Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60.. Cho khối chóp S.ABCD có đá
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 Tính khoảng 0 cách giữa các đường thẳng sau:
a) SA và BD
b) BD và SC
Lời giải:
a) Ta có: ( ) ( )
⊥
⊥
Gọi I là tâm hình thoi ta có: AI BD
⊥
⊥
nên AI là đường vuông góc chung do vậy ta có:
( ; )
2
AC
d SA BD = AI = =a
b) Ta có: BD SA BD (SAC)
⊥
⊥
Dựng IK ⊥SC ta có IK là đường vuông góc
chung của BD và SC Dựng AE⊥BC, ta có
60
BC⊥SA⇒BC⊥ SAE ⇒SEA=
Do ABC∆ đều nên AE=ABsin 600 =a 3
Suy ra SA= AEtan 600 =3a
Khi đó dựng AF ⊥SC suy ra
2
AF
13
a AF
;
13
a
Câu 2: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB=2 ;a AD=a, hình chiếu
vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của AB Biết SC tạo với đáy một góc 60 , tính khoảng cách 0
giữa 2 đường thẳng SD và HC
Lời giải:
CHINH PHỤC HÌNH KHÔNG GIAN 2016
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Ta có H là trung điểm của AB nên HA=HB=a
Khi đó HC= HB2+BC2 =a 2
Lại có SCH=600 ⇔SH =HCtan 600 =a 6
Dễ thấy HD=HC=a 2;CD= AB=2a nên tam
giác DHC vuông cân tại H ta có CH DH
⊥
⊥
CH ⊥ SHD , dựng HK ⊥SD suy ra HK là đường
vuông góc cung của HC và SD
3
a HK
3
a
Câu 3: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 Tính: 0
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA , AD và SB
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Lời giải:
a) Ta có ( ) ( )
( ) (, ) ( )
⊥
Ta có AB BC AB d SA BC( , ) a
⊥
⊥
Kẻ AH ⊥SB
⊥
⊥
( , )
⊥
⊥
2
Kẻ AK ⊥SC
⊥
⊥
mà AK ⊥SC⇒ AK ⊥(SCx)⇒ AK =d A SCx( ,( ) )
Ta có SA= AB tanSBA =a tan 600 =a 3 , AC = AB2 +BC2 = a2 +a2 =a 2
,
Câu 4: [ĐVH] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của
AB CD AD AC
a) Chứng minh rằng MN ⊥PQ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN PQ,
b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AG BC,
Lời giải:
Trang 3a) Gọi K là trung điễm của BC , O là giao điễm của
PK và MN
Ta có MD=MC⇒MN ⊥DC⇒MN ⊥PQ( )1
( )2
NA=NB⇒MN ⊥ AB⇒MN ⊥KQ
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒MN ⊥(PQK)
Kẻ OH ⊥PQ
Vì MN ⊥(PQK)⇒MN ⊥OH mà OH ⊥PQ
( , )
OH d MN PQ
2
a
Tam giác PQK cân tại Q ⇒QO⊥PK
2 2
2 2
a
Xét POQ∆ : 1 2 12 12 12
4
OH = OP +OQ = a
b) G là trọng tâm tam giác BCD⇒AG ⊥(BCD)
Ta có GK AG GK d AG BC( , )
⊥
⊥
2
a
,
a
Câu 5: [ĐVH] Cho hình lập phương ABCDA B C D′ ′ ′ ′ cạnh a Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC′ và BD
b) AC′ và DA′
Lời giải:
a) Gọi O là giao điễm của AC và
BD , M là trung điễm của CC '
Ta có OM / /AC '
( ', ) ( ',( ) )
d AC BD d AC MBD
d A MBD d C MBD
Kẻ CH ⊥MO
CH d C MBD
', 6
a
b) Kẻ AN / / 'A D⇒d AC DA( ', ')=d A D ANC( ' ,( ') )=d A( ',(ANC') )
Kẻ A E' ⊥C N' , A F' ⊥ AE⇒ A F' ⊥(ANC')⇒ A F' =d A( ',(ANC') )
a
Trang 4Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C có BC=AC=3a Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho HC =2HA , biết tam giác SAC là tam giác vuông tại S Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC
Lời giải:
Ta có: AC=3a⇒HA=a HC; =2a
Lại có SAC∆ vuông tai S có đường cao SH nên ta có:
SH =HA=HC= a ⇒SH =a
Dựng Bx/ /AC , dựng HE ⊥Bx , HF ⊥SE
Ta có Bx⊥SH ⇒BE⊥(SHE)⇒BE⊥HF
Mặt khác HF ⊥SE⇒H F ⊥(SBE)
Do Bx/ /AC⇒d SB AC( ; )=d AC SBE( ;( ) )
( )
d H SBE HF
Lại có: 1 2 12 12
HF = SH + HE , trong đó HE=BC=3a suy ra
;
Câu 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy , biết mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60 Tính 0
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB ta có AH ⊥AB, mặt
khác (SAB) (⊥ ABCD) nên SH ⊥(ABCD)
60
HK ⊥CD⇒CD⊥ SHK ⇒SKH =
Ta có: SH =a 3, mặt khác HKtan 600 =SH
Suy ra HK =a; SA=AB=2a
Dựng Ax/ /BD , dựng HE ⊥Ax , HF ⊥SE
Ta có Ax⊥SH ⇒AE⊥(SHE)⇒ AE⊥HF
Mặt khác HF ⊥SE⇒H F ⊥(SAE)
Do Ax/ /ABD⇒d SA BD( ; )=d BD SAE( ;( ) )
( )
Dựng HM ⊥BD AN; ⊥BD ta có:
2 2
Câu 8: [ĐVH] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , B AB=a BC, =2a, cạnh 2
SA= a và SA⊥(ABC) Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AB SC ,
a) Chứng minh rằng MN ⊥AB
b) Tính khoảng cách giữa AB SC ,
Lời giải:
Trang 5a) Ta có: BC AB SB BC
⊥
⊥
2
BN = AN= SC ( tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)
Do đó tam giác NAB cân tại N có trung tuyến NM suy ra
MN ⊥AB dpcm
b) Kẻ Cx/ /AB⇒d AB SC( ; ) (=d AB SCx; )=d A SCx( ;( ) )
Dựng AE Cx AF⊥ ; ⊥SE Do CE AE CE AF
⊥
⊥
suy raAF⊥(SCE) Ta có: AE=BC=2a
Câu 9: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAD đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC và SB
b) AD và SB
Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AD ta có SH ⊥ AD
Mặt khác (SAD) (⊥ ABCD)⇒SH ⊥(ABCD)
2
a
Dựng Bx/ /AC⇒d AC SB( ; )=d AC SBx( ;( ) )
Gọi G= AO∩BH ⇒G là trọng tâm tam giác ABD
2
Dựng HE⊥Bx HF; ⊥SE Do BE HE BE HF
⊥
⊥
từ đó suy raHF ⊥(SBE) Gọi K =AO∩HE ta có:
HE=HK+KE = OD OB+ = =
;
Câu 10: [ĐVH] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân tại
A BAC= AB=BB′=a Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) BB′ và AC
b) BC và AC′
Lời giải:
Trang 6a) Ta có: BB'/ /CC'⇒BB'/ /(ACC')
do vậy d BB AC( '; ) (=d BB ACC'; ')
Dựng BE⊥ AC, mặt khác BE⊥CC' suy ra
( ') ( ';( ') )
BE⊥ ACC ⇒d BB ACC =BE
2
a
b) Dựng Ax/ /BC⇒d BC C A( ; ' )=d BC CAx( ;( ) )
d C C Ax
Dựng CE⊥Ax AF; ⊥C E' Do
'
⊥
⊥
AE CF
⇒ ⊥ từ đó suy raCF ⊥(C AE' )
2
a
CE=d A BC = AB ABC=
'
+
Câu 11: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC cân tại A Gọi
H là trực tâm tam giác ABC
a) Chưng minh rằng BH ⊥(SAC) và CH ⊥(SAB)
b) Gọi K là trực tâm tam giác SBC chứng minh rằng: SC⊥(HBK) và HK ⊥(SBC)
Lời giải:
a) Do H là trực tâm tam giác ABC nên ta có: BH ⊥ AC
Mặt khác BH ⊥SA nên suy ra BH ⊥(SAC)
Tương tự ta có: CH AB CH (SAB)
⊥
⊥
b) Ta có : K là trực tâm tam giác SBC nên BK ⊥SC
Mặt khác BH ⊥(SAC)⇒BH ⊥SC do vậy SC⊥(BHK)
Ta có M là trung điểm của BC thì AM BC
⊥
⊥
⊥
⇒
⊥
Khi đó K là trực tâm tam giác SBC nên K
thuộc đường cao SM suy ra BC⊥HK
Mặt khác do SC ⊥(BHK)⇒SC⊥HK do vậy
HK ⊥ SBC dpcm
Câu 12: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, tam giác ABC là tam giác đều và hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H của tam giác ABC
a) Chứng minh rằng: AC⊥(SBD), AB⊥(SHC)
Trang 7b) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên SD chứng minh rằng SC⊥(AMC)
a) Do ABCD là hình thoi nên ta có: AC⊥BD
Mặt khác ABC là tam giác đều nên H thuộc đoạn
BD do vậy SH ⊥AC từ đó suy ra AC⊥(SBD)
Do H là trọng tâm cũng là trực tâm tam giác đều
ABC nên CH ⊥ AB lại có AB⊥SH suy ra
AB⊥ SHC
b) Do AC⊥(SBD)⇒AC ⊥SD, mặt khác ta có:
AM ⊥SD từ đó suy ra SD⊥(ACM) (dpcm)
Câu 13: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AC, gọi E là điểm thuộc cạnh AB sao cho
4
AB= AE và F là hình chiếu vuông góc của H trên A’E Chứng minh rằng:
a) AB⊥(A HE' )
b) HF ⊥(A ABB' ')
Lời giải:
a) Gọi M là trung điểm của AB ta có CM ⊥ AB
(do tam giác ABC đều)
Khi đó E là trung điểm của AM do vậy HE là
đường trung bình của tam giác ACM nên
/ /
HE CM ⇒HE⊥ABlại có A H' ⊥AB nên suy
ra AB⊥(A HE' ) (dpcm)
b) Do AB⊥(A HE' )⇒ AB⊥HF mặt khác
'
HF ⊥A E do vậy HF⊥(A ABB' ') (dpcm)
Câu 14: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SB=SD
a) Chứng minh rằng AC⊥(SBD)
b) Kẻ AK ⊥SB K( ∈SB) Chứng minh rằng SB⊥(AKC)
Lời giải:
Trang 8a) Gọi O là giao điễm của AC và BD
Tam giác SBD có SB=SD
SBD
⇒∆ cân tại S ⇒SO⊥ BD
Mà AC ⊥BD⇒ AC⊥(SBD)
b) Ta có AC⊥(SBD)⇒ AC ⊥SB
Mà SB⊥ AK ⇒SB⊥(AKC)
Câu 15: [ĐVH] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi M
là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng BC⊥(SAM)
b) Kẻ AH ⊥SM H( ∈SM) Chứng minh rằng AH ⊥(SBC)
c) Gọi ( )P là mặt phẳng chứa AH và vuông góc với (SAC) cắt SC tại K Chứng minh rằng SC⊥( )P
Lời giải:
a) Ta có BC AM BC (SAM)
⊥
⊥
b) Vì BC ⊥(SAM)⇒ BC⊥ AH
Mà AH ⊥SM ⇒ AH ⊥(SBC)
c) Ta có (SAC) ( )∩ P = AK
AK
⇒ là hình chiếu của AH lên (SAC)
Mà AH vuông góc với SC
AK
⇒ vuông góc với SC ⇒SC⊥( )P
Câu 16: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB=2AD Tam giác SAB nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AD , M là hình chiếu của S nằm trên
AB thỏa mãn 1
4
AM = AB
a) Chứng minh rằng AC⊥(SDM)
b) Kéo dài DM cắt BC tại I Hạ CH ⊥SI H( ∈SI) Lấy điểm K trên cạnh SC sao cho 3
4
SK = SC Chứng minh rằng BK ⊥(AHC)
Trang 9a) Ta có 1
4
MD=MA+AD= − DC+ AD
AC = AD+DC
1
4
2 2
= − − + +
( )2 2
1
= − + + = ⇒DM ⊥ AC
Mà AC ⊥SM ⇒ AC ⊥(SDM)
4
4
SK
Vì AC⊥(SDM)⇒ AC⊥SI ⇒BK ⊥ AC ( )2
Từ ( )1 và ( )2 ⇒BK ⊥(AHC)
Câu 17: [ĐVH] Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SCvà SB Chứng minh rằng:
a) (SAC) (⊥ SBC)
b) (SAB) (⊥ ADE)
Lời giải:
a) Do ( ) ( )
⊥
⊥
Lại có: AC⊥BCsuy ra BC⊥(SAC) (⇒ SAC) (⊥ SBC)
b) Do BC⊥(SAC)⇒BC ⊥AD, lại có AD⊥SC
do vậy AD⊥(SBC)⇒AD⊥SB, mặt khác SB⊥AE nên
suy ra SB⊥(ADE) do vậy (SAB) (⊥ ADE) (dpcm)
Câu 18: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) là trọng tâm tam giác ABD Gọi E là hình chiếu của điểm B trên cạnh SA Chứng minh rằng:
a) (SAC) (⊥ SBD)
b) (SAC) (⊥ BDE)
Lời giải
Trang 10a) Do ABCD là hình vuông nên ta có: BD⊥ AC
Do H là trọng tâm tam giác ABD nên H thuộc đường
chéo AC khi đó BD⊥SH do vậy BD⊥(SAC)
Suy ra (SAC) (⊥ SBD)
b) Ta có: BD⊥(SAC)⇒SA⊥BD
Lại có BE⊥SA⇒SA⊥(BDE)
Do vậy (SAC) (⊥ BDE) (dpcm)
Câu 19: [ĐVH] Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, gọi M là trung điểm của AB, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm của CM và N là hình chiếu vuông góc của M trên A’C Chứng minh rằng:
a) (A ABB' ') (⊥ A MC' )
b) (A ACC' ') (⊥ A NB' )
Lời giải
a) Ta có M là trung điểm của AB nên ta có:
CM ⊥ AB, lại có AB⊥A H' ⇒AB⊥(A MC' )
Do vậy (A ABB' ') (⊥ A MC' )
b) Do vậyAB⊥(A MC' )⇒ AB⊥ A C'
Lại có: A C' ⊥MN⇒A C' ⊥(ANB)
Do vậy (A ACC' ') (⊥ A NB' ) (dpcm)
Câu 20: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy
a) Chứng minh rằng (SAD) (⊥ SAB) (, SBC) (⊥ SAB)
b) Gọi I là trung điểm của SB Chứng minh rằng (ACI) (⊥ SBC)
c) Xác định J trên cạnh SA sao cho (BJD) (⊥ SAD)
Lời giải :
Trang 11a) Gọi H là trung điễm của AB⇒SH ⊥ AB
⊥
⊥
Ta có AD AB AD (SAB)
⊥
⊥
mà AD⊂(SAD) (⇒ SAD) (⊥ SAB)
Ta có BC AB BC (SAB)
⊥
⊥
mà BC⊂(SBC) (⇒ SBC) (⊥ SAB)
b) SAB∆ đều⇒ AI ⊥SB ( )1
BC ⊥ SAB ⇒BC ⊥ AI
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒ AI ⊥(SBC)
mà AI ⊂(ACI) (⇒ ACI) (⊥ SBC)
c) Ta có AD⊥(SAB)⇒ AD⊥BJ
⇒ Để (BJD) (⊥ SAD) thì BJ ⊥SA⇒J là trung điễm của SA
