www.tanbachkhoa.edu.vn Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh Thời gian làm bài: 90 phút. Hình thức thi: Tự luận. Thang điểm: câu 1: 1 điểm, các câu còn lại: 1.5 điểm. Đề luyện tập số 11. Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi 2 2 2 2x y z y+ + ≤ , 2 2 y x z≥ + . Câu 2. Trên mặt phẳng 2 0x y z+ − = tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó điểm hai mặt phẳng 3 6 0x z + − = và 3 2 0y z+ − = là nhỏ nhất. Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 3 3 3 2 1 (3 1)! 1 2 5n n n ∞ = − ∑ × ××× × Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2 1 ( 5) ( 2) 3 (2 1) 2 n n n n x n n ∞ = − + + + ∑ Câu 5. Tính tích phân kép 2 D I y x dxdy= − ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 1 1,0 2x y− ≤ ≤ ≤ ≤ . Câu 6. Tính tích phân bội ba ( ) V I y z dxdydz= + ∫∫∫ , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi 2 2 2 2 2 2 , 4, 2z x y x y z x y= + + = = + + . Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai (2 ) S I x y dydz= + ∫∫ , với S là phần mặt 2 2 z x y= + bị cắt bởi mặt 4z = , phía trên theo hướng trục Oz. Đề luyện tập số 12. Câu 1. Tính ' (1,1) x f của hàm 2 2 ( , ) 2 4f x y x y= + − − và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến. Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 3 3 ( , ) 3f x y x y xy= + − trên miền 0 2, 1 2x y≤ ≤ − ≤ ≤ Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: 1 ( 1) 1 n n n n ∞ = − ∑ + Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 3 1 (2 1)( 3) 3 ln n n n x n n n ∞ = + − ∑ + × Câu 5. Tính tích phân kép { } max , D I x y dxdy= ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 0 4,0 4x y≤ ≤ ≤ ≤ . Câu 6. Tính tích phân bội ba V I xdxdydz= ∫∫∫ , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi 2 2 2 2 2 0, 4x y z x y z+ + ≤ + + ≤ . Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3 S I x dydz y dxdz z dxdy= + + ∫∫ với S là mặt phía ngoài của vật thể giới hạn bởi 2 2 2 ,0 1x z y y+ ≤ ≤ ≤ . Đề luyện tập số 13. Câu 1. Tính ' (0,1) y f của hàm 2 2 ( , ) 3 2f x y x y= − − và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến. 1 Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) xy z x y e= + trên miền 2 1x y− ≤ + ≤ . Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 ( 1) ( 1) n n n n ∞ = − ∑ + − Câu 4. Tìm chuỗi Taylor của 2 2 3 ( ) 5 6 x f x x x + = − + , tại 0 1x = và tìm miền hội tụ của chuỗi này. Câu 5. Tính tích phân kép D I xy dxdy= ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1 4.x y≤ + ≤ Câu 6. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi ( ) 2 2 2 2 , , 0 ( 0) x y xy z x y z x+ = = + = > . Câu 7. Tính tích phân mặt loại một 2 S I xds= ∫∫ với S là phần mặt phẳng 2x y z+ + = nằm trong hình cầu 2 2 2 4x y z+ + = . Đề luyện tập số 14. Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi 2 2 4 , 1 , 0, 2y x y x z z x≤ − ≥ − ≥ ≤ . Câu 2. Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 2 12m bìa carton. Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này. Câu 3. Tính tổng 1 1 ( 1)( 2) n S n n n ∞ = = ∑ + + Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của 4 0 ( ) 1 x dt f x t = ∫ − và tìm miền hội tụ của chuỗi này. Câu 5. Tính tích phân D y dxdy ∫∫ với D là miền 2 2 2 2 1, 1. 16 9 x y x y+ ≤ + ≥ Câu 6. Tìm diện tích phần mặt cầu 2 2 2 18x y z+ + = nằm trong hình nón 2 2 2 x y z+ = . Câu 7. Tính tích phân mặt loại một S I yds= ∫∫ , với S là phần mặt trụ 2 2 4x y+ = nằm giữa hai mặt phẳng 0, 3z z= = . Đề luyện tập số 15. Câu 1. Cho 2 (3 , ) xy f f x y e= + . Tính 2 , f f x x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . Câu 2. Tìm điểm M trên hình nón 2 2 2 z x y= + , sao cho MA là nhỏ nhất, với A(4,2,0). Câu 3. Tính tổng 1 2 3 5 n n n ∞ = + ∑ Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của hàm 3 ( ) arctan 3 x f x x + = − và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này. Câu 5. Tính tích phân { } max sin ,sin D x y dxdy ∫∫ với D là miền 0 ,0 .x y π π ≤ ≤ ≤ ≤ Câu 6. Tính tích phân đường ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 C I y z dx z x dy x y dz= + + + + + ∫Ñ , với C là giao của mặt phẳng 1x y z+ + = và mặt cầu 2 2 4 2 x y z+ + = ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz. Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai S I zdxdy= ∫∫ với S là nửa mặt cầu 2 2 9 2 x y z+ + = , phần 0y ≥ , phía ngoài (phía trên theo hướng trục Oy). Đề luyện tập số 16. 2 Câu 1. Cho 3 2 ( , ) arctan , ( , ) 2 , ( , ) 2 u f f u v u u x y x y v v x y x y v = = = = + = = + . Tính 2 f x y ∂ ∂ ∂ . Câu 2. Cho một hình hộp chữ nhật ở góc phần tám thứ nhất trong hệ trục Oxyz, có 3 mặt nằm trên 3 mặt phẳng tọa độ và một đỉnh nằm trên mặt phẳng 2 3 6x y z+ + = . Tìm thể tích lớn nhất. Câu 3. Tính tổng 1 1 ( 2) ( 2) 7 n n n n n ∞ + = − ∑ + × Câu 4. Tìm chuỗi lũy thừa của hàm ( ) 2 ( ) ln 1f x x x= + + và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này. Câu 5. Tính tích phân kép 2 2 16 9 D x y I dxdy   = +  ÷ ∫∫  ÷   , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi [ ] 0, 0, 4sin , 3cos , 0, / 2x y x t y t t π = = = = ∈ . Câu 6. Tính tích phân đường 3 2 C I zdx xdy ydz= + + ∫Ñ , với C là giao của mặt phẳng 2x z + = và mặt cầu 2 4 2 x y+ = theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz. Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 S I x dydz y dzdx= + ∫∫ , với S là mặt ngoài của nửa trên ellipsoid ( ) 2 2 2 1, 0 16 9 x z y z+ + = ≥ . Đề luyện tập số 17. Câu 1. Cho ( ) 2 3 ( , ) ln 3f x y y x y= + + . Tìm (0,0), (0,0) f f x y ∂ ∂ ∂ ∂ . Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 3 3 ( , ) ; 16 xy f x y e x y= + = . Câu 3. Tính tổng 1 ( 1) 2 4 6 (2 ) n n n ∞ = − ∑ × × L Câu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính 0 1 x xdx e +∞ ∫ + Câu 5. Tính tích phân ( ) 2 2 0 2sign x y dxdy− + ∫∫ với D 0 3,0 3x y≤ ≤ ≤ ≤ . Câu 6. Tính tích phân đường ( ) ( ) ( ) 2 2 2 C I y z dx z x dy x y dz= + + + + + ∫Ñ , với C là giao của mặt nón 22 y z x+ = và mặt cầu 2 2 4 2 x y z+ + = ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox. .Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3 S I x dydz y dzdx z dxdy= + + ∫∫ , với S là mặt trong của vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 2 1 4,x y z y x z≤ + + ≤ ≥ + . Đề luyện tập số 18. Câu 1. Cho 2 2 2 2 , ( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , ) (0,0) x y xy x y f x y x y x y  − ≠  = +   =  . Tìm 2 2 2 2 2 2 (0,0), (0,0), (0,0), (0,0) f f f f y x x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . Câu 2. Tìm cực trị của hàm ( , ) 4 6f x y x y= + với điều kiện 2 2 13x y+ = . Câu 3. Tính tổng 1 ( 2) 3 1 3 5 (2 1) n n n S n ∞ = − = ∑ × × × +L 3 Câu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính 1 0 1 ln 1 dx x ∫ − Câu 5. Tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 2 3 1, 0,x y y y x+ ≤ ≥ ≥ . Câu 6. Tính tích phân ( ) ( ) 3 2xy xy C I x ye dx y xe dy= + + + ∫ , trong đó C là phần elip 2 2 1 16 9 x y + = từ điểm A(4,0) đến B(0,-3) theo chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai 3 ( 1) 3 5 S I x dydz ydzdx zdxdy= − + + ∫∫ , với S là mặt ngoài của nửa dưới mặt cầu 2 2 2 , 0 2 x y z x z+ + = ≤ . Đề luyện tập số 19. Câu 1. Vẽ khối Ω giới hạn bởi 2 2 2 4 , 2 , 2z x x y y x y z= + + = + + = . Câu 2. Tìm cực trị của hàm ( , , ) 2 6 10f x y z x y z= + + với điều kiện 2 2 2 35x y z+ + = . Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 ( 1) n n n n ∞ = ∑ + − Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của 0 ln(1 3 ) ( ) x t f x dt t + = ∫ và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này. Câu 5. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 2 2 6 , 3, 0x x y x y x y x≤ + ≤ ≤ + ≥ . Câu 6. Tính tích phân đường 2 C I y dl= ∫ , C là cung Cycloid ( sin ), (1 cos ),0 2x a t t y a t t π = − = − ≤ ≤ . Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai 2 S I z dxdy= ∫∫ , S là mặt trong của nửa mặt cầu ( ) ( ) 2 2 2 1 2 4, 0x y z z− + − + = ≥ . Đề luyện tập số 20. Câu 1. Tìm vi phân cấp hai của hàm ( , )z z x y= là hàm ẩn xác định từ phương trình z x y z e+ + = . Câu 2. Tìm cực trị của hàm ( , , ) 2 3f x y z x y z= + + với hai điều kiện 1x y z− + = và 2 2 1x y+ = . Câu 3. Tính tổng ( ) 2 2 1 2 1 1 n n n n ∞ = − ∑ + Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ( ) 1 2 1 1 ( 2) 1 n n n x n n − ∞ = − + ∑ + + Câu 5. Tính tích phân kép ( ) D I x y dxdy= − ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi đường astroid 3 3 cos , sin ,0 / 2x a t y a t t π = = ≤ ≤ , và các trục tọa độ. Câu 6. Tính tích phân đường loại một ( ) C I x y dl= + ∫ , C là cung bên phải của đường Lemniscate có phương trình trong tọa độ cực 2 2 cos2 , 0 r a a ϕ = > . Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai S I yzdydz zxdxdz xydxdy= + + ∫∫ , với S là biên của vật thể giới hạn bởi 1, 0, 0, 0x y z x y z+ + ≤ ≥ ≥ ≥ , định hướng phía trong. 4 . Tính tích phân mặt loại hai (2 ) S I x y dydz= + ∫∫ , với S là phần mặt 2 2 z x y= + bị cắt bởi mặt 4z = , phía trên theo hướng trục Oz. Đề luyện tập số. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3 S I x dydz y dxdz z dxdy= + + ∫∫ với S là mặt phía ngoài của vật thể giới hạn bởi 2 2 2 ,0 1x z y y+ ≤ ≤ ≤ . Đề luyện tập