CHINH PHỤC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

Lấy điểm ở bên trái PHẦN I: VẼ CHIỀU CAO VÀ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG DẠNG 1: VẼ CHIỀU CAO CHO TRƯỚC GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Cách xác định góc giữa đường thẳng d v

CHINH PHôC CHUY£N §Ò:

Trung Tâm Olympia – Uy Tín – Chất Lượng – Tận Tâm  Page 0

MỤC LỤC HÌNH KHÔNG GIAN

1 Một số công thức giải tam giác và công thức tính diện tích 1

3 Các công thức tính thể tích khối đa diện 7

4 PHẦN A: PHẦN NỀN TẢNG

5 PHẦN I: VẼ CHIỀU CAO VÀ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG 8

7 Bài toán 1: Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng 9

9 Bài toán 1: Mặt phẳng chứa đỉnh là tam giác đều, cân 13

10 Bài toán 2: Mặt phẳng chứa đỉnh là tam giác vuông 14

12 Dạng 3: Hai mặt phẳng vuông góc với đáy 17

13 Dạng 4: Các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy một góc bằng nhau 18

15 Dạng 1: Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng 28

16 Dạng 2: Khoảng cách hai đường chéo nhau 24

17 Bài toán 1: Dạng kẻng song song để xác định khoảng cách 24

18 Bài toán 2: Dạng xác định đường vuông góc chung 28

20 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG 30

22 Dạng 2: Dạng đề cho góc giữa đường thẳng với mặt phẳng 39

23 Dạng 3: Dạng đề cho góc giữa hai mặt phẳng 50

24 Dạng 4: Dạng đề cho tam giác vuông tại S 59

25 Dạng 5: Chứng minh một tính chất đề xác định 61

27 Bài toán 2: Dạng đáy là hình vuông, hình chữ nhật 65

29 Dạng 1: Khi không tìm được đường vuông góc chung 69

30 Cho luôn khoảng cách giữa hai đường thẳng 69

32 Bài toán 1: Sử dụng phương pháp sole trong để tính khoảng cách 79

33 Bài toán 2: Sử dụng tính chất hình vuông, hình chữ nhật 94

34 Dạng 2: Tìm được đường vuông góc chung 103

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABCvuông ở A có AHBC ta có :

  (Đáy x chiều cao)

S 1a.b.sin A 1a.c sin B 1b.c sin C

(Tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa)

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC & CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH

1

 Công thức tính diện tích liên quan đến đường tròn:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác tâm O bán kính R:

Công thức Heron: S p(p a)(p b)(p c)  

 Công thức tính nhanh tam giác đặc biệt:

 AC AB 2 (Đường chéo bằng cạnh bên nhân 2 )

 ACBD (Hai đường chéo vuông góc)

 OA = OB = OC = OD (O là tâm đường tròn ngoại tiếp)

BACCADADBBDC  45

(Đường chéo chia đôi góc vuông)

 AD / /BC;AB / /DC (các cặp cạnh đối song song)

Hình chữ nhật:

Sa.bAB.AD (Chiều dài x chiều rộng)

OA = OB = OC = OD (O là tâm đường tròn ngoại tiếp)

 Hình thoi:

S AC.BD AB sin BAD

2

  (Tích 2 đường chéo chia 2)

(Hoặc bình phương cạnh nhân sin góc xen giữa)

 ACBD (Hai đường chéo vuông góc)

(O là trung điểm của 2 đường chéo)

 AD / /BC;AB / /DC (các cặp cạnh đối song song)

 Hình bình hành:

 S b.h AD.BH a.bsin BAD   (Chiều cao x đáy)

 (Hoặc tích hai cạnh bên nhân sin góc xen giữa)

c) Công thức tính diện tích đường tròn bán kính R :

   





1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Nếu đường thẳng d vuông

góc với hai đường thẳng cắt

Nếu d vuông góc với (P) thì d

vuông góc với mọi đường

nào nằm trong (P), vuông

góc với giao tuyến của (P)

và (Q) đều vuông góc với

mặt phẳng (Q)

(P) (Q)(P) (Q) d a (Q)

P a

a

R

Q P

LÝ THUYẾT QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

2

3.GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt

phẳng (P)

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta

nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900

khoảng cách giữa hai điểm O và H, trong đó H là

hình chiếu của điểm O mp(P))

d(O; (P)) = OH

2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song

song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của

a đến mp(P)

d(a;(P)) = OH

3.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường

P

a

H O

P

B

A

b a

h

a b

c

a a a

B h

3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các

điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

LƯU Ý: Cần tính chiều cao và diện tích đáy

CÁC BƯỚC VẼ HÌNH! (Khi đọc một hình thì phải biết đầy đủ đề bài rùi)

- Bước 1: Vẽ đáy

- Bước 2: Xác định chân đường cao (điểm H) - Sẽ có 4 dạng để vẽ

- Bước 3: Từ chân đường cao vẽ thẳng lên

- Bước 4: Lấy 1 điểm trên đường cao rùi nối

- Bước 5: Tìm thông tin về góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

(Sẽ được học mẹo)

- Bước 5’: Vẽ khoảng cách (sẽ được học mẹo)

- Bước 6: Điền đầy đủ thông tin (vuông góc, góc, độ dài các cạnh)

 Bước 7: Giải quyết bài toán!

C

B A

S

HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG,

HÌNH CHỮ NHẬT (Đều vẽ là hình bình hành) Chỉ khác ở kí hiệu:

- Với hình thoi thêm 2 đường chéo vuông góc

- Với hình vuông kí hiệu góc vuông và 2 đường chéo

vuông góc

- Với hình chữ nhật chỉ kí hiệu góc vuông

HÌNH THANG THƯỜNG

(Vẽ đáy lớn trên, đáy nhỏ dưới)

Với hình thang có 2 góc vuông thì thêm kí hiệu!

(Lấy điểm ở bên trái)

PHẦN I: VẼ CHIỀU CAO VÀ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG

DẠNG 1: VẼ CHIỀU CAO CHO TRƯỚC

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG

Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mp (( )P )

- Xác định đường thẳng a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mp (P)

- Tính góc giữa d và d’,khi đó (d, ()) = (d,d’)

Phương pháp xác định góc:

- Bước 1: Xác định giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng

- Bước2 : Hình chiếu điểm còn lại

- Bước 3: Nối ba điểm (Góc tại giao điểm)

H1

- Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a

- SA vuông góc với đáy ABC

H2

- Đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc

0

ACB30 , cạnh ACa 3

- Góc giữa SB với mặt đáy (ABC) bằng 60 0

- Ngoài ra, SA (ABC)

- Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(ABC) là trung điểm M của cạnh AB

- Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 600

H5

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh a

- Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD

- Cạnh SD tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 600

- Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy

ABCD trùng với trung điểm DI

- SB hợp với đáy (ABCD) một góc 600

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC

- Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC)

- SA tạo với mặt đáy một góc 600

H8

DẠNG 2: MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

(P) (Q) (P) (Q) d a (Q)

BÀI TOÁN 1: MẶT PHĂNG CHỨA ĐỈNH LÀ TAM GIÁC ĐỀU, TAM GIÁC CÂN

- Hình chiếu của đỉnh là trung điểm giao tuyến

H9

- Đáy ABC là tam giác đều

- Tam giác SBC cân tại S có đường cao SH = a và

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh a

- Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy,

H11

- Đáy là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác cân

tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

- Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng

- Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt

BÀI TOÁN 2: MẶT PHẲNG CHỨA ĐỈNH LÀ TAM GIÁC VUÔNG (KHÔNG CÂN, ĐỀU)

- Hình chiều của đỉnh nằm trên giao tuyến (Không phải trung điểm)

H13

Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a

Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy

H14

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2

- Tam giác SAC có SA = a, SCa 3 và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

- Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

- Bước 1: Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng

- Bước 2: Từ chân đường cao kẻ vuông góc với giao tuyến tại điểm I

- Bước 3: Nối 3 điểm

(Lưu ý: Góc tại giao tại điểm I)

H15

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

- Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

H16

- Đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết

tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với (ABC)

- Mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh a

- Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

- Đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông

góc với đáy ABC

- (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o Tính thể

H19

- ABCD là hình vuông cạnh a

- Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với (ABCD)

- (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o

- Đáy là hình vuông cạnh a tâm O

- Hình chiếu của S trên (ABCD) là trung điểm của

- Mặt phẳng (SAC) tạo với (ABC) một góc 600

- Hình chiếu của S lên (ABC) là trung điểm H của

H24

- Đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 4a; BC

= 3a, gọi I là trung điểm của AB,

- Hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc

DẠNG 4: CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU HOẶC HÌNH CHÓP ĐỀU

- Hình chiếu trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

 Đáy là tam giác đều: Trùng với trọng tâm tam giác

 Đáy là tam giác vuông: Trùng với trung điểm cạnh huyền

 Đáy là hình vuông, chữ nhật: Trùng với giao 2 đường chéo

- Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A

- Các cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy những

PHẦN 3: VẼ KHOẢNG CÁCH

DẠNG 1: KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp xác định khoảng cách:

- Bước 1: Áp dụng công thức đổi điểm để đổi về chân đường cao

- Bước 2: (Bước kẻ vuông góc 1) Từ chân đường cao kẻ vuông góc cạnh đáy tại I

- Bước 3: (Bước kẻ vuông góc 2) Từ chân đường cao kẻ vuông góc SI tại K

- Bước 4: Kết luận d(A;(P)) = AK

H30

- Đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=3a;AD=2a

- Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho

- Đáy là tam giác ABC vuông tại B

- SA vuông góc với đáy, SA = AB = a, BCa 3

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

H32

- Đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC  300

, SBC là tam giác đều cạnh

- Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H

trung điểm của AB

- Tính theo a thể tích của khối chóp S ABC và

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC

- Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC)

- SA tạo với mặt đáy một góc 600

- Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng

H35

- Đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền

bằng 3a, G là trọng tâm tam giác ABC

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng

- Mặt bên SAB đều và nằm trong mặt phẳng

- Đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a

- Hình chiếu của đỉnh S trên (ABCD) là trung điểm

H38

- Đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là

tam giác vuông tại S

- Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho

HA = 3HD Gọi M là trung điểm của AB Biết

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh a

- Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD

- Cạnh SD tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 600

- Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách

- Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy

ABCD trùng với trung điểm DI

- SB hợp với đáy (ABCD) một góc 600

H41

- Đáy là hình vuông cạnh a tâm O

- Hình chiếu của S trên (ABCD) là trung điểm của

AO

- Góc giữa (SCD) và (ABCD) là 600

- Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng

cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng

(Quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng)!

Làm tương tự như dạng một điểm đến một mặt phẳng

- Tam giác ABC vuông tại B; AB = BC = 2a

- SA (ABC); M, N là trung điểm của AB,AC

- Góc giữa (SBC) với (ABC) bằng 600

H46

- Tam giác ABC vuông tại B; BC = a; AC = 2a,

- Tam giác SAB đều SM(ABC).M là trung điểm

- Tam giác ABC vuông tại A, 2AC = BC = 2a

- (SAC) với (ABC) bằng 600

- SH  (ABC); H là trung điểm BC

- Tam giác ABC đều cạnh a

- SH(ABC), H là trung điểm AC

- SB tạo với (ABC) một góc 300 M là trung điểm

H49

- Tam giác ABC vuông tại B; BC = a; AC = 2a

- Tam giác SAB đều

- SM vuông góc AC; M la trung điểm AC

- Tam giác ABC vuông tại B, AB = 4a; BC = 3a

- SI vuông góc (ABC); I là trung điểm AB

- Góc giữa (SAC) với (ABC) bằng 600

H52

- ABCD là hình vuông cạnh A, SA vuông góc đáy

- Góc tạo bởi SC với (SAB) bằng 300

- ABC là tam giác vuông cân tại A

- Các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc bằng 600

- Đáy ABC là tam giác đều

- Chân đường vuông góc H hạ từ S xuống mặt

phẳng (ABC) là trung điểm BC

- Cho SA = a và SA tạo với mặt phẳng đáy một

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng (P)

AH = d(A;(P))

Công thức đổi điểm: (Đổi khoảng cách)

Trường hợp 1: (d song song (P))

/ /( )

( ;( )) ( ;( )),

- Bước 1: Áp dụng công thức đổi điểm để đổi về chân đường cao

- Bước 2: (Bước kẻ vuông góc 1) Từ chân đường cao kẻ vuông góc cạnh đáy tại I

- Bước 3: (Bước kẻ vuông góc 2) Từ chân đường cao kẻ vuông góc SI tại K

- Bước 4: Kết luận d(A;(P)) = AK

DẠNG 1: DẠNG ĐỀ CHO CẠNH BÊN Phương pháp: Tính chiều cao khi đề cho cạnh bên

- Bước 1: Xét tam giác chứa chiều cao và cạnh bên

- Bước 2: Tính cạnh đáy của tam giác đó (Nếu đề cho góc dùng công thức góc)

- Bước 3: Sử dụng pitago để tính chiều cao

Bài toán 1: Đổi khoảng cách theo phương pháp song song

Công thức đổi điểm: (Đổi khoảng cách)

Trường hợp 1: (d song song (P))

/ /( )

( ;( )) ( ;( )),

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D Biết AB = 2a, AD = CD = a,

SA = 3a (a>0) và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.BCD và tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) theo a Đáp án:

3

3 10 ;

H4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD a 13

2

 Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ A đến (SBD) theo a Đáp án:

H5

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a, G là trọng tâm tam

giác ABC, SG(ABC), 14

H6

A-2013 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC300 , SBC là tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuôn góc với (ABC) Tính theo a thể tích của khối chóp

S ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB  Đáp án:

H7

(2011D):Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB3 ;a BC4a, điểm H thuộc BC sao choSH(ABC) Biết SB2a 3 và SBC600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến (SAC) theo a Đáp án: 3 6 7

H8

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC8a 3;BD8avà cắt nhau tại O Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Đáp án:

3

64 33

DẠNG 2: DẠNG ĐỀ CHO GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG

Phương pháp: Tính chiều cao khi đề cho góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

- Bước 1: Xét tam giác là góc đó

- Bước 2: Tính cạnh đáy của tam giác đó

- Bước 3: Sử dụng công thức góc trong tam giác (Thường sử dụng tan)

H10

D-2013 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh H,SAABCD, BAD1200Gọi M là trung điểm của cạnh AB và SMA450 Tính thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC  Đáp án:

H11

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB2a 3;BC2a Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm DI và SB hợp với đáy (ABCD) một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến (SBC)

H12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Cạnh SD tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a