skkn góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản

Kỹ năng xác định thiết diện Để xác định được thiết diện giữa một mặt phẳng với một khối đa diện quy về xác định giao tuyến của đôi một hai mặt phẳng thiết diện cắt khối đa diện.. hướng d

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ VIẾT THUẬT

Môn: TOÁN

818 173 Người thực hiện: Mai Thị Khánh Xuân

Để học sinh giải được bài tập Toán trước tiên phải rèn luyện kỹ năng giảiToán, giúp người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụngkiến thức, cách hệ thống các dạng bài tập.

Thực tiễn dạy học cho thấy khi học Hình học không gian (HHKG) rấtnhiều học sinh e ngại nhất là đối với đa số các học sinh nữ và các em có học lựcdưới mức trung bình khá Nhưng nếu các em được rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹnăng giải các bài toán hình học không gian một cách có hệ thống, giáo viên xâydựng được một số dạng bài tập toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán thì họcsinh có khả năng tốt hơn để giải bài toán trong không gian, các em sẽ thấy hứngthú và yêu thích môn học hơn và sẽ dần dần bớt ngại khó khi làm bài tập, gópphần nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông Những kỹ năng cơ bảncần rèn luyện cho học sinh như kỹ năng vẽ hình, kỹ năng vận dụng các định lý,quy tắc, phương pháp, kỹ năng sử dụng ngôn ngữ toán học,…hình thành cho các

em một số các kỹ năng và phương pháp giải bài tập, thông qua việc lựa chọn cácdạng bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Thực tế đã có một số đề tài nghiên cứu rèn luyện kỹ năng giải toán chohọc sinh theo các vấn đề khác nhau của chương trình Toán Trung học phổthông, nhưng chưa có đề tài nào đề cập đến vấn đề cụ thể về việc tập hợp mộtcách có hệ thống các kỹ năng và các dạng bài tập cần thiết rèn luyện cho học

sinh khi dạy học Hình không gian lớp 11 Với những lí do như trên tác giả lựachọn đề tài:

“Góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập Hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản”.

1 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài

+) Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán

+) Nghiên cứu kỹ năng giải một số dạng bài tập toán Hình học không gianlớp 11

+) Bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện một số kỹ năng giải toán Hình họckhông gian chương trình hình học 11 THPT cho học sinh, góp phần nâng caochất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông

2 Đối tượng, phạm vị nghiên cứu

Quá trình dạy học các tiết luyện tập và ôn tập chương trình Hình Họckhông gian cho học sinh lớp 11

3 Phương pháp nghiên cứu

3.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Khái niệm

+ “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các khái niệm

đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sựvật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”

+ “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ởbạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộthói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp”

+ “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận trong mộtlĩnh vực nào đó vào thực tế”

+ “Trong Toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứngminh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”

Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, kỹ năng là khả năng vận dụng kiếnthức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra Nóiđến kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành

3.2 Phương pháp điều tra quan sát

- Dạy Hình học không gian trong chương trình Toán THPT có hai quyểnSGK: SGK Hình học 11 nâng cao và SGK Hình học 11 Ở trường THPT Lê ViếtThuật: dạy học sinh theo SGK Hình học 11 dành cho học sinh học ban cơ bản Trong chương trình lớp 11, học sinh được học đầy đủ và có hệ thống về

bộ môn HHKG Đây là phần nội dung khó, phong phú và đa dạng về loại bài tậpđòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, khả năng suy đoán, trí tưởng tượngkhông gian, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán có nhiều bài tập đòi hỏi học sinhphải có năng khiếu toán mới giải được Cũng chính vì thế mà khi dạy học đòihỏi GV có khả năng rèn luyện kỷ năng giải các dạng bài tập cũng như cácphương pháp giải tương ứng từng dạng bài tập toán cho học sinh

- Khi dạy và học toán HHKG nói chung các GV và học sinh thường gặpmột số khó khăn với nguyên nhân như là:

+) Học sinh có trí tưởng tượng không gian chưa tốt

+) Do đặc thù môn học nên việc tiếp thu và sử dụng các kiến thức HHKG

là vấn đề khó đối với học sinh

+) Học sinh quen với HHP nên dễ nhầm lẫn khi sử dụng các tính chấttrong hình học phẳng mà không đúng trong HHKG để giải Toán HHKG

+) Vẫn còn một số học sinh chưa xác định đúng động cơ học tập nên chưachăm học và chưa chú ý khi học bài và làm bài tập

+) Vẫn còn nhiều GV chưa chịu đổi mới phương pháp dạy học, dạy họccòn mang tính chất đối phó, truyền thụ một chiều

3.3 Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập cơ Hình không gian chương trình hình học 11 THPT

* Về kiến thức: Vận dụng các kiến thức được học của chương trình

* Về phương pháp: Gv cần phải tổ chức cho học sinh được học tập tronghoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo

Chú trọng cho học sinh biết các phương pháp khác nhau, và biết lựa chọnphương pháp để giải các bài toán GV lựa chọn các ưu điểm của các phương pháp

dạy học đàm thoại, phương pháp dạy học vấn đáp, phương pháp dạy học phát hiện

và giải quyết vấn đề…để hướng dẫn, rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh

* Về phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho học sinh: Rènluyện trí tưởng tượng không gian, khả năng chứng minh suy diễn, khả năng lậpluận có căn cứ, tư duy logic chặt chẽ

* Về kỹ năng: Đề tài có ý tưởng thông qua một số dạng bài tập cơ bảnnhằm rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng cơ bản sau:

- Kỹ năng vẽ hình, dựng thiết diện

- Kỹ năng chứng minh các quan hệ giữa các đối tượng hình học được học

- Kỹ năng tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Kỹ năng chuyển đổi từ hình học tổng hợp sang công cụ véc tơ

PHẦN II NỘI DUNG

I Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình, dựng thiết diện và tính diện tích thiết diện

+ Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thànhđoạn thẳng

+ Biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặctrùng nhau

+ Không làm thay đổi tỷ số độ dài hai đoạn thẳng cùng nằm trên mộtđường thẳng hoạc hai đường thẳng song song

- Hình bình hành => Hình bình hành tùy ý

(Hình bình hành , hình chữ nhật, hnh vuông, hình

thoi)

- Thường dùng e líp để biểu diễn đường tròn

Do hình biểu diễn của bài tập hình không gian

phải thỏa mãn các tính chất đã nêu nên việc vẽ hình

biểu diễn khó hơn rất nhiều so với hình học phẳng,

đòi hỏi học sinh phải hiểu đề bài và biết cách vẽ hình biểu diễn khi học hình họckhông gian Người dạy qua các bài tập hướng dẫn học sinh vẽ hình biểu diễnqua đó hình thành kỹ năng vẽ hình cho học sinh, thao tác đầu tiên để đi đếnbước tiếp theo hoàn thành lời giải của bài tập toán Hình học không gian

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD

- Bước 1: Vẽ tam giác bất kỳ BCD (một cạnh khuất)

- Bước 2: Lấy điểm A ngoài tam giác BCD

- Bước 3: Nối A với điểm B: B; D

Ví dụ 2: Vẽ hình biểu diễn hình chóp tam giác đều S.ABC, có đường cao SH.

Vì hình chóp tam giác đều nên học sinh phải hiểu các tính chất của hìnhchóp tam giác đều mới vẽ được hình biểu diễn

- Vẽ đáy là tam giác ABC bất kỳ có nét

khuất AB (mặc dầu đáy là tam giác đều)

- Do đường cao SH của hình chóp tam giác

đều có H trùng với tâm của tam giác ABC, nên

vẽ H là giao của ba đường trung tuyến tam giác

ABC (do tam giác ABC đều)

- Vẽ SH (nhìn như vuông góc với AB)

- Nối SA; SB; SC

Ví dụ 3 Vẽ hì hộp chữ nhật ABCD.A ’ B ’ C ’ D ’

- Vẽ đáy ABCD là hình bình hành

- Vẽ hình chữ nhật AA’B’B

- Từ các đỉnh C, D kẻ các đoạn thẳng CC’, DD’, song song và bằng AA’.

- Nối A’B’, B’D’, D’B’

Qua quá trình luyện tập ra thêm các bài tập cho học sinh luyện tập từ đóhình thành kỹ năng vẽ hình, lưu ý học sinh cố gắng vẽ hình biểu diễn phần khuấtcàng ít thì hình vẽ cáng trực quan hơn trong quá trình sử dụng để tìm lời giải bàitập toán

2 Kỹ năng xác định thiết diện

Để xác định được thiết diện giữa một mặt phẳng với một khối đa diện quy

về xác định giao tuyến của đôi một hai mặt phẳng thiết diện cắt khối đa diện

2.1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Để xác định được giáo tuyến của hai mặt phẳng cần phải xác định cho họcsinh cách xác định giao tuyến

- Hướng 1: Xác định được 2 giao điểm - thường là kéo dài hai đườngthẳng trong cùng một mặt phẳng

- Hướng 2: Xác định một điểm và phương của đường thẳng giao tuyến

2.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC nằm trong mp (P) và a là mộtđường thẳng nằm trong mp ( P) và không song song với AB và Ac và không cắt các cạnh của tam giá ABC S là một điểm ở ngoài mặt phẳng ( P) và A’ là một điểm thuộc SA

Xác định thiết diện giao giữa mặt phẳng mp (A’,a) và tứ diện SABC.

Phân tích: Để xác định được thiết diền ta phải xác định được giao tuyến của các cặp mặt phẳng: mp (A’,a) và (SAB); mp (A’,a) và (SAC) và mp (A’,a)

và (SBC)

Lời giải

- Xác định giao tuyến của mp (A’,a) và (SAB)

Ta có: A’  SA mà SA  ( SAB)  A’ ( SAB)

A’  ( A’,a)

 A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAB )

Trong ( P) , ta có a không song song với AB

Gọi E = a  AB

=> E  AB mà AB  (SAB )  E  (SAB )

=> E  ( A’,a)

 E là điểm chung của ( A’,a) và (SAB )

Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) và (SAB )

- Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC)

Ta có: A’  SA mà SA  ( SAC)

=> A’ ( SAC)

A’  ( A’,a)

=> A’ là điểm chung của (A’,a) và (SAC)

Trong (P), ta có a không song song với AC

Gọi F = a  AC

F AC mà AC  (SAC )  F  (SAC )

E  ( A’,a)

=> F là điểm chung của ( A’,a) và (SAC )

Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC )

- Xác giao tuyến của (A’,a) và (SBC)

Trong (SAB) , gọi M = SB  A’E

M  SB mà SB  ( SBC) => M ( SBC)

M  A’E mà A’E  ( A’,a) => M ( A’,a)

=> M là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC )

Trong (SAC ) , gọi N = SC  A’F

N  SC mà SC  ( SBC) => N ( SBC)

N  A’F mà A’F  ( A’,a) => N ( A’,a)

 N là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC )

Vậy: MN là giao tuyến của ( A’,a) và (SBC ).

Ta có thiết diện cần xác định là: A’MN

Ví dụ 2 Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng Trên

các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không

song song với BC Xác định thiết diện giao của mặt phẳng ( MNP) với tứ diện

- Kéo dài MN cắt BC kéo dài tại E

=> E là điểm chung của (BCD) và (MNP)

 ME là giao tuyến của (ABC) và (MNP)

- Nối E với P cắt CD tại Q

=> EQ là giao tuyến (BCD) với (MNP)

Ví dụ 3 Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD

lấy hai điểm M, N sao cho MN không song song với CD, gọi O là điểm bêntrong tam giác BCD

Xác định thiết diện giao giữa mặt phẳng (OMN) với tứ diện ABCD

Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao tuyến của mp(OMN) với các mặt của tứ diện.Xác định giao tuyến các cặp mặt phẳng: (OMN) với (BCD); (OMN) với(ABC) và (OMN) với (ABD).

Lời giải:

- Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)

Ta có: O là điểm chung của (OMN) và (BCD)

Trong (ACD), MN không song song CD

Trong (BCD), gọi Q = BD  OI

Vậy : Q = BD  ( OMN )

Nối QN; MP ta có thiết diện là: MNQP

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD, các

điểm M, N, P lần lượt là các điểm trên SA, SB, SD

Xác định giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD

Phân tích: Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với SC

Lời giải:

- Nối BD và AC cắt nhau tại O

- Tìm giao điểm I của SO với mặt

Ví dụ 5 Cho hình vuông cạnh a, tâm O Gọi S là một điểm ở ngoài mặt

phẳng (ABCD) sao cho SB = SD

Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x, mặt phẳng (a) qua M songsong với SA và BD

a Xác đinh thiết diện giao giữa mặt phẳng (a) với hình chóp SABO

b Cho SA = a Tính diện tích thiết diện theo a và x, tìm giá trị x để diệntích lớn nhất

Phân tích: Để xác định được thiết diện cần tìm, ta phải xác định được giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt phẳng (ABO); (SAB); (SBO) và (SAO) Giả thiết đã cho xác định điểm M và trực quan từ hình vẽ Do đó cần

hướng dẫn học sinh xác định được phương các phương của giao tuyến nhờ kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng song song.

Lời giải:

a Ta có mp(a) // BD mà BD mp(ABO), M là điểm chung

=> Giao tuyến của mp(a) và mp(ABO) là đường thẳng đi qua M nằmtrong mp(ABO) và song song với BD

=> Từ M kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại Q

mp(a) // SA chứa MQ suy ra mp(a) giao với mp(SAB) và mp(SAO) theohai đường thẳng song song với SA

=> Từ M và Q kẻ hai đường thẳng song song với SA cắt SO tại N; cắt SBtại P

Nối PN ta có thiết diện cần xác định là: MNPQ

b Ta có : mp(a) //BD => giao của mp(a) với mp(SAD) là NP thì NP//AD, màAD//QM => NP//QM kết hợp với câu a, ta có: MNPQ là hình bình hành (1)

SB = SD => D SBC = D SDC (c-c-c)

Gọi I là trung điểm SC, xét D IBC và D IDC

=> IB = ID => D IBD cân tại I

90 ˆ

45 ˆ

45 ˆ

cân tại M

=> MQ = AM = x

Xét tam giác SAO, ta có :

MN//SA  2

2

2 2

2

a

x a a OA

OM AS MN OA

OM AS

.MN x a x x a x MQ

Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho 2 số dương x 2 và a  x 2

) 2 (

² 2

4

² 4

² 2

S a

a S

a a

x 



<=> M là trung điểm AO

Vậy :

4

2

a

x  thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 6 Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b Gọi I , J lần lượt là

trung điểm AB và CD Giả sử AB ^ CD , mặt phẳng (a) qua M nằm trên đoạn

IJ và song song với AB và CD

a Tìm giao tuyến của (a) với ( ICD ) và (JAB)

b Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (a)

Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật

Tính diện tích thiết diện biết IM =

) (

//

) (

ICD M

ICD CD

CD

a a

=> Giao tuyến là đt qua M và song song với CD cắt IC tại L và ID tại N

) (

//

) (

JAB M

JAB AB

AB

a a

=> Giao tuyến là đt qua M và song song với AB cắt JA tại P và JB tại Q

b Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (a):

) (

//

) (

ABC L

ABC AB

) (

//

) (

ABD N

ABD AB

) (

//

) (

ACD P

ACD CD

) (

//

) (

BCD Q

BCD CD

IN

Từ (7) và (8), suy ra

3 3 3

LN IJ

IM CD

Vậy :

9

2ab

S EFGH 

Ví dụ 7 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Trên AB

lấy một điểm M với AM = x

Gọi (a) là mặt phẳng qua M và

song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB,

SC , và CD lần lượt tại N, P, Q

a Tìm thiết diện của (a) với mặt phẳng

hình chóp Thiết diện là hình gì?

b Cho SAD = 1v và SA = a Tính diện

tích của thiết diện theo a và x Tìm giá trị

x để diện tích thiết diện bằng

SD SAD

//

) (

//

) (

//

) ( )

//(

) (

a a

a a

0 Với ( a ) //SD

PQ SAD

SAD SD

SD

//

) ( ) (

) (

//

) (

- Với ( a ) //SA

MN SAB

SAB SA

SA

//

) ( ) (

) (

//

) (

- Với ( a ) //AD

MQ ABCD

ABCD AD

AD

//

) (

) (

) (

//

) (

//

) ( )

Có PN BC

PN SBC

SBC BC

BC

//

) ( ) (

) (

//

) (

a

(2)

Từ (1) và (2) , suy ra : MQ//PN  MNPQ là hình thang

Vậy : MNPQ là hình thang

b Tính diện tích của thiết diện theo a và x

Ta có:S MNPQ S IMQ  S INP S SAD  S INP

Tính diện tích tam giác SAD:

Ta có: D SAD vuông cân tại A, do đó : 2

1 2

x a x

Ví dụ 8 Trong mặt phẳng (a) cho tam giác ABC vuông tại A , Bˆ= 600,

AB = a Gọi O là trung điểm của BC Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (a) saocho SB = a và SB ^ OA Gọi M là mọt điểm trên cạnh AB, mặt phẳng (b) qua

M song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q

Đặt x = BM (0 < x < a)

a Chứng minh MNPQ là hình thang vuông

b Tính diện tích của hình thang MNPQ theo a và x Tìm giá trị của x đểdiện tích hình thang MNPQ lớn nhất

Lời giải:

a Chứng minh MNPQ là hình thang vuông:

) ( ) (

) (

//

) (

OA MN ABC

MN

ABC OA

b

(1)

) ( ) (

) (

//

) (

SB MQ SAB

MQ

SAB SB

b

(2)

) 3 ( //

) ( ) (

) (

//

) (

SB NP SBC

NP

SBC SB

MQ MN

SB NP MQ

OA MN

SB OA

//

//

//

Vậy: MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN

b Tính diện tích của hình thang theo a và x

đều

Có MN // AO =>

BO

BN AB

MQ

a

a x a AB

SB AM

NP

2

2 2 ).

2 (

a

a x a CB

SB CN

12

1 4

) 3 4 (

x a x x

a x

3

²

² 4 12

4 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và BC K là điểmtrên BD và không trùng với trung điểm BD Xác định thiết diện giao giữa mặtphẳng (MNK) với tứ diện ABCD.

5 Cho tứ diện SABC Gọi D là điểm trên SA, E là điểm trên SB và F là điểmtrên AC (DE và AB không song song)

a Xác định giao tuyến của hai mp (DEF) và (ABC)

b Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (DEF)

c Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng (DEF)

6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB) Gọi I, J

lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN =

3

2

SB

a Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)

b Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD

Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành

7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB) Gọi I, J

lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN =

3

2

SB Xác định thiết diện giao của mp(IJK) với hình chóp S.ABCD

8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P, Q lầnlượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP //

CD, MQ // CD

a Chứng minh: PQ // SA

b Gọi K = MN  PQ

9 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC Giả sử

AD và BC không song song

a Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)

b Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD

10.Cho hình chóp S.ABCD, trong tam giác SBC lấy một điểm M trong tam giácSCD lấy một điểm N

a Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC)

b Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)

c Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD

*Kết luận: Với các ví dụ minh họa cùng các bài tập tự giải, qua trình dạy luyện tập cho học sinh, người dạy có những hướng dẫn cụ thể, học sinh hình thành kỹ năng vẽ hình, kỹ năng vận dụng các định lí, tính chất về đường thẳng và mặ phẳng song song giải quết được các dạng bài tập đã nêu.

II Kỹ năng chứng minh các quan hệ giữa các đối tượng hình học được học

Quan hệ vuông góc giữa các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng nội dung quan trọng của hình học không gian lớp 11, do đó cũng cần rèn luyện kỹ năng giải quyết các dạng bài tập liên quan đế quan hệ vuông góc.

2.1 Rèn luyện kỹ năng chứng minh các quan hệ vuông góc

2.2.1 Rèn luyện kỹ năng chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc trong không gian

GV có thể định hướng và cho học sinh rèn luyện chứng minh theo các định hướng sau:

- Xác định góc giữa hai đường thẳng a và b, chứng minh    0

- Xác định được đường thẳng c//b, chứng minh được a^c

- Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng

b hoặc ngược lại

- Có thể áp dụng định lí ba đường vuông góc

Một số ví dụ giúp học sinh rèn luyện các định hướng đã nêu

Ví dụ 1 Cho tứ diện đều ABCD.

a Chứng minh rằng AB^CD

b Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD Chứng minh rằng:

Hướng 2 Chứng minh CD vuông góc với mặt phẳng chứa AB

Lấy N là trung điểm của CD, ta có DACD và là các tam giác cân chungđáy CD

b Hướng 1 Ta có DABN cân tại N có M là trung

điểm AB  MN^AB.DCDMcân tại M có N là

trung điểm của CD  MN^CD

Hướng 2: Chứng minh 

  0

MN AB và 

  0

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình

vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi

M, N, P lần lượt trung điểm của các cạnh SB,

BC, CD Chứng minh AM^BP

Lời giải.

Hướng 1: Chứng minh BP vuông góc với mặt phẳng chứa AM

Gọi H là trung điểm của AD  SH ^AD SH ^ABCD  SH ^BP

Gọi O là giao điểm của BP với CH

Từ DBCPDCDH(c-g-c)  DCH PBC

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có

đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối

xứng của D qua trung điểm của SA, M là

trung điểm của AE, N là trung điểm của BC

2.2.2 Rèn luyện kỹ năng chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh chứng minh theo các hướng sau

- Áp dụng khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ít gặp)

- Chứng minh cho đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhautrong mp(P).

- Ta chứng minh cho a // b, trong đó đường thẳng b vuông góc mp(P)(hoặc chứng minh được b vuông góc với mp(P))

- Chứng minh cho (P) // (Q), trong đó (Q) vuông góc với a ( hoặc chứngminh được (Q) vuông góc với đường thẳng a

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông góc với

đáy Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc

của A trên SB, SC, SD

Chứng minh rằng:

a SC ^mp AHK  và I thuộc mp(AHK)

b HK^mp SAC 

Phân tích: Từ hình vẽ hướng chứng minh

học sinh dễ nhận thấy ớ câu a) là chứng minh

đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt

Chứng minh tương tự ta cũng có: AK ^SC, từ đó ta có SC^AHK

DoAI ^SC mp AHI  ^SC  mp AHI  mp AHK   Imp AHK 

Phân tích: Từ hình vẽ trực quan dễ thấy HK//BD, và BD dễ chứng minh được vuông góc với mp(SAC) từ đó suy ra cách chứng minh bài toán.

b Ta có DSABDSAD c  g c  SBSD, AS B AS D D AHS DAKH(cạnh huyền– góc nhọn)  SHSK

SBD

SB SD  mà BD^mp SAC  (do BD^AC BD, ^ AS)

do đó HK ^mp SAC 

Cách 2 Theo a) SC^mp AHK   AHK ^SAC

BD^SAC,  SBD ^SAC mà HK SBD  AHK  HK ^SAC

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA =

SC, SB = SD

a Chứng minh SO^mp ABCD 

b Gọi d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), d2là giao tuyến

của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) Chứng minh SO^mp d d 1 , 2.

Phân tích: Từ hình vẽ hướng dẫn học

sinh chứng minh SO^mp ABCD đẽ dàng, câu b

giúp học sinh tưởng tương không gian khi xác

định được giao tuyến của hai mặt phẳng khi chỉ

biết một điểm và phương nhờ kiến thức ở phần

đường thẳng và mặt phẳng song song.

Lời giải:

a Do SA = SC nên tam giác SAC cân đỉnh S, O là trung điểm AC SO^AC

SB = SD nên tam giác SBD cân đỉnh S, O là trung điểm của BD

Tương tự d2 / /AD/ /BC.

Vì SO^ABCD SO^AB SO, ^BC

Ta có SO^AB SO^d SO1 , ^BC SO^d2,d1 d2 S nên SO^mp d d 1 , 2.Cách 2 Ta có

2.2.3 Rèn luyện kỹ năng chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc GV hướng dẫn cho học sinh thực hành chứng minh theo một trong các hướng sau để rèn luyện kỹ năng

- Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 900

- Chứng minh trong mp(P) có đường thẳng a vuông góc với mp(Q) (hoặcngược lại)

Hướng dẫn học sinh để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc cần phải nắm vững kỹ năng chứng minh hai đường thẳng vuông góc và kỹ năng chứng

minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm trong không gian sao cho tam

giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Chứng minh rằng SAB ^ SAD , SAB ^ SBC

Cách 2 Lấy H là trung điểm của AB, DSAB đều nên SH^AB.

Ta có:

SAB ^ ABCD SH^ABCD SH ^AD,

Mặt khácAD^AB nên AD^SAB, mà ADSAD SAD ^ SAB

Chứng minh tương tự ta được SBC ^ SAB

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, có cạnh bằng

a và đường chéo BD = a Cạnh SC = 6

2

a và vuông góc với mp(ABCD)

Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau

Phân tích: Định hướng đây là bài toán chứng minh quan hệ vuông góc của hai mặt phẳng, đề bài cho giả thiết về độ dài cạnh của hình chóp vì vậy để chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc ta phải sử dụng kết hợp với việc tính toán các đại lượng cần thiết, từ đó hướng học sinh tới việc tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) và chứng minh góc đó bằng 90 0

Lời giải:

Do tứ giác ABCD là hình thoi nênBD^AC,

SC^ ABCD  SC^BD BD^ SAC

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mp(SAC), dựng OI^SAtại I  SA^BID

Ta lại có SASAB  SAD  SAB , SAD  IB ID, 

Tam giác IBD có OI vừa là trung tuyến

vừa là đường cao  DIBDcân tại I

=> OI cũng là đường phân giác, do đó

Cách 2 Gọi I là giao điểm của AC và BM, ta có

I là trọng tâm tam giác

ABMCAD ABIBAI BAIIAM  BM^AC

Vậy BM^mp SAC  mp ABM  ^mp SAC 

Ví dụ 4 (BT 27 tr112-SGK HH11 nâng cao)

Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc vớinhau và ACADBCBDa CD,  2x Tính x theo ađể hai mặt phẳng (CAB)

và (DAB) vuông góc với nhau

Lời giải.

Ta có các tam giác CAB và DAB là các

tam giác cân chung đáy AB

Lấy I là trung điểm của AB

Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để

CAB ^ DAB là CID  90 0

Ta có  0

90

CID 

  1 2

x  thì hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc

* Kết luận Với 4 Ví dụ đã nêu cùng với quá trình hướng dẫn giải có thể giúp rèn luyện cho học sinh kỹ năng chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.

III Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách, tính thể tích

3.1 Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P), Gv định hướng và rèn luyện cho học sinh thực hiện theo các bước sau

B1 Xác định hình chiếu vuông góc H của M trên (P)

B2 Tính độ dài MH Khi đó MH = d(M,(P))

Ngoài ra Gv cần lưu ý với học sinh một số kết tính chất

Nếu M là đỉnh O của tứ diện vuông

OABC thì H là trực tâm tam giác ABC và

1 1 1 1

OH OA OB OC

- Nếu M là đỉnh của tứ diện trực tâm thì

H là trực tâm của mặt đối diện

- Nếu M là đỉnh của hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì H làchân đường cao kẻ từ M của mặt bên đó

- Nếu AB P O thì    

 

, ,

d A P OA

OB

d B P  Đặc biệt:

Nếu B là trung điểm của OA thì d A P , ( ) 2d B P , ( )

Một số ví dụ

Ví dụ 1 (Trích đề thi ĐH khối D - 2012)

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giácA’AC vuông cân, A C' a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’)theo a

Trong mp(ABB’A’), dựng AK vuông góc với BA’ tại K thì

   , tứ giác ABCD là hình vuông

2 2

AB a AK

AB

Ví dụ 2 (Trích đề thi ĐH khối D - 2009)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy

ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,AA ' 2a Gọi M

là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của

AM và A’C Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến

AB a a a AK

N lần lượt là trung điểm của AB và CD Hình

chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp(ABCD)

trùng với giao điểm của AN và DM Tình theo

a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng

(SDN)

Lời giải.

+) Gọi H là giao điểm của AM và DN Từ giả thiết ta có SH ^ABCD.

a a

Ta có tứ diện SHND là tứ diện vuông vuông tại H

 hình chiếu vuông góc của H trên mp(SND) trùng với trực tâm K của

Ví dụ 4: (Trích đề ĐH khối B - 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD).

Lời giải.

Lấy H là trung điểm của AB SH ^ABCD  SH ^CD

Lấy I là trung điểm của CD  HI^CD CD^SIH  SIH ^ SCD.Trong mp(SHI) dựng HK vuông góc với SI tại K  HK d H SCD ,  

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,

Chứng minh BC^SAM SAM ^ SBC

Trong mp(SAM) dựng AH vuông góc với SM tại

* Các Ví dụ 4,5 rèn luyện cho học sinh biết sử dụng kết quả: nếu AB // (P) thì

d(A, (P)) = d(B, (P)) để tính khoảng cáh từ một điểm đến một mặt phẳng.

Ví dụ 6 (Trích đề thi ĐH khối A,A1 - 2013)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

vuông tại A, ABC  30 0, SBC là tam giác đều

cạnh a, mp(SBC) vuông góc với đáy Tính theo

akhoảng cách từ C đến mp(SAB)

Lời giải.

Lấy H là trung điểm của BC.DSBC đều nên SH ^BC.

SBC ^ ABC SH^ABC SH ^AB.DABC vuông tại A

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại B, BA 3 ,a BC 4a, mp(SBC) và mp(ABC)

2 3, 30

SB a SBC Tính khoảngcách từ B đến mp(SAC) theo a

3 7 14

     

, ,

* Kết luận Trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, một

kỹ năng rất quan trọng mà Gv phải rèn luyện được cho học sinh là kỹ năng dựng hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng.Chúng ta đã có kết quả

là qua một điểm A cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước, trong thực hành giải toán viêc dựng hình chiếu vuông góc của A lên (P) ta thực hành theo các bước sau:

B1 Xác định mp(Q) qua điểm A và vuông góc với (P)

B2 Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

B3 Trong (Q) qua điểm A dựng đường thẳng vuông góc với d tại H, khi

đó H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mp(P)

(1) Trong đó: B là diện tích đáy;

h là độ cao đường cao.