Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho đường tròn C có tâm I, bán kính R và đường thẳng ... Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , vớ
Trang 1O A
1 Hệ trục toạ độ - toạ độ vectơ – toạ độ điểm
Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là , i j
O
là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung
Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u ( ; )x y u x i.y j.
= 0 0 , a b
cùng hướng + a b,
= 180 0 , a b
ngược hướng + a b , b a ,
3 Tích vô hướng của hai vectơ
> 0 a b ,
nhọn + a b
< 0 a b ,
tù
Trang 2O M
II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC – ĐƯỜNG TRÒN
A TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định
Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD
P M/(O) = MA MB MC MD MO2R2
Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT
P M/(O) = MT2 MO2R2
C TRONG TAM GIÁC BẤT KÌ
Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma , m b , m c – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha , h b , h c
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
Trang 3III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng
2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
– Nếu u
là một VTCP và n
là một VTPT của thì u n
3 Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và có VTCP u ( ;u u1 2)
1
u
u , với u 1 0
4 Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và có VTCP u ( ;u u1 2)
5 Phương trình tham số của đường thẳng
PT ax by với c 0 a2b2 0 đgl phương trình tổng quát của đường thẳng
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)
Các hệ số Phương trình đường thẳng Tính chất đường thẳng
c = 0 ax by 0 đi qua gốc toạ độ O
a = 0 by c 0 // Ox hoặc Ox
b = 0 ax c 0 // Oy hoặc Oy
Trang 4 đi qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k: Phương trình của : yy0k x( x0)
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1 : a x b y1 1 c1 và 0 2 : a x b y2 2 c2 0
Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình: 1 1 1
0 0
7 Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1 : a x b y1 1 c1 (có VTPT 0 n 1 ( ; )a b1 1
8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax by và điểm c 0 M0(x0;y0)
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax by và hai điểm c 0 M x( M;y M),N x( N;y N)
– M, N nằm cùng phía đối với ( ax M by M c ax)( N by N c) 0
– M, N nằm khác phía đối với ( ax M by M c ax)( N by N c) 0
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1 : a x b y1 1 c1 và 0 2 : a x b y2 2 c2 cắt nhau 0
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: (xa)2 (y b )2 R2
Nhận xét: Phương trình x2y2 2ax 2by , với c 0 a2b2 , là phương trình đường c 0
Trang 5tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2b2 c
2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng
F 1 , F 2 : các tiêu điểm, F F1 2 2c : tiêu cự
2 Phương trình chính tắc của elip
Toạ độ các tiêu điểm: F1( c; 0), F c2( ;0)
Với M(x; y) (E), MF MF đgl các bán kính qua tiêu điểm của M 1, 2
Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a y, b (ngoại tiếp elip)
4 Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)
Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm F i là: x a 0
F 1 , F 2 : các tiêu điểm, F F1 2 2c : tiêu cự
2 Phương trình chính tắc của hypebol
Toạ độ các tiêu điểm: F1( c; 0), F c2( ;0)
Với M(x; y) (H), MF MF đgl các bán kính qua tiêu điểm của M 1, 2
Trang 63 Hình dạng của hypebol
(H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng
Toạ độ các đỉnh: A1( a;0), A a2( ;0)
Độ dài các trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b
Tâm sai của (H): e c
a
(e > 1)
Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a y, b
Phương trình các đường tiệm cận: y b x
a
4 Đường chuẩn của hypebol
Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm F i là: x a 0
F: tiêu điểm, : đường chuẩn, pd F( , ) : tham số tiêu
2 Phương trình chính tắc của parabol y2 2px (p > 0)
Toạ độ tiêu điểm: ; 0
Trang 7PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN
A Một số bài toán mở đầu
Bài 1 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u
: a) M(–2; 3) , u (5; 1)
b) M(–1; 2), u ( 2;3)
c) M(3; –1), u ( 2; 5)
Bài 2 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n
: a) M(–2; 3) , n (5; 1)
b) M(–1; 2), n ( 2;3)
c) M(3; –1), n ( 2; 5)
Bài 3 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hsg k:
a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1
Bài 4 Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8)
Bài 5 Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường
Bài 9 Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song: d1: 3x 4y và 6 0
2 : 6 8 13 0
d x y
Bài 15 Cho tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC, với:
Trang 8Bài 23 Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là 3xy 5 0
a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông
b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông
Bài 24 Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó:
Bài 26 Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1)
a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2)
Bài 27 Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 2)
a) I(3; 4), : 4x3y150 b) I(2;3),: 5x12y 7 0
c) I( 3; 2), Ox d) I( 3; 5), Oy
Bài 28 Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3)
a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6)
Bài 29 Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với:
Trang 9c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C O(0; 0)
Bài 35 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10)
a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3)
c) AB: 2x3y21 0, BC: 3x2y 6 0,CA: 2x3y 9 0
Bài 36 Cho đường tròn (C) và đường thẳng d
i) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ
ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d
iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d
a) ( ) :C x2y2 6x 2y 5 0, d: 2x y 3 0
b) ( ) :C x2y2 4x 6y 0, d: 2x 3y 1 0
Bài 37 Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d
i) Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C)
ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A
iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d
iv) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d
a) ( ) :C x2y2 4x 6y 12 0, A( 7; 7), d: 3x 4y 6 0
b) ( ) :C x2y2 4x 8y 10 0, A(2; 2),d x: 2y 6 0
Trang 10B 7 bài toán cơ bản
1 BÀI TOÁN 1 Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm M của các cặp đường thẳng cắt nhau sau:
2 BÀI TOÁN 2 Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng
Ví dụ: Tìm điểm M' đối xứng với điểm M1; 2 qua đường thẳng :x 3y 5 0
3 BÀI TOÁN 3 Kiểm tra tính cùng phía, khác phía của hai điểm với một đường thẳng
Ví dụ: Cho đường thẳng AC Xét vị trí cùng phía, khác phía của các cặp điểm sau với đường thẳng
.a) A1; 2 và B 1; 3 b) C2;3 và D 2; 1
4 BÀI TOÁN 4 Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
Ví dụ: Cho hai đường thẳng 1: 3x 4y 1 0 và C Viết phương trình đường phân giác của góc tạo
bởi hai đường 1 và 2
5 BÀI TOÁN 5 Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc trong tam giác
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A3; 0 , B 1;1 ,C 1;8 Viết phương trình đường phân giác trong,
phân giác ngoài của góc A
6 BÀI TOÁN 6 Tìm chân đường phân giác trong, ngoài của góc trong tam giác
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A1;5 , B 4;5 , C4; 1 Xác định tọa độ chân đường phân giác trong
và phân giác ngoài của góc A
7 BÀI TOÁN 7 Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A2; 6 , B 3; 4 , C5; 0 Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn
ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Trang 11
PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY
Bài toán 1 Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I một khoảng cho trước (IM=R không đổi)
1 CÁCH RA ĐỀ 1: Cho biết M thuộc đường thẳng và điểm I Độ dài đoạn IM đề không cho Cần dựa vào các dữ kiện của bài toán để tính độ dài đoạn IM
Ví dụ 1 (D – 2006): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2
C x y x y Gọi I là tâm của C ,M là điểm thuộc
Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến C (A B, là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10
Hướng dẫn: Từ (C) tâm I và bán kính R Từ tứ
giác MAIB có diện tích bằng 10 diện tích tam giác
MBI Có BI MB, mà M t M ĐS: M2; 4
hoặc M 3;1
Trang 12x y và AB 2AD Tìm tọa độ các điểm A B C D, , , biết rằng A có hoành độ âm
Hướng dẫn: B thuộc đường thẳng AB
B t và I là trung điểm BD D t
Ta có AD=2d(I,AB) t
Cách 2: AD=2d(I,AB)=2IH Tính được IA=IB, từ đó A, B là giao điểm của đường thẳng AB
và đường tròn tâm I, bán kính R=IA ĐS: A 2;0 , B 2; 2 , C 3;0 , D 1; 2
Ví dụ 4 (B – 2009 – NC): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh
1; 4
A và các đỉnh B C, thuộc đường thẳng :x y 4 0 Xác định tọa độ các đỉnh B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18
Hướng dẫn: Từ diện tích tam giác ABC BC AB AC Ta có B, C là giao điểm của
đường thẳng với đường tròn tâm A bán kính AB ĐS: B 3; 5 , C 11 3;
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, có BD nằm trên đường thẳng
có phương trình xy 3 0, điểm M 1; 2 thuộc đường thẳng AB, điểm N2; 2 thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương
Phân Tích: Trong các dữ kiện của bài toán, ta thấy điểm
“có lợi” để khai thác nhất là B (BBD và x B >0) Nếu tìm
được NB hoặc MB thì sẽ tìm được B Ta đi tính
MH=d(M,BD) để tìm B (vì MHB vuông cân tại H) Từ đó
A(2;2); B(1;2); C(1;1), D(2;1)
Ví dụ 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có
AB ADCD, điểm B1; 2, đường thẳng BD có phương trình y 2 Biết đường thẳng : 7xy 25 0
cắt các đoạn thẳng AD CD, lần lượt tại hai điểm M N, sao cho BMvuông góc với BC và tia BN là tia phân giác trong của MBC Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành độ
dương
Trang 13Phân Tích: Với dữ kiện bài toán, ta thấy D BD
nên nếu tính được DB thì ta sẽ tìm được B Vì đã
biết pt nên ta nghĩ đến tính d(B,) và tìm mối liên
kết giữa đại lượng này với BD
Với giả thiết còn lại và bằng phương pháp hình học thuần túy ta có thể chứng minh BH=d(B,CD)=d(B,) Từ đó ta tính được độ dài BD
Ví dụ 7 (A, A1 – 2012 – CB): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M
là trung điểm của cạnh BC N, là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử 11 1;
2 2
M
và
AN có phương trình 2xy 3 0 Tìm tọa độ điểm A
Phân Tích: A AN Điểm M biết tọa độ nên nếu tính được AM thì
sẽ tìm được A.Ta gắn AM vào AMH vuông tại H với
AH=d(M,AN) Ta chỉ cần tìm thêm một yếu tố về cạnh hoặc góc của
AMH là tính được AM Vì các cạnh và góc A của AMH có liên
quan đến cạnh và góc hình vuông nên ta tính cotA tan DAN BAM hoặc cosA(bằng đlí côsin)
Ví dụ 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1: 3x y 5 0, 2:x 2y 3 0
và đường tròn 2 2
C x y x y Gọi M là một điểm thuộc đường tròn C và N
là điểm thuộc đường thẳng 1 sao cho M và N đối xứng với nhau qua 2 Tìm tọa độ điểm
N
Phân Tích: Điểm N 1 đã biết pt, ta cần tìm thêm một yếu
tố liên quan đến N Để ý đến các điểm đã biết trong giả
thiết, đường tròn (C) có tâm I(3;-5), nếu biết NI thì sẽ tìm
được N Song ở đây tìm NI phức tạp, vì vậy ta sẽ tìm một
điểm khác mà việc tính khoảng cách từ đó đến N đơn giản
hơn Trong bài toán có chứa yếu tố đối xứng (M,N đối xứng
qua 2 ), điều đó gợi cho ta nghĩ đến điểm I’ đối xứng với I qua 2 và điểm này hoàn toàn xác định, từ đó ta có NI’=MI=R=5
Trang 14Ví dụ 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A1; 3 có góc
ABC 30 0, đường thẳng :xy 2 0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC Tìm tọa độ các điểm B và xy 2 0, biết B có
hoành độ là một số hữu tỉ
Phân Tích: Ở đây, B thuộc và A đã biết tọa độ Do đó, nếu
tính được độ dài AB ta sẽ tìm được B Khi đã tìm được B ta sẽ
viết được phương trình BC và AC C
Ví dụ 10 Cho hình thoi ABCD, ngoại tiếp đường tròn 2 2
C x y x y Biết 2
AC BD, điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng : 2xy 5 0 Viết phương trình cạnh A B,
Phân Tích: Ở đây, B thuộc và I là tâm đường tròn (C)đã biết
tọa độ,do đó nếu tính được độ dài BI ta sẽ tìm được B Khi đã
tìm được B, ta chuyển về bài toán viết phương trình đường
thẳng AB đi qua điểm B và cách I một khoảng bằng R
Ví dụ 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có E F, lần lượt thuộc các đoạn AB AD, sao cho EB 2EA FA, 3FD F, 2;1 và tam giác CEF vuông tại F Biết rằng đường thẳng x 3y 9 0 đi qua hai điểm C E, Tìm tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương
Phân Tích: C CE đã biết phương trình và F đã biết
tọa độ.điều đó gợi ý cho ta đi tính độ dài CF Với dữ
kiện EB=2EA, FA=3FD và CEF vuông tại F ta sẽ tìm
được mối liên hệ giữa hai cạnh của hình chữ nhật Song
ta thiếu một dữ kiện về định lượng Ta đi tính d(F,CE) là yếu tố ẩn của đề Thông số này giúp ta tính được độ dài CF
Ví dụ 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D có đáy lớn
45
BCD Đường thẳng AD và BD lần lượt có phương trình 3xy0 và x2y0 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 15 và điểm B có tung độ dương
Phân Tích:B BD và y B >0 giúp ta nghĩ đến tìm B trước D coi như đã biết, ta sẽ tính độ dài
BD Ở đây cho S ABCD =15(*), mà S ABCD phụ thuộc và AB, AD và CD nên (*) chứa tới 3 ẩn Ta
Trang 15cần giảm số ẩn trong (*), muốn thế phải tìm mối liên hệ giữa
AB, AD và CD Vậy ta phải khai thác dữ kiện về số liệu cụ thể
của bài toán Dữ kiện cho 0
45
BCD và AD, BD đã biết phương trình nên ta nghĩ đến tính góc giữa AD và BD từ đó
các tam giác ABD và BCD lần lượt vuông cân biểu diễn AD,BD theo AB BD Khi tìm được B pt BC do BC BD
Ví dụ 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cânABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD 3BC Đường thẳng BD có phương trình x2y 6 0 và tam giác ABD
có trực tâm là H 3; 2 Tìm tọa độ các đỉnh C và D
Phân Tích: Với yêu cầu của bài toán, ban đầu ta sẽ tự hỏi “ C và D ta sẽ tìm điểm nào trước?
DBD, CAC có thể viết được phương trình! Khi đó
I=BD∩AC xác định Ta cần tìm thêm dữ kiên “có lợi” cho C
và D” Do ABCD là hình thang cân nên IB=IC
45
BCI BCH là tam giác cân tại B I là trung điểm của HC Nghĩa là ta sẽ tìm được C trước Lúc này các dữ kiện chưa được khai thác là BC//AD và AD=3BC, từ đây ta nghĩ đến định lí talet và suy ra được DI=3BI=3IH Khi đó ta sẽ tìm được D
Ví dụ 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, điểm B 1;1 Trên tia
BC lấy điểm M sao cho BM BC 75 Phương trình đường thẳng AC: 4x3y320 Tìm tọa
độ điểm xy 5 0 biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCD bằng 5 5
2
Phân Tích:Ta có A là hình chiếu của B lên AC nên coi như
đã biết Dữ kiện BM.BC=75gợi cho ta nghĩ đến tam giác
đồng dạng và tứ giác nội tiếp Trong bài toán lại có yếu tố
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAC, để khai thác
dữ kiện này ta dựng thêm điểm D sao cho ACMD nội tiếp,
việc này giúp ta khai thác được tất cả các thông số trên Sau khi dựng D ta sẽ phân tích các số liệu của bài toán để tính độ dài AC từ đó tìm được C
Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn T : x 12y 22 5 và đường thẳng :xy 2 0 Từ điểm A thuộc kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với T tại B
và C Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC bằng 8
