CHUYÊN đề HÌNH học KHÔNG GIAN 2016

tài liệu là phần tập hợp kiến thức chủ đạo lớp 11 và phần thể tích đầu lớp 12, luyện tập và cách làm rất kỹ, các công thức và phương pháp chứng minh đã được rút lại rõ ràng dễ hiểu giúp học sinh luyện tập có hứng thú

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (11-12)

I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Hệ thức trong tam giác thường

o Định lý Cosin:

2 = 2+ 2 −2 cos

BC AB AC AB AC A

o Hệ quả:

2

= AB AC BC

CosA

AB AC

o Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến:

( 2 2) 2

2 2

4

AB AC BC

=

o Định lý sin:

2 sina =sinb =sinc = R

(R: bán kính đường trịn ngoại tiếp)

o Cơng thức diện tích:

S BC AH AB AC A p p a p b p c p r

R

a b c

p= + +

: nữa chu vi, r: bán kính đường trịn nội tiếp tam giác)

2 Hệ thức trong tam giác vuơng

1

BC = AB + AC

2

2

AB =BH BC

3

2

4

2

5 AB AC AH BC . = .

6

o Trung điểm M của cạnh huyền cách đều 3 đỉnh: 2

BC

Ngược lại, tam giác cĩ trung điểm một cạnh cách đều 3 đỉnh thì tam giác đĩ vuơng

Cho tam giác đều:

Diện tích

( )2

3 4

×

= cạnh

S

; Đường cao

3 2

×

= cạnh

1 3

V = B h

(B: diện tích đáy, h: chiều cao)

Diện tích hình thang: 2

+

đáy lớn đáy bé S= × đường cao Thể tích lăng trụ: V B h =

Diện tích hình vuơng: ( )2

=

S cạnh

Diện tích mặt cầu:

2 4

S = p R

Diện tích hình thoi: 2

Tích 2 đường chéo S=

Thể tích khối cầu:

3

4 3

V = pR

Đường trịn:

Chu vi C =2πR

; Diện tích

2

S = π R

Kĩ năng xác định chân đường cao: Từ chân đường cao ta cĩ thể xác định gĩc của cạnh bên

và đáy; gĩc của mặt bên và đáy; quy đổi tính khoảng cách từ chân đường cao

đường cao của hình chĩp, với H là tâm của đáy

ABC

Hình chĩp cĩ

một mặt bên

vuơng với đáy

Cho hình chĩp S.ABC cĩ (SAC) ⊥(ABC) theo giao

tuyến AC Khi đĩ, hạ SH ⊥ AC tại H thì SH chính là

đường cao của hình chĩp

Trình bày: Kẻ SH ⊥ AC

tại H

Ta cĩ:



Nếu ∆SAC cân tại S thì H là trung điểm của AC.

Hình chĩp cĩ 2 mặt bên cùng vuơng với

đáy (hoặc 1 cạnh

bên vuơng với

đáy)

Cho S.ABC cĩ (SAB) và (SAC) cùng vuơng với đáy Khi đĩ, đường cao chính là giao tuyến SA của hai mặt đĩ

Trình bày:

SAB ABC

SAB SAC SA

⊥







Lăng trụ đều là lăng trụ đứng, cĩ đáy là đa giác đều.

Kỹ năng xác định gĩc: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SH là đường cao.

a) Xác định góc giữa cạnh bên SA và đáy:

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy chính là góc giữa cạnh bên và hình chiếu của nó lên đáy Như vậy ta phải tìm được hình chiếu của cạnh bên lên đáy.

Trình bày:

Ta có:

A SA ABC

SH ABC

íï ^

ïî

AH là hình chiếu của SA lên (ABC) nên góc giữa SA và đáy là góc

giữa SA và AH, chính là góc ·SAH a=

b) Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và đáy:

Các bước thực hiện:

+ Xác định giao tuyến của mặt bên và đáy.

+ Từ chân đường cao kẻ vuông góc với giao tuyến Chỉ ra 2 đường cùng ⊥

giao tuyến.

+ Xác định góc α

chính là góc giữa 2 đường thẳng cùng vuông với giao tuyến.

Trình bày:

+ Ta có: ( SBC ) ( ∩ ABC ) = BC

+ Kẻ HI ⊥

BC tại I

Ta có:

⊥

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

 ⊥



HI BC

SHI BC SI BC

SH BC

(hai đường cùng ⊥

giao tuyến BC là HI và SI).

+ Suy ra

(·SBC , ABC ) =(SI HI· , ) =SIH· =α

II BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH

+ Giới thiệu đề bài: Xác định đường cao (nếu đề chưa nói) và góc giữa các đối tượng (nếu có) + Tính toán: Tìm chiều cao và thể tích

Lưu ý: Trong các trường hợp phức tạp nên vẽ đáy ra hình phẳng để tính.

III BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

a Công cụ: Đưa về bài toán tính k/c từ chân đường cao:

• Nếu AB//(P) thì d(A, (P)) = d(B, (P))

• Nếu AB cắt (P) tại O thì

( ) ( )

,( ) ,( )

d A P AO

d B P = BO

b Bài toán tính k/c từ chân đường cao H đến mặt bên (SBC)

+ B1: Cách dựng: Xác định (SBC) giao với đáy là giao tuyến BC

Kẻ HK ⊥BC tại K, kẻ HI ⊥SK tại I

+ B2: Chứng minh mặt phẳng vừa dựng vuông với giao tuyến: ( SHK ) ⊥ BC ⇒ HI ⊥ BC

Từ đó suy ra HI ⊥(SBC) ⇒ d H SBC( ,( ) ) = HI

+ B3: Tính

+

HS HK HS HK HI

(dùng hệ thức đường cao trong tam giác vuông để tính)

Lưu ý:

+ Để tính HI ta phải tính được HK, nên vẽ đa giác đáy ra hình phẳng để tính HK cho đúng.

+ Nếu mặt phẳng cần tính khoảng cách đã vuông với đáy theo giao tuyến ∆, ta quy về tính

khoảng cách từ điểm ở đáy, lúc đó chỉ cần kẻ vuông góc với ∆

IV BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Có 2 trường hợp cơ bản

a) Nếu hai đường thẳng vuông với nhau a⊥

b: Dựng đoạn vuông góc chung:

+ Dựng mp(P) chứa cạnh bên a và ⊥

với cạnh đáy b tại B (thường (P) chứa luôn đường cao) + Kẻ BA⊥

a tại A Khi đó AB⊥

a, AB⊥

b ⇒ AB là đoạn vuông góc chung⇒ d a b( ), = AB

b) Hai đường chéo nhau: Dựng mặt phẳng song song:

+ Ta dựng (P) chứa cạnh bên a và (P)//b, B∈b.

+ Khi đó, ta có: d(a, b) = d(b, (P)) = d(B, (P)), sau đó, đưa về tính khoảng cách từ chân đường cao.

Nhận xét: Trong cả hai trường hợp, ta thường chọn mặt phẳng chứa cạnh bên.

V BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP

+ Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Dựng trục đường tròn ngoại tiếp ∆

của đáy

+ Bước 2: Tìm cạnh bên d song song hoặc cắt trục ∆

Trong mp(d,∆

) dựng đường trung trực

cạnh bên d đó cắt trục ∆

tại điểm I thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Bước 3: Tính bán kính R.

BÀI TẬP

Phần 1

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và mặt bên SAB là tam giác

đều và SC a= 2 Gọi K là trung điểm AD Tính thể tích khối chóp và chứng minh CK vuông góc SD ĐS:

3 3 6

a

V =

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC,

CD Chứng minh AM⊥BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP ĐS :

3

96

C MNP

3. (B_2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a

và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I

là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng

(SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB ĐS :

3

2 36

A NIB

4. (D_2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình

chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 4

AC

Gọi

CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích

khối tứ diện SMBC theo a ĐS :

3

14 48

S BCM

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

BC Tính thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN

ĐS :

3

3

S BMDN a

;

5 cos

5

ϕ =

6. (D_2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các

đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ĐS :

3 3 3

50

A BCMN

7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2 ,a AB a= 3

Cạnh SA

vuông với đáy và góc (SBC) và đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách

từ trọng tâm G của tam giác SAB đến (SBC) ĐS:

3

3 , ,

V = d G SBC =

8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC =a, SA vuông với đáy Góc SB

và đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp và d AB SC ( , )

ĐS:

3 6 24

a

V =

,

4

a

d AB SC =

9. (A_2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, Hình chiếu của S lên đáy là

trung điểm của AB Biết

3 2

a

Tính thể tích và d A SBD( ,( ) )

ĐS:

3, 2

10.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a, AC=a 5 Hình chiếu của S lên đáy là

trung điểm của AB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng

0 45 Tính thể tích

S.ABCD và d D SAC( ,( ) )

ĐS:

3

2 2 3

a

V=

,

2 22 11

a

d=

.

11.Cho S.ABCD có đáy hình thang vuông tại A và D Cạnh AD = DC = a, AB = 2a Hình chiếu của S lên đáy là trung điểm BC và tam giác SBC đều.Tính thể tích và d A SBC( ,( ) )

ĐS:

3

4

a

V = d a=

12.(D_2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang

900, BA = BC = a, AD =

2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên

SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

ĐS :

( ,( ))

3

a

13.Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 4 , a

2

AD DC= = a

Hình chiếu của đỉnh S trên đáy là trung điểm H của cạnh AD Biết SA a= 6 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

ĐS:

3

,

( ,( )) 4 95

19

a

d A SBC =

14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang

ABC BAD= =

900, BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N thứ tự là trung điểm của SA và SD Tính thể tích của S BCNM và

( , )

d A BCNM

ĐS:

3 , 2

V = d=

15.(D_2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a Cạnh SA vuông góc với đáy ,

BAD 120=

, M là trung điểm của BC và

SMA 45=

Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) ĐS :

3

S ABCD a

;

4

a

d D SBC =

16.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,

BAD 60=

Cạnh SD vuông góc với đáy Góc SB và đáy bằng

0 45 .Tính thể tích của khối chóp và d A SBC( ,( ) )

ĐS :

3

6

S ABCD a

; ( ,( )) 21

7

a

d A SBC =

17. (A_2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD =

2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh

AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a ĐS :

3 3 15

5

S ABCD

18.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Tính thể tích khối chóp và

tan góc giữa (SBC) và (SCD) ĐS:

3 2 6

a

V=

, tanα = −2 2

19.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, SA = a 3 Tính thể tích của khối chóp ĐS:

3 2

6

a

V =

20.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối

chóp và d(A,(SBC)) ĐS:

3 3 12

SABC

a

V =

21.Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo với đáy góc α

Tính thể tích ĐS:

12

α

V

22.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng α

Tính thể tích khối chóp Tìm α

để thể tích đó lớn nhất ĐS: ( )

3

3 2

4 tan

4

3 2 tan

a

23.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối

chóp và d(A,(SBC)) ĐS:

3 6, 42

24.(B_2004) Cho hình tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy

bằng ϕ (00 < ϕ <900)

Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ ĐS :

3

6

S ABCD

25.(B2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông

góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a ĐS :

3 7 11 96

S ABH

26. (A_20002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N

lần lượt là các trung điểm của cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giá AMN và thể tích S.ABC và thể tích A.BCMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

ĐS :

2 10 16

AMN a

S∆ =

,

.

SABC a A BCMN a

27.Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi M, N là trung điểm của SA và SC Biết BM vuông với AN Tính thể tích khối chóp ĐS:

3 14 24

a

V=

28.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA= 3a, BC= 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB= 2a 3 và SBC=

0 30

Tính thể tích khối chóp S.ABC

và khoảng cách từ điểm B đến (SAC) theo a ĐS :

3 2 3

S ABC

;

( ,( )) 6 7

7

a

d B SAC =

29.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,

ABC 30=

, SBC là tam giác đều cạnh a

và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách

từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) ĐS :

3

S ABC

a

;

13

a

d C SAB =

30.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAB vuông tại S,

· 300

SBA=

và nằm trong mặt phẳng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, BC Tính thể tích S.ADCN và d A SDN ( , ( ) )

ĐS:

3 3, 3

31.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCDvà khoảng cách từ điểm A đến (SCD) ĐS :

3

6

S ABCD a

;

7

a

d A SCD =

32.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, góc SA và đáy bằng 450 Hình chiếu vuông góc của S lên đáy là điểm H thuộc cạnh BC sao cho BC=3BH Gọi M là trung điểm SC Tính thể tích S.ABC và d M SAB( ,( )) ĐS:

3 21, 651

Phần 2

33.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A,

AB a ABC = =

Hình chiếu của S lên đáy là trung điểm I của cạnh BC Góc (SAC) và đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa AI và SB ĐS:

3 3, 3 7

V = d=

34.Cho hình chóp

S A BCD

có đáy là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm H của tam giác A BD, cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°

Tính theo a thể tích khối chóp S A BCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng

,

A D SC

ĐS:

3 6, ( , ) 15

V = d AD SC =

35.(A_2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S

trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng

SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a ĐS :

3

12

S ABC

;

8

a

d SA BC =

36.(A_2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai

đường thẳng DM và SC theo a ĐS :

3 5 3

24

S CDMN

;

2 3 ( , )

19

d DM SC = a

37.Cho S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Góc SC và đáy bằng 600 Hình chiếu của S lên đáy là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD=3HB

Gọi M là trung điểm AD Tính thể tích S.CDMH

và d CH SM( , )

ĐS:

3

38.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là I thuộc AB sao cho BI=2AI Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa AD và SC ĐS:

3 3, 3 93

V= d=

39.(D_2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam

giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC ĐS:

3 3, 3

40.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi cạnh AB a= 2,

· 120 0

BCD=

, SA=a và SA vuông với đáy

Gọi M là trung điểm của SC Tính thể tích S.ABCD và d DM BC( , )

ĐS:

3 3, 15

a

V a= d=

41.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a,

· 600

Cạnh SA vuông với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa SB và đáy bằng 600 Gọi M là trung điểm SD

a) Tính thể tích khối chóp S.BCD Đs:

3

2

SBCD

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD )

ĐS:

2 15 5

a

d=

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và AD ĐS:

6 2

a

d=

42.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, AB=4 2,a SC=4a Các mặt (SAC) và (SBC) cùng vuông với đáy Gọi M, N là trung điểm của AB và AC Tính thể tích S.ABC và

d CM SN

ĐS:

3

43.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh SA vuông với (ABCD) Góc SC và

đáy bằng 450 Tinh thể tích khối chóp S.ABCD và d SB( ,AC)

ĐS:

3 2, 10

V = d=

44.(A_2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB= BC= 2a; hai mặt

phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

0 60 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

SN theo a ĐS :

3

S BCMN

;

2 39 ( , )

13

d AB SN = a