Chinh phục hình học không gian thầy biển ver 2016

tác giả : Nguyễn Hữu Biển Giúp bạn chinh phục và nắm trong tay các phương pháp giải trong hình học không gian.Giúp bạn chinh phục và nắm trong tay các phương pháp giải trong hình học không gian. Chúc các bạn thành công

Phần 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

* Phương pháp 1:

c¾t b a;b (P)

d a;d b

a

d (P)







P

b a

d

* Phương pháp 2:

d' (P)

d / /d'

d (P)





d'

P

d

* Phương pháp 3:

(P) (Q)

d (Q)

d (P),d

⊥ = ∆  



∆

d

Q P

* Phương pháp 4:

(P) (Q)

(Q) (R)

∩ ∩ = ∆ = ∆

∩ = ∆  



⊥  ⇒ ⇒ ∆ ⊥ ∆ ⊥



R

Q P

∆

2) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG

d (P)

d a

a (P)



d

P 3) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

d (P)

(P) (Q)

d (Q)



Q d

P

4) XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

a) Định nghĩa về góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau

Cho a ∩ b M = khi đó ta có 4 góc tạo thành Góc có số đo bé nhất được gọi là góc giữa 2 đường thẳng a và b Ký hiệu: ( )a; b

Chú ý:

- Nếu a b≡ ⇒( )a; b
=00

- Nếu a⊥b⇒( )a; b
=900

Nếu gọi α =( )a; b
thì 0 0 ≤ α ≤ 90 0 ⇒ < 0 c os α ≤ 1

b) Các phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

* Phương pháp 1: Để xác định góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:

- Kẻ a '/ /a, b '/ /b sao cho a ' b ' M ∩ = Khi đó α =( )a; b
=(a '; b ')

a

α M

b' a'

α M

b a

* Phương pháp 2: Để xác định góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:

- Từ 1 điểm M bất kỳ trên a ta kẻ đường thẳng b '/ /b Khi đó

a; b a; b '

b

α M

b' a

5) CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

* Phương pháp 1: Giả sử ( ) ( )P ∩ Q = ∆, trong (P) dựng a ⊥ ∆ tại M, trong (Q) dựng b ⊥ ∆ tại M Khi đó ta có ( ( ) ( )P ; Q )=( )a; b

M

∆ a

b

(P)

(Q)

α

* Phương pháp 2: Nếu a ⊥ (P), b ⊥ (Q) thì ( ( ) ( )P ; Q )=( )a; b

α M

∆

(P) (Q)

α

* Phương pháp 3: Nếu ∆ ABC là hình chiếu của ∆ SBC, khi đó α là góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng (ABC) được xác định bởi công thức ABC

SBC

S c

S

∆

α = (công thức hình chiếu diện tích)

B A

S

6) CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

a) Định nghĩa: Cho mặt phẳng (P) và điểm M (P) ∉ Khi đó d M;(P)( ) MH HM (P)

H (P)

⊥



∈



(P)

H M

b) Các phương pháp xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

* Phương pháp 1: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) ta làm như sau:

- Tìm ra mặt phẳng (Q) chứa M và (Q) (P)⊥ = ∆

- Kẻ MH ⊥ ∆ tại H Khi đó d M;(P)( )=MH

∆ (Q)

M

* Phương pháp 2: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) ta có thể tính thông

ABC

3.V 1

V d(M;(ABC)).S d(M;(ABC))

∆

C B

A

M

c) Một số lưu ý khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

* Lưu ý 1: Nếu MN / /(P) thì d M;(P)( )=d N;(P)( )

N M

(P)

* Lưu ý 2: Nếu tia MN cắt (P) tại A thì ( )

d M;(P) MA

d N;(P) = NA

(P)

A N

M

* Lưu ý 3: Ngoài 2 phương pháp tính khoảng cách từ 1 điểm M đến mặt phẳng (P) đã trình bày ở

trên thì phương pháp phổ biến nhất để tính khoảng cách từ 1 điểm M đến mặt phẳng (P) ta thường thông qua khoảng cách từ chân đường vuông góc nào đó đến mặt phẳng cần tính theo mô hình mẫu sau đây:

(P) K

H

S

M

- Xây dựng 1 mặt phẳng chứa M và vuông góc (P) bằng cách: từ M kẻ MH ⊥ ∆ tại H (SAM) (P)

⇒ ⊥ theo giao tuyến SM

- Kẻ MK ⊥ SM tại K ⇒ MK ⊥( )P ⇒ d M; P( ( ) )= MK

7) PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

a) Định nghĩa đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau

MN được gọi là ĐOẠN vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2

1 2

MN MN

⊥ ∆





 ∈ ∆ ∈ ∆



N

M

∆ 2

∆ 1

b) Định nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d và d’ chính là độ dài đoạn vuông góc chung

- Ký hiệu d(∆ ∆1; 2)=MN

c) Phương pháp xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2, trước hết ta phải tìm ra mặt phẳng (P) chứa 1 trong 2 đường thẳng, không mất tính tổng quát ta giả sử (P) chứa ∆2 Khi đó, bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 ta đưa về 1 trong 2 trường hợp sau đây:

* Trường hợp 1: ∆ ⊥1 (P) tại M, khi đó ta dựng MN ⊥ ∆2 tại N ⇒ MN là đoạn vuông góc chung của ∆1 và ∆2 ⇒d(∆ ∆1; 2)=MN (Trường hợp này thường mặt phẳng (P) đã cho sẵn)

P N

∆ 1

* Trường hợp 2: ∆1/ /(P) , khi đó khoảng cách giữa 2 đường thẳng ∆1 và ∆2 sẽ bằng khoảng cách từ 1 điểm M bất kỳ trên ∆1 đến mặt phẳng (P) ⇒ d(∆ ∆ 1 ; 2)= d M; P( ( ) )= MH(Trường hợp này thường mặt phẳng (P) chưa cho sẵn mà phải tự xây dựng)

H

M

∆ 2

∆ 1

P

8) PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

a) Thể tích của khối chóp (khối tứ diện): V = 1

3 (diện tích đáy) (đường cao) b) Thể tích của khối lăng trụ (khối hình hộp): V = (diện tích đáy) (đường cao)

c) Công thức tỉ số thể tích (công thức SIMSON)

Cho hình chóp S.ABC, trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó ta có:

S.A'B'C' S.ABC

V SA ' SB' SC '

.

C C'

B

B' A

A'

S

* Lưu ý: Các tính chất của hình chóp đều

- Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, …)

- Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

- Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau

- Góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau

- Tất cả các cạnh bên bằng nhau

9) PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP - LĂNG TRỤ a) Phương pháp chung:

- Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy với

mặt phẳng trung trực của cạnh bên

- Tâm đường mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm 2 đáy của lăng trụ đó

I

C'

B' A'

C

B A

O 2

O 1

b) Các trường hợp thường gặp

* Trường hợp 1: Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới 1 góc vuông

- Nếu hình chóp S.ABCD có SAC SDC SBC 90  =  =  = 0 thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm SC, bán kính R SC

2

=

I

B A

S

* Trường hợp 2: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

- Nếu hình chóp S.ABC có SA SB SC = = thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau:

∆

C

B A

S d

H

I

O

* Trường hợp 3: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

- Nếu hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau:

C

∆

B A

S

d

H

I

O

* Trường hợp 4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

- Nếu hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC) thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau:

d 2

O 2

B A

S

d 1

C I

O 1

* Trường hợp 5: Hình chóp có đáy là nửa lục giác đều

- Nếu hình chóp S.ABCD có (ABCD) là nửa lục giác đều thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD được xác định như sau:

O

H

I

D

C B

A

S

* Trường hợp 6: Hình chóp có đáy là tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 90 0

- Nếu hình chóp S.ABCD có ABC ABD 90  +  = 0 thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD được xác định như sau:

H

I

O

D

C A

S

Phần 2: BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB a = , BC a 2= ,

a 2

AD

2

= , hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 45 0, M là trung điểm SC Tính thể tích của khối chóp M.BCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và BD theo a

Phân tích và hướng dẫn

a 2

45 0

a 2 2 a

a

C

D K

M

H I

B

A S

* Ý 1: tính thể tích của khối chóp M.BCD

Để tính được thể tích của khối chóp, điểm quan trọng là phải xác định được đường cao

+ Gọi H là trung điểm AC ⇒ MH là đường trung bình của ∆ SAC

⇒ ⇒ ⊥ ⇒ MH là đường cao của khối chóp M.BCD

⇒ thể tích khối chóp M.BCD là V 1.MH.S BCD

=

+ Ta có MH SA a

= = , S BCD 1.DB.CI 1 AB2 AD AC AI2 ( )

BCD

1

2

∆

AI = AB +AD ⇒ = 3

2 3

BCD

∆

* Ý 2: tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và BD

+ Ta thấy ngay mặt phẳng (SAC) chứa SC và vuông góc với BD (do BD ⊥ AC, BD SA ⊥ ), vì vậy để tính khoảng cách từ SC đến BD ta nhớ lại mô hình quen thuộc sau

D

B

I K

(SAC)

C S

+ Như vậy ta kẻ IK ⊥ SC tại K ⇒ IK là đoạn vuông góc chung của SC và BD ⇒ IK là khoảng cách cần tìm

+ Ta có

2a

* Nhận xét : ý 2 của câu 7 này có thể làm bằng phương pháp cài tọa độ với việc chọn gốc tọa độ O

tại A, B ∈ Ox , D Oy,S Oz ∈ ∈ , từ đó ta dễ dàng tìm được A 0;0;0( ), B a;0;0( ), C a;a 2;0( ),

a 2

D 0; ;0

2

 , S 0;0;a( )

P

C S

D B

Gọi (P) là mặt phẳng chứa SC và (P) song song với BD ⇒ (P) qua S và có vec tơ pháp tuyến là

⇒ (P) có phương trình 2x 2y 3 2z 3 2a 0 + + − = d BD,SC( ) d B, (P)( ) a

3

⇒ = = (các bạn tự tính toán để kiểm tra lại đáp số nhé)

Gọi M, N là các trung điểm của SB, SC Tính thể tích khối chóp ABCNM và khoảng cách từ điểm

C đến mặt phẳng (SAB)

Phân tích và hướng dẫn

S

H N

K M

A

F I

B C

* Ý 1: tính thể tích khối chóp ABCNM

Để tính được thể tích khối chóp ABCNM ta cần xác định đường cao, thật vậy:

+ Gọi I là trung điểm BC, ta có BC AI BC (SAI); BC (SBC) (SBC) (SAI)

BC SA



tuyến SI

+ Do đó, trong mặt phẳng (SAI), kẻ AH SI ⊥ tại H⇒ AH ⊥ (SBC), vậy AH là đường cao của khối chóp ABCNM VABCNM 1AH.SBCNM

3

+ Ta có

AH a

1

AS

a a 15

+

3 ABCNM

3a V

16

* Ý 2: tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

+ Gọi F là trung điểm của AB, ta có CF AB CF (SAB) CF d C;(SAB)( ) a 3



Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, M là trung điểm AA’, góc tạo bởi mặt phẳng (BMC’) và (ABC) bằng 60 0 Tính theo a thể tích của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ AB đến MC’

Phân tích và hướng dẫn

K

60 0

a

M

A'

B'

C'

D

H

C a

E a

B

A I

* Ý 1: tính thể tích của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’

Trước hết ta cần lập luận để xác định được góc tạo bởi mặt phẳng (BMC’) và (ABC)

+ Gọi I AC MC ' = ∩ , do AM / /CC ' IA MA 1

IC CC ' 2

⇒ = = ⇒ A là trung điểm của IC

+ ∆ IBC có A là trung điểm của IC và BA 1.IC

2

= ⇒ ∆ IBC vuông tại B ⇒ BC⊥BI, mà

BI ⊥ C 'C ⇒ BI⊥(C 'CB) ⇒ BI⊥C 'B ⇒ góc tạo bởi mặt phẳng (BMC’) và (ABC) là góc tạo bởi 2 đường thẳng C’B và CB ⇒ C 'BC 60 = 0

+ Ta có thể tích của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là V C 'C.S = ∆ABC

+ Xét ∆ C 'BC có 0 C 'C

tan 60 C 'C a 3

BC

= ⇒ = , ∆ ABC đều cạnh a S ABC a2 3

4

∆

3 ABC

3a

V C 'C.S

4

∆

* Ý 2: tính khoảng cách từ AB đến MC’

+ Để tính khoảng cách từ AB đến MC’ ta sẽ xây dựng mặt phẳng chứa AB và song song với MC’ bằng cách : gọi D là trung điểm của C’C ⇒ AM / /C 'D, AM C 'D = ⇒ AMC 'D là hình bình hành

MC '/ /AD MC '/ /(ABD) d(AB, MC ') d(MC ', (ABD))

+ Ta có d(MC ', (ABD)) d(C ', (ABD)) =

+ Nhận thấy nếu gọi E là trung điểm AB thì ⇒ AB (DCE) ⊥ (do AB CE, AB DC ⊥ ⊥ ) (ABD) (DCE)

⇒ ⊥ theo giao tuyến ED

⇒ kẻ C 'K ⊥ ED tại K ⇒ C ' K⊥(ABD) ⇒ C 'H d(C ', (ABD))=

+ Mặt khác do D là trung điểm CC’ nên ⇒ d(C, (ABD)) d(C ', (ABD)) =

C

K H

(ABD)

⇒ kẻ CH ⊥ ED tại H ⇒ CH ⊥ (ABD) ⇒ CH d(C, (ABD)) =

+ Xét ∆ ECD vuông tại C, đường cao CH 12 12 12 12 12 CH a 3

3a 3a

Vậy khoảng cách từ AB đến MC’ là a 3

8

Chú ý: Ý 2 của câu 7 có thể làm bằng phương pháp cài tọa độ với việc chọn B làm gốc tọa độ,

I Ox, C Oy, B' Oz ∈ ∈ ∈ , khi đó ta dễ dạng có được B 0;0;0( ), I a 3;0;0( ), C 0;a;0( ), A a 3 a; ;0

2 2

C ' 0;a;a 3 , M a 3 a a 3; ;

 , a 0 >

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và song song với MC’, khi đó (P) qua B 0;0;0( ) và có vec tơ pháp tuyến là n C 'M; BA a2 3; 3a2;a2 3

  

P

B A

M C'

8

cân tại S, hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AD sao cho HA 3.HD = Gọi M

là trung điểm của AB, biết SA 2 3a = và đường thẳng SC tạo với đáy một góc 30 0 Tính theo a thể

Phân tích và hướng dẫn

2 3a

M

K

B A

H

C

I S

* Ý 1: tính thể tích khối chóp S.ABCD

+ Do hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AD nên SH là đường cao của khối chóp S.ABCD VS.ABCD 1.SH.SABCD

3

+ ∆ SAD vuông tại S, đường cao SH

4

2

SH HA.HD 3a.a SH a 3

+ ∆ SHC vuông tại H, SCH 30  = 0 ⇒ SC 2.SH 2a 3= = ⇒ HC 3a=

ABCD

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD 1.SH.SABCD 8 6a3

* Ý 2: tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC)

Vẫn theo mạch suy luận quen thuộc đó là tính khoảng cách từ 1 M điểm đến 1 mặt phẳng (SBC) ta đưa về khoảng cách từ chân đường vuông góc H đến mặt phẳng (SBC)

+ Ta có M là trung điểm AB nên d M, SBC( ( ) ) 1d A, SBC( ( ) )

2

=

M

A

+ Mặt khác ta lại có AH / /(SBC) ⇒ d A, SBC( ( ) )= d H, SBC( ( ) )

H A

(SBC)

+ Kẻ HK ⊥ BC tại K, mà BC SH⊥ ⇒BC (SHK)⊥ ⇒(SBC) (⊥ SHK) theo giao tuyến SK ⇒ kẻ

HI SK ⊥ tại I ⇒ HI⊥(SBC)⇒ d H, SBC( ( ) )=HI

+ ∆ SHK vuông tại H, đường cao HI 12 12 1 2 HI 2a 66

⇒ = + ⇒ = (chú ý HK DC = ) Vậy

khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) là a 66

11

(CÒN NỮA)