( )

9

2

n n

n n

n

f x

x









          

    



Câu 5: Tính tích phân kép

D

I   xy dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

1  x  y  4.

Bài giải

Vì hàm trong dấu tích phân là hàm chẵn theo x,y và miền D đối xứng qua 2 trục ox,oy nên ta chỉ cần tính tích phân trên góc phần 4 thứ I rồi gấp 4 lần lên

2 2

3

0 1

15

2

D



Câu 6: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi  2 22

2 , , 0 ( 0)

Bài giải

r(t)=sqrt (sin(2*t))

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Đổi sang toạ độ trụ:

cos sin















 



Các mặt được viết lại là:

sin

os sin

r









Vì x>0 và  2 22

2

x y  xy nên y>0 do đó 0,

2



  

 

Miền được viết lại trong toạ độ trụ là: V

0

2

0 sin 2

r









 





 









3

1 sin sin os 3

r c

Đặt

2

(sin os )

1 2

t

t







   

 

1

1 1 3



Đặt: tsinu

4 2 2

1 os









Câu 7: Tính tích phân mặt loại một 2

S

I   xds với S là phần mặt phẳng x   y z 2 nằm trong hình cầu x2y2z2 4

Bài giải

Vì có tính đối xứng nên

3S xyz ds 2 2

3 S ds

  =4

3S Hình cầu có tâm I(0,0,0)

( , )

0 0 0 2 2

I

d      

(2 ( ) )

3 3

Vậy 32

9

I  