Mẹo nhớ công thức lượng giác ôn thi Đại học cực hay

Công thức lượng giác , Mẹo nhớ công thức lượng giác ôn thi Đại học cực hay, luyện thi đại học môn toán, bài tập áp dụng công thức lượng giác

TỔNG HỢP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ MẸO NHỚ

Học công thức lượng giác bằng thơ

* Phần1: Bắt được quả tan

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bắt được quả tang

Sin nằm trên cos (tan@ = sin@:cos@)

Cotang dại dột

Bị cos đè cho (cot@ = cos@:sin@)

Version 2:

Bắt được quả tang

Sin nằm trên cos

Côtang cãi lại

Cos nằm trên sin!

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan

Cosin của hai góc đối bằng nhau;

sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau;

phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia;

tan của hai góc hơn kém pi thì bằng nhau

CÔNG THỨC CỘNG

Cos cộng cos bằng hai cos cos

cos trừ cos bằng trừ hai sin sin

Sin cộng sin bằng hai sin cos

sin trừ sin bằng hai cos sin.

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).

Tang tổng thì lấy tổng tang

Chia một trừ với tích tang, dễ òm.

CÔNG THỨC NHÂN BA

Nhân ba một góc bất kỳ,

sin thì ba bốn, cos thì bốn ba,

dấu trừ đặt giữa hai ta, lập phương chỗ bốn,

thế là ok.

Phần 2: Tan mình cộng với tan ta

Một bài thơ khác về cách nhớ công thức: tan(a+b)=(tan+tanb)/1-tana.tanb là

tan một tổng hai tầng cao rộng

trên thượng tầng tan cộng tan tan

dưới hạ tầng số 1 ngang tàng

dám trừ một tích tan tan oai hùng

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ

Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng

Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

sin tổng lập tổng sin cô

cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng

còn tan tử cộng đôi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng hai tan)

một trừ tan tích mẫu mang thương sầu

gặp hiệu ta chớ lo âu,

đổi trừ thành cộng ghi sâu vào lòng

Một phiên bản khác của câu Tan mình cộng với tan ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình là

tanx + tany: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta

tanx - tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình

CÔNG THỨC CHIA ĐÔI (tính theo t=tg(a/2))

Sin, cos mẫu giống nhau chả khác

Ai cũng là một cộng bình tê (1+t^2)

Sin thì tử có hai tê (2t),

cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t^2).

Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan cot hơn kém nhau pi hơn kém pi/2 chéo, chỉ có sin không đổi dấu.

Sin thì sin cos cos sin Cos thì cos cos sin sin dấu trừ.

Tan thì ta công thêm tan, ở trên 1- tích tan ra liền ^^

sin cộng sin bằng hai sin cos sin trừ sin bằng hai cos sin cos cộng cos bằng hai cos cos, cos trừ cos bằng trừ hai sin sin.

cos nhân cos bằng 1/2 cos cộng cộng cos trừ

sin nhân sin bằng trừ 1/2 cos cộng cộng cos trừ

sin nhân cos bằng 1/2 sin cộng cộng sin trừ.

cos ba bằng 4 cô ba trừ ba cô.

Bài thơ công thức lượng giác hay hơn

1.Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau

Còn tang ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền

Cotang ngược lại với tang.

2.Công thức cộng:

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).

Tang tổng thì lấy tổng tang

Chia một trừ với tích tang, dễ òm.

3.Tích thành tổng:

Nhớ rằng hiệu trước, tổng sau

Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ

Cos thì cos hết

Sin sin cos cos, sin cos sin sin

Một phần hai phải nhân vào, chớ quên!

4.Công thức đổi tổng thành tích:

Tổng tang ta lấy sin tòng (sin của tổng)

Chia cho cos cos khó lòng lại sai.

Tổng sin và tổng cos:

- Đối với a & b:

Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau

- Đối với các hệ số khi khai triển:

Cos cộng cos bằng hai cos cos

Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin

Sin cộng sin bằng hai sin cos

Sin trừ sin bằng hai cos sin.

5.Công thức cos sin,cos-sin:

Cos cộng sin bằng căn hai cos(căn 2 nhân cos)

Của a trừ cho 4 dưới pi

Nhớ rằng đây cộng kia trừ

Đây trừ kia cộng chỉ là thế thôi.

6.Công thức gấp đôi:

Sin gấp đôi = 2 sin cos

Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin

= trừ 1 cộng hai lần bình cos

= cộng 1 trừ hai lần bình sin

Tang gấp đôi

Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)

Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.

7.Sin bù, cos đối, hơn kém pi tang, phụ chéo.

Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tg góc này = cotg góc kia.

8.Công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi như sau:

Hơn kém bội hai pi sin, cos

Tang, cotang hơn kém bội pi.

Sin(a k.2.180)=sina ; Cos(a k.2.180)=cosa

Tg(a k180)=tga ; Cotg(a k180)=cotga

*Sao Đi Học ( Sin = Đối / Huyền)

Cứ Khóc Hoài ( Cos = Kề / Huyền)

Thôi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề)

Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối)

+Sin : đi học (cạnh đối - cạnh huyền)

Cos: không hư (cạnh đối - cạnh huyền)

Tg: đoàn kết (cạnh đối - cạnh kề)

Cotg: kết đoàn (cạnh kề - cạnh đối)

+Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau

Còn tang ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền

Cotang ngược lại với tang

(hoặc Còn tang ta tính như sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền

Cotang cũng dễ ăn tiền

Kề trên, đối dưới chia liền là ra )

*Công thức cộng:

+Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ)

+Tang tổng thì lấy tổng tang

Chia một trừ với tích tang, dễ òm

*Tích thành tổng:

+Cách 1:

Nhớ rằng hiệu trước, tổng sau

Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ (mấy cái khác còn lại là cộng)

Cos thì cos hết

Sin sin cos cos, sin cos sin sin

Một phần hai phải nhân vào, chớ quên!

+Cách 2:

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ

Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng

Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ

*Tổng thành tích:

+Tổng tang ta lấy sin tòng (sin của tổng)

Chia cho cos cos khó lòng lại sai

+Tang ta cộng với Tang mình

Bằng Sin hai đứa trên Cos mình Cos ta

+Tổng sin và tổng cos:

Đối với a & b:

Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau (“góc chia đôi: trước cộng, sau trừ” hay “vế phải của

2 tích theo thứ tự tổng trước ,hiệu sau”)

Đối với các hệ số khi khai triển:

Cos cộng cos là 2 cos cos

Cos trừ cos trừ 2 sin sin

Sin cộng sin là 2 sin cos

Sin trừ sin là 2 cos sin

+CT cos+sin:

Cos cộng sin bằng căn hai cos(căn 2 nhân cos)

Của a trừ cho 4 dưới pi (a là góc, tức là cos(a-pi/4))

Nhớ rằng đây cộng kia trừ

Đây trừ kia cộng chỉ là thế thôi

Có một số bài thơ gần như chỉ là cách đọc, nhưng tôi thấy nhờ những cách đọc có vẫn điệu như vậy sẽ giúp chúng ta học nhanh hơn ban ạ Ví dụ bài thơ này :

+CT cos+sin…tôi đã nâng cấp thành:

Cos cộng sin bằng căn hai cos, của a trừ cho 4 dưới pi

Sin cộng cos bằng căn hai sin, của a cộng cho pi trên 4

Đọc với giọng nhanh ta thấy hai câu đối nhau (nhớ là trong công thức này, tính theo cos dấu phải coi chừng)

*CT gấp đôi ( dấu "=" là viết tắt của chữ "bằng"):

+Sin gấp đôi = 2 sin cos

+Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin

Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)

Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền

*CT gấp ba:

+Sin thì sin hết (3)

Cos thì cos luôn

Cos thì 4 lập trừ 3 (tức là 4.cos^3a-3cos, các bài thơ chỉ nói đến hệ số)

Sin thì đảo dấu cos là ra thôi (chú ý (3))

+Sin3a = 3Sina - 4Sin mũ 3 a

Cos3a= 4Cos mũ 3 a - 3Cosa

Sin ra sin, cos ra cos

Sin thì 3, 4 Cos thì 4, 3

Dấu trừ ở giữa phân ra

Chỗ nào có 4, mũ 3 thêm vào

(*cách đọc cho có chất thơ*)

+Tang gấp ba ta lấy ngay tang

Nhân ( 3 trừ lại tang bình) (chú ý dấu ngoặc)

Chia 1 trừ lại 3 lần bình tang

*CT chia đôi – CT tính theo t=tg(a/2)

Sin, cos mẫu giống nhau chả khác

Ai cũng là một cộng bình tê (1+t^2)

Sin thì tử có hai tê (2t), cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t^2)

(còn tg thì ta cứ lấy tga=sina/cosa)

*Cos đối, sin bù, hơn kém pi tang, phụ chéo

*Sin bù, Cos đối,Tang Pi,

Phụ nhau Sin Cos, ắt thì phân chia

+Cos đối :Cos(-a)=cosa

+Sin bù :Sin(180-a)=sina

+Hơn kém pi tang :

Tg(a+180)=tga

Cotg(a+180)=cotga

+Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tg góc này = cotg góc kia ( sự chéo trong bảng giá trị LG đặc biệt)

*Ta có công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi như sau:

Hơn kém bội hai pi sin, cos

Tang, cotang hơn kém bội pi

a a

a a

a a

7 sin 5 sin 3 sin

sin

7 cos 5

cos 3

a

a a

a

3 sin 2 sin sin

3 cos 2

cos 2 cos

a

cos 2

6 2 cos 6

2 cos

3

cos 3 cos

a a

a a

1 cos

2



h) sin 1o sin 91o 2 sin 203o(sin 112o sin 158o)

a)

16

3 80 sin 60 sin 40

a a

a n a

a a

tan )

1 2 cos(

5 cos 3

cos

cos

) 1 2 sin(

5 sin 3 sin

) 1 ( sin 2

sin sin

3 sin 2

sin

sin

a

a n na na

a a

) 1 ( cos 2

sin cos

3 cos 2 cos

cos

a

a n na na

a a

cos 2 cos 4 sin sin

b)

2

sin 2

sin 2 sin 4 1 cos cos

c) sin 2 A sin 2B sin 2C 2 ( 1  cosAcosBcosC)

d) cos 2A cos 2B cos 2C 1  2 cosAcosBcosC

e)

2

cos 2

sin 2 sin 4 sin sin

2

sin 2

cos 2 cos 4 cos cos

C B

A

g) sin 2A sin 2B sin 2C 4 sinAsinBsinC

h) cos 2A cos 2B cos 2C  1  4 cosAcosBcosC

i) sin 2 A sin 2B sin 2C 2 sinAsinBcosC

4 Chứng minh bất đẳng thức: (sin sin )

2

1 2 sinxy  x y với 0 x, y 

5 Tính giá trị các biểu thức sau:

a)

16

7 sin 16

5 sin 16

3 sin

7 cos 11

5 cos 11

3 cos

2 sin

7 Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là:

B A

C B

A

cos cos

sin sin

cosA B C thì nó là tam giác đều.

9 Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ABC thoả mãn hệ thức:

a

c b B

A cos  

giác đó là tam giác vuông.

2

tan 2 tan

Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).

* Phương trình lượng giác

I Phương trình lượng giác cơ bản

k x

2 Phương trình: cos x cos  x   k2 

2 Phương trình: tanxtan    k 4 Phương trình: cotxcot    k

g) sin3x - cos2x = 0 h) x cos 3x

5 3

II Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác

A Lý thuyết cần nhớ

Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx.

Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t.

B Bài tập

1 Giải các phương trình sau:

a) 3 sin 2 2x 7 cos 2x 3  0 b) 6 cos 2x 5 sinx 7  0 c) cos 2x 5 sinx 3  0

d) cos 2x cosx 1  0 e) 6 sin 2 3 cos 12 14

Dạng phương trình: asinxbcosxc

Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 b2 c2

Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho a 2 b2 rồi đặt: cos 2 2

b a

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

a) y ( 2  3 ) sin 2x cos 2x b) y (sinx cosx) 2 2 cos 2x 3 sinxcosx

3 sin 2 cos

x x

c) 3 sin 2x 2 cos 2x 3 d) 2 sin 2x 3 cos 2x 13 sin 14x

e) 4 sinx 3 cosx 2 f) sinx 3 cosx 1

m x m x m x

m2 sin sin 2 2 cos cos 2 cos sin

4 Tìm các giá trị của  để phương trình:

a) (cos 3 sin 3 ) 2 ( 3 cos 3 sin 2 ) sin cos 3 0

5 sin

6 sin

x x

IV Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx

A Lý thuyết cần nhớ

Dạng phương trình: asin2xbsinxcosxccos2 xd

- Nếu cosx = 0 Thế vào phương trình thử nghiệm.

- Nếu cos x 0 Chia cả 2 vế của phương trình cho cos 2x rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với

1 Giải các phương trình sau:

a) sin 2x 2 sinxcosx 3 cos 2x 0 b) 6 sin 2x sinxcosx cos 2x 2

c) sin 2x 2 sin 2 x 2 cos 2x

4 2 cos

4

sin

3 2x x x 2 x

2 Giải các phương trình sau:

a) 2 sin 3 x 4 cos 3x 3 sinx

sin 2

cos 2

sin 2

cos 2 sin 3 2 2

3 cos





V Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.

A Lý thuyết cần nhớ

Dạng phương trình: a(sinx cosx) bsinxcosxc.

Cách giải: Đặt t  sin x cosx, ta có: |t|  2 t2 1 2 sinxcosx 1 sin 2x

1 Giải phương trình sau:

a) cotx tanx sinx cosx b) 2 sinx cotx 2 sin 2x 1

c) cos 3 x sin 3 x  1 d) | sinx cosx|  4 sin 2x 1

2

3 2 cos 2

VI Một số dạng phương trình lượng giác khác

1 Giải các phương trình lượng giác sau:

4

3 cos

sin

cos sin 4 4

x x x

x x

2

5 cos

2 tan

g) ( 4 6 ) sin 3 3 ( 2 1 ) sin 2 ( 2 ) sin 2 cos ( 4 3 ) cos 0

h) 1 tan 2 x 2 tanxtan 2x

2

sin 2 x 2 x m) tanx tan 2x sin 3xcosx

n) tanx 3 cotx 4 (sinx 3 cosx) o) sin 3x cos 3x cos 2x





p) sin 4x tanx q) sin 4x 4 sinx (cos 4x 4 cosx)  1

r) 3 (cotx cosx)  5 (tanx sinx)  2 s) cos 7x 3 sin 7x  2

t) tanx 2 2 sinx 1 u) 2 cos 3x sin 3x



v)

x

x x

sin 1

cos 1

x) x x x

x x

4 cos 4

tan 4

tan

2 cos 2

tan

cos sin 6 6

x x





z) cos 2x sin 2x 2 cosx 1  0

2 Giải các phương trình lượng giác sau:

x

x

2 sin 1 tan

x

sin

1 cos

1 4

sin 2

3 sin 2 sin sin 2

3 cos 2 cos

x x

x x

g) sin 2 4x cos 2 6x sin( 10 , 5   10x) Tìm các nghiệm thuộc khoảng 

2 cos

x x

x

cos

1 cos

x m) 2 cosx 2 sin 10x 3 2  2 cos 28xsinx

n) sin 2x 2 cos 2x 1  sinx 4 cosx o) sin 2x 2 tanx 3

2

1 2 cos ) cos cos

1

1 cot

) sin (cos 2 2

cot tan

z) sinx cosx cos 2x

3 Giải các phương trình lượng giác sau:

c) sin 3x 2 cos 2x 2  0 d) sin 3x sinx sin 2x 0

e) cos 2x 3 cosx 2  0 f) 3 cos 4 2 cos 2 3 1

cos

cos 1

tan 2 

2

3 2 cos 2 sin

sin 4x 4 x   4 x  n) 2 cos 0

sin 1

2 sin





x x

o) cos 3 sin 3 sin 2 cos 0

) sin 1 ( 3 tan

tan

2 3

w) 2 cos 3x sin 3x x) cos 2x 3 sin 2x 3 sinx cosx 4  0

y) cos 2x cos 2 x 1 tanx

4 Giải các phương trình sau:

cos

1 cos

2 2 2 cos 2

x x

x b) 4 (sin 3x cos 2x)  5 (sinx 1 )

c) 2 cos 2x sin 2xcosx sinxcos 2x 2 (sinx cosx)

d) tanxsin 2 x 2 sin 2 x 3 (cos 2x sinxcosx) e) sin 2x(cotx tan 2x)  4 cos 2 x

sin

2 cos

j) cos 3x 2  cos 2 3x  2 ( 1  sin 2 2x) k) sinx sin 2x sin 3x 0

l) cotx tanx sinx cosx m) sin 3x cos 2x 1  2 sinxcos 2x

n)

x x

x

cos

1 7 cos 8

3 sin cos

p) 9 sinx 6 cosx 3 sin 2x cos 2x 8 q) sin 3 xcos 3x cos 3 xsin 3x sin 3 4x

r) sinx sin 2x sin 3x sin 4x cosx cos 2x cos 3x cos 4x

cos sin

1 2 cos 2

x x

u) 2 sin 3 cos 2 cos 0

w) 1  cosx cos 2x cos 3x 0 x) cosx cos 2x cos 3x cos 4x 0

y) cos 2x sin 3x cosx 0 z) cosxsinx | cosx sinx|  1

5 Giải các phương trình sau:

a) 2  cos 2x  5 sinx b) sin 3x cos 3x 2 (sin 5x cos 5x)

c) sin 2x cos 2 2x cos 2 3x



3 cos

8

13 sin

cos 6  6  2 h) 1  3 tanx 2 sin 2x

i) sin 3x cosxcos 2x(tan 2x tan 2x) j) 9sin 2 9cos 2 10

3



VII Hệ phương trình lượng giác

1 Giải các hệ phương trình lượng giác sau:

a)

3

3

1 tan

y x

tan tan

3

4

1 cos sin





c)

6 tan tan

3 tan tan

y x

z y

d)

2 cos

cos

2 sin

y x

e)

y x x

y x x

sin sin cos

cos cos sin

2 2





f)

1 2 cos 3 2 cos

1 tan tan tan

y x x

tan

4 sin 2 cot

tan





x y

y

y x

x

h)

4

5 sin cos

2

3 cos

sin

2 2

y x

VIII Các dạng bài tập khác

1 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1  5 sinx 2 cos 2 x 0 thoả mãn cos x 0

2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y sinx cosx cosx sinx .

3 Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin2A sin2B sin2Cm Nếu m = 2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù.

4 Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn:

2 sin 2 2

sin 2 sin 2 sin sin

(cot sin

1 sin

1 sin

A

8 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2A cos 2B cos 2C 1  0 thì tam giác đó

là tam giác vuông.

9 Chứng minh rằng trong tam giác có: (b2 c2 ) sin(C B)  (c2  b2 ) sin(CB) thì tam giác đó vuông hoặc cân.

10 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y 5 cosx cos 5x trên  

4

; 4





11 Cho phương trình:

x m

x m x m

x m

sin 2

2 cos cos

2

2 sin

a) Giải phương trình khi m = 1.

b) Khi m 0 và m  2 , phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [ 20  , 30  ]

2

cot 2 cot

c a

2

tan 2

A tan

15 Tìm các giá trị x ( 0 , 2  ) sao cho cosx sinx cos 2x 0

16 Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm x [ 0 ,  ] : t

1 sin 2

.

17 Cho tam giác ABC Chứng minh:

S

c b a C B A

4 cot

cot cot    2 2 2 .

C c B b A a

Chứng minh tam giác ABC đều.

20 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: (cos 4 cos 8 )

2

1 ) 4 cos 2 sin 1 (

21 Giải phương trình sau: 9 cotx  3 cotx 2  0

22 Cho tam giác ABC thoả mãn:

C B

a C

c B

b

sin sin cos

23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: cosA cosB cosC 1

24 Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi acosB bcosAasinA bsinB.

25 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có:

2 cot 2 tan tanA B C thì tam giác ABC cân.

26 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn:

2

1 cos sin  2 