đề cương ôn tập giải tích 2

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến z = fx,y trên một miền đóng và bị chặn D.. - Bước 2: xét trên các đường biên của D, thay phương trình đường biên của D vào f để f trở thành hàm mộ

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP – MÔN GIẢI TÍCH 2 Chương 1: Tính độ cong của đường cong được xác định bởi hàm vectơ ⃗( )

- Nếu ⃗( ) = 〈 ( ), ( ), ( )〉 thì độ cong

( ) =| ⃗ ( ) × ⃗ ( )|

| ⃗ ( )|

- Nếu đường cong phẳng có phương trình y = f(x) thì độ cong

Chương 2:

Dạng 1: Tìm cực trị không điều kiện của hàm hai biến z = f(x,y)

- Bước 1: Giải hệ = 0

= 0 Tìm các điểm tới hạn ( , )

+ Nếu D(M) < 0 thì M không là cực trị

+ Nếu D(M) > 0 và ( ) > 0 thì M là điểm cực tiểu Tính f(M)

Nếu D(M) > 0 và ( ) < 0 thì M là điểm cực đại Tính f(M)

+ Nếu D(M) = 0 thì xét dấu Δ ( ) = ( + Δ , + Δ ) − ( , ) (với Δ ≠ 0

và Δ ≠ 0 là các số gia của biến x và biến y)

Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) > 0 thì M là điểm cực tiểu Tính f(M)

Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) < 0 thì M là điểm cực đại Tính f(M)

Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) không xác định dấu thì M không là cực trị

Dạng 2: Tìm cực trị có điều kiện (sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange)

1) Hàm hai biến: Tìm cực trị hàm z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = 0

Bước 1: Xét hàm ( , , ) = ( , ) + ( , )

Bước 2: Giải hệ phương trình

= 0

= 0 ( , ) = 0

Tìm các điểm tới hạn ( , )

- Nếu ( , ) > 0 thì là điểm cực tiểu Tính ( )

- Nếu ( , ) < 0 thì là điểm cực đại Tính ( )

- Nếu ( , ) không xác định dấu thì xét dấu Δ ( ) với điều kiện ( ) = 0 Nếu Δ ( ) > 0 thì là điểm cực tiểu Tính ( )

Nếu Δ ( ) < 0 thì là điểm cực đại Tính ( )

2) Hàm ba biến: Tìm cực trị hàm u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0

Bước 1: Xét hàm ( , , , ) = ( , , ) + ( , , )

Bước 2: Giải hệ phương trình

⎩

⎨

= 0 ( , , ) = 0

Tìm các điểm tới hạn ( , , )

Bước 3: Xét dấu

- Nếu ( , ) > 0 thì là điểm cực tiểu Tính ( )

- Nếu ( , ) < 0 thì là điểm cực đại Tính ( )

- Nếu ( , ) không xác định dấu thì xét dấu Δ ( ) với điều kiện ( ) = 0 Nếu Δ ( ) > 0 thì là điểm cực tiểu Tính ( )

Nếu Δ ( ) < 0 thì là điểm cực đại Tính ( )

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến z = f(x,y) trên một miền đóng và bị chặn D

- Bước 1: Giải hệ phương trình = 0

= 0 Tìm các điểm tới hạn ( , )

Nếu ∈ thì tính ( )

- Bước 2: xét trên các đường biên của D, thay phương trình đường biên của D vào f để f trở thành hàm một biến, quay lại bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm một biến trên một đoạn Tính giá trị của f tại các điểm biên và các điểm làm cho đạo hàm của f bằng

0

- Bước 3: so sánh tất cả các giá trị của f tại các điểm tìm được ở bước 1 và bước 2 để tìm ra GTLN và GTNN

Chương 3

Dạng 1: Tính tích phân hai lớp

Cách 1: Dùng tọa độ Đề - Các, mô tả D về dạng miền loại I hoặc loại II

Miền loại I: = {( , )| ≤ ≤ , ( ) ≤ ≤ ( )} Khi đó

( ) ( )

Miền loại II: = {( , )| ≤ ≤ , ( ) ≤ ≤ ( )} Khi đó

( ) ( )

Cách 2: Dùng tọa độ cực, đặt = cos

= sin , | | = ,

( ) ≤ ≤ ( ) Khi đó

( ) ( )

Cách 3: Dùng tọa độ cực suy rộng (chỉ trong trường hợp D là miền elip)

Đặt = cos

≤ ≤ (tùy điều kiện đầu bài để suy ra miền của Khi đó

Dạng 2: Ứng dụng của tích phân hai lớp

Cho một bản phẳng không đồng chất choán một miền D có hàm tỷ trọng là ( , ) Khi đó

- Diện tích miền D là

- Khối lượng của bản phẳng là

- Tọa độ trọng tâm của bản phẳng là

- Mômen quán tính của bản phẳng theo các trục tọa độ là

- Mômen quán tính của bản phẳng theo gốc tọa độ là

= ( + ) ( , )

- Thể tích vật thể giới hạn bởi phía dưới là mặt có phương trình = ( , ), phía trên

là mặt = ( , ), hình chiếu của vật xuống xOy là miền D:

 Chú ý: Nếu bản phẳng đồng chất thì hàm tỷ trọng (khối lượng riêng) là một hằng số k Dạng 3: Tính tích phân ba lớp

Cách 1: Dùng tọa độ Đề các, mô tả V theo một trong ba trường hợp

( , ) ( , )

TH2: = {( , , )| ( , ) ∈ ⊂ , ( , ) ≤ ≤ ( , )}

Thay vào I tương tự

Thay vào I tương tự

Cách 2: Dùng tọa độ trụ, đổi biến theo một trong các trường hợp

TH1: đặt

= cos

= sin

= , | | = ,

Khi đó

=

( ) ( )

( cos , sin , )

( , ) ( , )

TH2: đặt

= cos

= sin

= Thay vao I tương tự như trên

TH3: đặt

= cos

= sin

= Thay vao I tương tự như trên

Cách 3: dùng tọa độ cầu, đặt

Dạng 4: Ứng dụng của tích phân ba lớp

a) Tính thể tích vật thể

= b) Tính khối lượng vật thể V có hàm tỷ trọng là ( , , )

c) Tìm tọa độ trọng tâm vật thể V có hàm tỷ trọng là ( , , )

d) Tính mômen quán tính theo các trục tọa độ của vật thể V có hàm khối lượng riêng là ( , , )

M = ρ(x, y, z)(x + y )dxdydz

 Chú ý: Nếu vật thể đồng chất thì tỷ trọng (khối lượng riêng) là một hằng số k

Chương 4:

Dạng 1: Tính tích phân đường

a) Tích phân đường loại 1 trong mặt phẳng

Cách 1: đưa về biến x, mô tả = {( , )| = ( ), ≤ ≤ } Khi đó

Cách 2: đưa về biến y, mô tả = {( , )| = ( ), ≤ ≤ } Khi đó

Cách 3: đưa về biến t, mô tả = {( , )| = ( ), = ( ), ≤ ≤ } Khi đó

b) Ứng dụng của tích phân đường loại 1

- Tính độ dài của một dây L nằm trong mặt phẳng

=

- Tính khối lượng của một dây L nằm trong mặt phẳng có hàm tỷ trọng là ( , )

- Tìm tọa độ trọng tâm của một dây L nằm trong phẳng có hàm tỷ trọng ( , )

c) Tính tích phân đường loại 2 trong mặt phẳng

Cách 1: đưa về biến x, mô tả = {( , )| = ( ), ∈ 〈 , 〉} Khi đó

Cách 2: đưa về biến y, mô tả = {( , )| = ( ), ∈ 〈 , 〉 } Khi đó

Cách 3: đưa về biến t, mô tả = {( , )| = ( ), = ( ), ∈ 〈 , 〉} Khi đó

Cách 4 (áp dụng trong trường hợp L là đường kín giới hạn một miền kín D trong mặt phẳng, đi trên L theo chiều dương – công thức Green)

Dạng 2: Tính tích phân mặt

a) Tính tích phân mặt loại 1

Cách 1: đưa về biến x và y, tìm hình chiếu D của S lên mp(xOy)

Cách 2: đưa về biến y,z, tìm hình chiếu D của S xuống mặt yOz

Cách 3: đưa về biến z, x, tìm hình chiếu D của S xuống mặt zOx

b) Tính tích phân mặt loại 2

Cách 1: Tính lần lượt , ,

Trong đó là hình chiếu của S xuống mặt phẳng yOz, lấy dấu (+) nếu = ( ⃗, ) < 90 , lấy dấu (-) nếu > 90

Trong đó là hình chiếu của S xuống mặt phẳng xOz, lấy dấu (+) nếu = ( ⃗, ) < 90 , lấy dấu (-) nếu > 90

Trong đó là hình chiếu của S xuống mặt phẳng yOx, lấy dấu (+) nếu = ( ⃗, ) < 90 , lấy dấu (-) nếu > 90

Cách 2: đưa về tích phân ba lớp (trong trường hợp S là mặt kín giới hạn một vật thể V

- sử dụng công thức Ostrograsky, tích phân lấy theo phía ngoài của mặt S)

Dạng 3: Ứng dụng của tích phân mặt

a) Tính diện tích mặt

b) Tính khối lượng của mặt S có hàm tỷ trọng là ( , , )

c) Tìm tọa độ trọng tâm của mặt S có hàm tỷ trọng là ( , , )

d) Tính thông lượng của trường vectơ ⃗ = 〈 ( , , ), ( , , ), ( , , )〉 qua mặt S

Chương 5

Dạng 1: Giải phương trình vi phân cấp một ( , ) + ( , ) = 0 (∗)

a) Nếu = thì (*) là phương trình vi phân toàn phần, nghĩa là

Trong đó hàm u(x,y) được xác định bằng một trong hai cách sau, chọn ( , ) là một điểm thuộc miền xác định của P(x,y) và Q(x,y)

Cách 1:

Cách 2:

( , ) = ( , ) + ( , ) +

b) Nếu = ( )( ) thì (*) là phương trình biến số phân ly, nghĩa là

c) Nếu = thì (*) là phương trình thuần nhất, khi đó đặt = và đưa về phương trình biến số phân ly hàm u biến x

d) Nếu = − ( ) + ( ) thì (*) là phương trình tuyến tính, sử dụng công thức nghiệm để giải

Nghiệm tổng quát

e) Nếu = − ( ) + ( ) ( ≠ 0; 1) thì (*) là phương trình Bernoulli, chia hai

vế cho ( ớ ≠ 0) và đặt = để đưa về phương trình tuyến tính hàm z biến x

Dạng 2: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng

+ + = ( ) (1) Bước 1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng

+ + = 0 (2) được nghiệm tổng quát ( )

Giải phương trình đặc trưng + + = 0 (3)

- Nếu (3) có 2 nghiệm phân biệt , thì ( )= +

- Nếu (3) có nghiệm kép = = thì ( )= ( + )

- Nếu (3) có nghiệm phức liên hợp ± thì ( ) = ( cos + sin ) Bước 2: Tìm nghiệm riêng của (1)

TH1: ( )= ( ), nếu là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của (1) có dạng

- Nếu ± là nghiệm của phương trình đặc trưng thì

- Nếu ± không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì

Bước 3: viết nghiệm tổng quát của (1)

( ) = ( )+ ( ) Dạng 3: Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng

Bước 1: Đạo hàm hai vế của (1)

Bước 2: Rút z’ từ (2) và z từ (1) thay vào (3) để (3) trở thành phương trình tuyến tính cấp hai hàm y biến x Giải phương trình này để tìm y

Bước 3: Thay vào để tìm z

-

Chúc các em thi tốt Không sử dụng tài liệu nhé nếu không muốn học lại một lần nữa!

-